DSP習題和解答(精)

1、非標準答案，僅供參考！簡答題非綠色部分的自己組織答案！y(n)為輸出。1、設(shè)系統(tǒng)差分方程為y(n)=ay(n-l)+x(n)，其中x(n)是輸入，當y(0)=0時，試判斷系統(tǒng)是否是線性時不變的。解：按照線性是不變系統(tǒng)定義判斷。由題意可歸納出y(n)=n_1_ix(i)i=0n對于線性時不變系統(tǒng)應(yīng)有線性性：Talxl(n)+a2x2(n)=alyl(n)+a2y2(n)時不變性：Tx(n-k)=y(n-k)對于y(n)=n-1-ix(i)，分別驗證是否滿足線性性和時不變性。i=0nTalxl(n)+a2x2(n)=an-1-ialxl(i)+a2x2(i)i=0n=Yan-1-ialxl(i)+

2、an-1-ia2x2(i)=alyl(n)+a2y2(n)i=0i=0nn故知滿足線性性。Tx(n-k)=a(n-k)-1-ix(i)=y(n-k)i=0n-k故知滿足時不變性。所以該系統(tǒng)是線性時不變系統(tǒng)。y(n)為輸出。2、設(shè)系統(tǒng)差分方程為y(n)=ay(n-1)+x(n)，其中x(n)是輸入，當y(0)=0時，試判斷系統(tǒng)是否是線性時不變的。3、用FFT來分析信號的頻譜，若已知信號的最高頻率為fh=1.25kHz，要求頻率分辨率為厶FS5Hz，試確定：(1) 采樣間隔T；(2) 采用基-2FFT的最小樣點數(shù)N，以及與此相對應(yīng)的最小記錄長度；(3) 按您確定的參數(shù)所獲得的實際分辨率。解：(1)

3、由那奎斯特采樣定理知fC2fH=2x1.25kHz=2.5kHz，且fC=T，所以T4x10-5s。(2)歸一化角頻率與物理角頻率的關(guān)系=QT，其中T為采樣周期，自然有1Aro=AQT，且AQ=2nxAF，由頻域采樣理論知Aro=2nN，最終得到：Aro=2nN=2nxAFT=2nx5xTnN=(5T)顯然，當T越大N越小，故而此處取T=4xl0-5s,上式后得到N=5xlO3。而FFT要求N是2K,大于5000且是2K的最小正整數(shù)為8192。知最小樣點數(shù)為8192，而記錄的最小長度為5000。(3)Aro=2nN=2nxAFT,確定的T=4x10-5s,N=8192，算出實際分辨率AF=3.

4、05Hz，滿足要求。4、證明當FIR系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)滿足h(n)=h(N-1-n),且N為奇數(shù)時，該系統(tǒng)具有線性相位。N-1是偶對稱的。為了證明欲證將h(n)向左平移2N-1N-1)，知h(n)是關(guān)于原點偶對稱的。h(n)的DTFT個單位得到h(n)=h(n+22為證明：h(n)=h(N-1-n)是關(guān)于H()=Yh(n)en=-N-12N-12-jn=Yh(n)cosen-jsin(n)=Yh(n)cosnn=-N-12n=-N-12N-12N-12顯然，H)是實數(shù)。h(n)=h(n+N-1N-1N-1)的)uh(n-)=h(n),那么h(n-222傅里葉變換就是h(n)傅里葉變換，且N-1

5、Fjh(n-)fe2N-12H()=H(e)其中H(w)是h(n)的傅里葉變換。由于H()是實數(shù)，所以H()的相位函數(shù)就是-N-1,顯然是線性相位。故而得證欲證。5、簡述濾波器的功能；IIR與FIR數(shù)字濾波器的各有什么優(yōu)缺點。答：濾波器功能它允許信號中位于通頻帶內(nèi)的頻率分量通過而位于阻頻帶內(nèi)的頻率分量被濾除或衰減，實現(xiàn)人為的對信號的濾波，對相位也產(chǎn)生影響。IIR是因果無限長沖擊響濾波器，他的優(yōu)點是在阻帶中的旁瓣更低幅頻特性精度高，缺點是沒有線性相位。FIR是有限長沖擊響濾波器，他的優(yōu)點是具有線性相位，缺點是旁瓣高幅頻特性精度低6、試用頻率抽樣法設(shè)計一個FIR線性相位數(shù)字低通濾波器。已知解：c=

6、0.5n,N=51，在通頻帶內(nèi)頻率樣本取1,在阻頻帶內(nèi)樣本取0,過渡帶取Hrkl=2,11丿II0k=0,1,.12k=13k=14,15,.252n)kG(k)=(-1)Hrklk=0,1,.120.511312nkl1)1h(n)=1G(0)+2G(k)cosn+II51L51k=1且h(n)=h(N-1-n)，代入有關(guān)數(shù)據(jù)即可得結(jié)果。7、畫出4點2DIT-FFT運算流圖，并計算其復(fù)數(shù)乘次數(shù)。解：x(0x(2x(lx(3X(0)X(l)X(2)X(3)復(fù)數(shù)乘法計算：N41og2N=log24=4。228、設(shè)x(n)為實數(shù)序列，DFT點數(shù)為N,分別寫出DFT和基2FFT計算的表達式，并分別計

7、算出DFT與基2算法中的乘法次數(shù)和加法次數(shù)。(減法看成加負數(shù))2kn解:DFT計算公式X(k)=x(n)WN,其中加法次數(shù)為N(N-l),乘法次數(shù)NoN-1n=0k(IF1(k)+WNF2(k)FFT計算公式X(k)=l，kIlF1(k)-WNF2(k)其中加法次數(shù)為Nlog2N，乘法次數(shù)Nlog2No29、某隨機相位余弦波g(t)=Acos(ct+e)，其中A和roc均為常數(shù)，0是在(0,2n)內(nèi)均勻分布的隨機變量。(1) 求g(t)的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度；(2) 討論g(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解：(1)g(t)的自相關(guān)函數(shù)疋(T)=EA2cos(Qctl+0)cosQc(tl+T)+0

8、A2=2n功率譜密度P(Q)=Jrg(T)e02n-jQtJ2n0A2cos(Qctl+e)cosQc(tl+T)+ede=cos(QcT)2A2cosQcTe-jQTdT=nA22dT=J2n(2)集合平均誕(t)=EAcos(Qct+G)=JAcos(Qct+G)02nie=02n時間平均pZ(t)=limltlA()AcosT+edT=limcosctcose=0c2-ttf2tJtfw2t2tc圧二誕，故而是各態(tài)歷經(jīng)的。10、求隨機相位余弦波X(t)=acos(wct+申)的功率譜密度(已知其相關(guān)函數(shù)為A2R(t)=cosct)。2解：由于自相關(guān)函數(shù)是單頻的，故可以直接得到功率譜密度P

9、(Q)=nA2P(Q)=JR(T)e02n-jQtdT=J2nOA2cosQcTe-jQTdT=nA2211、簡述經(jīng)典功率譜估計與參數(shù)模型功率譜估計的各自特點。答：經(jīng)典功率譜估計是將數(shù)據(jù)工作區(qū)外的未知數(shù)據(jù)假設(shè)為零，相當于數(shù)據(jù)加窗，其分辨率反比于有效信號長度方差性能不好。參數(shù)模型功率譜估計是通過觀測數(shù)據(jù)估計參數(shù)模型再按照求參數(shù)模型輸出功率的方法估計信號功率譜，其分辨率可以不受限制方差性能好。Pq12、若用差分方程y(n)=Ya(k)y(n-k)+b(k)x(n-k)實現(xiàn)一個具有單位采樣k=1k=1響應(yīng)h(n)的濾波器，為了實現(xiàn)一個具有單位采樣g(n)=(-1)h(n)采樣的系統(tǒng)，這n個差分方程應(yīng)

10、作如何修改？解：方法一、H(z)=-n()hnz，則有：工Pn=ay(n)=Yaky(n-k)+bkx(n-k)nH(z)=k=1k=1qpZbzkk=1qk=l-k1-akz-kn=ah(n)z(l),-n令z=eejpj，則(1)式可以寫成為：-jpk-jekbekepH(z)=1-ake-jpke-jrokk=1k=1qn=a-jpn-jen()(2),hneeg(n)=(-l)h(n)=ejnnh(n)，則:G(z)=n=aZg(n)z-nn=aeh(n)ejnn+.-jpn-jrone=n=a-jpn-j(e兀)n()(3),hnee比較(2)、(3)兩式可得：G(z)=n=aEh(

11、n)e-jpn-j(ro-兀)ne=Zbekk=1qk=1-jpk-j(-兀)k1_Yake-jpke-j(s_n)k，對(4)式進一步整理得：G(z)=(-1)bkek=1qk=1-jpk-jrok=-k(T1-E(-1)ake-jpke-jrok1-(-1)akz-kk=1k=1q(5)，由(5)式可得：y(n)=Y(-l)aky(n-k)+Y(-l)bkx(n-k)kkk=1k=1qp上式就是最終結(jié)果。方法二、在方法一中直接應(yīng)用z不進行z=ejpej替換處理也可證明欲證。13、簡述頻譜泄露的原因以及目前國內(nèi)外對幅值譜進行校正的方法。答：頻譜泄露是由于采樣頻率和信號頻率的不同步，造成周期采

12、樣信號的相位在始端和終端不連續(xù)。（1）利用插值FFT方法減少頻譜泄露；（2）利用頻率同步裝置減少頻譜泄露；（3）利用采樣頻率自適應(yīng)軟件算法減少頻譜泄露。14、數(shù)字信號處理中的量化誤差主要有哪些方法？IIR濾波器的三種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在量化誤差中有何特點？15、采用FIR窗口法設(shè)計DF時，常用的幾個窗函數(shù)及其特性如下表所示。窗函數(shù)旁瓣峰矩形窗-13三角窗-25漢寧窗-31-41阻惜址小iUE/dB過渡帶-21詞N-25昭N-44唧沖-538/jV現(xiàn)需要設(shè)計滿足下列特性的LPF濾波器，通帶截止頻率fc=1kHz，阻帶邊界頻率fs2kHz，抽樣頻率Fs=16kHz，通帶最大波動Ap20dB。請回答下列問題：

13、（1）你選擇什么窗函數(shù)？為什么？（2）窗函數(shù)長度N如何選擇？（3）如果需要確保實際得到的濾波器的fc值準確，則你選擇開窗前的理想濾波器的（數(shù)字域截止頻率）等于多少？解：（1）阻帶衰耗絕對值A(chǔ)s20dB，可知四種窗函數(shù)均可選擇。選擇矩形窗，因為在所有滿足阻帶衰耗的窗口中矩形窗過渡帶最窄，自然N最小。最后驗證選擇矩形窗是可行的（自己驗證，我沒有去驗證）。（2）rop=2nxfpFs=2nxf2n1n=，s=2nxs=2nx=，貝UFs164168Aro=ros-rop=n8,查表知矩形窗的過渡帶為4nN,所以可以求出N為：A=4nn=nN=32N8經(jīng)過驗證，可知N=32滿足各項指標。（3）c=ep+s2=3n1616、數(shù)字信號處理中的量化誤差主要有哪些方法？IIR濾波器的三種網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)在量化誤差中有何特點？17、正交變換主要分為哪幾類，各類都有什么特點及應(yīng)用范圍？答：1、非正弦類正交變換：主要指WHT,Haar,SLT等，這類正交變換在運算時不需要乘法，所以廣泛應(yīng)用于圖像編碼與數(shù)據(jù)壓縮。2、正弦類正交變換：主要包括：DFT,DCT等，這類正交變換在應(yīng)用是需要乘法，同時由于具有硬件乘法器的高速DSP芯片的問世使得正弦類正交變換在正交變換中起著主導(dǎo)地位。3、K-L變換：該變換去除信號中的相關(guān)性最為徹底，且有著最佳統(tǒng)計特性，因而被稱為“最佳變換”。它被廣泛應(yīng)用于圖像壓縮去噪。1