高中數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)重要公式

1、高中數(shù)學(xué)必修四三角函數(shù)重要公式公式一：設(shè)a為任意角，終邊相同的角的同一 三角函數(shù)的值相等:sin 2k n- a= sin aCOS 2k n+ a= COS atan 2k n-a= tan aCOt 2k n-a= COt a公式二：設(shè)a為任意角，n + o的三角函數(shù)值 與a的三角函數(shù)值 之間的關(guān)系: sin n+a= sin aCOS n+ a= COs atan n+ a= tan aCOt n+ a= COt a公式三：任意角a與-a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系: sin 一 a= sin aCOs一 a= COs atan 一 a= tan aCOt一 a= COt a公式四：n a與a

2、的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:2na與a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:利用公式二和公式三可以得到 sin na= sin aCOs n a= COs atan n a= tan aCOt n a= COt a公式五：利用公式一和公式三可以得到sin 2 na= sin aCOs 2 n a= COs atan 2 n-a= tan aCOt 2 n a= COt a公式六:n /2 ±及0 3 n /2 ±±a a的三角函數(shù)值之間的關(guān)系:Sin n /+ a= COs aCOsn /+ a= sin atann /+ a= COt aCOt n /+ a= tan aSin

3、n / a= COs aCOSn I2r a= sin a tan n l?T a= cot a cot n !2r a= tan asin 3 n I2- a= COS a COS 3 n /2- a= sin a tan 3 n /% a= cot a cot 3 n /% a= tan asin 3 n / a= cos a cos 3 n /a= sin atan 3 n / a= cot a cot 3 n / a= tan a以上k Z誘導(dǎo)公式記憶口訣規(guī)律總結(jié)上面這些 誘導(dǎo)公式 可以概括為：對于k n /2 ±Zk的個三角函數(shù)值， 當k是偶數(shù)時，得到 a的同名函數(shù)值，即函

4、數(shù)名不改變； 當k是奇數(shù)時，得到 a相應(yīng)的余函數(shù)值，即sin tcos;cos宀sin;tan 奇變偶不變?nèi)缓笤谇懊婕由习?a看成銳角時原函數(shù)值的符號。符號看象限tcot,cot ttan.例如:sin(2 a = sin(4 /2, k= 4 為偶數(shù)，所以取 sin。當 a 是銳角時，2n a (270 ° 360° , sin(2 a 茉 0，符號為 所以 sin(2 a ) sin a上述的記憶口訣是：奇變偶不變，符號看象限。公式右邊的符號為把 a視為銳角時，角k 360° +ock Z，- a、180° 所在象限的原三角函數(shù)值的符號可記憶水平誘導(dǎo)

5、名不變；符號看象限。各種三角函數(shù)在四個象限的符號如何判斷，也可以記住口訣一全正;余弦.這十二字口訣的意思就是說：第一象限內(nèi)任何一個角的四種三角函數(shù)值都是牛；第二象限內(nèi)只有正弦是牛，其余全部是 ；第三象限內(nèi)切函數(shù)是 牛，弦函數(shù)是 ；第四象限內(nèi)只有余弦是 牛，其余全部是 .±, a 360°-a正弦；三為切；四其他三角函數(shù)知識: 同角三角函數(shù)根本關(guān)系1同角三角函數(shù)的根本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系：tanaw1asinacsCaCOSaseia商的關(guān)系：sin a /cos= tan a sec a /CSC aCOS a /sin= COt a CsC a /sec a平方關(guān)系：sin2(

6、 d-)osA2( =)11 + tanA2(=)secA2( a )1 + COtA2( =)CSCA2( a )同角三角函數(shù)關(guān)系 六角形記憶法六角形記憶法：參看圖片或參考資料鏈接構(gòu)造以"上弦、中切、下割； 左正、右余、中間1"的正六邊形 為模型。1倒數(shù)關(guān)系：對角線上兩個函數(shù)互為倒數(shù)；2商數(shù)關(guān)系：六邊形任意一頂點上的函數(shù)值等于與它相鄰的兩個頂點上函數(shù)值的乘積。主要是兩條虛線兩端的三角函數(shù)值的乘積。由此，可得 商數(shù)關(guān)系式。3平方關(guān)系：在帶有陰影線的三角形中，上面兩個頂點上的三角函數(shù)值的平方和等于下面頂點上的三角函數(shù)值的平方。兩角和差公式2.兩角和與差的 三角函數(shù)公式sin

7、a+B= sin a co (Cosa sin3sin a3= sin a co& (osa sin(cos a+3= cos a co(5ina sin3cos a3= cos a co(ina sin3tan tan 3tan a+ 3=1 tan a tan 3tan tan 3tan a 3=1 + tan a tan 3倍角公式3二倍角的正弦、余弦和正切公式升幕縮角公式sin2 a 2sin a COS aCOS2 a COSA2( 0)時2( a)COSA2( 0-)1 = 1 2sin2( a )2tan atan2 a1 tanA2( a )半角公式4半角的正弦、余弦和

8、 正切公式降幕擴角公式1 COS asinA2( a a21 + COS aC0SA2( a a)21 COS atanA2( a a1 + COS a萬能公式5.萬能公式2tan( a /2)sin a1 + tanA2( a /2)1 tanA2( a /2)COS a1 + tanA2( a /2)2tan( a /2)tan a1 tanA2( a /2)萬能公式推導(dǎo) 附推導(dǎo):sin2 a =2sin a cos a =2sin a cos a /(cosA2(a )+sinA2(a )因為 COSA2( a )+sinA2( a )=1再把*分式上下同除cosA2( a,可得sin2

9、 a tan2 a /(井ta門人2( a ) 然后用a /2代替a即可。同理可推導(dǎo)余弦的萬能公式。正切的萬能公式可通過正弦比余弦得到。三倍角公式6三倍角的正弦、余弦和正切公式sin3 a 3sin 仿 4si門人3(a )cos3 a 4cosA3(3cos a3tan 肅 tanA3( a )tan3 a1 3tanA2( a )三倍角公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：tan3 a sin3 a /cos3 aa (sin2 a coscos2 a sin a )/(cos2 a-sosaa sin a )a (2sin a cosA2(七)OSA2( a )sinasinA3( a )/(cosA3( c

10、os a sinA2(仿 2sinA2( a )cos a )上下同除以cosA3( a,得：tan3 a (3tan tanA3( )“(1-3ta門人2( a )sin3 a sin(2 七 a ) sin2 a co；s cos2 a sin aa 2sin a cosA2( 2si門人2( a )sin a=2sin 2sin人3( a出 sin 2sin人2( a )a 3sin a- 4si門人3( a ) cos3 a cos(2 a aa cos2 a coain2 a sin aa (2cosA2( a 1)cos 2cos a SinA2( a )a 2cosA3( a c

11、os a+ (2COS 2COSA3( a )a4cosA3( a 3cos a即sin3 a 3sin a 4si門人3( a )cos3 a 4cosA3( )3cos a三倍角公式聯(lián)想記憶記憶方法：諧音、聯(lián)想正弦三倍角：3元 減4元3角欠債了(被減成負數(shù))，所以要 掙錢音似 正弦) 余弦三倍角：4元3角 減3元減完之后還有余注意函數(shù)名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍 角都用余弦表示。和差化積公式7三角函數(shù)的和差化積公式a+ 3 a 3sin 水 sin 存 2sincos-2 2a+ 3 a 3sin 皆 sin 存 2cos - sin -a+ 3 a 3cos a cos 護

12、 2coscos2 2a+ 3 p 3cos a cos 護一2sinsin2 2積化和差公式8三角函數(shù)的積化和差公式sin a-eo(s.3sin a+ 3+ sin a3cos a-sir®.3sin a+ 3 sin a3cos a - eofi.5cos a+ 3+ cos a 3 sin a - =si 3°.5COS a+ 3 cos a 3和差化積公式推導(dǎo)附推導(dǎo)：首先，我們知道 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb我們把兩式相加就得到sin( a+b)+si n( a-b)=2si

13、na*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理，假設(shè)把兩式相減，就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同樣的，我們還知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb所以，把兩式相加，我們就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我們就得到，cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,兩式相減我們就得到sin a*si nb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2這樣,我們就得到了積化和差的四個公式：si

14、n a*cosb=(s in( a+b)+s in( a-b)/2cosa*s in b=(s in( a+b)-s in( a-b)/2cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sin a*s in b=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了積化和差 的四個公式以后，我們只需一個變形，就可以得到 和差化積 的四個公式我們把上述四個公式中的a+b設(shè)為x,a-b設(shè)為y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把a,b分別用x,y表示就可以得到和差化積的四個公式：sin x+si ny=2si n( (x+y)/2)*cos(x-y)/2)si nx-si ny=2

15、cos(x+y)/2)*si n( (x-y)/2) cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2) cosx-cosy=-2si n( (x+y)/2)*s in (x-y)/2)向量的運算加法運算AB + BC = AC,這種計算法那么叫做向量加法的三角形法那么。兩個從同一點 0出發(fā)的兩個向量 0A、OB，以0A、OB為鄰邊作平行四邊形 OACB , 那么以O(shè)為起點的對角線 OC就是向量OA、OB的和，這種計算法那么叫做向量加法的平行四邊形法那么。對于零向量和任意向量 a,有：0 + a= a+ 0= a。|a+ b| w 戰(zhàn)|b|。向量的加法滿足所有的加法運算定律。減法運算與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，一(-a)= a,零向量的相反向量仍然是零向量。1a+ ( a)= ( a)+ a= 0 2a b= a+ ( b)。數(shù)乘運算實數(shù)入與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作入a I入=11入II,當入0時，入a的方向和a的方向相同，當入 0寸，入a的方向和a的方向相反，當入=0時，入a = 0 設(shè) 入是實數(shù)，那么：1(入口 )a =