從梯子的傾斜程度談起(公開課)

1、情 境 引 入墻外有墻外有更好玩更好玩的嗎？的嗎？ 情 境 導(dǎo) 入運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué)運(yùn)城市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 王王 鳳鳳 情 境 導(dǎo) 入鉛直高鉛直高度度水平寬度水平寬度梯子與地梯子與地面的夾角面的夾角（傾斜角）（傾斜角）w小麗的問題小麗的問題, ,如圖如圖:EFAB2.5m2m5m5mABCDEF梯子梯子AB和和EF哪個(gè)更陡？哪個(gè)更陡？ 生活問題數(shù)學(xué)化梯子梯子AB更陡更陡5m2m5m2.5mw小明的問題小明的問題, ,如圖如圖:2m3mDEF2m5mABC梯子梯子AB和和EF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？ 生活問題數(shù)學(xué)化2.5m2m5m5mABCDEF梯子梯子AB更陡更陡2m5mABC

2、2.5m5mDEF2m3mDEF方法一：觀察比方法一：觀察比較，度量比較較，度量比較2m5mABC方法二：一直角方法二：一直角邊相等，比較另邊相等，比較另一直角邊一直角邊梯子梯子AB與與EF哪個(gè)更陡一些？你有幾種方法？哪個(gè)更陡一些？你有幾種方法？ 合 作 探 究方法三：比較兩方法三：比較兩直角邊的比值直角邊的比值A(chǔ)C的長(zhǎng)的長(zhǎng)BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)AC:BC的值的值DE的長(zhǎng)的長(zhǎng)DF的長(zhǎng)的長(zhǎng)DE:DF的值的值結(jié)論：結(jié)論：_更陡。更陡。522.5AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)AC:BC的值的值DE的長(zhǎng)的長(zhǎng)DF的長(zhǎng)的長(zhǎng)DE:DF的值的值結(jié)論：結(jié)論：_更陡。更陡。52.52AB522.5321.5ABw小穎的問題小穎的

3、問題, ,如圖如圖:1.5m4mABC1.3m3.5mDEF梯子梯子AB和和EF哪個(gè)更陡？哪個(gè)更陡？比值越大，傾斜角越大，傾斜程度越大比值越大，傾斜角越大，傾斜程度越大AC的長(zhǎng)的長(zhǎng)BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)AC:BC的值的值DE的長(zhǎng)的長(zhǎng)DF的長(zhǎng)的長(zhǎng)DE:DF的值的值結(jié)論：結(jié)論：_更陡。更陡。1.543.52.67EF1.32.69 自 主 探 究w小亮的問題小亮的問題, ,如圖如圖: :2m4mABC3m6mDEFAC的長(zhǎng)的長(zhǎng)BC的長(zhǎng)的長(zhǎng)AC:BC的值的值DE的長(zhǎng)的長(zhǎng)DF的長(zhǎng)的長(zhǎng)DE:DF的值的值結(jié)論：結(jié)論：_246=2一樣陡一樣陡3=2 自 主 探 究梯子梯子ABAB和和EFEF哪個(gè)更陡？你是怎樣判斷的哪

4、個(gè)更陡？你是怎樣判斷的？比值一樣，傾斜角一樣，傾斜程度一樣比值一樣，傾斜角一樣，傾斜程度一樣 若小明因身高原因不能順利測(cè)量梯子頂端到墻腳若小明因身高原因不能順利測(cè)量梯子頂端到墻腳的距離的距離B B1 1 C C1 1 , ,進(jìn)而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該進(jìn)而無法刻畫梯子的傾斜程度，他該怎么辦？你有什么錦囊妙計(jì)？怎么辦？你有什么錦囊妙計(jì)？ A AC C1 1C C2 2B B2 2B1 1勇 于 發(fā) 現(xiàn)C C2 2B B2 2 AB1 C1 C2B2(1)(1)直角三角形直角三角形ABAB1 1C C1 1和直角三角和直角三角 形形ABAB2 2C C2 2有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?相似相似(

5、2) (2) 和和 有什么關(guān)系有什么關(guān)系? ?111ACCB222ACCB相等相等勇 于 發(fā) 現(xiàn)B AB1 C1 C2B2(3)(3)如果改變?nèi)绻淖傿 B2 2在梯子上的位置呢在梯子上的位置呢? ?由此由此你能得出什么結(jié)論你能得出什么結(jié)論? ?C C2 2B B2 2C C2 2B B2 2C C2 2B B2 2結(jié)論：仍能得到結(jié)論：仍能得到111ACCB222ACCB=深入探究：深入探究：如果如果改變改變AA 的大小的大小, , AA的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)隨之改變嗎的對(duì)邊與鄰邊的比值會(huì)隨之改變嗎? ? 即即AA的大小確定的大小確定, , 它的對(duì)邊與鄰邊的比它的對(duì)邊與鄰邊的比值是確定的，值是確

6、定的，與直角三角形的大小無關(guān)。與直角三角形的大小無關(guān)。AA的大小改變的大小改變, , AA的對(duì)邊與鄰邊的比值隨之的對(duì)邊與鄰邊的比值隨之改變。改變。勇 于 發(fā) 現(xiàn)鄰邊對(duì)邊的的的的AA tanA=tanA=ABCA的對(duì)邊A的鄰邊 在在RtRtABCABC中，中，銳角銳角A A的的對(duì)邊對(duì)邊與與鄰邊鄰邊之之比比叫做叫做A A的正切的正切( (tangenttangent) )，記作，記作tanA.tanA. 正 切 定 義注意順序注意順序：（：（ ）.鄰對(duì) 讀？讀？tndnt 2 2、tanAtanA中中常省常省去角的符號(hào)去角的符號(hào)“”“”。但。但BACBAC的正切表示的正切表示為為: :tanBAC

7、tanBAC. .11的正切表示為的正切表示為: :tan1tan1. .3 3、tanAtanA0 且沒有單位且沒有單位，它表示一個(gè)比值。，它表示一個(gè)比值。4 4、tanAtanA是一個(gè)完整的是一個(gè)完整的符號(hào)符號(hào)，不表示，不表示“tan”tan”乘以乘以“A”A”。 1 1、tanAtanA是是在直角三角形在直角三角形中定義的中定義的, ,A A是一個(gè)是一個(gè)銳角銳角。5 5、tanAtanA的大小只與的大小只與A A的大小有關(guān)的大小有關(guān), ,而與而與直角三角形的邊長(zhǎng)直角三角形的邊長(zhǎng)無無關(guān)。關(guān)。ABCA的對(duì)邊A的鄰邊定義的理解A AC CBw如圖如圖, ,梯子梯子ABAB的傾斜程度與的傾斜程度

8、與tanAtanA有關(guān)嗎有關(guān)嗎? ?tanAtanA的值越大的值越大, ,梯子梯子ABAB越陡越陡. .梯子梯子ABAB越陡，越陡，tanAtanA的值越大。的值越大。即 學(xué) 即 用1、鑒寶專家是真是假：(1).如圖 (1)( ). ACBCA tanABCABC7m10m(1)(2)(2).如圖 (2)( ). BCACA tan(3).如圖 (2)( ). ABBCA tan(4).如圖 (2)( ). 710tanB(5).如圖 (2)( ). mA7 . 0tan(6).如圖 (2)( ). 7.0tan7.0tan,7.0tanAAA或 初 試 牛 刀錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)錯(cuò)對(duì)對(duì)2 2、

9、如圖，在、如圖，在ACBACB中，中，C = 90C = 90，tanA = tanA = ；tanB = tanB = ；若若AC = 4AC = 4，BC = 3BC = 3，則，則tanA = tanA = ；tanB =tanB = ；BCACABC 再 試 牛 刀ACBC3443發(fā)現(xiàn)：tanAtanB =_13.3.如圖如圖, , C=90C=90CDABCDAB. .4.4.在上圖中在上圖中, ,若若BD=6,CD=12.BD=6,CD=12.求求tanAtanA的值的值. .ACBD.tanB( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 達(dá) 標(biāo) 檢 測(cè)ACACBCBCCDCDBD

10、BDADADCDCDtanA21 正切通常也用來描述山坡的坡度正切通常也用來描述山坡的坡度. .ABD坡度越大，坡面越陡。坡度越大，坡面越陡。 6060米米100100米米tan A= = 0.6A= = 0.610060ACBCw坡面與水平面的夾角坡面與水平面的夾角()()稱為稱為坡角坡角, ,w坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡面的鉛直高度與水平寬度的比稱為坡度坡度i i( (或坡比或坡比),),即即坡坡度等于坡角的正切度等于坡角的正切. .有一山坡在水平方向上每前進(jìn)有一山坡在水平方向上每前進(jìn)100m就升高就升高60m,那么山坡的那么山坡的坡度坡度i(即即tanA)就是就是老師提示某人沿一

11、斜坡的底端某人沿一斜坡的底端B B走了走了1010米到達(dá)點(diǎn)米到達(dá)點(diǎn)A A，此時(shí)點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A A到地面到地面BCBC的垂直高度的垂直高度ACAC為為6 6米，則斜坡米，則斜坡ABAB的坡度為的坡度為多少？多少？BAC分析分析: :坡度坡度tanBtanBRtRtABC:ABC:BCAC勾股定理求勾股定理求:BC:BC6m10m 實(shí) 際 應(yīng) 用例例1 1、圖中表示甲、乙兩個(gè)手扶電梯，哪個(gè)手、圖中表示甲、乙兩個(gè)手扶電梯，哪個(gè)手扶電梯比較陡？扶電梯比較陡？5m13mCBA6m8mEFDw解:甲梯中,w乙梯中,.522125135tanA A.6483tanE EwtanEtanAtanEtanA,乙梯

12、更陡.甲梯甲梯乙梯乙梯 例 題 賞 析1 1、如圖、如圖, ,在在RtRtABCABC中中, ,銳角銳角A A的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)的對(duì)邊和鄰邊同時(shí)擴(kuò)大擴(kuò)大100100倍倍,tanA,tanA的值（的值（ ）wA.A.擴(kuò)大擴(kuò)大100100倍倍 B.B.縮小縮小100100倍倍 wC.C.不變不變 D.D.不能確定不能確定2 2、已知、已知A,BA,B為銳角為銳角w(1)(1)若若A=A=B,B,則則tanAtanA tanB;tanB;w(2)(2)若若tantanA AtanB,tanB,則則A A BB. .ABCC= 達(dá) 標(biāo) 檢 測(cè)3 3、如圖、如圖,BD,BD是是ABCABC的角平分線的角平

13、分線, ,你能判斷你能判斷ABCABC是是什么三角形什么三角形? ?你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanCtanC嗎嗎? ?ABC4D1.5 達(dá)標(biāo)檢測(cè)4 4、如圖、如圖, ,某人從山腳下的點(diǎn)某人從山腳下的點(diǎn)A A走了走了200m200m后到達(dá)后到達(dá)山頂?shù)狞c(diǎn)山頂?shù)狞c(diǎn)B.B.已知山頂已知山頂B B到山腳下的垂直距離是到山腳下的垂直距離是55m,55m,求山坡的坡度求山坡的坡度( (結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.001m).0.001m).ABC 達(dá) 標(biāo) 檢 測(cè)解：在解：在RtABC中中,AB=200 BC=55所以山的坡度為：所以山的坡度為：286.03697555ACBC答：山的坡度

14、約為答：山的坡度約為.m1.正切的定義:ABCA的對(duì)邊A的鄰邊w在RtABC中,銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A的正切,記作tanA,即的鄰邊的對(duì)邊AAtanA=tanA=2.正切的用途:用以描述梯子、山坡等的傾斜程度坡度（又稱坡比）.tanACBCi 課 堂 小 結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？1.正切的定義:ABCA的對(duì)邊A的鄰邊w在RtABC中,銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做A的正切,記作tanA,即的鄰邊的對(duì)邊AAtanA=tanA=2.正切的用途:用以描述梯子、山坡等的傾斜程度坡度（又稱坡比）.tanACBCi 課 堂 小 結(jié)通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？ 7 7、 如圖，如圖，RtRtABCABC是一是一防洪堤壩迎水坡的橫截面圖，防洪堤壩迎水坡的橫截面圖，斜坡斜坡ABAB的長(zhǎng)為的長(zhǎng)為12 m12 m，它的坡，它的坡角為角為4545，為了提高該堤壩，為了提高該堤壩的防