電動(dòng)力學(xué)課件鏡像法和分離變量法

1、單擊此處編輯母版標(biāo)題樣式單擊此處編輯母版文本樣式第二級(jí)第三級(jí)第四級(jí)第五級(jí)*電動(dòng)力學(xué)第2章 靜電場(chǎng)邊值問(wèn)題的分類與解的唯一性定理 數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時(shí)間的變化規(guī)律。對(duì)于某一特定的區(qū)域和時(shí)刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。穩(wěn)恒場(chǎng)的場(chǎng)量與時(shí)間無(wú)關(guān)，因此其位函數(shù)所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是穩(wěn)恒場(chǎng)的邊值問(wèn)題。第三類邊值問(wèn)題：給定一局部邊界上每一點(diǎn)的電位， 同時(shí)給定另一局部邊界上每一點(diǎn)的電位法向?qū)?shù)。第二類邊值問(wèn)題： 給定邊界上每一點(diǎn)位函數(shù)的法

2、向?qū)?shù)，即已知給定導(dǎo)體上的總電量亦屬于第二類邊值問(wèn)題。 第一類邊值問(wèn)題： 給定整個(gè)邊界上的位函數(shù)值，即；已知其中 表示邊界。1、邊值問(wèn)題的分類 對(duì)于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問(wèn)題。 解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。 解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時(shí)，所求得的解是否會(huì)發(fā)生很大的變化。 解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。 電磁場(chǎng)是客觀存在的，因此位函數(shù)微分方程解的存在確信無(wú)疑。四、鏡像法鏡像法概念：在一定條件下，可以用一個(gè)或多個(gè)位于待求場(chǎng)域邊界以外虛設(shè)的等效電荷來(lái)代替導(dǎo)體外表上感應(yīng)電荷的作用，且保持原有邊界上邊界條件不變，那么根據(jù)惟一性定理

3、，空間電場(chǎng)可由原來(lái)的電荷和所有等效電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)疊加得到。這些等效電荷稱為鏡像電荷，這種求解方法稱為鏡像法。 理論依據(jù)：惟一性定理是鏡像法的理論依據(jù)。應(yīng)注意的問(wèn)題：鏡像電荷位于待求場(chǎng)域邊界之外。將有邊界的不均勻空間處理為無(wú)限大均勻空間，該均勻空間中媒質(zhì)特性與待求場(chǎng)域中一致。實(shí)際電荷(或電流)和鏡像電荷(或電流)共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。 待求場(chǎng)域：上半空間 邊界： 無(wú)限大導(dǎo)體平面 邊界條件：點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像 導(dǎo)體平面導(dǎo)體平面在空間的電位為點(diǎn)電荷q 和鏡像電荷 -q 所產(chǎn)生的電位疊加，即電位滿足邊界條件導(dǎo)體平面邊界上：上半空間的電場(chǎng)強(qiáng)度：電位：導(dǎo)體外表感應(yīng)電荷 導(dǎo)體外表

4、上感應(yīng)電荷總量 導(dǎo)體外表上感應(yīng)電荷對(duì)點(diǎn)電荷的作用力線電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像將無(wú)限長(zhǎng)的線電荷看作無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)電荷的集合。根據(jù)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對(duì)應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體外表的線電荷，其電荷密度為待求場(chǎng)域 中的電位上半空間的電場(chǎng)點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大介質(zhì)平面的鏡像設(shè)想用鏡像電荷代替界面上極化電荷的作用，并使鏡像電荷和點(diǎn)電荷共同作用，滿足界面上的邊界條件。當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)1所在區(qū)域時(shí)，在邊界之外設(shè)一鏡像電荷 q介質(zhì)1中任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為： 當(dāng)待求區(qū)域?yàn)榻橘|(zhì)2所在區(qū)域時(shí)，設(shè)一鏡像電荷q位于區(qū)域1中，且位置與 q 重合，同時(shí)將整個(gè)空間視為均勻介質(zhì)2。于是區(qū)域2中

5、任一點(diǎn)的電位和電位移矢量分別為：在分界面(R = R= R)上，應(yīng)滿足電位和電位移矢量法向分量相等的邊界條件：電介質(zhì)中的電場(chǎng)分布：點(diǎn)電荷對(duì)半無(wú)限大接地導(dǎo)體角域的鏡像由兩個(gè)半無(wú)限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角 為整數(shù)時(shí)，該角域中的點(diǎn)電荷將有有限個(gè)鏡像電荷，該角域中的場(chǎng)可以用鏡像法求解當(dāng)n=2時(shí)：該角域外有3個(gè)鏡像電荷q1、 q2和q3 ，位置如下圖。其中 當(dāng)n=3時(shí)：角域夾角為/n，n為整數(shù)時(shí)，有(2n1)個(gè)鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角分別為 n不為整數(shù)時(shí)，鏡像電荷將有無(wú)數(shù)個(gè)，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時(shí)，鏡像法亦不適用。角域外有5個(gè)鏡像電荷，大小和位置如下圖。所有鏡像電荷都正

6、、負(fù)交替地分布在同一個(gè)圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點(diǎn)，半徑為點(diǎn)電荷到頂點(diǎn)的距離。 6. 點(diǎn)電荷對(duì)導(dǎo)體球面的鏡像設(shè)一點(diǎn)電荷q位于半徑 a 為的接地導(dǎo)體球附近，與球心的距離為d，如下圖。待求場(chǎng)域?yàn)閞 a區(qū)域，邊界條件為導(dǎo)體球面上電位為零。設(shè)想在待求場(chǎng)域之外有一鏡像電荷q，位置如下圖。根據(jù)鏡像法原理， q 和 q在球面上的電位為零。點(diǎn)電荷與接地導(dǎo)體球周圍的電場(chǎng)aa在球面上任取一點(diǎn)c，那么空間任意點(diǎn) 的電位：導(dǎo)體球不接地：a a導(dǎo)體球不接地：根據(jù)電荷守恒定律，導(dǎo)體球上感應(yīng)電荷代數(shù)和應(yīng)為零，就必須在原有的鏡像電荷之外再附加另一鏡像電荷 q=q 球外任一點(diǎn)電位： 球面上任一點(diǎn)電位：為了保證球面為等位面的

7、條件，鏡像電荷q應(yīng)位于球心處 。例3： 有一接地導(dǎo)體球殼，內(nèi)外半徑分別為a1和a2，在球殼內(nèi)外各 有一點(diǎn)電荷q1和q2 ，與球心距離分別為d1和d2 ，如下圖。求：球殼外、球殼中和球殼內(nèi)的電位分布。球殼外：邊界為r = a2的導(dǎo)體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為球殼外區(qū)域任一點(diǎn)電位為 解：球殼內(nèi)：邊界為r = a1的導(dǎo)體球面，邊界條件為根據(jù)球面鏡像原理，鏡像電荷 的位置和大小分別為球殼內(nèi)區(qū)域任一點(diǎn)電位為 球殼中：球殼中為導(dǎo)體區(qū)域，導(dǎo)體為等位體，球殼中的電位為零。用鏡像法解題時(shí)，一定要注意待求區(qū)域及其邊界條件，對(duì)邊界以外的情況不予考慮。線電荷對(duì)導(dǎo)體圓柱面的鏡像待求區(qū)

8、域：邊界條件：柱面為等勢(shì)面設(shè)想鏡像線電荷 位于對(duì)稱面上，且與圓柱軸線距離為b，那么導(dǎo)體柱面上任一點(diǎn)的電位表示為其中：兩平行線電荷的電位分布在柱面上取兩個(gè)特殊點(diǎn)M和N，那么空間電位為：其中：帶有等量異號(hào)電荷的平行長(zhǎng)直導(dǎo)體圓柱間的鏡像設(shè)想將兩導(dǎo)體圓柱面上的電荷用兩根平行的線電荷等效，線電荷密度分別為 和 ，其位置如下圖。其等位面是許多圓柱面，假設(shè)讓其中兩個(gè)等位面分別與兩圓柱面重合，即滿足兩導(dǎo)體柱面為等位面的邊界條件。根據(jù)惟一性定理，待求區(qū)域中的場(chǎng)就由這兩個(gè)等效線電荷產(chǎn)生。兩電軸在空間產(chǎn)生的電位為等位面方程為通常把這兩個(gè)等效的線電荷稱為電軸，該方法也稱為電軸法五、別離變量法理論根底惟一性定理別離變量

9、法的主要步驟根據(jù)給定的邊界形狀，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，正確寫(xiě)出該坐標(biāo)系下拉普拉斯的表達(dá)式，及給定的邊界條件。經(jīng)變量別離將偏微分方程化簡(jiǎn)為常微分方程，并給出常微分方程的通解，其中含有待定常數(shù)。利用給定的邊界條件，確定通解中的待定常數(shù)，獲得滿足邊界條件的特解。直角坐標(biāo)系中二維拉普拉斯方程別離變量法本征方程的求解(1)當(dāng) 時(shí)本征函數(shù)本征方程本征值(2)當(dāng) 時(shí)，設(shè)或由本征方程為：那么：(3)當(dāng) 時(shí)，設(shè)由本征方程為：或那么：應(yīng)用疊加定理，可將三種解疊加組成拉普拉斯方程的通解三種解的特點(diǎn)：第一種解中，X(x)和Y(y)為常數(shù)或線性函數(shù)，說(shuō)明它們最多只有一個(gè)零點(diǎn)；第二種解中， X(x)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)，

10、Y(y)為雙曲函數(shù)，最多只有一個(gè)零點(diǎn)；第三種解中， X(x)為雙曲函數(shù)，最多有一個(gè)零點(diǎn)，而Y(y)為三角函數(shù)，有多個(gè)零點(diǎn)。解: 選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足二維拉普拉斯方程 邊界條件： 例5：一接地金屬槽如下圖，其側(cè)壁和底壁電位均為零，頂蓋與側(cè)壁絕緣，其電位為U0，求槽內(nèi)電位分布。設(shè) ，代入式(1) 中得:根據(jù)邊界條件(2)與(3)可知，函數(shù)X(x)沿x方向有兩個(gè)零點(diǎn)，因此X(x)應(yīng)為三角函數(shù)形式，又因?yàn)閄(0) =0，所以X(x)應(yīng)選取正弦函數(shù)，即由邊界條件(3)得：對(duì)應(yīng)的Y(y)函數(shù)為雙曲函數(shù)，且Y(0)=0，于是Y(y)的形式為此時(shí)，電位可表示為由邊界條件(5)知 其中：對(duì)上式兩邊同乘以

11、，再對(duì)x從0到a進(jìn)行積分，即滿足邊界條件的特解為：例6: 一矩形區(qū)域邊界條件如下圖，求區(qū)域內(nèi)的電位分布。解: 從圖可見(jiàn)，在 x=0 和 x=a 的兩個(gè)邊界上出現(xiàn)非零情況，將原問(wèn)題分解為如下圖兩種邊界條件情況。令(1)求 ：類似于“例5”求解過(guò)程， 形式為：由非零邊界條件確定那么：可見(jiàn)，當(dāng)m3時(shí)，當(dāng)m3時(shí)：(2)求 ：其解為：由非零邊界條件得那么：直角坐標(biāo)系中三維拉普拉斯方程別離變量法根據(jù)本征值的不同取值，可以得到類似于二維情況的解的形式。為了在給定邊界條件下，選取適當(dāng)?shù)耐ń夂瘮?shù)形式，教材表4-5中給出了一些 的典型組合。表中 和 是由邊界條件確定的實(shí)數(shù)。解: 選直角坐標(biāo)系，電位函數(shù)滿足三維拉普

12、拉斯方程及邊界條件例7: 求圖示長(zhǎng)方形體積內(nèi)的電位函數(shù)。由邊界條件可以判斷，特征函數(shù)可表示為：由邊界條件可得：電位函數(shù)可表示為：由本征值關(guān)系可得：那么：最后，由最后一個(gè)邊界條件得：上式兩端同乘以 ，并對(duì)x, y積分，利用三角函數(shù)正交性可得：于是所求的電位函數(shù)為：3. 圓柱坐標(biāo)系中的別離變量法 該方程的解常用的有四種情況該方程的解有兩種情況該方程的解有三種情況 的解：(1) 當(dāng)時(shí)，(2) 當(dāng)時(shí)，由于，限定了n必須為正整數(shù)。 ，(2) 當(dāng)時(shí)，設(shè) 為任意非零實(shí)數(shù)。(3) 當(dāng) 時(shí)，設(shè)，為任意非零實(shí)數(shù)。時(shí)，(1) 當(dāng) 的解: 的解(1)當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)為零階貝塞爾方程，其解的形式為(2)當(dāng)時(shí)，方程化簡(jiǎn)為歐拉方程，其解的形式為(3)當(dāng)時(shí)，方程的解為(4) 當(dāng)時(shí)，方程的解為n階貝塞爾方程例8：在一均勻電場(chǎng)中，放置一無(wú)限長(zhǎng)的圓柱導(dǎo)體，圓柱的軸線與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向垂直，如下圖，求放入圓柱導(dǎo)體后的電場(chǎng)分布。解：按題意應(yīng)選用圓柱坐標(biāo)系。導(dǎo)體為等位體，導(dǎo)體內(nèi)部不存在電場(chǎng)，因而根據(jù)題意可確定，的形式為當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的形式為于是，電位的形式為：放置圓柱導(dǎo)體之后，使均勻場(chǎng)發(fā)生畸變，但遠(yuǎn)離導(dǎo)體的地方，電場(chǎng)仍然保持均勻狀態(tài)。由 得相應(yīng)的電位函數(shù)為：未放置圓柱導(dǎo)體前，空間電場(chǎng)為均勻場(chǎng)比較上兩式可知，當(dāng)時(shí)，