2.1 合情推理與演繹推理1

1、PAGE PAGE 6合情推理教學目標結(jié)合已學過的數(shù)學實例和生活中的實例，了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進行簡單的推理，體會并認識合情推理在數(shù)學發(fā)現(xiàn)中的作用教學重點，難點歸納推理和類比推理的特點及其創(chuàng)新性和不嚴謹性教學過程 我們生活中有很多諺語，特別是關于農(nóng)耕的，例如“瑞雪兆豐年”“邋遢冬至干凈年”，以及一些看云識天氣的方法，這些都是我們的祖先根據(jù)多年的觀察總結(jié)歸納出來的經(jīng)驗這些經(jīng)驗就是人們根據(jù)長期的實踐經(jīng)驗進行歸納的結(jié)果.農(nóng)民觀察天氣，生物學家會去觀察鳥類，心理學家會去觀察行為和表情，比如說你們也會觀察，總結(jié)出我上課寫在黑板右側(cè)的總是錯的，或者我微微一笑，說明接下來就是一個具有挑戰(zhàn)性的

2、問題當然一個對數(shù)學感興趣的數(shù)學家就會去觀察一些數(shù)字一問題情境數(shù)學教育家G波利亞在其名著數(shù)學與猜想中對哥德巴赫猜想的推理過程進行了模擬演示：首先，波利亞說明：歸納法常常從觀察開始一個生物學家會觀察鳥類的生活，一個晶體學家會觀察晶體的形狀，一個對數(shù)論有興趣的數(shù)學家會觀察整數(shù)1,2,3,4,5,的性質(zhì)這一段敘述說明：歸納從觀察開始，而觀察要有歸納的動因，即要有感興趣、需研究的問題，歸納推理研究問題、發(fā)現(xiàn)規(guī)律的手段接著，波利亞說：假如你想要觀察鳥的生活并有可能獲得有益的結(jié)論的話，那么你就應當對鳥稍有熟悉，對鳥感興趣，甚至你應當喜歡鳥同樣，假如你要考察數(shù)，你就應當對它們感興趣，并且對它們頗為熟悉，你應當

3、會區(qū)別偶數(shù)和奇數(shù)，你應當知道平方數(shù)1,4,9,14,25,以及素數(shù)2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,這里，波利亞想要傳達的意思是：對你感興趣的問題你還需要對相關的知識有一定的了解，也即應該從你對這一課題中已經(jīng)熟悉的、掌握的內(nèi)容開始你的探究波利亞又說：即使只有這一點樸素的知識，你也可能觀察到一些東西比方說你可能會碰到這樣幾個關系：371031720131730并注意到它們之間的類似之處它會使你想到：3,7,13,和17都是奇素數(shù)，10,20,30都是偶數(shù)這三個偶數(shù)都能夠表示為兩個奇素數(shù)之和，那么其他偶數(shù)又怎么樣呢？上述過程說明了歸納推理的非常重要的特征：從特殊情形開始，并且所有

4、的特殊情形都要具有類似之處，這個類似之處正是歸納發(fā)現(xiàn)的基礎波利亞接著說：那么其他偶數(shù)又怎么樣呢？它們也有類似的性質(zhì)嗎？當然頭一個等于兩個奇素數(shù)之和偶數(shù)是633看看超過6的數(shù)，我們發(fā)現(xiàn)8351037551257143117716313511這樣下去總是對的嗎？波利亞想告訴我們的是，對從幾個特殊情形經(jīng)過歸納推理得到的結(jié)果不能輕信，需要進一步驗證只有在較多的歸納檢驗證實的基礎上得到的結(jié)論才能使我們更有信心最后，波利亞說：無論如何，所看到的這些個別情況，至少可以啟發(fā)我們提出一個一般性的命題：任何一個大于4的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)的和至此，實現(xiàn)了歸納推理的目標：一個一般性的結(jié)論（猜想）當然，波利亞還進一步說

5、明了證明的必要性從波利亞的這個案例我們可以發(fā)現(xiàn)，對歸納推理的教學應該突出說明以下幾點：1、要使學生認識到歸納推理不是盲目的、毫無目的的嘗試，科學發(fā)現(xiàn)更不是純屬偶然的巧合，必須有一定的內(nèi)因的驅(qū)動和信念的支撐2、歸納推理的三個特點：從特殊開始的推理；由歸納推理得到的結(jié)論僅僅“似真”；歸納推理是一種創(chuàng)造性的推理3、歸納推理的思維規(guī)程大致為：猜測一般性結(jié)論概括、推廣實驗、觀察【活動一】1觀察下列等式，從中可以得出怎樣的一般規(guī)律？猜想：任何一個正整數(shù)都能表示為四個數(shù)的平方和2在數(shù)列中，通過計算，試猜想這個數(shù)列的通項公式猜想3前個正整數(shù)的和為，前個正整數(shù)的平方和1234561361015211514305

6、591從表中發(fā)現(xiàn)，于是猜想 歸納推理要具備下述幾個要素：1多個特例綜合分析；特例共性的發(fā)現(xiàn)：要存在某種相似性；共性的概括：猜想歸納推理需要大量的原始數(shù)據(jù)，這是一個漫長的過程，在大數(shù)據(jù)時代，電腦已部分取代了這個過程，例如分析你的上網(wǎng)數(shù)據(jù)，分析你的喜好進行廣告推送但我們還有另外一種常用的推理方法在高中數(shù)學學習中，指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的類比，等差數(shù)列和等比數(shù)列的類比，平面幾何和立體幾何的類比，圓和橢圓和雙曲線拋物線的類比，實數(shù)與虛數(shù)的類比等（G.波利亞的類比）類比實數(shù)的加法與乘法，并列出它們類似的性質(zhì)在實數(shù)的加法與乘法之間，可以建立如下的對應關系：加（） 乘（）加數(shù)、被加數(shù) 乘數(shù)、被乘數(shù)和 積等等，它

7、們具有下列類似的性質(zhì)：加法的性質(zhì)乘法的性質(zhì)試將平面上的圓與空間的球進行類比圓的定義：平面內(nèi)到一個定點的距離等于定長的點的集合球的定義：到一個定點的距離等于定長的點的集合圓 球弦 截面圓直徑 大圓周長 表面積圓面積 球體積圓的性質(zhì)球的性質(zhì)圓心與弦(不是直徑)的中點的連線垂直于弦球心與截面圓(不是大圓)的圓點的連線垂直于截面圓與圓心距離相等的兩弦相等；與圓心距離不等的兩弦不等，距圓心較近的弦較長與球心距離相等的兩截面圓相等；與球心距離不等的兩截面圓不等，距球心較近的截面圓較大圓的切線垂直于過切點的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點球的切面垂直于過切點的半徑；經(jīng)過球心且垂直于切面的直線必經(jīng)過

8、切點經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心經(jīng)過切點且垂直于切面的直線必經(jīng)過球心例如三角形的性質(zhì)可以往幾個方向類比：一般化為四邊形，特殊化為正三角形，升維度為三棱錐，改平面為曲面等【活動二】1選兩個相關知識進行類比2已知圓的方程是，則過圓上一點的切線方程為猜想新命題：1類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關系就越相關，從而類比得出的結(jié)論就越可靠2類比推理的一般步驟：（1）找出兩類事物之間的相似性或者一致性（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）【活動三】1設,為實數(shù)，滿足，求的最大值解：設，

9、則，即，將，兩式相加得根據(jù)以上解答過程進行類比，嘗試解決下題：設,為實數(shù)，滿足，求的最大值（2010年江蘇高考第13題）設，由此可以求出，而2010江蘇高考數(shù)學卷中的題目就體現(xiàn)出多種形式的類比思想。例如：（1）“題目內(nèi)容”類比解答第12題與蘇教版必修5第11頁第3題基本類似（2）“提問形式”類比解答題第18題第3問定點問題已在江蘇高考中連續(xù)3年出現(xiàn)，但問法又有一點點不同，從證明圓過定點到求定點坐標，再到直線過軸上一定點，提法略有不同，解法基本相同（3）“新舊知識”類比解答題第20題是典型的信息題，這種類型在高考中特別是上海的高考中較為常見，有利于學生拓寬視野，開放思想（4） “解題方法”類比關

10、于方法的類比事實上是高考中的重點，為了摒棄“題型+方法”的傳統(tǒng)教育方式，江蘇省的命題專家可謂費盡心思，像前文中講述過的填空第13題就非常好2前個正整數(shù)的和為，前個正整數(shù)的平方和，左右兩邊相加，得，消去等號兩邊的，得既然能用上面方法求出，那么是否可以用類似的方法求出？左右兩邊分別相加，得由此知上面的案例說明：（1）數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動時一個探索創(chuàng)造的過程這是一個不斷地提出猜想、驗證猜想的過程合情推理和演繹推理相輔相成，互相為用，共同推動著發(fā)現(xiàn)活動的進程（2）合情推理是富于創(chuàng)造性的或然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它為演繹推理確定了目標和方向，具有提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、提供思路的作用（3）演繹推理是形式化程度較高的必然推理，在數(shù)學發(fā)現(xiàn)活動中，它具有類似于“實驗”的功能，它不僅為合情推理提供了前提，而且可以對猜想作出“判斷”和證明，從而為調(diào)控探索活