第7章_梁的彎曲變形(共33頁)

1、第7章 梁的彎曲(wnq)變形(bin xng)與剛度7.1 梁彎曲(wnq)變形的基本概念撓度在線彈性小變形條件下，梁在橫力作用時將產生平面彎曲，則梁軸線由原來的直線變?yōu)榭v向對稱面內的一條平面曲線，很明顯，該曲線是連續(xù)的光滑的曲線，這條曲線稱為梁的撓曲線（圖7-2）。梁軸線上某點在梁變形后沿豎直方向的位移（橫向位移）稱為該點的撓度。在小變形情況下，梁軸線上各點在梁變形后沿軸線方向的位移（水平位移）可以證明是橫向位移的高階小量，因而可以忽略不計。圖7-2 梁的撓曲線撓度 圖7-3 梁的轉角轉角切線撓曲線的曲線方程： （7-1）稱為撓曲線方程或撓度函數。實際上就是軸線上各點的撓度，一般情況下規(guī)定

2、：撓度沿軸的正向（向上）為正，沿軸的負向（向下）為負（圖7-4）。必須注意，梁的坐標系的選取可以是任意的，即坐標原點可以放在梁軸線的任意地方，另外，由于梁的撓度函數往往在梁中是分段函數，因此，梁的坐標系可采用整體坐標也可采用局部坐標。轉角梁變形后其橫截面在縱向對稱面內相對于原有位置轉動的角度稱為轉角（圖7-3）。轉角隨梁軸線變化的函數： （7-2）稱為轉角方程或轉角函數。由圖7-3可以看出，轉角實質上就是撓曲線的切線與梁的軸線坐標軸的正方向之間的夾角。所以有：,由于梁的變形是小變形，則梁的撓度和轉角都很小，所以和是同階小量，即：，于是有： （7-3）即轉角函數等于(dngy)撓度函數對的一階導

3、數。一般(ybn)情況下規(guī)定：轉角逆時針轉動時為正，而順時針轉動時為負（圖7-4）。需要注意，轉角函數和撓度(nod)函數必須在相同的坐標系下描述，由式（7-3）可知，如果撓度函數在梁中是分段函數，則轉角函數亦是分段數目相同的分段函數。圖7-4 梁的撓度和轉角的符號(a) 正的撓度和轉角(b) 負的撓度和轉角梁的變形材料力學中梁的變形通常指的就是梁的撓度和轉角。但實際上梁的撓度和轉角并不是梁的變形，它們和梁的變形之間有聯(lián)系也有本質的差別。如圖7-5（a）所示的懸臂梁和圖7-5（b）所示的中間鉸梁，在圖示載荷作用下，懸臂梁和中間鉸梁的右半部分中無任何內力，在第二章曾強調過：桿件的內力和桿件的變形

4、是一一對應的，即有什么樣的內力就有與之相應的變形，有軸力則桿件將產生拉伸或壓縮變形，有扭矩則桿件將產生扭轉變形，有剪力則桿件將產生剪切變形，有彎矩則桿件將產生彎曲變形。若無某種內力，則桿件也沒有與之相應的變形。因此，圖示懸臂梁和中間鉸梁的右半部分沒有變形，它們將始終保持直線狀態(tài)，但是，懸臂梁和中間鉸梁的右半部分卻存在撓度和轉角！ 事實上，材料力學中所說的梁的變形，即梁的撓度和轉角實質上是梁的橫向線位移以及梁截面的角位移，也就是說，撓度和轉角是梁的位移而不是梁的變形?；叵肜瓑簵U以及圓軸扭轉的變形，拉壓桿的變形是桿件的伸長，圓軸扭轉變形是截面間的轉角，它們實質上也是桿件的位移，是拉壓桿一端相對于另

5、一端的線位移，而是扭轉圓軸一端相對于另一端的角位移，但拉壓桿以及圓軸扭轉的這種位移總是和其變形共存的，即只要有位移則桿件一定產生了變形，反之只要有變形就一定存在這種位移（至少某段桿件存在這種位移）。但梁的變形與梁的撓度和轉角之間就不一定是共存的，這一結論可以從上面對圖7-5（a）所示的懸臂梁和圖7-5（b）所示的中間鉸梁的分析得到。(a) 懸臂梁的變形(b)中間鉸梁的變形圖7-5 撓度和轉角實質上是梁的位移無變形無變形實際上，圖示懸臂梁和中間鉸梁右半部分(b fen)的撓度和轉角是由于梁左半部分的變形引起的，因此可得如下結論：梁（或梁段）如果存在(cnzi)變形，則梁（或梁段）必然(brn)存

6、在撓度和轉角。梁（或梁段）如果存在撓度和轉角，則梁（或梁段）不一定存在變形。所以，梁的變形和梁的撓度及轉角有聯(lián)系也存在質的差別。7.2 撓曲線的近似微分方程在上一章曾得到梁變形后軸線的曲率方程為：高等數學中，曲線的曲率公式為： 由于梁的變形是小變形，既撓曲線僅僅處于微彎狀態(tài)，則其轉角，所以，撓曲線的曲率公式可近似為： 上章也分析了曲率的正負號的問題，結論是變形后梁軸線曲率的正負號與梁彎矩的正負號一致。因此綜合上列幾式有： （7-4）上式稱為撓曲線的近似微分方程。其中，是梁截面對中性軸的慣性矩。根據式（7-4），只要知道了梁中的彎矩函數，直接進行積分即可得到梁的轉角函數以及撓度函數，從而可求出梁

7、在任意位置處的撓度以及截面的轉角。7.3 積分法計算(j sun)梁的變形根據梁的撓曲線(qxin)近似微分方程式（7-4），可直接進行(jnxng)積分求梁的變形，即求梁的轉角函數和撓度函數。下面分兩種情況討論。7.3.1 函數在梁中為單一函數此時被積函數在梁中不分段（圖7-6）。則可將撓曲線近似微分方程式（7-4）兩邊同時積分一次得到轉角函數，然后再積分一次得到撓度函數，注意每次積分均出現一待定常數。所以有：圖7-6被積函數在梁中為單一函數梁 （7-5）其中，是待定常數，可見，轉角函數和撓度函數在梁中也是單一函數。 積分常數可由梁的支承條件（又稱為約束條件或邊界條件）確定。常見的梁的支承條

8、件如下。固定鉸支承： 移動鉸支承： 固定端支承： 彈簧(tnhung)支承：彈簧 為彈簧(tnhung)系數拉桿(lgn)支承： 拉桿 為拉桿伸長量梁支承： 支承梁 為支承梁在點的撓度一般情況下，梁的支承條件有兩個，正好可以確定積分常數和。7.3.2 函數在梁中為分段函數此時被積函數在梁中分若干段（圖7-7）。則在每個梁段中將撓曲線近似微分方程式（7-4）兩邊同時積分一次得到該段梁的轉角函數，然后再積分一次得到該段梁的撓度函數，注意每段梁有兩個待定常數，一般情況下各段梁的積分常數是不相同的。所以有：圖7-7 被積函數在梁中為分段函數梁 （7-6）可見，梁的轉角函數和撓度函數在梁中也是分段函數。

9、假設(jish)梁分為段（圖7-7），稱為(chn wi)梁的分段點，則共有個積分(jfn)常數，梁的支承條件有兩個，另外，梁變形后軸線是光滑連續(xù)的，這就要求梁的轉角函數以及撓度函數在梁中是連續(xù)的函數。這個條件稱為梁的連續(xù)性條件。因此，可列出除梁約束點外其它分段點的連續(xù)性條件為： （7-7）共有個方程，加上梁的兩個支承條件，則可確定個積分常數，從而即可求得各段梁的轉角函數以及撓度函數。注意，積分法求分段梁的變形時，可以采用局部坐標系進行求解，相應的彎矩函數，抗彎剛度以及支承條件和連續(xù)性條件都必須在相同的局部坐標系下寫出。一些常見梁的轉角函數與撓度函數以及其在特殊點的值見附錄B。例7-1 如圖7

10、-8所示，懸臂梁下有一剛性的圓柱，當至少為多大時，才可能使梁的根部與圓柱表面產生貼合？當足夠大且已知時，試確定梁與圓柱面貼合的長度。圖7-8 例7-1圖(a)(b)解：欲使梁的根部與圓柱面貼合，則梁根部的曲率半徑應等于圓柱面的半徑（圖7-8（a），所以有： 得： 這就是梁根部與圓柱面貼合的最小載荷。如果： 則梁有一段是與圓柱面貼合的，假設貼合的長度為，那么貼合點處的曲率半徑也應等于圓柱面的半徑（圖7-9（b），所以有：例7-2 梁以拉桿(lgn)支承(zh chn)，載荷及尺寸如圖7-9（a）所示。已知梁的抗彎剛度(n d)為，拉桿的抗拉剛度為，試求梁中點的撓度以及支座處的轉角。圖7-9 例7

11、-2圖(a)(b)解：（1）求支反力和彎矩函數由于梁是載荷對稱梁，所以處的支反力和處拉桿的拉力是相等的，為：建立圖7-9（a）所示的坐標系，則梁中的彎矩函數函數為：（2）求轉角函數和撓度函數（3）確定積分常數約束條件為： 代入撓度函數表達式得： 于是轉角函數和撓度函數為：（3）求梁中點的撓度以及支座處的轉角梁中點的撓度為： 支座處的轉角：例7-3 如圖7-10所示階梯狀懸臂梁，在自由(zyu)端受集中力作用(zuyng)，梁長度及抗彎剛度如圖示，試求自由端的撓度以及(yj)梁中點截面的轉角。圖7-10 例7-3圖(a)階梯狀梁(b)梁的分段圖解：（1）求梁的彎矩函數建立圖7-10（a）所示的坐

12、標系，由截面法可求得梁中的彎矩函數為：由于梁分為兩段，則兩段梁的被積函數分別為： （2）求轉角函數和撓度函數轉角函數：撓度函數：（3）確定積分常數約束條件： 根據梁的分段圖可見： 連續(xù)性條件： 所以，梁的轉角函數和撓度函數為：（4）求自由端的撓度以及梁中點截面(jimin)的轉角由梁的分段圖，自由(zyu)端的撓度為：梁中點截面(jimin)的轉角為：因梁軸正方向是向左的，因此轉角為正的時候是順時針轉角。7.4 梁彎曲變形的一些重要特性影響梁內力、應力及變形的因素梁的內力只與作用于梁上的載荷（包括支反力）有關，而與梁材料的力學性能、梁的幾何形狀以及約束類型無關。相同長度的梁只要其受力（包括支反

13、力）情況相同，則其內力是完全一樣的。根據梁的正應力公式和切應力公式可知，在線彈性小變形條件下，梁的應力除了與梁的受力情況（包括支反力）有關外，還與梁的截面形式和形狀有關，如果截面不具有左右對稱軸，梁通常將產生組合變形，而梁的應力與梁材料的種類以及梁的約束情況無關，即當作用于梁上的外力（包括支反力）和梁截面的幾何形狀和尺寸相同時，則在線彈性小變形條件下，無論梁約束類型如何，梁材料是什么材料，梁的應力是完全相同的。從積分法計算梁變形的基本公式7-5及7-6可知，梁的變形也即梁的轉角和撓度與梁的受力情況、梁材料的力學性能、梁截面的幾何形狀和尺寸以及梁的約束情況均有關系。因此，工程中梁的剛度受諸多因素

14、的影響。載荷與梁的內力及變形的關系梁上的載荷與梁的內力及變形的關系見表7-1。表7-1載荷與梁的內力及變形的關系剪力彎矩轉角撓度集中力F集中力偶m分布載荷q不受影響其中(qzhng)，為梁的特征(tzhng)長度，等為作用(zuyng)于梁上的特征載荷，為梁的抗彎剛度。梁與剛性地基或平臺的接觸問題當梁有一段與剛性地基或平臺接觸時，梁的內力以及變形有一些非常重要的性質。如圖7-11（a）所示，一很長的梁置于剛性地基或平臺上，在梁的某一點用力將梁提起一段（圖7-11（b），一般情況下需要考慮梁的自重，下面分析梁的內力和變形特點。圖7-11 剛性地基或平臺上的梁(a)(b)(c)(d)假設梁單位長度

15、的重量為，梁的段從剛性地基或平臺上被提起，梁與剛性地基或平臺的接觸點為點，顯然點無橫向位移，而且梁的截面也無轉動，亦即，因此，梁段的端可簡化成固定端（圖7-12（c），也可簡化為轉角為零的簡支端（圖7-11（d）。又因留置于剛性地基或平臺(pngti)上的梁段始終保持為直線，其軸線上任何一點的曲率半徑為無窮大，由于梁軸線(zhu xin)的連續(xù)和光滑性，接觸點點的曲率半徑(bnjng)也是無窮大，所以根據曲率公式，則梁的截面上的彎矩應等于零，即。結論：當梁有一段與剛性地基或平臺接觸時，則接觸點處一般可簡化為彎矩為零的固定端，也可簡化為轉角為零的簡支端。 圖7-12是幾種常見接觸問題的簡化模型。

16、圖7-12 幾種常見接觸問題的簡化模型(a)(b)(c)對稱梁與反對稱梁問題在梁的內力部分曾介紹過載荷對稱梁和載荷反對稱梁的內力特點，這里所說的是嚴格意義上的對稱梁與反對稱梁，既如果梁上作用的載荷對稱，梁的約束也對稱，則梁稱為對稱梁（圖7-13）；如果梁上作用的載荷反對稱，梁的約束也反對稱，則梁稱為反對稱梁（圖7-14）。對稱梁和反對稱梁是載荷對稱梁和載荷反對稱梁的特殊情況，因此，其內力特點是：對稱梁的剪力圖是反對稱圖形，而彎矩圖是對稱圖形；反對稱梁的剪力圖是對稱圖形，而彎矩圖是反對稱圖形。顯然對稱梁的變形是對稱的，而反對稱梁的變形是反對稱的。圖7-13 對稱梁 圖 7-14 反對稱梁觀察(g

17、unch)圖7-15（a）所示的對稱(duchn)梁的變形，根據對稱性，梁中間截面變形后仍然處于豎直(sh zh)狀態(tài)，即其轉角為零（7-15（b）。另外，從中間截面將梁截開，截面上的受力情況如圖7-15（c）所示，根據對稱性，只有中間截面上的剪力為零梁才對稱。因此，可得如下結論： 對稱梁中間截面的轉角為零，若梁中點無集中力作用時，中間截面上的剪力為零。即：，。 對稱梁從中點截開后，中點可簡化為定向鉸支座（7-15（d）。 對稱梁如果中點受有集中力作用，則梁從中點截開后，集中力可平分到左右梁上（圖7-16）。圖 7-15 對稱梁中點的內力和變形特點(a)(b)(c)(d)圖7-16 對稱梁中點

18、集中力的處理(a)(b)(c)觀察圖7-17（a）所示的反對稱梁的變形，根據反對稱性，梁中間點變形后不動，即其撓度為零（7-17（b）。另外，從中間截面將梁截開，截面上的受力情況如圖7-17（c）所示，根據反對稱性，只有中間截面上的彎矩為零梁才反對稱，因此，可得如下結論： 反對(fndu)稱梁中點(zhn din)的撓度為零；若梁中點(zhn din)無集中力偶作用時，中間截面上的彎矩為零。即：，。 反對稱梁從中點截開后，中點可簡化為移動鉸支座（7-17（d）。 反對稱梁如果中點受有集中力偶作用，則梁從中點截開后，集中力偶可平分到左右梁上（圖7-18）。圖7-17 反對稱梁中點的內力和變形特點

19、(a)(b)(c)(d)圖7-18 反對稱梁中點集中力偶的處理(a)(b)(c)更進一步，復雜的對稱結構和反對稱結構中點截面的內力及位移也具有與對稱梁和反對稱梁類似的性質。在梁的內力一章介紹過內力的物理性質，即相對于截面來說，剪力是反對稱的物理量，而彎矩是對稱的物理量。如果截面上還存在扭矩和軸力，情況又將怎樣呢？如圖7-19所示，如果桿件截面上存在四種內力，很明顯有下述結論：相對于截面來說，軸力和彎矩是對稱的物理量，而剪力和扭矩是反對稱的物理量。關于復雜的對稱結構和反對稱結構的問題在能量法一章中介紹，這里不多贅述。圖7-19 桿件內力的對稱性和反對稱性 另外(ln wi)，如圖7-20所示，如

20、果(rgu)結構(jigu)的約束既是對稱也是反對稱的約束時，則當其受任意載荷作用時，總可以分解為一個對稱結構和一個反對稱結構的疊加。這一結論是材料力學問題應用疊加原理的一個非常重要的結論，在處理一些復雜結構時有很重要的應用。圖 7-20 結構分解為對稱結構和反對稱結構的疊加(a)(b)例7-4 如圖7-21所示的懸臂梁，梁截面為矩形截面，試問：（1）當梁的高度增大一倍而其它條件不變時，則梁中最大正應力減小了多少？最大撓度減小了多少？（2）如果只是梁的寬度增大一倍，結果如何？（3）當梁的長度增加一倍而其它條件不變時，結果又如何？圖 7-21 例7-4圖解：梁的最大彎矩在固定端，而最大撓度在梁的

21、自由端。原梁的最大正應力為：最大撓度由表7-1可知，有： 即：當梁的高度增大一倍而其它條件不變時，最大正應力為： 即梁中的最大正應力減小到原來的四分之一，減小了最大撓度(nod)為：即梁的最大撓度減小到原來(yunli)的八分之一，減小了。當只是梁的寬度(kund)增大一倍時，最大正應力為：即梁中的最大正應力減小到原來的二分之一，減小了最大撓度為：即梁的最大撓度也減小到原來的一半，減小了。當梁的長度增大一倍而其它條件不變時，即梁中的最大正應力增大到原來的兩倍。最大撓度為：即梁的最大撓度增大到原來的8倍。例7-5 如圖7-22（a）所示，一長梁置于剛性平臺上，梁單位長度的重量為，伸出平臺的部分長

22、度為，梁截面為的矩形截面，今在梁端用力將梁提起，求梁中的最大正應力。圖7-22 例7-5圖(a)(b)(C)(d)解：如圖7-22（b）所示，假設梁與平臺的接觸點為點，從平臺上提起的長度為。則梁段可簡化為圖7-22（c）所示的懸臂梁。根據：有：梁中的剪力函數和彎矩函數分別為： 由有： 所以，最大彎矩在梁中間(zhngjin)截面上，也即在平臺邊緣(binyun)的截面上，為；所以(suy)梁中的最大正應力為：例7-6 計算圖7-23（a）所示梁中點的撓度和轉角，梁的抗彎剛度為。圖 7-23 例7-6圖(a)(b)(c)(d)解：圖7-23（a）所示梁可分解成圖7-23（b）和圖7-23（c）所

23、示的對稱梁和反對稱梁的疊加。因對稱梁中點截面的轉角為零，而反對稱梁中點的撓度為零。所以，原梁中點的撓度就是圖7-23（b）所示對稱梁中點的撓度，該梁是受均布載荷作用的簡支梁，查附錄2，可得該梁中點的撓度為： （向下）此即原梁中點的撓度。原梁中間截面的轉角就是圖7-23（c）所示反對稱梁中點的轉角，由于反對稱梁中點的撓度為零，中間截面的彎矩為零，所以，將梁從中點截開后，中點相當于一個移動鉸支座，故圖7-23（c）所示反對稱梁的左半部相當于受均布載荷作用的簡支梁，如圖7-23（d）所示，其點的轉角就是反對稱梁中間截面的轉角，也即是原梁中間截面的轉角。查附錄2，可得點的轉角為： （逆時針）此即原梁中

24、間截面的轉角。例7-7 計算(j sun)圖7-24（a）所示梁中點的撓度(nod)和支座處截面(jimin)的轉角，梁的抗彎剛度為。圖7-24 例7-7圖(a)(b)(c)(d)解：圖7-24（a）所示梁可分解成圖7-24（b）和圖7-24（c）所示的對稱梁和反對稱梁的疊加。因反對稱梁中點的撓度為零，所以原梁中點的撓度就是圖7-24（b）所示對稱梁中點的撓度，該梁是受均布載荷作用的簡支梁，查附錄2，可得該梁中點的撓度為：（向下）此即原梁中點的撓度。原梁在支座處截面的轉角等于圖7-24（b）和圖7-24（c）所示的對稱梁和反對稱梁在處轉角和的疊加， 圖7-24（b）所示的對稱梁在處的轉角查附錄

25、2可得： （逆時針）由于反對稱梁的中點相當于一個移動鉸支座，故圖7-24（c）所示反對稱梁的右半部相當于受三角分布載荷作用的簡支梁，實際上就是將原梁的載荷和梁長縮小一半的情況，如圖7-24（d）所示。假設原梁在支座處截面的轉角為，而圖7-24（d）所示梁在支座處截面的轉角為。根據表7-1有： 若：（逆時針） ，為比例常數，則有：由于：所以：（逆時針）7.5 疊加法計算(j sun)梁的變形用積分法計算梁的變形是相當煩瑣的，特別是梁分段很多的情況下，需要用截面法寫出各段梁的彎矩函數，還需要確定出各段梁的積分常數，這一過程十分復雜和煩瑣。因此，有必要(byo)尋求更簡單的方法計算梁的變形，在工程中

26、，很多時候并不需要求出整個梁的轉角函數和撓度函數，而是只需要求出某些特殊點處的轉角(zhunjio)和撓度，也即往往只需要求出梁中最大的轉角和撓度，也就可以進行梁的剛度計算了。所以，下面介紹的疊加法就是一種計算梁某些特殊點處的轉角和撓度的簡便方法。疊加原理：在線彈性小變形條件下，任何因素引起的結構中的內力、應力和應變以及變形和位移等都是可以疊加的。這一原理稱為線彈性體的疊加原理。如圖7-25所示的桿件結構系統(tǒng)，在任何因素影響下，只要滿足線彈性小變形條件，則結構中的內力，應力以及變形等就等于每種因素在結構中引起的內力，應力以及變形的疊加。即： （7-8）圖7-25 線彈性小變形桿件結構系統(tǒng)材料力

27、學的研究對象是桿件或桿件結構系統(tǒng)，所以材料力學中主要考慮的問題是桿件的內力、應力以及變形等的疊加問題，而所考慮的影響因素主要是機械載荷以及結構支承等因素，也涉及少量的溫度應力問題。本教材對疊加原理不予證明，讀者可參閱相關教材和專著?；诏B加原理，疊加法計算梁變形的原理是：在線彈性小變形條件下，任何因素引起的梁的變形（也即轉角和撓度）都是可以疊加的。即： （7-9）疊加法是計算結構特殊點處轉角和撓度的簡便方法，其先決條件是必須預先知道一些簡單梁的結果。附錄B給出的就是一些常見和簡單梁的轉角和撓度計算公式。疊加法的主要操作手段或技巧(jqio)是：將實際情況(qngkung)下的梁分解(fnji)

28、或簡化為若干簡單梁的疊加。 常見情況疊加法的應用下面就一些常見的引起梁變形的因素以實例的形式應用疊加法計算梁在一些特殊點處的轉角或撓度。(1) 多個載荷作用在梁上的情況此種情況下只需將每個載荷引起的梁的變形進行疊加即可。例7-8 求圖7-26（a）所示梁中點的撓度，梁的抗彎剛度為。(a)(b)(c)(d)圖 7-26 例7-8圖解：原梁可分解為圖7-26（b），（c），（d）所示三個簡單梁的疊加，每根梁只有單一的載荷作用。下面分別計算各梁在中點處的撓度。圖7-26（b）所示梁在中點的撓度就是簡支梁受均布載荷的情況，由附錄B可查得： （向下） 圖7-26（c）所示梁，無論集中力偶作用在外伸段的什

29、么地方，其在梁中點產生的撓度都是相同的。所以圖7-26（c）所示梁在中點的撓度就是簡支梁在支座處受集中力偶作用的情況，由附錄B可查得： （向下） 圖7-26（d）所示梁，計算梁中點的撓度時，可將外伸端的集中力等效移動到支座處，而作用在支座處的集中力不會引起梁的變形，所以圖7-6（d）所示梁在中點的撓度就是簡支梁在支座處受集中力偶作用的情況，由附錄B可查得：（向上(xingshng)） 由疊加法，原梁在中點(zhn din)的撓度為：（向下(xin xi)）例7-9 如圖7-27(a)所示簡支梁受均布載荷作用，梁與其下面的剛性平臺間的間隙為，梁的抗彎剛度為，求梁與剛性平臺的接觸長度以及梁支座處的

30、支反力。圖 7-27 例7-9圖（a）（c）（b）解：由附錄B，簡支梁受均布載荷作用時，梁中點的撓度最大且為：所以，當也即載荷 時，梁最多只有中點與剛性平臺接觸，此時梁與剛性平臺的接觸長度為零，而支座處的支反力為。當也即時，梁將有一段與剛性平臺接觸，假設接觸點為點，接觸長度為，根據對稱性，對稱，其到左右支座的距離均為。根據前述接觸問題的分析，考慮段梁，其相當于一懸臂梁受均布載荷和自由端受集中力作用的情況，如圖7-27（b）（c）所示，且有條件： （向上）因： 得： 由附錄(fl)B，懸臂梁受均布載荷和自由端集中力作用時，自由端的(dund)撓度可由疊加法得： 所以(suy)有： 于是，梁與剛性

31、平臺的接觸長度為：梁支座處的支反力為：(2) 梁支承為彈性支承的情況 當梁的支承為彈性支承時，梁在支承點將存在位移。此種情況下應將彈性支座移動引起的梁的轉角和撓度與載荷所引起的梁的轉角和撓度進行疊加。例7-10 求圖7-29（a）所示梁中點的撓度和支座處的轉角，梁的抗彎剛度為，彈簧系數為。圖7-29 例7-10圖(a)(b)(c)解：梁的變形可認為是分兩步完成的（圖7-29（b），第一步是支座產生一個豎向位移，從而引起了梁中點的撓度為（向下），同時還引起了梁所有截面轉動一個角度（順時針）；第二步是載荷引起梁中點的撓度為，梁支座處的轉角分別為，。因此，原梁可以看成如圖7-29（c）所示的兩梁的疊

32、加，即支座存在豎向位移的無載荷空梁和在中點受集中力作用的簡支梁疊加。梁的支反力為：空梁：支座的豎向位移（向下）梁中點的撓度(nod)為（向下(xin xi)）梁支座(zh zu)處的轉角為：（順時針）簡支梁：梁中點的撓度為：（向下）梁支座處的轉角為：（順時針）（逆時針）由疊加法，原梁中點的撓度為：（向下）梁支座處的轉角為：（順時針）梁支座處的轉角為：（逆時針）例7-11 用疊加法計算積分法中的例7-2。解：根據與上例相同的分析，例7-2中的梁（圖7-9，7-31(a)）相當于圖7-30(b)(c)兩梁的疊加。圖7-30 例7-11圖(a)(b)(c)梁的支反力為：桿中的軸力為： 所以：（向下）

33、 （順時針）查附錄(fl)B可得：（向下(xin xi)） （順時針）故由疊加法，原梁中點(zhn din)的撓度為：（向下）原梁支座處截面的轉角為：（順時針）與例7-2中的結果完全一樣，可見，求梁在某些特殊點處的撓度和轉角采用疊加法比采用積分法要簡單方便得多。例7-12 求圖7-31(a)所示中間鉸梁點處的撓度以及中間鉸處梁截面轉角的突變值，梁的抗彎剛度為。圖7-31 例7-12圖(a)(b)(c)解：將梁在中間鉸處拆開，左梁為簡支梁受均布載荷作用但支座存在豎向位移，右梁為懸臂梁在自由端受集中力作用?？紤]左梁的平衡，其支反力為：所以右梁點的撓度為：（向下）這即是原梁在中間鉸處的撓度。右梁截面

34、的轉角為： （逆時針）根據前幾例的分析方法，左梁可分解為支座存在豎向位移的空梁以及受均布載荷作用的簡支梁的疊加。所以由疊加原理，點的撓度為：（向下）截面(jimin)的轉角為： （逆時針）于是(ysh)，在中間鉸處梁截面轉角的突變值為：其中(qzhng)，。注意：在具體使用疊加法時，為了方便起見和避免書寫麻煩，一般不采用前述的撓度和轉角的正負號規(guī)定，可視情況而定其正方向，求解完畢后注明其方向即可。例題7-12就是一例，撓度采用的是向下為正，而轉角依然采用的是逆時針轉向為正。(3) 多種因素引起所考察點變形的情況此種情況下應將各種因素引起的所考察點的轉角和撓度進行逐項疊加。例7-13 求圖7-3

35、2(a)所示懸臂梁自由端的撓度和轉角，梁的抗彎剛度為。圖7-32 例7-13圖(a)(b)解：明顯梁段中沒有內力，因此該段梁沒有變形，但是段梁的變形將引起段梁產生撓度和轉角。如圖7-32(b)所示，所考察點點的撓度和轉角是由于段梁的變形所引起，點的撓度由段梁的兩種變形因素引起，即點的撓度引起的點的撓度為，截面的轉角引起的點的撓度為，所以有：（向下）（向下）（向下）由于段梁始終保持為直線，所以截面的轉角就等于截面的轉角，所以有：（順時針）例7-14 求圖7-33(a)所示懸臂梁任意點處的撓度(nod)和轉角，梁的抗彎剛度為。圖7-33 例7-14圖(a)(b)解：考察(koch)距固定端距離為的

36、點，將梁在點處截開，只考慮(kol)左段梁，其受力情況如圖7-33(b)所示，即受均布載荷作用，同時在自由端受集中力和集中力偶的作用，則點的撓度和截面的轉角由這三種載荷引起。由右段梁的平衡有： 所以由疊加法，點的撓度為：（向下）截面的轉角為：（順時針）可見，影響點的撓度和截面的轉角的因素是：左段梁上的載荷以及右段梁作用在左段梁上的載荷和。實質上和也就是圖7-33(a)所示懸臂梁的撓曲線函數和轉角函數。這說明有些簡單梁的撓曲線函數及轉角函數也可由疊加法求得。例7-15 求圖7-34(a)所示矩形截面懸臂梁自由端的撓度和轉角，已知溫升沿梁高度方向的變化規(guī)律為，梁的抗彎剛度為，材料的熱膨脹系數為。圖

37、7-34 例7-15圖解：梁自由端的撓度(nod)和轉角由兩種因素引起，一是均布載荷(zi h)所引起的，為：（向下(xin xi)） （順時針）二是由溫度引起的，可如下計算。梁上緣的溫升為零，所以其固定端到任意位置處的伸長。下緣的溫升為：，其固定端到任意位置處的伸長為：所以梁任意位置處截面的轉角為：（逆時針）梁任意位置處的撓度為： 因： 所以： 則：（向上）于是梁自由端因溫度引起的轉角和撓度為：（逆時針） （向上）根據疊加法，梁自由端的撓度和轉角為：（向下）（順時針）疊加法的常用技巧為了利用一些簡單梁的結果，在不改變梁的變形的情況下可以將梁簡化為一些簡單梁的疊加，所以疊加法的常用技巧就是如何

38、簡化實際的梁。除了前面介紹的剛性地基或平臺上的梁以及對稱梁和反對稱梁的簡化技巧外，還可以采用下面的一些方法簡化實際的梁。(1) 載荷(zi h)的分解與重組在不改變(gibin)梁的變形條件下，可以將梁上載荷進行分解或重組，從而將原梁簡化為幾個(j )簡單梁的疊加。例7-16 求圖7-35(a)所示懸臂梁自由端的撓度，梁的抗彎剛度為。圖7-35 例7-16圖(a)(b)(c)(d)解：原梁的變形等價于圖7-35(b)所示的梁，即將梁上的分布載荷加滿到固定端，然后在左半邊梁加上反方向的分布載荷。所以原梁可分解為圖7-35(c)，（d) 所示兩梁的疊加。（向下）（向上）（向上）所以：（向下）(2)

39、 逐段剛化法欲求梁某點的撓度和轉角，可將梁分為若干段，分別考慮各段梁的變形對所考察點引起的撓度和轉角，然后進行疊加，這種方法稱為逐段剛化法。如圖7-36（a）所示，今欲求梁自由端點的撓度，可先將梁分為和兩段，點的撓度是由和兩段梁的變形引起的，所以計算段梁變形引起的點的撓度時，可將段梁剛化（圖7-36（b），而計算段梁變形引起的點的撓度時，可將段梁剛化（圖7-37（c），注意計算段梁變形時，要考慮作用于其上的所有載荷的影響（圖7-36（d），然后將兩段梁引起的點的撓度疊加，就可求得點的撓度。實際上原梁就是圖7-36（b）和圖7-37（c）兩梁的疊加，因此逐段剛化法實質上就是考慮梁的逐段變形然后進

40、行疊加。注意：逐段剛化法是計算梁某點變形的非常(fichng)有力的方法。它可以(ky)處理階梯狀梁，復雜(fz)的外伸梁以及剛架等問題。圖7-36 逐段剛化法(b)(c)(d)(a)剛化剛化例7-17 求圖7-37(a)所示階梯狀簡支梁中點的撓度和支座處的轉角。中間段梁的抗彎剛度為，兩邊段梁的抗彎剛度為。圖7-37 例7-17圖(a)(b)(c)(d)剛化剛化(e)(f)解：根據對稱性，只考慮右半部分梁。由前面的分析（圖7-37(b)），原梁可簡化為圖7-37(c)所示的梁，而圖7-37(c)所示的梁又等價于圖7-37(d)所示的懸臂梁，圖中點向上的撓度也就是原梁中點向下的撓度。即：采用(c

41、iyng)逐段剛化法求解，先剛化段梁（圖7-37(e)），則：（向上(xingshng)）再剛化段梁（圖7-37(f)），段梁的受力情況(qngkung)是在點受集中力及集中力偶的作用。則由疊加法，有：（向上）其中分別是集中力及集中力偶在點產生的撓度。（向上）其中分別是集中力及集中力偶在點產生的轉角。所以，由疊加法原梁中點的撓度為：（向下）此亦即梁中的最大撓度。如果梁是抗彎剛度為的等截面梁，由附錄2，其中點的撓度也即梁中的最大撓度為：因：可見，采用圖7-37(a)所示階梯狀形式的梁可以將梁中的最大撓度降低約。例7-18 求圖7-38（a）所示空間剛架自由端的豎立向位移。剛架各梁的抗彎曲剛度為，梁的抗扭剛度為。圖7-38 例7-15圖(b)(a)(c)解：采用(ciyng)逐段剛化法求解。先剛化梁（圖7-38（b），則梁的變形(bin xng)相當于端固定(gdng)的懸臂梁，所以點的豎立向位移為：（向下）再剛化梁（圖7-38（c），則