1.3.2函數(shù)的極值和導(dǎo)數(shù)

1、.函數(shù)的極值 與導(dǎo)數(shù)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0,那么函數(shù)y=f(x) 在為這個區(qū)間內(nèi) 的增函數(shù);如果在這個區(qū)間內(nèi)f/（x）0 得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式 f/（x）000極小值點(diǎn)極大值點(diǎn)求函數(shù)的極值1.如果x0是f(x)=0的一個根，并且在x0的左側(cè)附近f(x)0，在x0右側(cè)附近f(x)0，那么f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極大值。2.如果x0是f(x)=0的一個根，并且在x0的左側(cè)附近f(x)0，那么是f(x0)函數(shù)f(x)的一個極小值。 導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)嗎? 導(dǎo)數(shù)值為0為函數(shù)是極值點(diǎn)的必要條件。練習(xí)1:下列函數(shù)中，x=0是

2、極值點(diǎn)的函數(shù)是( )A.y=x3 B.y=x2 C.y=x2x D.y=1/x分析：做這題需要按求極值的三個步驟，一個一個求出來嗎？不需要，因?yàn)樗灰袛鄕=0是否是極值點(diǎn)，只要看x=0點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)是否異號就可以了。B課堂練習(xí)例題選講:求極值的步驟:1.確定定義域2.求f(x)=0的根3.列表格4.判斷極值的情況課堂練習(xí)p29例:已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或當(dāng)a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無極值,不合題意

3、.當(dāng)a=4,b=-11時,-3/11x1時, ,此時x=1是極值點(diǎn).從而所求的解為a=4,b=-11.習(xí)題 A組 #4下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象, 在標(biāo)記的點(diǎn)中, 在哪一點(diǎn)處(1)導(dǎo)函數(shù) 有極大值?(2)導(dǎo)函數(shù) 有極小值?(3)函數(shù) 有極大值?(4)函數(shù) 有極小值?或例3:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b. (1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1, 求a、b的值.解:(1)由 得x=0或x=4a/3.故4a/3=4, a=6.由于當(dāng)x0時, 故當(dāng)x=0時,f(x)達(dá)到極小值f(0)=b,所以b=-1.例4:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.解:由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 + f(x) 極大值 極小值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.(2)設(shè)a2時, ;當(dāng) x2,由條件可知 ,即:當(dāng) 時,x20,故 有不相等的兩實(shí)根、,設(shè).又設(shè)g(x)=-ax2-2bx+a, 由于-a0,g(x)的圖象開口向下,g(x)的值在的右正左負(fù),在的左正右負(fù).注意到 與g(x)的符號相同,可知為極小值點(diǎn),為極大值點(diǎn).(2)由f()=-1和f()=1可得:兩式相加,并注