算法案例(秦九韶算法)課件

1、(最新整理)算法案例(秦九韶算法)2021/7/2611.3算法案例(二)2021/7/262案例2 秦九韶算法一、三維目標(biāo)（a）知識與技能了解秦九韶算法的計(jì)算過程，并理解利用秦九韶算法可以減少計(jì)算次數(shù)提高計(jì)算效率的實(shí)質(zhì)。（b）過程與方法模仿秦九韶計(jì)算方法，體會古人計(jì)算構(gòu)思的巧妙.（c）情感態(tài)度與價(jià)值觀通過對秦九韶算法的學(xué)習(xí)，了解中國古代數(shù)學(xué)家對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，充分認(rèn)識到我國文化歷史的悠久。二、教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：1.秦九韶算法的特點(diǎn);難點(diǎn): 2.秦九韶算法的先進(jìn)性理解 .2021/7/263教學(xué)設(shè)計(jì)問題1設(shè)計(jì)求多項(xiàng)式f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時(shí)的值的算法,并寫出程序.

2、x=5f=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7PRINT fEND程序點(diǎn)評:上述算法一共做了15次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.優(yōu)點(diǎn)是簡單,易懂;缺點(diǎn)是在計(jì)算x的冪值時(shí)重復(fù)計(jì)算，運(yùn)算效率不高.2021/7/264的值，這樣計(jì)算上述多項(xiàng)式的值,一共需要9次乘法運(yùn)算,5次加法運(yùn)算.問題2有沒有更高效的算法?分析:計(jì)算x的冪時(shí),可以利用前面的計(jì)算結(jié)果,以減少計(jì)算量,即先計(jì)算x2,然后依次計(jì)算第二種做法與第一種做法相比,乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了,因而能提高運(yùn)算效率.而且對于計(jì)算機(jī)來說,做一次乘法所需的運(yùn)算時(shí)間比做一次加法要長得多,因此第二種做法能更快地得到結(jié)果.2021/7/265問題3能否探索更好的算法,

3、來解決任意多項(xiàng)式的求值問題?請欣賞下面的解法：f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7=(2x4-5x3-4x2+3x-6)x+7=(2x3-5x2-4x+3)x-6)x+7=(2x2-5x-4)x+3)x-6)x+7=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2v1=v0 x-5=25-5=5v2=v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值是2677.這種求多項(xiàng)式值的方法就叫秦九韶算法.2021/7/266秦九韶（1208年1261年）南 宋官員、數(shù)學(xué)

4、家，與李冶、楊輝、 朱世杰并稱宋元數(shù)學(xué)四大家。主要成就:1247年完成了數(shù)學(xué)名著數(shù)學(xué)九章，其中的大衍求一術(shù)、三斜求積術(shù)和秦九韶算法是具有世界意義的重要貢獻(xiàn)。秦九韶算法就是中國古代數(shù)學(xué)的一枝奇葩。直到今天，這種算法仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法 。美國著名科學(xué)史家薩頓說過，秦九韶是“他那個(gè)民族，他那個(gè)時(shí)代，并且確實(shí)也是所有時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一”。 2021/7/267例1:用秦九韶算法求多項(xiàng)式 f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7當(dāng)x=5時(shí)的值.解：首先將原多項(xiàng)式改寫成如下形式 : f(x)=(2x-5)x-4)x+3)x-6)x+7v0=2 v1=v0 x-5=25-5=5v2=

5、v1x-4=55-4=21v3=v2x+3=215+3=108v4=v3x-6=1085-6=534v5=v4x+7=5345+7=2677所以,當(dāng)x=5時(shí),多項(xiàng)式的值是2677.然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值,即2021/7/268所以，當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值是31.在上述運(yùn)算中，總共用了6次乘法，6次加法所以，當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值為31.求多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為了求六個(gè)一次多項(xiàng)式的值。解：當(dāng)x=2時(shí)的值時(shí)多項(xiàng)式的值。挑戰(zhàn)1：計(jì)算2021/7/269挑戰(zhàn)2：用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)8x75x63x42x1當(dāng)x2時(shí)的值.【解析】f(x)8x75x63x42x1(8x5)x0)x3)x0)x

6、0)x2)x1.當(dāng)x2時(shí),有v08,v182521,v2212042,v3422387,v48720174,v517420348,v634822698,v7698211397,當(dāng)x2時(shí),多項(xiàng)式的值為1397. 注意:n次多項(xiàng)式有n+1項(xiàng),因此缺少哪一項(xiàng)應(yīng)將其系數(shù)補(bǔ)0.2021/7/2610v1=anx+an-1,v2=v1x+an-2,v3=v2x+an-3, ,vn=vn-1x+a0.觀察上述秦九韶算法中的n個(gè)一次式,可見vk的計(jì)算要用到vk-1的值.若令v0=an,得v0=an,vK=vK-1x+an-k(k=1,2,n這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟,因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn).2021

7、/7/2613點(diǎn)評:秦九韶算法是求一元多項(xiàng)式的值的一種方法.它的特點(diǎn)是:把求一個(gè)n次多項(xiàng)式的值轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值,通過這種轉(zhuǎn)化,把運(yùn)算的次數(shù)由1+2+3+4+5+.+n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算,減少為n次乘法運(yùn)算和n次加法運(yùn)算,大大提高了運(yùn)算效率.2021/7/2615知識探究(二):秦九韶算法的程序設(shè)計(jì) 思考1:用秦九韶算法求多項(xiàng)式的值，可以用什么邏輯結(jié)構(gòu)來構(gòu)造算法？其算法步驟如何設(shè)計(jì)？第一步，輸入多項(xiàng)式的次數(shù)n，最高次 項(xiàng)的系數(shù)an和x的值. 第二步，令v=an，i=n-1. 第三步，輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai. 第四步，v=vx+ai，i=i-1.第五步，判斷i0是否成立.若是，則返回

8、第 二步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v. 2021/7/2616思考2:該算法的程序框圖如何表示？開始輸入n，an，x的值v=anv=vx+ai輸入aii0？i=n-1i=i-1結(jié)束是輸出v否2021/7/2617思考3:該程序框圖對應(yīng)的程序如何表述？開始輸入n，an，x的值v=anv=vx+ai輸入aii0？i=n-1i=i-1結(jié)束是輸出v否INPUT “n=”；nINPUT “an=”；aINPUT “x=”；x v=ani=n-1WHILE i=0INPUT “ai=”；b v=v*x+bi=i-1 WENDPRINT yEND2021/7/2618當(dāng)堂檢測 ：利用秦九韶算法計(jì)算 當(dāng) x3 時(shí)，求多項(xiàng)式 f(x)x5x3x2x1 的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)x50 x4x3x2x1(x0)x1)x1)x1)x1.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng) x3 時(shí)的值：v01，2021/7/2619v11303，v233110，v3103131，v4313194，v59431283.所以當(dāng) x3 時(shí)，多項(xiàng)式的值為 28