高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：圓錐曲線的離心率問(wèn)題

1、圓錐曲線的離心率問(wèn)題大家知道，圓錐曲線的離心率問(wèn)題是近幾年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，可以毫不夸張地說(shuō)， 不管是高考，還是高三的診斷考試，基本上是每卷都有出現(xiàn)。這類(lèi)問(wèn)題歸結(jié)起來(lái)主要包括：已知圓錐曲線滿足某一條件， 求圓錐曲線的離心率； 已知圓錐曲線滿足某一條件，求圓錐曲線離心率的取值范圍。從題型上看，屬于5分小題，可能是選擇題，也可能是填空題；從考試的深難度來(lái)看，屬于中、高檔題。那么如何解答這類(lèi)問(wèn)題呢？下面通過(guò)對(duì)典型例題的解析來(lái)回 答這個(gè)問(wèn)題?！镜淅?解答下列問(wèn)題：1、已知Fi、F2是橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò) Fi且與橢圓長(zhǎng)軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若 AB F2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是（）（201

2、6 2017成都實(shí)外西區(qū)期中考試） TOC o 1-5 h z 八23.33ABCD- HYPERLINK l bookmark53 o Current Document 22 HYPERLINK l bookmark61 o Current Document X V22、已知雙曲線 C: - -22=1 (a0,b 0)的左，右焦點(diǎn)分別為 F1 , F2,拋物線y =2px a b 一5（p0）與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，設(shè)P為拋物線與雙曲線 C的一個(gè)交點(diǎn)，且cos/ PF1 F2 = -,7則雙曲線C的離心率為（）（2019成都市高三三診）A 拒或向 B 亞或3C 2或J3D 2或3K解析R1、

3、【考點(diǎn)】橢圓的定義與幾何性質(zhì)； 橢圓離心率的定義與求法；正三角形的定義與性質(zhì)；【解答思路】 題中沒(méi)有確定焦點(diǎn)在 X軸還是Y軸，按理應(yīng)該分兩種情況分別考慮， 但橢圓離 心率只與長(zhǎng)半軸和半焦距有關(guān)， 這樣兩種情況求出的結(jié)果是一致的， 為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，這里只 考慮焦點(diǎn)在X軸上的情況。由正三角形的定義與性質(zhì)結(jié)合橢圓的定義分別求出a, c的值，2、【考點(diǎn)】雙曲線的定義與幾何性質(zhì)；雙曲線離心率的定義與求法；拋物線的定義與性質(zhì)；曲線交點(diǎn)的定義與求法；【解答思路】題中給出了雙曲線方程，已經(jīng)明確焦點(diǎn)在X軸上，根據(jù)問(wèn)題條件結(jié)合雙曲線，拋物線的定義與性質(zhì)分別求出a, c的值，然后由雙曲線離心率的公式e= 求出結(jié)果；a

4、【詳細(xì)解答】如圖，過(guò)Fi作垂直于X軸的直線1,過(guò)P作PQ_L1于Q,拋物線y2 =2px ( p 0)與 Q雙雙曲線C有相同的焦點(diǎn)，P是拋物線與 雙曲線C的一個(gè)交點(diǎn)，j.|PQ|=|PF2|, N QPFi=/ F2 FiP,Fv cos. PFiF2=5, . cos. QPFi=g=四7|PFi| |PFi I=,=IP F2 |=1 |PF1|,設(shè)|PFi|=7,則 |PF2|=5, = |P F1|-|P F2 |=7-5=2=2a, = a=i，:在222 P Fi F2 中，IF2P| = |PFiI +|FiF2I -2|PFi|FiF2I cos / PFiF2 ,2523c

5、2c25=49+4 c-2M7M2cM1, n c -5c+6=0 , = c=2 或 c=3,，e= =彳或 e=3一 =e=2 或 e=3。iR思考問(wèn)題O5 一 5_ c（i）【典例i】是運(yùn)用公式e=上求橢圓（或雙曲線）離心率的問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵a是根據(jù)題給條件求出橢圓的長(zhǎng)半軸a和半焦距c （或雙曲線的實(shí)半軸 a和半焦距c）;（2）注意從實(shí)例解析中體會(huì)橢圓（或雙曲線）定義的巧妙運(yùn)用，同時(shí)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想也是解題過(guò)程中必不可缺的基本思想與方法。練習(xí)i解答下列問(wèn)題：i、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為Fi, F2,過(guò)Fi作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若 PF?為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（

6、）、2.2 -1A BC 2- 2D 2 -i2、（理）如圖，在 AABC中，已知 / BAC= i20. ,其內(nèi)切圓與 AC邊相切于點(diǎn) D, AD : DC=i : 5, 延長(zhǎng)BA至ij E,使BE=BC ,連接CE,設(shè)以E, C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的橢圓的離心率為 自，以E, C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的雙曲線的離心率為 e2,則當(dāng)2 + -取最大值時(shí)，AD的值為e1 e2DC（文）如圖，在A ABC中，已知/ BAC= 120.,其內(nèi)切圓與 AC邊相切于點(diǎn)D, AD : DC=1 :5,延長(zhǎng)BA到E,使BE=BC ,連接CE,設(shè)以E, C為焦點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的橢圓的離心率為 e-,以E, C為焦點(diǎn)

7、且經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的雙曲線的離心率為 e2 ,則e + e2的值為 （2019成都市高三零診）223、雙曲線 與-與=1 （a0,b0）的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為 a b【典例2解答下列問(wèn)題：221、已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C:三十22=1 （ab0）的左焦點(diǎn)，A, B分別是橢圓Ca b左右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，且PF_LX軸, 軸交于點(diǎn)E,若直線BM經(jīng)過(guò)OE的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M ,與Y C的離心率為（）（2016全國(guó)高考新課標(biāo)丙卷）2、設(shè)2_一， xF1、F2分別為雙曲線a2y-=1 （a0,b0）的左、右焦點(diǎn)，右在雙曲線右支上存b2在一點(diǎn)P,滿足|PF2|

8、=|F1F2I,且F2到直線PF1的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率6為（）（2013山西長(zhǎng)治第二次質(zhì)檢）1、【考點(diǎn)】橢圓的定義與幾何性質(zhì);橢圓離心率的定義與求法；過(guò)定點(diǎn)的直線方程的求法；直線與曲線（或直線）的交點(diǎn)的求法;【解答思路】 題中焦點(diǎn)在X軸上已經(jīng)確定，由問(wèn)題條件得到關(guān)于a, c的齊次方程，進(jìn)一步化為關(guān)于e的一元二次（或一元一次）方程,然后求解方程，根據(jù)橢圓離心率的取值范圍求y=kx+ka , PF_ Xx出結(jié)果;【詳細(xì)解答】 如圖，:過(guò)點(diǎn)A的直線l與線段PF交于點(diǎn)M, y與Y軸交于點(diǎn)E,二直線l的方程為： 軸，直線PF的方程為：x=-c,由由y=kx+ka ,Iak1 x=

9、0, = E （0, ka）, 二 N（0, 一2k(a -c)ka(a -c)akak的萬(wàn)程為：y=- 1 + 義+ 二一-, 點(diǎn)N(0, 萬(wàn))在直線 BM上，二 =a+C=_2 n a+c=2(a-c), = a=3c,= =-,:橢圓離心率 e 滿足：0e1,e=-,二選D。33R思考問(wèn)題21(1)【典例2】是根據(jù)問(wèn)題條件得到關(guān)于a, c的齊次方程，進(jìn)而化為關(guān)于 e的方程，再通過(guò)求解方程求橢圓(或雙曲線)離心率的問(wèn)題，解答這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)問(wèn)題條件得到關(guān) 于a, c的齊次方程，同時(shí)注意求解方程后需要結(jié)合橢圓(或雙曲線)離心率的取值范圍得出結(jié)果；(2)注意從實(shí)例解析中體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思

10、想的滲透，同時(shí)方程思想也是解題過(guò)程中必 不可缺的基本思想與方法。練習(xí)2解答下列問(wèn)題：2、設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1 , F2,過(guò)Fi作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P,若& F1P F2 為等腰直角三角形，則橢圓的離心率為()-12D 2 -122x y2、設(shè)F1、F2是雙曲線 C: 2 -2 =1 (a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是C上一點(diǎn)，右 a b|P Fi |+|p F2 |=6a,且APFF2的最小內(nèi)角為30 ,則C的離心率為 (2013全國(guó)高考湖南卷)223、若雙曲線C： 5與=1 (a0,b0)的一條漸近線被圓(x-2)2 + y2=4所截得的弦長(zhǎng) a b為2,則C的離心率為(A 2B(2

11、017全國(guó)高考新課標(biāo)II卷(理).3 C 、2 D2.3【典例3】解答下列問(wèn)題:22X V 1、橢圓 f+=1 （ab0）的右焦點(diǎn)F,其右準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為A,在橢圓上存在點(diǎn)a2 b2巳 滿足線段AP的垂直平分線過(guò)點(diǎn) F,則橢圓離心率的取值范圍是（）（2010全國(guó)高考四川卷）A （0, B （0, 一 C /2 -1,1） D ,1）22222，一，一 X V2、已知雙曲線 C： - -=1 （a0,b0）的左右焦點(diǎn)分別為F1 （-c, 0）, F2 （c, 0）,a b若雙曲線c上存在一點(diǎn)P,使得sin-PF1F2 =-,則雙曲線C的離心率的取值范圍是（） sin . PF2F1 c（201

12、8成都市高三三診文）A （1, 1+收）B （1, 1+B C （1,叵） D （1, J3）1、【考點(diǎn)】橢圓的定義與幾何性質(zhì)； 橢圓離心率的定義與求法；線段垂直平分線的定義與性質(zhì)；【解答思路】 題中焦點(diǎn)在X軸上已經(jīng)確定，由問(wèn)題條件得到關(guān)于a, c的齊次不等式，進(jìn)一根據(jù)橢圓離心率的取值Ve三 1 三 2 e2 +e,二步化為關(guān)于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式, 范圍得出結(jié)果；【詳細(xì)解答】 如圖，連接PF,線段PA的垂直平分線過(guò)2 a 點(diǎn) F,|PF|=|FA| = |PF|+|OF|=|OF|+|FA|=|OA|= 一 ,c.P 是橢圓上一點(diǎn)，, a-c|PF|a+c,= a

13、|PF|+|OF|2 TOC o 1-5 h z .a ,-2 .2=|OF|+|FA|=|OA| a+2c, = aW a+2c, = acMa ac+2c ,二F任意三角形正弦的齊次不等式，進(jìn)e -1或1Me M1, “橢圓離心率e滿足：0e1,二,Me1。22 F2、【考點(diǎn)】雙曲線的定義與幾何性質(zhì)；雙曲線離心率的定義與求法； 定理的理解與運(yùn)用；【解答思路】題中焦點(diǎn)在X軸上已經(jīng)確定，由問(wèn)題條件得到關(guān)于a,步化為關(guān)于e的一元二次（或一元一次）不等式，然后求解不等式， 根據(jù)橢圓離心率的取值范圍得出結(jié)果;【詳細(xì)解答】 如圖，P是雙曲線上一點(diǎn)，且在.PR F2中,|PFi |_| PF2 |sin . PF2F1 sin . PF1F2|PF2|_ sin. PF1F2 _ a |PF1 | - sin. PF2F1 - c|P Fi |-|P F2 |=2a,，|P Fi |_2ac5c -a2a2 一 一|P F2 |_ 七一，;在 A P Fi c -aF2 中，|P Fi |-|P F2 | Fi F2 |=2c|P Fi|+|P F2 | ,2acc -a2a2c -a22c 2ac + 2a2 一c-a c- a2222ac-2 a 2 c -2ac2ac+2