八年級數(shù)學上冊《第3章勾股定理》單元測試含答案解析

1、面（填“合格”或“不合格”）.第1頁（共36頁）面（填“合格”或“不合格”）.第1頁（共36頁）第3章勾股定理一、填空題1如圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米.H4-I2.直角三角形一條直角邊與斜邊分別為4cm和5cm,則斜邊上的高等于cm3.如圖，在直角三角形ABC中，/C=90,AC=12BC=5則以AB為直徑的半圓的面積為C4.如圖，在四邊形ABCD中,/A=90,AB=4,AD=3CD=12BC=13,則四邊形ABCD的面積為AD5.木工師傅要做一個長方形桌面，做好后量得長為80cm,寬為60cm,對角線為100

2、cm,則這個桌第 頁（共36頁）第 頁（共36頁）6.甲、乙兩人同時從同一地點出發(fā)，甲往東走了8km,乙往南走了6km,這時兩人相距km.7如圖所示，學校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條路”.他們僅僅少走了步路（假設2步為1米），卻踩傷了花草.&如圖，以RtABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB=a則圖中陰影部分的面積為9.如圖，在RtABC中，/BCA=90，點D是BC上一點，AD=BD若AB=8,BD=5貝UCD=10.動手操作：在矩形紙片ABCD中,AB=3,AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的A處，折痕為PQ當點A在B

3、C邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動若限定點P、Q分別在ABAD邊上移動，則點A在BC邊上可移動的最大距離為.二、選擇題下列長度的線段中，可以構(gòu)成直角三角形的是（）13，16，19B.17，21，21C.18，24,26D.12，35,37下列命題中是假命題的是（）AABC中，若/B=ZC-Z代則厶ABC是直角三角形AABC中，若a2=（b+c）（b-c），則ABC是直角三角形AABC中，若/A:/B:ZC=3:4:5，則厶ABC是直角三角形AABC中，若a：b:c=5:4:3，則厶ABC是直角三角形一直角三角形的三邊分別為2、3、X，那么以x為邊長的正方形的面積為（）13B.5C.13或

4、5D.4如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A，B,C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是（）TOC o 1-5 h z13B.26C.47D.94在RtABC中，/C=90,AC=3,BC=4貝UAB邊上的高是（）A.2B.2.4C.3D.3.4已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為1800cmf，則斜邊長為（）A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm底面周長為12,高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從A點爬到B點，則螞蟻爬行的最短距離是（）A.10B.8C.5D.4如圖，已知矩形ABCD沿著直線BD折疊，使點C落在

5、C處，BC交AD于E,AD=8AB=4,則DE的長為（）A.3B.4C.5D.6如圖，四邊形ABCD中,AC,BD是對角線，ABC是等邊三角形./ADC=30,AD=3,BD=5則CD的長為（）A.匚B.4C.二：牝D.4.5如圖，設正方體ABCD-A1B1GD的棱長為1,黑、白兩個甲殼蟲同時從A點出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA|TAUt，白甲殼蟲爬行的路線是ABBB，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n+2與第n條棱所在的直線必須是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）那么當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（）nRc

6、3A.0B.1C.D.三、解答題如圖，已知在厶ABC中，CDLAB于D,AC=20,BC=15,DB=9(1)求DC的長.(2)求AB的長.r22觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)?32=4+5，52=12+13，72=24+25，92=40+41，這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？請你結(jié)合有關知識進行研究.若值可能是多少？132=a+b,則a,b的23.如圖，一輪船以16nmi1e/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12nmi1e/h的A2h后，兩船相距多遠?a,b,斜邊長為c和一個邊24如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是長為c的正方形，請你將它們拼成一個能

7、證明勾股定理的圖形.(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖.(2)證明勾股定理.25.如圖所示，A、B兩村在河岸CD的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為AC=1kmBD=3km又CD=3km現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向AB兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠的位置O,使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用.26.如圖，公路MN與公路PQ在點P處交匯，且/QPN=30，點A處有一所中學，AP=160m假設拖拉機行駛時，周圍100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機在公路MN上沿PN方向行駛時，學校是否受到噪音影響？說明理由；如果受影響，且知拖拉機的速度為18k

8、m/h，那么學校受影響的時間是多少秒？第7頁(共36頁)第 頁（共36頁）第 頁（共36頁）第3章勾股定理（江蘇省南京市高淳縣）參考答案與試題解析一、填空題4米處，那1如圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部么這棵樹折斷之前的高度是8米.R一4七|【考點】勾股定理的應用.【專題】壓軸題.【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理直接解答即可求出斜邊.【解答】解：AC=4米，BC=3米，/ACB=90,折斷的部分長為*-=5,折斷前高度為5+3=8（米）.【點評】此題主要考查學生對勾股定理在實際生活中的運用能力.2直角三角形一條直角邊與斜邊分

9、別為4cm和5cm,則斜邊上的高等于125cm.【考點】勾股定理.【分析】首先利用勾股定理得出AC的長，再利用三角形面積公式求出即可.【解答】解：設CD是直角三角形斜邊上的高,T直角三角形一條直角邊與斜邊分別為4cm和5cm,設BC=4cmAB=5cm/AC=3cmCDKAB=ACv122+352=372,該三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正確；故選D【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷12下列命題中是假命題的是（）AABC中，若/B=ZC-Z代則厶

10、ABC是直角三角形AABC中，若a2=（b+c）（b-c），則ABC是直角三角形即=9+25+4+9=47.第20頁（共36頁）即=9+25+4+9=47.第20頁（共36頁）【解答】解：當2和3都是直角邊時,則x2=4+9=13；第 頁(共36頁)ABC中，若/A:/B:ZC=3:4:5,則厶ABC是直角三角形AABC中，若a：b:c=5:4:3,則厶ABC是直角三角形【考點】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理；命題與定理【分析】有一個角是直角的三角形是直角三角形，兩邊的平方和等于第三邊的平方的三角形是直角三角形.【解答】解：A、/B+/A=/C,所以/C=90,所以ABC是直角三角形，故本

11、選項不符合題意.B、若a2=(b+c)(b-c)，所以a2+c2=b2，所以ABC是直角三角形，故本選項不符合題意.C、若/A:/B:/C=3:4:5,最大角為75，故本選項符合題意.D若a:b:c=5:4:3，則ABC是直角三角形，故本選不項符合題意.故選C.【點評】本題考查直角三角形的概念,和勾股定理的應用.一直角三角形的三邊分別為2、3、x,那么以x為邊長的正方形的面積為()A.13B.5C.13或5D.4【考點】勾股定理.【分析】以x為邊長的正方形的面積即為x2.此題應考慮兩種情況：2和3都是直角邊或3是斜邊,熟練運用勾股定理進行計算.當3是斜邊時，則x2=9-4=5.故選C.【點評】

12、此類題在沒有明確直角邊或斜邊的時候，一定要注意分情況考慮，熟練運用勾股定理進行計算.如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的邊長分別是3,5,2,3，則最大正方形E的面積是（）A.13B.26C.47D.94【考點】勾股定理.【專題】數(shù)形結(jié)合.【分析】根據(jù)正方形的面積公式，結(jié)合勾股定理，能夠?qū)С稣叫蜛,B,C,D的面積和即為最大正方形的面積.【解答】解：根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得A、B的面積和為Si,C、D的面積和為S,+甘,于是S3=S+S2,第 頁（共36頁）第 頁（共36頁）【點評】本題考查了勾股定理，三角形的面積，是基

13、礎知識要熟練掌握.第21頁（共36頁）故選：c.【點評】能夠發(fā)現(xiàn)正方形A,B,C,D的邊長正好是兩個直角三角形的四條直角邊，根據(jù)勾股定理最終能夠證明正方形A，B，C，D的面積和即是最大正方形的面積.在RtABC中，/C=90,AC=3,BC=4貝UAB邊上的高是（）A.2B.2.4C.3D.3.4【考點】勾股定理；三角形的角平分線、中線和高；三角形的面積.【專題】計算題.【分析】先根據(jù)勾股定理可求得AB,再根據(jù)面積公式可得出AB邊上的高.【解答】解：/C=90，AC=3BC=4,二AB=”./卜=.丄卄丄=5,/AC?BC=ABAB邊上的高，AB邊上的高=r”=2.4.AB5故選B.已知一直角

14、三角形的木版，三邊的平方和為1800cmf,則斜邊長為（A.80cmB.30cmC.90cmD.120cm【考點】勾股定理.【分析】設此直角三角形的斜邊是c,根據(jù)勾股定理及已知不難求得斜邊的長.【解答】解：設此直角三角形的斜邊是c,根據(jù)勾股定理知，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.所以三邊的平方和即2c2=1800,c=30（負值舍去），取c=30.故選B.【點評】熟練運用勾股定理進行計算，從而求出斜邊的長.底面周長為12,高為8的圓柱體上有一只小螞蟻要從A點爬到B點，則螞蟻爬行的最短距離是（）號產(chǎn)二A.10B.8C.5D.4【考點】平面展開-最短路徑問題.【分析】將圓柱的側(cè)面展開，得到一個長

15、方體，再然后利用兩點之間線段最短解答.【解答】解：如圖所示:由于圓柱體的底面周長為12cm,則BC=12X=6cm2又因為AC=8cm所以AB=:=10cm.故螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點C的最短路程是10cm.故選A.【點評】此題趣味性強，有利于培養(yǎng)同學們的學習興趣，將圓柱的側(cè)面展開，構(gòu)造出直角三角形是解題的關鍵.如圖，已知矩形ABCD&著直線BD折疊，使點C落在C處，BC交AD于E,AD=8AB=4,則DE的長為（RCA.3B.456【考點】翻折變換（折疊問題）；勾股定理；矩形的性質(zhì).【分析】根據(jù)折疊前后角相等可知ABEACED利用勾股定理可求出.【解答】解：設DE=x則AE=8

16、-x,AB=4,在直角三角形ABE中，x2=（8-x）2+16,解之得，x=5.故選C.【點評】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.如圖，四邊形ABCD中,AC,BD是對角線，ABC是等邊三角形./ADC=30,AD=3,BD=5則CD的長為（）A.了B.4C.密D.4.5【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.【分析】首先以CD為邊作等邊CDE連接AE利用全等三角形的判定得出BCDAACE進而求出DE的長即可.【解答】解：如圖，以CD為邊作等邊CDE連接AE

17、/BCD=ZBCA+ZACD=/DCE+ZACD=ZACE在厶BCDnACE中，fAC=BCZACE=ZBCD，lCD=CEBCDAACE(SAS,BD=AE又/ADC=30,/ADE=90.在RtADE中,AE=5,AD=3于是DE=，上-JCD=DE=4故選：B.根據(jù)已知得出/ADE=90【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),是解題關鍵.如圖，設正方體ABCD-AiBiGD的棱長為1,黑、白兩個甲殼蟲同時從A點出發(fā)，以相同的速度分別沿棱向前爬行，黑甲殼蟲爬行的路線是AA|ADt，白甲殼蟲爬行的路線是ABBB，并且都遵循如下規(guī)則：所爬行的第n+2與第n條棱所在的直

18、線必須是既不平行也不相交（其中n是正整數(shù)）那么當黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止在所到的正方體頂點處時，它們之間的距離是（）A.0B.1C.匚D.二【考點】勾股定理的應用.【分析】先確定黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止的點，再根據(jù)停止點確定它們之間的距離.【解答】解：根據(jù)題意可知黑甲殼蟲爬行一圈的路線是AA|TAiD|TD|CjTC|CtCBBA,回到起點.乙甲殼蟲爬行一圈的路線是A4BB,tB1C1tC1D1tD1A1tA1A.因此可以判斷兩個甲殼蟲爬行一圈都是6條棱，第 頁（共36頁）第 頁（共36頁）【解答】解：(1)CDLAB于D,且BC=15BD=9,AC

19、=20第27頁(共36頁)因為2013十6=3353，所以黑、白兩個甲殼蟲各爬行完第2013條棱分別停止的點都是C,所以它們之間的距離是0.故選A.【點評】此題是一道趣味性題目，不僅考查了閱讀理解能力，還考查了勾股定理在空間的應用，綜合性較強.三、解答題如圖，已知在厶ABC中，CDLAB于D,AC=20,BC=15,DB=9求DC的長.求AB的長.【考點】勾股定理.【分析】(1)由題意可知三角形CDB是直角三角形，利用已知數(shù)據(jù)和勾股定理直接可求出DC的長;(2)有(1)的數(shù)據(jù)和勾股定理求出AD的長，進而求出AB的長./CDA=ZCDB=90在RtCDB中,cD+bD=cB,CD)+92=152

20、CD=12(2)在RtCDA中，CD+AD=AC122+aD=202AD=16AB=AD+BD=16+9=25C【點評】本題考查了勾股定理，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.22觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？32=4+5,52=12+13,72=24+25,92=40+41,這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？請你結(jié)合有關知識進行研究.若132=a+b,則a,b的值可能是多少?【考點】規(guī)律型：數(shù)字的變化類；勾股數(shù).2，2【分析】觀察三個數(shù)之間的關系可得出規(guī)律：第n組數(shù)為（2n+1）.（

21、、匚I*）22由此規(guī)律解決問題.-I2【解答】解：題目蘊含的規(guī)律為：（2n+1）2=：+工：;22/13=2X6+1,132=；+j一十=84+85,22a=84,b=85.【點評】本題考查了數(shù)字的規(guī)律變化，解答本題的關鍵是仔細觀察所給式子，得出規(guī)律，解決問題.23.如圖，一輪船以16nmi1e/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12nmi1e/h的速度同時從港口出發(fā)向東南方向航行，那么離開港口A2h后，兩船相距多遠?東毛二【考點】勾股定理的應用.【分析】首先根據(jù)方向角得出/BAC=90，再利用勾股定理得出BC的長.【解答】解：一輪船以16nmi1e/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向

22、航行,另一輪船以12nmi1e/h的速度同時從港口出發(fā)向東南方向航行,第 頁(共36頁)第 頁（共36頁）/BAC=90，離開港口A2h后，AB=32nmile,AC=24nmile.二BC=f，.二=40（nmi1e）答：離開港口A2h后，兩船相距40nmile.【點評】此題主要考查了勾股定理的應用以及方向角問題，得出AB,AC的長是解題關鍵.24如圖是用硬紙板做成的四個全等的直角三角形，兩直角邊長分別是長為c的正方形，請你將它們拼成一個能證明勾股定理的圖形.a,b,斜邊長為c和一個邊畫出拼成的這個圖形的示意圖.證明勾股定理.【考點】勾股定理的證明.【專題】作圖題；證明題.【分析】勾股定理的

23、證明可以通過圖形的面積之間的關系來完成.【解答】解法一：（1如圖；b（2）證明：大正方形的面積表示為（a+b）2大正方形的面積也可表示為c2+4Xab222丄222（a+b）2=c2+4Xab,a2+b2+2ab=c2+2abL-ra2+b2=c2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.解法二：（1）如圖（2）證明：大正方形的面積表示為：c2又可以表示為：abx4+(b-a)2c2abx4+(b-a)2,c2=2ab+b2-2ab+a2,2c2=a2+b即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.【點評】禾U用三角形和正方形邊長的關系進行組合圖形，禾U用面積的關系證明勾股定理.25.如圖所示，A、B兩村在河岸CD的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為AC=1kmBD=3km又CD=3km現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向AB兩村輸送自來水，鋪設水管的工程費用為每千米20000元，請你在CD上選擇水廠的位置O,使鋪設水管的費用最省，并求出鋪設水管的總費用.B【考點】作圖一應用與設計作圖；軸