高中物理選擇性必修3精講精煉8.一元線性回歸模型及其應(yīng)用（精講教師含解析）

1、8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用(精講)思維導(dǎo)圖常見(jiàn)考法考點(diǎn)一 樣本中心求參數(shù)【例1-1】(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))若兩個(gè)變量x，y是線性相關(guān)的，且樣本的中心點(diǎn)為，則由這組樣本數(shù)據(jù)算得的回歸直線方程不可能是( )ABCD【答案】D【解析】因?yàn)椋袋c(diǎn)在回歸直線上，所以A有可能；因?yàn)椋袋c(diǎn)在回歸直線上，所以B有可能；因?yàn)椋袋c(diǎn)在回歸直線上，所以C有可能；因?yàn)椋袋c(diǎn)不在回歸直線上，所以D沒(méi)有可能.故選：D.【例1-2】(2021廣西河池)根據(jù)下表中數(shù)據(jù)求得的線性回歸方程是，則( )x456789y908483807568A98B107C110D106【答案】D【解析】由已知得，即故選：D【一隅三反

2、】1(2021河北藁城新冀明中學(xué)高二月考)實(shí)驗(yàn)測(cè)得四組(x，y)的值為(1，2)，(2，3)，(3，4)，(4，5)，則y與x之間的回歸直線方程為( )A B C D【答案】A【解析】由已知可得，所以這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)為，因?yàn)闃颖局行谋卦诨貧w直線上，所以把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，可得只有成立，故選：A.2(2021陜西西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué) )為了研究某班學(xué)生的聽(tīng)力成績(jī)(單位：分)與筆試成績(jī)(單位：分)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取20名學(xué)生，根據(jù)散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間有線性關(guān)系，設(shè)其回歸直線為，已知，若該班某學(xué)生的聽(tīng)力成績(jī)?yōu)?6，據(jù)此估計(jì)其筆試成績(jī)約為( )A99B101C103D105【答案】C【

3、解析】，故；，故，故點(diǎn)在回歸直線上，即，得，即，當(dāng)時(shí)，代入計(jì)算得到.故選：C.3(2021廣東肇慶 )某種兼職工作雖然以計(jì)件的方式計(jì)算工資，但是對(duì)于同一個(gè)人的工資與其工作時(shí)間還是存在一定的相關(guān)關(guān)系，已知小孫的工作時(shí)間(單位：小時(shí))與工資(單位：元)之間的關(guān)系如下表：若與的線性回歸方程為，預(yù)測(cè)當(dāng)工作時(shí)間為小時(shí)時(shí)，工資大約為( )A元B元C元D元【答案】B【解析】由表格數(shù)據(jù)知：，線性回歸方程為，即當(dāng)工作時(shí)間為小時(shí)時(shí)，工資大約為元.故選：B.4(2021全國(guó)高三專題練習(xí))為了研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表，并由此計(jì)算得到回歸直線方程，后來(lái)工作人員不慎將下表中的實(shí)驗(yàn)

4、數(shù)據(jù)丟失.天數(shù)/天34567繁殖個(gè)數(shù)/千個(gè)344.56則上表中丟失的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的值為( )A1B1.5C2D2.5【答案】D【解析】由表中數(shù)據(jù)可得，將點(diǎn)代入中，得，解得，所以丟失的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的值為2.5.故選：D考點(diǎn)二 線性回歸方程【例2】(2021江西贛州)某特色餐館開(kāi)通了美團(tuán)外賣服務(wù)，在一周內(nèi)的某特色菜外賣份數(shù)(份)與收入(元)之間有如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)：外賣分?jǐn)?shù)(份)收入(元)(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)用最小二乘法原理求出收入關(guān)于份數(shù)的線性回歸方程；(3)據(jù)此估計(jì)外賣份數(shù)為份時(shí)，收入為多少元.注：參考方式：線性回歸方程系數(shù)公式，；參考數(shù)據(jù)：，.【答案】(1)圖象見(jiàn)解析(2)(3)【解析

5、】(1)解：作出散點(diǎn)圖如下圖所示：(2)解：，已知，則，因此，線性回歸方程為.(3)解：時(shí)，即外賣份數(shù)為份時(shí)，收入大約為元.【一隅三反】1(2021貴州凱里一中 )凱里市至年農(nóng)村居民家庭純收入(單位：千元)的數(shù)據(jù)如下表：年份年份代號(hào)人均純收入從表出看出，人均純收入與年份代號(hào)線性相關(guān)，已知(1)求關(guān)于的線性回歸方程；(2)預(yù)測(cè)2025年的人均純收入為多少(附：參考公式：，)【答案】(1)(2)6.82【解析】(1)由題中表格知，則，故回歸直線方程為(2)當(dāng)年份為2025年時(shí)，對(duì)應(yīng)的年份代碼，所以，故2025年的人均純收入約為千元.2(2021福建寧德)近年來(lái)，新能源產(chǎn)業(yè)蓬勃發(fā)展，已成為我市的一大

6、支柱產(chǎn)業(yè).據(jù)統(tǒng)計(jì)，我市一家新能源企業(yè)近5個(gè)月的產(chǎn)值如下表：月 份5月6月7月8月9月月份代碼12345產(chǎn)值億元1620273037(1)根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算與的線性相關(guān)系數(shù)，并說(shuō)明與的線性相關(guān)性強(qiáng)弱；(，則認(rèn)為與線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為與線性相關(guān)性不強(qiáng))(2)求出關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)10月該企業(yè)的產(chǎn)值.參考公式：；參考數(shù)據(jù)：.【答案】(1)；相關(guān)系數(shù)較強(qiáng)；(2)；10月該企業(yè)的產(chǎn)值約為億元【解析】(1)，因?yàn)椋耘c線性相關(guān)性較強(qiáng).(2)設(shè)線性回歸方程為：；，即，10月份對(duì)應(yīng)的代碼為，10月該企業(yè)的產(chǎn)值約為億元.3(2021河南高二月考 )有時(shí)候一些東西吃起來(lái)口味越好，對(duì)我們的身體越有害.

7、下表給出了不同品牌的一些食品所含熱量的百分比記為和一些美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)記為：食品品牌12345678910所含熱量的百分比25342019262019241914百分制口味評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)88898078757165626052參考數(shù)據(jù)：，參考公式：，(1)已知這些品牌食品的所含熱量的百分比與美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)具有相關(guān)關(guān)系.試求出回歸方程(最后結(jié)果精確到)；(2)某人只能接受食品所含熱量的百分比為及以下的食品.現(xiàn)在他想從這些食品中隨機(jī)選取兩種購(gòu)買，求他所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上的概率.【答案】(

8、1)(2)【解析】(1)解：設(shè)所求的回歸方程為，由，所求的回歸方程為：.(2)解：由表可知某人只能接受的食品共有種，其中美食家以百分制給出的對(duì)此種食品口味的評(píng)價(jià)為分以上的有種可記為，另外種記為，.任選兩種分別為：，共15個(gè)基本事件.記“所選取的兩種食品至少有一種是美食家以百分制給出的對(duì)此食品口味的評(píng)價(jià)分?jǐn)?shù)為分以上”為事件，則事件包含，共個(gè)基本事件，故事件發(fā)生的概率為.4(2021陜西西安中學(xué) )某連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷售額和利潤(rùn)額資料如表.商店名稱ABCDE銷售額x(千萬(wàn)元)35679利潤(rùn)額y(千萬(wàn)元)23345(1)畫(huà)出銷售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖；(2)若銷售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，

9、用最小二乘法計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程.(參考公式，)(3)若該公司計(jì)劃再開(kāi)一個(gè)店想達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)為8百萬(wàn)，請(qǐng)預(yù)估銷售額需要達(dá)到多少.【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)=0.5x+0.4(3)8百萬(wàn)【解析】(1)(2)由表中的數(shù)據(jù)可得，回歸直線方程恒過(guò)樣本中心，故利潤(rùn)額y對(duì)銷售額x的回歸直線方程為=0.5x+0.4.(3)該公司計(jì)劃再開(kāi)一個(gè)店想達(dá)到預(yù)期利潤(rùn)為8百萬(wàn)，即0.8千萬(wàn)，0.8=0.5x+0.4，解得x=0.8，故預(yù)計(jì)銷售額需要達(dá)到8百萬(wàn).考點(diǎn)三 非線性回歸方程【例3】(2021黑龍江哈爾濱市第六中學(xué)校高二期中)某公司在市場(chǎng)調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)某產(chǎn)品的單位定價(jià)(單位：萬(wàn)元)對(duì)月銷售量(單位

10、：噸)有影響對(duì)不同定價(jià)和月銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，0.244390.164820683956表中.經(jīng)過(guò)分析發(fā)現(xiàn)可以用來(lái)擬合與的關(guān)系.(1)求關(guān)于的回歸方程；(2)若生產(chǎn)噸產(chǎn)品的成本為萬(wàn)元，那么預(yù)計(jì)單位定價(jià)為多少時(shí)，該產(chǎn)品的月利潤(rùn)取最大值，求此時(shí)的月利潤(rùn).附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，【答案】(1)(2)單位定價(jià)為萬(wàn)元時(shí)，月利潤(rùn)最大，最大值為萬(wàn)元.【解析】(1)令，則，則，.(2)設(shè)月利潤(rùn)為，則由已知，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)所以單位定價(jià)為萬(wàn)元時(shí)，月利潤(rùn)最大，最大值為萬(wàn)元.【一隅三反】1(2021重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué))某電器企業(yè)統(tǒng)計(jì)了近年的年利潤(rùn)額(千萬(wàn)元)與投入的年廣告

11、費(fèi)用(十萬(wàn)元)的相關(guān)數(shù)據(jù)，散點(diǎn)圖如圖，對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理：令，得到相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：1515(1)從；三個(gè)函數(shù)中選擇一個(gè)作為年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸類型，判斷哪個(gè)類型符合，不必說(shuō)明理由；(2)根據(jù)(1)中選擇的回歸類型，求出與的回歸方程；(3)預(yù)計(jì)要使年利潤(rùn)額突破億，下一年應(yīng)至少投入多少?gòu)V告費(fèi)用？結(jié)果保留到萬(wàn)元參考數(shù)據(jù)：參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為【答案】(1)選擇回歸類型更好；(2)；(3)下一年應(yīng)至少投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用【解析】(1)由散點(diǎn)圖知，年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸類型并不是直線型的，而是曲線型的，所以選擇回歸類型更好(1)對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)，得：，即，由表中數(shù)據(jù)得

12、：，年廣告費(fèi)用和年利潤(rùn)額的回歸方程為(3)由(2)知：，令得：，解得：，(十萬(wàn)元)，十萬(wàn)元萬(wàn)元下一年應(yīng)至少投入萬(wàn)元廣告費(fèi)用2(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))某地區(qū)不同身高的未成年男性的平均體重如下表，并由表中數(shù)據(jù)作出如圖所示的散點(diǎn)圖.身高60708090100110平均體重6.137.909.9012.1515.0217.50身高120130140150160170平均體重20.9226.8631.1138.8547.2555.06(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷與哪一個(gè)能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性平均體重與身高的關(guān)系？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)(2)令，根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及下表數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程(參考數(shù)據(jù)：，).11524.0532.96143006143.3282【答案】(1)；(2).【解析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖，知能比較近似地反映這個(gè)地區(qū)未成年男性平均體重與身高的高度.(2)由和，得(，)，又，所以，所以，所以關(guān)于的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.3(2021黑龍江肇州 )如圖是某小區(qū)2020年1月至2021年1月當(dāng)月在售二手房均價(jià)(單位：萬(wàn)元/平方米)的散點(diǎn)圖.(圖中月份代碼113分別對(duì)應(yīng)2020年1月2021年1月).根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)處理得到兩個(gè)回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值：殘差平方和總