電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解

1、 PAGE 56第1章 矢量分析例1.1 求標(biāo)量場(chǎng)通過(guò)點(diǎn)M(1, 0, 1)的等值面方程。解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是，則該點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)值為。其等值面方程為 ： 或 例1.2 求矢量場(chǎng)的矢量線方程。解： 矢量線應(yīng)滿足的微分方程為 ：從而有 解之即得矢量方程，c1和c2是積分常數(shù)。例1.3 求函數(shù)在點(diǎn)（1，1，2）處沿方向角的方向?qū)?shù)。 解：由于 , , , 所以 例1.4 求函數(shù)在點(diǎn)處沿著點(diǎn)到點(diǎn)的方向?qū)?shù)。解：點(diǎn)到點(diǎn)的方向矢量為其單位矢量所求方向?qū)?shù)例1.5 已知，求在點(diǎn)和點(diǎn)處的梯度。解：由于 所以 ，例1.6 運(yùn)用散度定理計(jì)算下列積分：S是和所圍成的半球區(qū)域的外表面。解：設(shè)：則由散度定理 可得例1.7 試

2、求和:(1) (2) (3) 解： 例1.8 在球坐標(biāo)中，已知，其中、為常數(shù)，試求此標(biāo)量場(chǎng)的負(fù)梯度構(gòu)成的矢量場(chǎng)，即。解：在球坐標(biāo)戲中，例1.9 在由，和圍成的圓柱形區(qū)域上，對(duì)矢量驗(yàn)證高斯散度定理。解：因?yàn)橐篁?yàn)證高斯散度定理，即需要根據(jù)給出條件分別計(jì)算和，得到二者結(jié)果相同的結(jié)論。在柱坐標(biāo)系下，有在由，和圍成的圓柱形區(qū)域內(nèi)取一個(gè)小體積元，可知，其中、，故 而，和圍成的圓柱形區(qū)域的閉合外表面由三部分構(gòu)成：圓柱上表面（面元矢量，、）、圓柱下表面（面元矢量，、）和圓柱側(cè)表面（面元矢量，、），故有： ，即證。例1.10 現(xiàn)有三個(gè)矢量場(chǎng)、,分別為：，。哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一

3、個(gè)矢量的旋度表示？解：本題考查的是矢量場(chǎng)的場(chǎng)源關(guān)系，即：標(biāo)量函數(shù)的梯度是一個(gè)有散無(wú)旋的場(chǎng)，并根據(jù)發(fā)散場(chǎng)旋度為零，漩渦場(chǎng)散度為零進(jìn)行反推。故先分別求出矢量的散度和旋度：故可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，可以由一個(gè)矢量的旋度表示。 第2章 靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)例2.1 已知半徑為a的球內(nèi)、 外的電場(chǎng)強(qiáng)度為下式所示，求電荷分布。解：由高斯定理的微分形式， 得電荷密度為 用球坐標(biāo)中的散度公式可得：例2.2 一個(gè)半徑為a的均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是，求極化電荷分布。解：建立球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)。 極化電荷體密度為 極化電荷面密度為 例2.3 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為Q，在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的

4、同心介質(zhì)球殼， 殼外是空氣，如圖2.1所示。求空間任一點(diǎn)的以及束縛電荷密度。 圖 2.1解：由介質(zhì)中的高斯定律可知，在區(qū)域內(nèi)：，故 由本構(gòu)方程得：介質(zhì)內(nèi)(arb)： 介質(zhì)外(b0時(shí)。但場(chǎng)點(diǎn)位于zl處的電場(chǎng)為證明：用點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的公式及疊加原理，有當(dāng)rl時(shí),將以上結(jié)果帶入電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式并忽略高階小量，得出圖2.5例2.11 真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷，一個(gè)電荷位于原點(diǎn)，另一個(gè)電荷位于處，求電位為零的等位面方程。解：由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位公式得電位為零的等位面為其中， 等位面方程簡(jiǎn)化為即此方程可以改寫為這是球心在,半徑為的球面。例2.12 如圖2.6所示，一個(gè)圓柱形極化介質(zhì)的極化強(qiáng)度沿其軸方向，介質(zhì)柱的高度

5、為L(zhǎng)，半徑為a，且均勻極化，求束縛體電荷分布及束縛面電荷分布。圖2.6解：選取圓柱坐標(biāo)系計(jì)算，并假設(shè)極化強(qiáng)度沿其軸向方向，如圖示，由于均勻極化，束縛體電荷為。在圓柱的側(cè)面，注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向，極化強(qiáng)度在z方向，故在頂面，外法向?yàn)?，故在底面，外法向?yàn)?，故?.13 假設(shè)x0的區(qū)域?yàn)殡娊赓|(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為，如果空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度（V/m），求電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒(méi)有自由電荷，因而電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在空氣中，由電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量，可以得出介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量；對(duì)于法向分量，用，即 ，并注意，得出。將所得到的切向分量相疊加，得介質(zhì)

6、中的電場(chǎng)為例2.14 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球面套一層厚度為b-a的電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為，假設(shè)導(dǎo)體球帶電q，求任意點(diǎn)的電位。解：在導(dǎo)體球的內(nèi)部，電場(chǎng)強(qiáng)度為0。對(duì)于電介質(zhì)和空氣中的電場(chǎng)分布，用高斯定理計(jì)算。在電介質(zhì)或空氣中的電場(chǎng)取球面為高斯面，由得出電場(chǎng)為： 在介質(zhì)中（arb）。電位為 （arb)例2.15 真空中有兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間距離為d，且da,試計(jì)算兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容。解：因?yàn)榍蛐拈g距遠(yuǎn)大于導(dǎo)體的球的半徑，球面的電荷可以看作是均勻分布。由電位系數(shù)的定義，可得， 讓第一個(gè)導(dǎo)體帶電q, 第二個(gè)導(dǎo)體帶電-q，則 ， 由 化簡(jiǎn)得例2.16 球形電容器內(nèi)，外極板的半徑分別為a,b

7、，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，當(dāng)外加電壓為時(shí)，計(jì)算功率損耗并求電阻。解：設(shè)內(nèi),外極板之間的總電流為，由對(duì)稱性，可以得到極板間的電流密度為 =從而 =，單位體積內(nèi)功率損耗為 =總功率耗損為 P=由P=，得 R=例2.17 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球作為作為電極深埋地下，土壤的電導(dǎo)率為。略去地面的影響，求電極的接地電阻。解：當(dāng)不考慮地面影響時(shí)，這個(gè)問(wèn)題就相當(dāng)于計(jì)算位于無(wú)限大均勻點(diǎn)媒質(zhì)中的導(dǎo)體球的恒定電流問(wèn)題。設(shè)導(dǎo)體球的電流為,則任意點(diǎn)的電流密度為 ，導(dǎo)體球面的電位為（去無(wú)窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)） =接地電阻為 =例2.18 如圖2.7所示，平板電容器間由兩種媒質(zhì)完全填充，厚度分別為和，介電常數(shù)分別為和，電導(dǎo)率分別為和

8、，當(dāng)外加電壓U時(shí)，求分界面上的自由電荷面密度。解：設(shè)電容器極板之間的電流密度為J，則 于是 即 分界面上的自由面電荷密度為 圖2.7例2.19 在電場(chǎng)強(qiáng)度的電場(chǎng)中把帶電量為的點(diǎn)電荷從點(diǎn)移到點(diǎn)，試計(jì)算電場(chǎng)沿下列路徑移動(dòng)電荷所做的功。(1)沿曲線；(2)沿連接該兩點(diǎn)的直線。解：本題要求電場(chǎng)力移動(dòng)電荷所做的功，最直接的辦法就是根據(jù)功=作用力作用距離，由給出的電場(chǎng)強(qiáng)度確定電荷所受電場(chǎng)力，再在對(duì)應(yīng)的移動(dòng)路徑C上進(jìn)行線積分，即。但注意到題目給出的場(chǎng)強(qiáng)為靜電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度，則可根據(jù)靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)，由靜電力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，至于電荷運(yùn)動(dòng)起止點(diǎn)的電位差有關(guān)這一特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。方法一：，此電場(chǎng)為靜電場(chǎng)，電場(chǎng)

9、力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。由可得，電位，其中C為常數(shù)。點(diǎn)到點(diǎn)之間的電位差故無(wú)論是沿曲線還是沿連接該兩點(diǎn)的直線，電場(chǎng)力移動(dòng)電荷所做的功。方法二：電場(chǎng)力，點(diǎn)移到點(diǎn)變化的只是x和y，故有，(1)曲線C： 有 (2)曲線C：，即，有例2.20 球形電容器內(nèi)外導(dǎo)體球半徑分別為a和b，如果保持內(nèi)外導(dǎo)體間電位差U不變，試證明當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系a=b/2時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)最小，并求此最小電場(chǎng)強(qiáng)度。解：要求得內(nèi)導(dǎo)體球表面的最小電場(chǎng)強(qiáng)度，需先求出空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，再根據(jù)高等數(shù)學(xué)中函數(shù)最小值出現(xiàn)在函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)，求出內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)強(qiáng)度最小值，并得到此時(shí)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑之間的關(guān)系。由于內(nèi)

10、外導(dǎo)體球間存在電位差，故內(nèi)導(dǎo)體球表面存在電荷，可設(shè)在內(nèi)導(dǎo)體球面上均勻分布有總量為Q的電荷，因此以導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，內(nèi)導(dǎo)體球面為，外導(dǎo)體球面為。在的區(qū)間包圍原點(diǎn)做一個(gè)半徑為的閉合球面S，由于電荷和電場(chǎng)的分布滿足球?qū)ΨQ，在S上應(yīng)用高斯定理，有設(shè)外導(dǎo)體電位為0，則內(nèi)導(dǎo)體電位為U，將點(diǎn)電荷從內(nèi)導(dǎo)體表面搬到外導(dǎo)體上所需要的電場(chǎng)力所做功為：故可反解出，在內(nèi)導(dǎo)體球表面，有，即，時(shí)有的最值。又時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)有最小值。當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系a=b/2時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)最小。此最小值為。例2.21 電場(chǎng)中一半徑為a的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分布為：驗(yàn)證球表面的邊界條件，并計(jì)算球表面的

11、束縛電荷密度。解：題目給出的邊界面，是介于介質(zhì)和空氣之間的球面，其法向?yàn)榍虻膹较?，切向則為和方向。要驗(yàn)證分界面上的邊界條件，可以從電場(chǎng)矢量方面入手，根據(jù)題目給出電位分布，求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，得到在邊界面上；也可以直接根據(jù)電位的邊界條件，在的分界面上，得到的結(jié)論。而要計(jì)算球面的束縛電荷密度，可根據(jù)來(lái)計(jì)算。1）驗(yàn)證邊界條件：方法一：直接利用電位的邊界條件，有：時(shí)，邊界條件成立。方法二： 分界面上，邊界條件成立。2）計(jì)算球表面的束縛電荷密度： 由上面可得 例2.22 有一半徑為a，帶電荷量為q的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面上，此兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為和，分界面可視為無(wú)限大的平面，求：(1)球

12、的電容量；(2)儲(chǔ)存的總靜電能。解：此導(dǎo)體球?yàn)閱螌?dǎo)體系統(tǒng)，選無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)，球的電容量可由求出，其中為導(dǎo)體球所帶電荷量，即；為導(dǎo)體球表面電位與零電位點(diǎn)的電位差。故求球的電容量，就需求導(dǎo)體球外電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。同樣，靜電場(chǎng)的能量也可由電場(chǎng)強(qiáng)度求出，故本題的核心在于求電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布。圖2.8由圖2.8所示，以導(dǎo)體球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，電荷和電場(chǎng)分布具有球?qū)ΨQ特性。在處做同心的高斯閉合球面，有在和的介質(zhì)分界面上，有，即，故有 ，(1) (2)（注：也可計(jì)算為： ）第4章 恒定磁場(chǎng)例4.1 半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱，如圖4.1所示，磁化強(qiáng)度為(為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化

13、電流和磁化面電流。 圖4.1解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合， 磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z=L處。此時(shí)，磁化電流為在界面z=0上， 在界面z=L上， 在界面r=a上， 例4.2 內(nèi)、外半徑分別為a、b的無(wú)限長(zhǎng)空心圓柱中均勻分布著軸向電流，求柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：使用圓柱坐標(biāo)系。電流密度沿軸線方向?yàn)?由電流的對(duì)稱性，可以知道磁場(chǎng)只有圓周分量。用安培環(huán)路定律計(jì)算不同區(qū)域的磁場(chǎng)。當(dāng)ra時(shí)，磁場(chǎng)為0。當(dāng)arb時(shí)，選取安培回路為半徑等于r 且與導(dǎo)電圓柱的軸線同心的圓。該回路包圍的電流為 =由，得=當(dāng)r時(shí)， 磁感應(yīng)強(qiáng)度如下：時(shí)， ； 時(shí)，為了計(jì)算磁化電流，要求磁化強(qiáng)度：時(shí)，

14、時(shí)， ， 在的界面上計(jì)算磁化面電流時(shí)，可以理解為在兩個(gè)磁介質(zhì)之間有一個(gè)很薄的真空層。這樣，其磁化面電流就是兩個(gè)磁介質(zhì)的磁化面電流之和，即這里的和分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向。如果設(shè)從介質(zhì)1到介質(zhì)2的單位法向是，則有代入界面兩側(cè)的磁化強(qiáng)度，并注意，得例4.7 空氣絕緣的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，通過(guò)的電流為I。設(shè)外導(dǎo)體殼的厚度很薄，因而其儲(chǔ)蓄的能量可以忽略不計(jì)。計(jì)算同軸線單位長(zhǎng)度的儲(chǔ)能，并有此求單位長(zhǎng)度的自感。解： 設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電流均勻分布，用安培環(huán)路定律可求出磁場(chǎng)。時(shí)， ； 時(shí)， 單位長(zhǎng)度的磁場(chǎng)能量為=+=+故得單位長(zhǎng)度的自感為 =+，其中的第一項(xiàng)是內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感。例4.8

15、 一個(gè)長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)圓環(huán)（半徑為）在同一平面內(nèi)，圓心與導(dǎo)線的距離是，證明它們之間互感為。證明：設(shè)直導(dǎo)線位于z軸上，由其產(chǎn)生的磁場(chǎng)其中各量的含義如圖4.4所示。磁通量為上式先對(duì)積分，并用公式 得 所以互感為 圖4.4例4.9 一根通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線埋在不導(dǎo)電的均勻磁性介質(zhì)中。(1)求出，及磁化電流分布；(2)若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動(dòng)，在的半無(wú)窮空間中充滿導(dǎo)磁率為的均勻介質(zhì)，在的半無(wú)窮空間為真空，求出，及磁化電流分布；(3)若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動(dòng)，在的半無(wú)窮空間中充滿導(dǎo)磁率為的均勻介質(zhì)，在的半無(wú)窮空間為真空，求出，及磁化電流分布。解：(1)由安培環(huán)路定律

16、，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線，有：，即故：，。(2)如圖4.5(a)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有：，即，則有：，；，。(3)如圖4.5(b)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有：對(duì)于分界面，處為法向，根據(jù)邊界條件，有，即：，代入安培環(huán)路定律，有，解得，：，；：，。 圖4.5(a) 圖4.5(b)例4.10 半徑為a的無(wú)限長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)線沿軸向通過(guò)電流I。如圖4.6所示，取圖中處為參考點(diǎn)，用拉普拉斯方程求導(dǎo)線外部的標(biāo)量磁位。圖4.6解：對(duì)磁標(biāo)位來(lái)講，它是和磁力線垂直的，而通電長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁力線是以電流為圓心的同心圓，因此磁標(biāo)位就應(yīng)該是r方向的射線，所以應(yīng)該與r

17、和z無(wú)關(guān)，拉普拉斯方程應(yīng)該是：解出來(lái)代入已知條件為參考點(diǎn)，有再以導(dǎo)線為軸心在導(dǎo)線外做一個(gè)近似閉合的回路，起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在的兩側(cè)，由于，比照靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電位之間的關(guān)系，有，則這樣始終有兩個(gè)未知量不能確定。于是又考慮和是同一點(diǎn)，那么參考點(diǎn)也可以看作是，代入中，時(shí)，故，這就只有一個(gè)未知量了。再做參考積分回路，則解得，故例4.11 一橫截面為正方形的環(huán)形鐵心上開(kāi)有一空氣隙，長(zhǎng)度，鐵心內(nèi)半徑，橫截面邊長(zhǎng)，相對(duì)磁導(dǎo)率。鐵心上均有緊密繞有線圈1000匝，如圖4.6所示。忽略氣隙附近的漏磁通，求此線圈的自感。圖4.6解：由于，忽略氣隙附近的漏磁通，根據(jù)磁通連續(xù)性方程，可視將磁感應(yīng)線只在磁環(huán)內(nèi)流動(dòng)，且垂直

18、磁環(huán)截面，磁感應(yīng)線穿過(guò)空氣隙時(shí)仍均勻分布在截面上。設(shè)磁環(huán)上磁感應(yīng)強(qiáng)度為，磁場(chǎng)強(qiáng)度為；氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度為，磁場(chǎng)強(qiáng)度為，由安培環(huán)路定律有：，其中對(duì)于空氣與鐵心的分界面，為法向，根據(jù)邊界條件，有，可得，故有，解得通過(guò)鐵心截面的磁通量 線圈的自感代入數(shù)據(jù)，得 第5章 時(shí)變電磁場(chǎng)例5.1 證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會(huì)有永久的自由電荷分布。解： 將代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，有 由于：所以：，例5.2 設(shè)z=0 的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z0 一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為，試求理想導(dǎo)體表面上的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：假設(shè)t=0 時(shí)，由邊界條件以及的方向可得 例5.

19、3 試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理。圖5.1解：如圖5.1，一段長(zhǎng)度為的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有：在導(dǎo)線表面因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量 它的方向處處指向?qū)Ь€的表面。將坡印廷矢量沿導(dǎo)線段表面積分，有例5.4 在兩導(dǎo)體平板（和）之間的空氣中傳播的電磁波，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，其中為常數(shù)。試求：磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量；兩導(dǎo)體表面上的面電流密度。解:由麥克斯韋方程組得，對(duì)上式積分得，即。導(dǎo)體表面上得電流存在于兩導(dǎo)體相向的一面，故面上，法線，面電流密度；面上，法線，面電流密度。例5.5 一段由理想導(dǎo)體構(gòu)成的

20、同軸線，內(nèi)導(dǎo)體半徑為，外導(dǎo)體半徑為，長(zhǎng)度為，同軸線兩端用理想導(dǎo)體板短路。已知在區(qū)域內(nèi)的電磁場(chǎng)為確定之間的關(guān)系。確定。求及面上的。解：由題意可知，電磁場(chǎng)在同軸線內(nèi)形成駐波狀態(tài)。（1）之間的關(guān)系。因?yàn)樗?（2）因?yàn)?所以 ，（3）因?yàn)槭抢硐雽?dǎo)體構(gòu)成的同軸線，所以邊界條件為 ，在的導(dǎo)體面上，法線，所以 在的導(dǎo)體面上，法線，所以 例5.6 已知真空中電場(chǎng)強(qiáng)度，式中。試求：磁場(chǎng)強(qiáng)度和坡印廷矢量的瞬時(shí)值。對(duì)于給定的z值（例如z0），試確定隨時(shí)間變化的軌跡。磁場(chǎng)能量密度，電場(chǎng)能量密度和坡印廷矢量的時(shí)間平均值。 解：（1）由麥克斯韋方程可得 對(duì)上式積分，得磁場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)值為 故坡印廷矢量的瞬時(shí)值 （2）因?yàn)榈?/p>

21、模和幅角分別為， 所以，隨時(shí)間變化的軌跡是圓。（3）磁場(chǎng)能量密度，電場(chǎng)能量密度和坡印廷矢量的時(shí)間平均值分別為 例5.7 試將麥克斯韋方程組寫成8個(gè)標(biāo)量方程。解：已知麥克斯韋方程組的積分形式為：微分形式為：又因?yàn)橹苯亲鴺?biāo)系中 ，柱坐標(biāo)系中，球坐標(biāo)系中，(1) 直角坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：，麥克斯韋的微分方程可寫為：， ， (2)柱坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：，麥克斯韋的微分方程可寫為：， ， (3)球坐標(biāo)系中，麥克斯韋的積分方程可寫為：，麥克斯韋的微分方程可寫為：， ，例5.8 已知在空氣中，求和。解：由于電場(chǎng)強(qiáng)度應(yīng)滿足空氣中的波動(dòng)方程由于，有 且代入中，有解得又由麥克斯韋方

22、程有 ，例 5.9 設(shè)電場(chǎng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度分別為和，證明其坡印廷矢量的平均值為：證明： ，由坡印廷定理有例5.10 在和的均勻區(qū)域中，有，如果波長(zhǎng)為，求和。解：介質(zhì)中相速度 由題可知，由麥克斯韋方程有 故有 ，第6章 正弦平面電磁波在無(wú)界空間中的傳播例6.1 電磁波在真空中傳播，其電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為試求：工作頻率。磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式。坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。解：（1）由題意可得 所以工作頻率 （2）磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的復(fù)數(shù)表達(dá)式為 其中波阻抗。（3）坡印廷矢量的瞬時(shí)值和時(shí)間平均值。電磁波的瞬時(shí)值為 （V/m） （A/m）所以，坡印廷矢量的瞬時(shí)值 (W/)同理可得坡印廷矢量的時(shí)間平

23、均值 (W/)例6.2 理想介質(zhì)中，有一均勻平面電場(chǎng)波沿z方向傳播，。當(dāng)時(shí)，在處，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅，介質(zhì)的。求當(dāng)時(shí)，在z62(m)處的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量和坡印廷矢量。解：根據(jù)題意，設(shè)均勻平面電場(chǎng)為 式中， 所以 （）當(dāng)，z62m時(shí)，電場(chǎng)強(qiáng)度矢量，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量和坡印廷矢量為 () ()例6.3 已知空氣中一均勻平面電磁波的磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為試求：（1）波長(zhǎng)、轉(zhuǎn)播方向單位矢量及轉(zhuǎn)播方向與z軸的夾角（2）常數(shù)A（3）電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量。解：（1）波長(zhǎng)、轉(zhuǎn)播方向與z軸的夾角分別為， ，（2）解得。（3）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量例6.4 設(shè)無(wú)界理想媒質(zhì)，有電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量：(1) 是否滿足。（2）由求磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量，

24、并說(shuō)明是否表示電磁波。解：采用直角坐標(biāo)系。(1) 考慮到同理，可得 (2) 根據(jù)題意可知，波陣面均為均勻平面，傳播介質(zhì)為理想媒質(zhì)，故有所以，所形成的場(chǎng)在空間均無(wú)能量傳播，即均不能表示電磁波。例6.5 假設(shè)真空中一均勻平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅、波矢量和波長(zhǎng)。（2）電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式。解：（1）依題意知，電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅 而 ， 故波長(zhǎng) 所以波矢量 （2）電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式為磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量的瞬時(shí)表達(dá)式為其中 例6.6 為了抑制無(wú)線電干擾室內(nèi)電子設(shè)備，通常采用厚度為5個(gè)趨膚深度的一層銅皮（）包裹該室。若要求屏蔽的頻率是10kHz100MHz，銅皮的厚度應(yīng)是多

25、少。解：因?yàn)楣ぷ黝l率越高，趨膚深度越小，故銅皮的最小厚度應(yīng)不低于屏蔽10kHz時(shí)所對(duì)應(yīng)的厚度。因?yàn)橼吥w深度所以，銅皮的最小厚度。例6.7 如果要求電子儀器的鋁外殼（）至少為5個(gè)趨膚深度，為防止20kHz200MHz的無(wú)線電干擾，鋁外殼應(yīng)取多厚。解：因?yàn)楣ぷ黝l率越高，趨膚深度越小，故鋁殼的最小厚度應(yīng)不低于屏蔽20kHz時(shí)所對(duì)應(yīng)的厚度。 因?yàn)殇X殼為5個(gè)趨膚深度，故鋁殼的厚度應(yīng)為例6.8 已知平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度試確定其傳播方向和極化狀態(tài)，并判斷它是否為橫電磁波。解：傳播方向上的單位矢量，即E的所有分量均與其傳播方向垂直，所以此波為橫電磁波。顯然均與垂直。又因?yàn)樯鲜街袃蓚€(gè)分量的振幅并不相等，所以此電磁波

26、為右旋橢圓極化波。例6.9 假設(shè)真空中一平面電磁波的波矢量，其電場(chǎng)強(qiáng)度的振幅，極化于z軸方向。試求：電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式。對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。解：電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)表達(dá)式為 其中 （2）對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量為 例6.10 真空中一平面電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為 此電磁波是何種極化？旋向如何？寫出對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。 解：此電磁波的x分量的相位滯后于y分量的相位，且兩分量的振幅相等，故此波為左旋圓極化波。其對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量為例6.11 證明任意方向極化的線極化波可以分解為振幅相同的左旋極化波和右旋極化波的迭加。證明：設(shè)線極化波的傳播方向?yàn)?，取電?chǎng)強(qiáng)度的方向平行于軸，有其中為左旋極化波，為右旋極化波，二者

27、振幅相等。例6.12 已知在自由空間中傳播的電磁波電場(chǎng)強(qiáng)度為，試問(wèn)：(1)該波是不是均勻平面波？(2)試求波的頻率、波長(zhǎng)和相速；(3)試求磁場(chǎng)強(qiáng)度的表達(dá)式；(4)指出波的傳播方向。解：要判斷電磁波是不是均勻平面波，首先需要確定該電磁波的波陣面，如果垂直于波傳播方向的波陣面為平面，則波為平面波；若平面波的電磁場(chǎng)在波陣面上的分布不隨坐標(biāo)變化，則波為均勻平面波。(1)由給出的電場(chǎng)強(qiáng)度可知，電磁波的轉(zhuǎn)播空間為直角坐標(biāo)系，電磁波的等相位面（波陣面）為，隨著時(shí)間的增加，等相位面向方向傳播，波陣面為XOY平面，在XOY平面上，且，故此電磁波為均勻平面電磁波。(2)自由空間即指無(wú)源的真空區(qū)域，真空中的光速，故

28、此電磁波的相速度；由可知，波的角頻率，波數(shù)，故有：頻率，波長(zhǎng)。第8章 導(dǎo)行電磁波例8.1 什么叫截止波長(zhǎng)？為什么只要的波才能在波導(dǎo)中傳輸？解：導(dǎo)行波系統(tǒng)中，對(duì)于不同頻率的電磁波有兩種工作狀態(tài)傳輸與截止。介于傳輸與截止之間的臨界狀態(tài)，即由所確定的狀態(tài)，該狀態(tài)所確定的頻率稱為截止頻率，該頻率所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)稱為截止波長(zhǎng)。由于只有在時(shí)才能存在導(dǎo)行波，則由可知，此時(shí)應(yīng)有 即 所以，只有或的電磁波才能在波導(dǎo)中傳輸。例8.2 何謂工作波長(zhǎng)，截止波長(zhǎng)和波導(dǎo)波長(zhǎng)？它們有何區(qū)別和聯(lián)系？解：工作波長(zhǎng)就是TEM波的相波長(zhǎng)。它由頻率和光速所確定，即 式中，C為光速，稱為自由空間的工作波長(zhǎng)，且。截止波長(zhǎng)是由截止頻率所確定的

29、波長(zhǎng)，且 波導(dǎo)波長(zhǎng)是理想導(dǎo)波系統(tǒng)中的相波長(zhǎng)，即導(dǎo)波系統(tǒng)內(nèi)電磁波的相位改變所經(jīng)過(guò)的距離。波導(dǎo)波長(zhǎng)與的關(guān)系為 例8.3 何謂相速和群速？為什么空氣填充波導(dǎo)中波的相速大于光速，群速小于光速？解：相速是電磁波等相位點(diǎn)移動(dòng)的速度。群速是包絡(luò)波上某一恒定相位點(diǎn)移動(dòng)的速度。根據(jù)平面波斜入射理論，波導(dǎo)內(nèi)的導(dǎo)行波可以被看成平面波向理想金屬表面斜入射得到的，如圖8.1所示。從圖中可以看出，由于理想導(dǎo)體邊界的作用，平面波從等相位面D上的A點(diǎn)到等相位面B上的M點(diǎn)和F點(diǎn)所走過(guò)的距離是不同的，。但在相同的時(shí)間內(nèi)，相位改變量相同。這必要求沿即Z軸方向的導(dǎo)行波的相速比沿方向的平面波的相速大。對(duì)于空氣媒質(zhì)，則有。MCBADEF圖8.1從圖中還可以看出，平面波從A傳到M點(diǎn)，但其能量只是從A傳到E點(diǎn)，顯然，故能量傳播的速度。對(duì)于空氣媒質(zhì)，根據(jù)相對(duì)論，任何物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)速度都不能超過(guò)光速，所以，群速這一體現(xiàn)電磁波物質(zhì)特性，表征電磁波能量傳播快慢的物理量的確小于光速。例8.4 何謂波導(dǎo)的色散特性？波導(dǎo)為什么存在色散特性？解：波導(dǎo)中波的相速和群速都是頻率（活波長(zhǎng)）的函數(shù)。這種相速隨頻率的變化而改變的特性稱為波的色散特性。因此，波導(dǎo)中傳輸?shù)膶?dǎo)行波屬于色散型波。波導(dǎo)中電磁波產(chǎn)生色散的原因是由波導(dǎo)系統(tǒng)本身的特性所導(dǎo)致的，即波導(dǎo)傳輸結(jié)構(gòu)特定的邊界條件使得波導(dǎo)內(nèi)只能傳輸這