2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)(北京卷)

1、2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試北京理科數(shù)學(xué)1.(2016北京,理1)已知集合A=x|x|2,B=-1,0,1,2,3,則AB=()A.0,1B.0,1,2C.-1,0,1D.-1,0,1,2答案C由|x|2,可知-2x2,即A=x|-2xy0,則()A.1x-1y0B.sin C.12x-12yy0,得1x1y,即1x-1yy0及正弦函數(shù)的單調(diào)性,可知sin x-sin y0不一定成立,故選項B不正確;由012y0,可知12x12y,即12x-12yy0,得xy0,xy不一定大于6.(2016北京,理6)某三棱錐的三視圖如圖所示,則該三棱錐的體積為()A.1B.1C.1D.1答案A由三

2、視圖可得,三棱錐的直觀圖如圖,則該三棱錐的體積V=1312111=17.(2016北京,理7)將函數(shù)y=sin2x-3圖象上的點(diǎn)P4,t向左平移s(s0)個單位長度得到點(diǎn)P.若P位于函數(shù)y=sin 2A.t=12,s的最小值為6B.t=32,C.t=12,s的最小值為3D.t=32,答案A設(shè)P(x,y).由題意得,t=sin24-3=12,且P的縱坐標(biāo)與P的縱坐標(biāo)相同,即y=12.又P在函數(shù)y=sin 2x的圖象上,則sin 2x=12,故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x=12+k或58.(2016北京,理8)袋中裝有偶數(shù)個球,其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球,將其中一個球

3、放入甲盒,如果這個球是紅球,就將另一個球放入乙盒,否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程,直到袋中所有球都被放入盒中,則()A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多答案B若乙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個均是紅球;若乙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且紅球放入甲盒;若丙盒中放入的是紅球,則須保證抽到的兩個球是一紅一黑,且黑球放入甲盒;若丙盒中放入的是黑球,則須保證抽到的兩個球都是黑球;又由于袋中有偶數(shù)個球,且紅球、黑球各占一半,則每次從袋中任取兩個球,抽到兩個紅球的次數(shù)與抽到兩個黑球的次數(shù)一定是相

4、等的,故乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多,選B.9.(2016北京,理9)設(shè)aR,若復(fù)數(shù)(1+i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上,則a=.答案-1解析(1+i)(a+i)=a-1+(a+1)iR,a+1=0,即a=-1.10.(2016北京,理10)在(1-2x)6的展開式中,x2的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)答案60解析二項展開式的通項Tr+1=C6r16-r(-2x)r=(-2)rC6rxr,x2的系數(shù)為(-2)211.(2016北京,理11)在極坐標(biāo)系中,直線cos -3sin -1=0與圓=2cos 交于A,B兩點(diǎn),則|AB|=.答案2解析直線cos -3sin -1=0化為直角坐標(biāo)方程

5、為x-3y-1=0,圓=2cos 化為直角坐標(biāo)方程為(x-1)2+y2=1,可知圓心(1,0)在直線x-3y-1=0上,故|AB|=2.12.(2016北京,理12)已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項和.若a1=6,a3+a5=0,則S6=.答案6解析an是等差數(shù)列,a3+a5=2a4=0.a4=0.a4-a1=3d=-6.d=-2.S6=6a1+15d=66+15(-2)=6.13.(2016北京,理13)雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)的漸近線為正方形OABC的邊OA,OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).若正方形答案2解析四邊形OABC是正方形,AOB=45,不妨設(shè)直線OA的方

6、程即雙曲線的一條漸近線的方程為y=x.ba=1,即a=b.又|OB|=22,c=22.a2+b2=c2,即a2+a2=(22)2,可得a=214.(2016北京,理14)設(shè)函數(shù)f(x)=x(1)若a=0,則f(x)的最大值為;(2)若f(x)無最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.答案(1)2(2)(-,-1)解析令g(x)=x3-3x,(x)=-2x.由g(x)=3x2-3=0,得x=1.可判斷當(dāng)x=1時,函數(shù)g(x)的極小值為-2;當(dāng)x=-1時,函數(shù)g(x)的極大值為2,且g(x)與x軸的交點(diǎn)為(-3,0),(0,0),(3,0).又g(x)與(x)圖象的交點(diǎn)為A(-1,2),O(0,0),B(1

7、,-2),故可作出函數(shù)g(x)與(x)的大致圖象如圖所示.(1)當(dāng)a=0時,f(x)=x3-3x,x0,-2x,(2)由圖象知,當(dāng)a-1時,f(x)有最大值f(-1)=2;當(dāng)a-1時,有a3-3a-2a,此時f(x)無最大值,a的取值范圍是(-,-1).15.(2016北京,理15)在ABC中,a2+c2=b2+2ac.(1)求B的大小;(2)求2cos A+cos C的最大值.解(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B=a2又因?yàn)?B,所以B=4(2)由(1)知A+C=32cos A+cos C=2cos A+cos3=2cos A-22cos A+22sin=22cos A+22sin A=co

8、s因?yàn)?A3所以當(dāng)A=4時,2cos A+cos C取得最大值116.(2016北京,理16)A,B,C三個班共有100名學(xué)生,為調(diào)查他們的體育鍛煉情況,通過分層抽樣獲得了部分學(xué)生一周的鍛煉時間,數(shù)據(jù)如下表(單位:小時):A班66.577.58B班6789101112C班34.567.5910.51213.5(1)試估計C班的學(xué)生人數(shù);(2)從A班和C班抽出的學(xué)生中,各隨機(jī)選取一人,A班選出的人記為甲,C班選出的人記為乙.假設(shè)所有學(xué)生的鍛煉時間相互獨(dú)立,求該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長的概率;(3)再從A,B,C三個班中各隨機(jī)抽取一名學(xué)生,他們該周的鍛煉時間分別是7,9,8.25(單位:小時

9、),這3個新數(shù)據(jù)與表格中的數(shù)據(jù)構(gòu)成的新樣本的平均數(shù)記為1,表格中數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為0,試判斷0和1的大小.(結(jié)論不要求證明)解(1)由題意知,抽出的20名學(xué)生中,來自C班的學(xué)生有8名.根據(jù)分層抽樣方法,C班的學(xué)生人數(shù)估計為100820=40(2)設(shè)事件Ai為“甲是現(xiàn)有樣本中A班的第i個人”,i=1,2,5,事件Cj為“乙是現(xiàn)有樣本中C班的第j個人”,j=1,2,8.由題意可知,P(Ai)=15,i=1,2,5;P(Cj)=18,j=1,2,P(AiCj)=P(Ai)P(Cj)=1518=140,i=1,2,設(shè)事件E為“該周甲的鍛煉時間比乙的鍛煉時間長”.由題意知,E=A1C1A1C2A2C1A2

10、C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2A5C3A5C4.因此P(E)=P(A1C1)+P(A1C2)+P(A2C1)+P(A2C2)+P(A2C3)+P(A3C1)+P(A3C2)+P(A3C3)+P(A4C1)+P(A4C2)+P(A4C3)+P(A5C1)+P(A5C2)+P(A5C3)+P(A5C4)=15140(3)10.17.(2016北京,理17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,ABAD,AB=1,AD=2,AC=CD=5.(1)求證:PD平面PAB;(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;(3)

11、在棱PA上是否存在點(diǎn)M,使得BM平面PCD?若存在,求AMAP的值;若不存在,說明理由解(1)因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,ABAD,所以AB平面PAD.所以ABPD.又因?yàn)镻APD,所以PD平面PAB.(2)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,CO.因?yàn)镻A=PD,所以POAD.又因?yàn)镻O平面PAD,平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.因?yàn)镃O平面ABCD,所以POCO.因?yàn)锳C=CD,所以COAD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.由題意得,A(0,1,0),B(1,1,0),C(2,0,0),D(0,-1,0),P(0,0,1).設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則n令z=2,則x

12、=1,y=-2.所以n=(1,-2,2).又PB=(1,1,-1),所以cos=nPB|所以直線PB與平面PCD所成角的正弦值為33(3)設(shè)M是棱PA上一點(diǎn),則存在0,1使得AM=AP.因此點(diǎn)M(0,1-,),BM=(-1,-,).因?yàn)锽M平面PCD,所以BM平面PCD當(dāng)且僅當(dāng)BMn=0,即(-1,-,)(1,-2,2)=0.解得=14所以在棱PA上存在點(diǎn)M使得BM平面PCD,此時AMAP18.(2016北京,理18)設(shè)函數(shù)f(x)=xea-x+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2)處的切線方程為y=(e-1)x+4.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間.解(1)因?yàn)閒(x)=xe

13、a-x+bx,所以f(x)=(1-x)ea-x+b.依題設(shè),f解得a=2,b=e.(2)由(1)知f(x)=xe2-x+ex.由f(x)=e2-x(1-x+ex-1)及e2-x0知,f(x)與1-x+ex-1同號.令g(x)=1-x+ex-1,則g(x)=-1+ex-1.所以,當(dāng)x(-,1)時,g(x)0,g(x)在區(qū)間(1,+)上單調(diào)遞增.故g(1)=1是g(x)在區(qū)間(-,+)上的最小值,從而g(x)0,x(-,+).綜上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-,+).19.(2016北京,理19)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,A(a,0

14、),B(0,(1)求橢圓C的方程;(2)設(shè)P是橢圓C上一點(diǎn),直線PA與y軸交于點(diǎn)M,直線PB與x軸交于點(diǎn)N,求證:|AN|BM|為定值.解(1)由題意得ca=32,1所以橢圓C的方程為x24+y2=(2)由(1)知,A(2,0),B(0,1).設(shè)P(x0,y0),則x02+4y0當(dāng)x00時,直線PA的方程為y=y0 x0-令x=0,得yM=-2y從而|BM|=|1-yM|=1+2直線PB的方程為y=y0-1令y=0,得xN=-x0從而|AN|=|2-xN|=2+x所以|AN|BM|=2+=x=4x0y當(dāng)x0=0時,y0=-1,|BM|=2,|AN|=2,所以|AN|BM|=4.綜上,|AN|BM|為定值.20.(2016北京,理20)設(shè)數(shù)列A:a1,a2,aN(N2).如果對小于n(2nN)的每個正整數(shù)k都有aka1,則G(A);(3)證明:若數(shù)列A滿足an-an-11(n=2,3,N),則G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1.解(1)G(A)的元素為2和5.(2)因?yàn)榇嬖赼n使得ana1,所以iN*|2iN,aia1.記m=miniN*|2iN,aia1,則m2,且對任意正整數(shù)