高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第三冊(cè)分章節(jié)課件

6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第1課時(shí)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥今年暑假期間,如果你想去北京旅游,可供選擇的比較理想的旅游路線中,坐動(dòng)車有三條,坐飛機(jī)有兩條,坐汽車有兩條,那么你可以選擇的旅游的往返路線共有幾條呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理的注意事項(xiàng)(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎么才算是完成這件事.(2)完成這件事的n類方案,無(wú)論用哪類方案中的哪種方法都可以單獨(dú)完成這件事,而不需要再用到其他的方法.(3)確立恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn),準(zhǔn)確地對(duì)“這件事”進(jìn)行分類,要求每一種方法必屬于某一類方案,不同類方案的任意兩種方法不同,也就是分類必須既“不重復(fù)”也“不遺漏”.從集合的角度看,若完成一件事分A,B兩類方案,則A∩B=?,A∪B=U(U表示全集).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)已知某校高二(1)班有54人,高二(2)班有56人,現(xiàn)從這兩個(gè)班中任選一人去參加演講比賽,則共有

種不同的選法.

(2)某人從甲地到乙地,可以乘火車,也可以坐輪船,在這一天的不同時(shí)間里,火車有4趟,輪船有3班,則此人的走法共有

種.

解析:(1)若這個(gè)人來(lái)自(1)班,則有54種不同的選法;若來(lái)自(2)班,則有56種不同的選法,所以共有110種不同的選法.(2)因?yàn)槟橙藦募椎氐揭业?乘火車的走法有4種,坐輪船的走法有3種,每一種方法都能從甲地到乙地.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得此人的走法共有4+3=7(種).答案:(1)110

(2)7激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.名師點(diǎn)析應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理的注意事項(xiàng)(1)明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事必須要完成幾步.(2)完成這件事需要分成若干個(gè)步驟,只有每個(gè)步驟都完成了,才算完成這件事,缺少哪一步,這件事都不可能完成.(3)根據(jù)題意正確分步,要求各步之間必須連續(xù),只有按照這幾步逐步地去做,才能完成這件事,各步驟之間既不能重復(fù)也不能遺漏.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考如何區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步?提示:區(qū)分“完成一件事”是分類還是分步,關(guān)鍵看一步能否完成這件事,若能完成,則是分類,否則,是分步.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)已知某乒乓球隊(duì)有男隊(duì)員9人、女隊(duì)員8人,現(xiàn)從男、女隊(duì)員中各選1人去參加比賽,則共有

種不同的選法.

解析:先從男隊(duì)員中選1人,有9種不同的選法,再?gòu)呐?duì)員中選1人,有8種不同的選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,得共有9×8=72(種)不同的選法.答案:72激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系:都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問(wèn)題.2.區(qū)別:分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問(wèn)題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問(wèn)題,各個(gè)步驟中的方法互相依存,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)從書(shū)架上任取數(shù)學(xué)書(shū)、語(yǔ)文書(shū)各一本是分類問(wèn)題.(

)(2)分步乘法計(jì)數(shù)原理是指完成其中一步就完成了整件事情.(

)(3)分類加法計(jì)數(shù)原理可用來(lái)求完成一件事有若干類方法這類問(wèn)題.(

)(4)從甲地經(jīng)丙地到乙地是分步問(wèn)題.(

)答案:(1)×

(2)×

(3)√

(4)√探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)分類加法計(jì)數(shù)原理例1某校高三共有三個(gè)班,各班人數(shù)如下表:班別男生人數(shù)女生人數(shù)總?cè)藬?shù)高三(1)班302050高三(2)班303060高三(3)班352055(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,有多少種不同的選法?(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)思路分析:(1)從每個(gè)班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席都能獨(dú)立地完成這件事,因此應(yīng)采用分類加法計(jì)數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計(jì)數(shù)原理.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選出1名學(xué)生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從三個(gè)班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席,共有50+60+55=165(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有三類不同的方案.第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知,從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會(huì)生活部部長(zhǎng),共有30+30+20=80(種)不同的選法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣分類加法計(jì)數(shù)原理:完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,……,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同的方法.2.能用分類加法計(jì)數(shù)原理解決的問(wèn)題具有如下特點(diǎn)(1)完成一件事有若干種方案,這些方案可以分成n類;(2)用每一類中的每一種方法都可以單獨(dú)完成這件事;(3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般步驟(1)分類,即將完成這件事情的方法分成若干類;(2)計(jì)數(shù),求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將各類的方法數(shù)相加得出結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1甲盒中有3個(gè)編號(hào)不同的紅球,乙盒中有5個(gè)編號(hào)不同的白球,某同學(xué)要從甲、乙兩盒中摸出1個(gè)球,則不同的方法有(

)A.3種 B.5種 C.8種 D.15種解析:要完成“摸出1個(gè)球”這件事,有兩類不同的方法.第1類,從甲盒中取出1個(gè)球,有3種不同的取法;第2類,從乙盒中取出1個(gè)球,有5種不同的取法.故共有3+5=8(種)不同的方法.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)分步乘法計(jì)數(shù)原理例2一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))解:按從左到右的順序撥號(hào)可以分四步完成:第1步,有10種撥號(hào)方式,所以m1=10;第2步,有10種撥號(hào)方式,所以m2=10;第3步,有10種撥號(hào)方式,所以m3=10;第4步,有10種撥號(hào)方式,所以m4=10.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10

000(個(gè))四位數(shù)的號(hào)碼.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

若各位上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼?解:按從左到右的順序撥號(hào)可以分四步完成:第1步,有10種撥號(hào)方式,即m1=10;第2步,去掉第1步撥的數(shù)字,有9種撥號(hào)方式,即m2=9;第3步,去掉前兩步撥的數(shù)字,有8種撥號(hào)方式,即m3=8;第4步,去掉前三步撥的數(shù)字,有7種撥號(hào)方式,即m4=7.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5

040(個(gè))四位數(shù)的號(hào)碼.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路(1)分步,將完成這件事的過(guò)程分成若干步;(2)計(jì)數(shù),求出每一步中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2張老師要從教學(xué)樓的一層走到三層,已知從一層到二層有4個(gè)扶梯可走,從二層到三層有2個(gè)扶梯可走,則張老師從一層到三層有多少種不同的走法?解:第1步,從一層到二層有4種不同的走法;第2步,從二層到三層有2種不同的走法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,張老師從教學(xué)樓的一層到三層的不同走法有4×2=8(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例3現(xiàn)有高一四個(gè)班的學(xué)生34人,其中一、二、三、四班各有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組.(1)選其中一人為負(fù)責(zé)人,有多少種不同的選法?(2)每班選一名組長(zhǎng),有多少種不同的選法?(3)推選兩人做中心發(fā)言,這兩人需來(lái)自不同的班級(jí),有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)分四類:第1類,從一班學(xué)生中選1人,有7種選法;第2類,從二班學(xué)生中選1人,有8種選法;第3類,從三班學(xué)生中選1人,有9種選法;第4類,從四班學(xué)生中選1人,有10種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有不同的選法N=7+8+9+10=34(種).(2)分四步:第1、2、3、4步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長(zhǎng).由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有不同的選法N=7×8×9×10=5

040(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)(3)分六類,每類又分兩步.從一、二班學(xué)生中各選1人,有7×8種不同的選法;從一、三班學(xué)生中各選1人,有7×9種不同的選法;從一、四班學(xué)生中各選1人,有7×10種不同的選法;從二、三班學(xué)生中各選1人,有8×9種不同的選法;從二、四班學(xué)生中各選1人,有8×10種不同的選法;從三、四班學(xué)生中各選1人,有9×10種不同的選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知共有不同的選法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=431(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.使用兩個(gè)原理的原則使用兩個(gè)原理解題時(shí),一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對(duì)于較復(fù)雜應(yīng)用問(wèn)題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計(jì)數(shù)原理;“分步”就是把問(wèn)題分化為幾個(gè)互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時(shí)可用分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的四個(gè)步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3如圖,從甲地到乙地有3條公路可走,從乙地到丙地有2條公路可走,從甲地不經(jīng)過(guò)乙地到丙地有2條水路可走.從甲地到丙地共有多少種不同的走法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:要從甲地到丙地共有兩類不同的方案:第1類,從甲地經(jīng)乙地到丙地,共需兩步完成,第1步,從甲地到乙地,有3條公路可走;第2步,從乙地到丙地,有2條公路可走.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,從甲地經(jīng)乙地到丙地有3×2=6(種)不同的走法.第2類,從甲地不經(jīng)乙地到丙地,有2條水路可走,即有2種不同的走法.由分類加法計(jì)數(shù)原理知,從甲地到丙地共有6+2=8(種)不同的走法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)分類討論思想的應(yīng)用典例在某種信息傳輸過(guò)程中,用4個(gè)數(shù)字的一個(gè)排列(數(shù)字允許重復(fù))表示一個(gè)信息,不同排列表示不同信息.若所用數(shù)字只有0和1,則與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為(

)A.10 B.11 C.12 D.15探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:分0個(gè)相同、1個(gè)相同、2個(gè)相同討論.(1)若0個(gè)相同,則信息為1001,共1個(gè).(2)若1個(gè)相同,則信息為0001,1101,1011,1000,共4個(gè).(3)若2個(gè)相同,又分為以下情況:①若位置一與二相同,則信息為0101;②若位置一與三相同,則信息為0011;③若位置一與四相同,則信息為0000;④若位置二與三相同,則信息為1111;⑤若位置二與四相同,則信息為1100;⑥若位置三與四相同,則信息為1010.共有6個(gè).故與信息0110至多有兩個(gè)對(duì)應(yīng)位置上的數(shù)字相同的信息個(gè)數(shù)為1+4+6=11.答案:B

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

利用分類加法計(jì)數(shù)原理解題時(shí)的注意點(diǎn)(1)切實(shí)理解“完成一件事”的含義,根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn),分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一,不能遺漏;(2)分類時(shí),注意完成這件事情的任何一種方法必屬于某一類方案,分類的關(guān)鍵在于做到“不重不漏”;(3)確定題目中是否有特殊條件限制.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.某校高一年級(jí)共8個(gè)班,高二年級(jí)共6個(gè)班,從中選一個(gè)班級(jí)擔(dān)任學(xué)校星期一早晨升旗任務(wù),安排方法共有(

)A.8種 B.6種 C.14種 D.48種解析:由分類加法計(jì)數(shù)原理,得完成升旗這一任務(wù)分兩類,安排方法共有8+6=14(種).答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和7條不同顏色的長(zhǎng)褲,如果一條長(zhǎng)褲與一件上衣配成一套,那么不同的配法種數(shù)為(

)A.11 B.28 C.16384 D.2401解析:要完成配套,分兩步:第1步,選上衣,從4件上衣中任選一件,有4種不同的選法;第2步,選長(zhǎng)褲,從7條長(zhǎng)褲中任選一條,有7種不同的選法.故共有4×7=28(種)不同的配法.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.(2020山東濟(jì)南高三三模)中國(guó)有十二生肖,又叫十二屬相,每一個(gè)人的出生年份對(duì)應(yīng)了十二種動(dòng)物(鼠、牛、虎、兔、龍、蛇、馬、羊、猴、雞、狗、豬)中的一種.現(xiàn)有十二生肖的吉祥物各一個(gè),已知甲同學(xué)喜歡牛、馬和猴,乙同學(xué)喜歡牛、狗和羊,丙同學(xué)所有的吉祥物都喜歡,讓甲、乙、丙三位同學(xué)依次從中選一個(gè)作為禮物珍藏,若各人所選取的禮物都是自己喜歡的,則不同的選法有(

)A.50種 B.60種 C.80種 D.90種探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:根據(jù)題意,按甲的選擇不同分成2種情況討論:若甲選擇牛,此時(shí)乙的選擇有2種,丙的選擇有10種,此時(shí)有2×10=20(種)不同的選法.若甲選擇馬或猴,此時(shí)甲的選擇有2種,乙的選擇有3種,丙的選擇有10種,此時(shí)有2×3×10=60(種)不同的選法.一共有20+60=80(種)不同的選法.故選C.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.從集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a,b組成復(fù)數(shù)a+bi,其中虛數(shù)有

個(gè).

解析:第1步,確定數(shù)b,有6種不同取值;第2步,確定數(shù)a,也有6種不同取值.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,知共有虛數(shù)6×6=36(個(gè)).答案:36探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.某校高中三年級(jí)一班有優(yōu)秀團(tuán)員8人,二班有優(yōu)秀團(tuán)員10人,三班有優(yōu)秀團(tuán)員6人,學(xué)校組織他們?nèi)⒂^某愛(ài)國(guó)主義教育基地.若推選1人為總負(fù)責(zé)人,有

種不同的選法.

解析:分三類:第1類,從一班的8名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生,有8種不同的選法;第2類,從二班的10名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生,有10種不同的選法;第3類,從三班的6名優(yōu)秀團(tuán)員中產(chǎn)生,有6種不同的選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得,共有N=8+10+6=24(種)不同的選法.答案:246.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第2課時(shí)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥電視臺(tái)在“歡樂(lè)今宵”節(jié)目中拿出兩個(gè)信箱,其中存放著先后兩次競(jìng)猜中成績(jī)優(yōu)秀的觀眾來(lái)信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封,現(xiàn)由主持人抽獎(jiǎng)決定幸運(yùn)觀眾,若先確定一名幸運(yùn)之星,再?gòu)膬尚畔渲懈鞔_定一名幸運(yùn)伙伴,有多少種不同的選擇?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別1.聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理都是解決計(jì)數(shù)問(wèn)題最基本、最重要的方法.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥2.區(qū)別

類型分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類方案,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個(gè)步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類方案中的每種方法都能獨(dú)立地完成這件事,它是獨(dú)立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類方案之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨(dú)立”確保不重復(fù)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析處理具體問(wèn)題時(shí),一是合理分類,準(zhǔn)確分步:分類時(shí),要不重不漏;分步時(shí),要合理設(shè)計(jì)步驟、順序,使各步互不干擾.對(duì)于一些較復(fù)雜的題目,往往既要分類又要分步.二是特殊優(yōu)先,一般在后:解含有特殊元素、特殊位置的計(jì)數(shù)問(wèn)題時(shí),應(yīng)優(yōu)先安排特殊元素,優(yōu)先確定特殊位置,再考慮其他元素與其他位置.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考分類“不重不漏”的含義是什么?提示:分類時(shí),首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.一般地,標(biāo)準(zhǔn)不同,分類的結(jié)果也不同;其次,分類時(shí)要注意滿足一個(gè)基本要求:完成這件事的任何一種方法必須屬于且只能屬于某一類方案.簡(jiǎn)單地說(shuō),就是應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理時(shí)要做到“不重不漏”.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)某小組有8名男生、6名女生,從中任選男生、女生各一名去參加座談會(huì),則不同的選法有(

)A.48種 B.24種 C.14種 D.12種(2)一項(xiàng)工作可以用兩種方法完成,有3人會(huì)用第1種方法完成,有5人會(huì)用第2種方法完成,從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作,不同的選法種數(shù)是(

)A.8 B.15 C.16 D.30(3)用數(shù)字2,3組成四位數(shù),且數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次,這樣的四位數(shù)共有

個(gè).

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥解析:(1)從8名男生中任意挑選一名參加座談會(huì),有8種不同的選法;從6名女生中任意挑選一名參加座談會(huì),有6種不同的選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,不同選法共有8×6=48(種).(2)第1類,從會(huì)第1種方法的3人中選1人,有3種不同的選法;第2類,從會(huì)第2種方法的5人中選1人,有5種不同的選法,共有5+3=8(種)不同的選法.(3)可用排除法,這個(gè)四位數(shù)每一位上的數(shù)只能是2或3,則這樣的四位數(shù)共有24個(gè).而題目要求數(shù)字2,3都至少出現(xiàn)一次,所以全是2或全是3的四位數(shù)不滿足,即滿足要求的四位數(shù)有24-2=14(個(gè)).答案:(1)A

(2)A

(3)14探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)組數(shù)問(wèn)題例1用0,1,2,3,4五個(gè)數(shù)字,(1)可以組成多少個(gè)三位數(shù)字的電話號(hào)碼?(2)可以組成多少個(gè)三位數(shù)?(3)可以組成多少個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)三位數(shù)字的電話號(hào)碼,百位上的數(shù)字可以是0,數(shù)字也可以重復(fù),每個(gè)位置上的數(shù)字都有5種取法,可以組成5×5×5=53=125(個(gè))三位數(shù)字的電話號(hào)碼.(2)三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能為0,但可以有重復(fù)數(shù)字,首先考慮百位上的數(shù)字的取法,除0外共有4種取法,個(gè)、十位上的數(shù)字可以取0,因此,可以組成4×5×5=100(個(gè))三位數(shù).(3)被2整除的數(shù)即偶數(shù),個(gè)位數(shù)字可取0,2,4,因此,可以分兩類,一類是個(gè)位數(shù)字是0,可以組成4×3=12(個(gè))三位數(shù);一類是個(gè)位數(shù)字不是0,則個(gè)位上的數(shù)字有2種取法,即2或4,再考慮百位上的數(shù)字,因?yàn)?不能是百位上的數(shù)字,所以有3種取法,十位有3種取法,因此有2×3×3=18(個(gè))三位數(shù).因而有12+18=30(個(gè))三位數(shù).即可以組成30個(gè)能被2整除的無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

由本例中的五個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)?解:完成“組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)”這件事,可以分四步:第1步定個(gè)位,只能從1,3中任取一個(gè),有2種方法;第2步定千位,把1,2,3,4中除去用過(guò)的一個(gè)數(shù),在剩下的3個(gè)數(shù)中任取一個(gè),有3種方法;第3步,第4步把剩下的包括0在內(nèi)的3個(gè)數(shù)字先排百位,有3種方法,再排十位,有2種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共能組成2×3×3×2=36(個(gè))無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

對(duì)于組數(shù)問(wèn)題應(yīng)掌握的原則(1)明確特殊位置或特殊數(shù)字,是我們采用“分類”還是“分步”的關(guān)鍵.一般按特殊位置分類,分類中再按特殊位置(或特殊元素)優(yōu)先的策略分步完成;如果正面分類較多,可采用間接法求解.(2)要注意數(shù)字“0”不能排在兩位數(shù)字或兩位數(shù)字以上的數(shù)的最高位.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1從0,2中選一個(gè)數(shù)字,從1,3,5中選兩個(gè)數(shù)字,組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.24 B.18 C.12 D.6解析:由于題目要求是奇數(shù),那么對(duì)于此三位數(shù)可以分成兩種情況:奇偶奇,偶奇奇.如果是第一種奇偶奇的情況,可以從個(gè)位開(kāi)始分析(3種情況),之后十位(2種情況),最后百位(2種情況),共12種情況;如果是第二種偶奇奇的情況,則個(gè)位(3種情況),十位(2種情況),百位(不能是0,一種情況),共6種.因此總共有12+6=18(種)情況.故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)抽取(分配)問(wèn)題例2高三年級(jí)的三個(gè)班到甲、乙、丙、丁四個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐,其中甲工廠必須有班級(jí)去,每班去哪個(gè)工廠可自由選擇,則不同的分配方案有(

)A.16種 B.18種 C.37種 D.48種思路分析:解決此類問(wèn)題可以用直接法先分類再分步,也可用排除法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:(方法一

直接法)以甲工廠分配班級(jí)情況進(jìn)行分類,共分為三類.第1類,三個(gè)班級(jí)都去甲工廠,此時(shí)分配方案只有1種;第2類,有兩個(gè)班級(jí)去甲工廠,剩下的班級(jí)去另外三個(gè)工廠,其分配方案有3×3=9(種);第3類,有一個(gè)班級(jí)去甲工廠,另外兩個(gè)班級(jí)去其他三個(gè)工廠,其分配方案有3×3×3=27(種).綜上所述,不同的分配方案共有1+9+27=37(種).(方法二

間接法)先計(jì)算三個(gè)班自由選擇去哪個(gè)工廠的總數(shù),再扣除甲工廠無(wú)人去的情況,即有4×4×4-3×3×3=37(種)不同的分配方案.答案:C

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

解決抽取(分配)問(wèn)題的方法(1)當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目不大時(shí),一般選用列舉法、樹(shù)狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當(dāng)涉及對(duì)象的數(shù)目很大時(shí),一般有兩種方法:①直接使用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進(jìn)行;若是按對(duì)象特征抽取的,則按分類進(jìn)行.②間接法.去掉限制條件,計(jì)算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練2

7名學(xué)生中有3名學(xué)生會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋,有2名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋,另2名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從中選出會(huì)下象棋和會(huì)下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:第1類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N1=3×2=6(種).第2類,從3名只會(huì)下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N2=3×2=6(種).第3類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時(shí)從2名只會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得N3=2×2=4(種).第4類,從2名既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)涂色問(wèn)題例3將紅、黃、藍(lán)、白、黑五種顏色涂在如圖所示“田”字形的4個(gè)小方格內(nèi),每格涂一種顏色,相鄰兩格涂不同的顏色,如果顏色可以反復(fù)使用,共有多少種不同的涂色方法?思路分析:注意考慮不相鄰區(qū)域顏色是否相同.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:第1個(gè)小方格可以從五種顏色中任取一種顏色涂上,有5種不同的涂法.①當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂不同顏色時(shí),有4×3=12(種)不同的涂法,第4個(gè)小方格有3種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×12×3=180(種)不同的涂法.②當(dāng)?shù)?個(gè)、第3個(gè)小方格涂相同顏色時(shí),有4種涂法,由于相鄰兩格不同色,因此,第4個(gè)小方格也有4種不同的涂法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有5×4×4=80(種)不同的涂法.由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有180+80=260(種)不同的涂法.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

本例中的區(qū)域改為如圖所示,其他條件均不變,則不同的涂法共有多少種?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:依題意,可分兩類:①④不同色;①④同色.

第1類,①④不同色,則①②③④所涂的顏色各不相同,我們可將這件事情分成四步來(lái)完成.第1步涂①,從5種顏色中任選一種,有5種涂法;第2步涂②,從余下的4種顏色中任選一種,有4種涂法;第3步涂③與第4步涂④時(shí),分別有3種涂法和2種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法為5×4×3×2=120(種).第2類,①④同色,則①②③不同色,我們可將涂色工作分成三步來(lái)完成.第1步涂①④,有5種涂法;第2步涂②,有4種涂法;第3步涂③,有3種涂法.于是由分步乘法計(jì)數(shù)原理得,不同的涂法有5×4×3=60(種).綜上可知,所求的涂色方法共有120+60=180(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

解決涂色(種植)問(wèn)題的一般思路涂色問(wèn)題一般是綜合利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解,有幾種常用方法:(1)按區(qū)域的不同,以區(qū)域?yàn)橹鞣植接?jì)數(shù),用分步乘法計(jì)數(shù)原理分析.(2)以顏色為主分類討論,適用于“區(qū)域、點(diǎn)、線段”等問(wèn)題,用分類加法計(jì)數(shù)原理分析.(3)將空間問(wèn)題平面化,轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域的涂色問(wèn)題.種植問(wèn)題按種植的順序分步進(jìn)行,用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)或按種植品種恰當(dāng)選取情況分類,用分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3如圖所示的幾何體是由一個(gè)三棱錐P-ABC與三棱柱ABC-A1B1C1組合而成的,現(xiàn)用3種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面A1B1C1不涂色),要求相鄰的面均不同色,則不同的涂色方案共有

種.

解析:先涂三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面,再涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面,由分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有3×2×1×2=12(種)不同的涂法.答案:12探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)元素重復(fù)選取的計(jì)數(shù)問(wèn)題典例(1)5名學(xué)生從4項(xiàng)體育項(xiàng)目中選取一項(xiàng)參賽,若每一名學(xué)生只能參加一項(xiàng),則有多少種不同的參賽方法?(2)若5名學(xué)生爭(zhēng)奪4項(xiàng)比賽冠軍(每一名學(xué)生參賽項(xiàng)目不限,沒(méi)有并列冠軍),則冠軍獲得者有幾種不同情況?解:(1)每名學(xué)生都可從4項(xiàng)體育項(xiàng)目中選一項(xiàng),有4種選法,故5名學(xué)生的參賽方法有4×4×4×4×4=45=1

024(種).(2)每個(gè)冠軍皆有可能被5名學(xué)生中任1人獲得,則冠軍獲得者的不同情況有5×5×5×5=54=625(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

解答這類問(wèn)題,切忌死記公式“mn”和“nm”.而應(yīng)弄清哪類元素必須用完,從而以它為主進(jìn)行分析,再用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.實(shí)際上,哪類元素允許重復(fù)選取,就以哪類元素的個(gè)數(shù)為冪的底數(shù).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法的種數(shù)為(

)A.30 B.20 C.10 D.6解析:從0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字中,任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,和為偶數(shù)可分為兩類,①取出的兩數(shù)都是偶數(shù),共有3種取法;②取出的兩數(shù)都是奇數(shù),共有3種取法.故由分類加法計(jì)數(shù)原理得,共有N=3+3=6(種)取法.答案:D探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)2.將一個(gè)四棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色,并使同一條棱的兩個(gè)端點(diǎn)異色,若只有4種顏色可供使用,則不同的染色方法共有(

)A.48種 B.72種

C.96種 D.108種解析:設(shè)四棱錐為P-ABCD.當(dāng)A,C顏色相同時(shí),先染P有4種方法,再染A,C有3種方法,然后染B有2種方法,最后染D也有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×2×2=48(種)方法;當(dāng)A,C顏色不相同時(shí),先染P有4種方法,再染A有3種方法,然后染C有2種方法,最后染B,D都有1種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有4×3×2×1×1=24(種)方法.綜上,共有48+24=72(種)方法.故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.(2020甘肅靖遠(yuǎn)第四中學(xué)高二期中)我校兼程樓共有5層,每層均有兩個(gè)樓梯,由一樓到五樓的走法有(

)A.10種 B.16種 C.25種 D.32種解析:走法共分四步,一層到二層2種,二層到三層2種,三層到四層2種,四層到五層2種,一共24=16(種).故選B.答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.某藝術(shù)小組有9人,每人至少會(huì)鋼琴和小號(hào)中的一種樂(lè)器,其中7人會(huì)鋼琴,3人會(huì)小號(hào),從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號(hào)的各1人,有多少種不同的選法?解:由題意可知,在藝術(shù)小組9人中,有且僅有1人既會(huì)鋼琴又會(huì)小號(hào)(把該人記為甲),只會(huì)鋼琴的有6人,只會(huì)小號(hào)的有2人.把從中選出會(huì)鋼琴與會(huì)小號(hào)各1人的方法分為兩類.第1類,甲入選,另1人只需從其他8人中任選1人,故這類選法共8種;第2類,甲不入選,則會(huì)鋼琴的只能從6個(gè)只會(huì)鋼琴的人中選出,有6種不同的選法,會(huì)小號(hào)的也只能從只會(huì)小號(hào)的2人中選出,有2種不同的選法,所以這類選法共有6×2=12(種).因此共有8+12=20(種)不同的選法.6.2.1排列6.2.2排列數(shù)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥經(jīng)歷了7月高考的洗禮,考生們就可以報(bào)考自己理想的大學(xué)了.大學(xué)錄取的依據(jù)是考生所填寫的高考錄取志愿表和考生的考分.大學(xué)錄取是按批次進(jìn)行的,每個(gè)批次里考生可以選擇若干個(gè)學(xué)校.假如你已經(jīng)選中了第一批本科中較為滿意的8個(gè)學(xué)校和5個(gè)專業(yè),那么在填寫錄取志愿表時(shí),將有多少種不同的填寫方法呢?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、排列的相關(guān)概念1.排列:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,并按照一定的順序排成一列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列.2.相同排列:兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.名師點(diǎn)析理解排列應(yīng)注意的問(wèn)題(1)排列的定義中包括兩個(gè)基本內(nèi)容,一是“取出元素”,二是“按一定順序排列”.(2)定義中的“一定順序”說(shuō)明了排列的本質(zhì):有序.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考如何判斷一個(gè)具體問(wèn)題是否為排列問(wèn)題?提示:(1)首先要保證元素?zé)o重復(fù)性,即從n個(gè)不同元素中,取出m個(gè)不同的元素,否則不是排列問(wèn)題.(2)要保證元素的有序性,即安排這m個(gè)元素時(shí)是有序的,有序就是排列,無(wú)序則不是排列.而檢驗(yàn)它是否有序的依據(jù)是變換元素的位置,看結(jié)果是否發(fā)生變化,有變化是有序,無(wú)變化就是無(wú)序.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)下列問(wèn)題中:①10本不同的書(shū)分給10名同學(xué),每人一本;②10位同學(xué)互通一次電話;③10位同學(xué)互通一封信;④10個(gè)沒(méi)有任何三點(diǎn)共線的點(diǎn)構(gòu)成的線段.屬于排列的有(

)A.1個(gè)

B.2個(gè)

C.3個(gè)

D.4個(gè)解析:由排列的定義可知①③是排列,②④不是排列.答案:B激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、排列數(shù)與排列數(shù)公式1.排列數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù),用符號(hào)

表示.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考你認(rèn)為“排列”和“排列數(shù)”是同一個(gè)概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示:“排列”與“排列數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,一個(gè)排列是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一列”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一件事.“排列數(shù)”是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)從5面不同顏色的小旗中取出三面,按從上到下的順序排在一起表示信號(hào),不同的順序表示不同的信號(hào),則一共可表示

種不同的信號(hào).

解析:一共可表示

=5×4×3=60(種)不同的信號(hào).答案:60探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)簡(jiǎn)單的排列問(wèn)題例1(1)有5個(gè)不同的科研小課題,從中選3個(gè)由高二(6)班的3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究,每組一個(gè)課題,共有多少種不同的安排方法?(2)12名選手參加校園歌手大獎(jiǎng)賽,比賽設(shè)一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng)各一名,每人最多獲得一種獎(jiǎng)項(xiàng),共有多少種不同的獲獎(jiǎng)情況?思路分析:(1)從5個(gè)不同的科研小課題中選出3個(gè)分給3個(gè)興趣小組,要注意各個(gè)小組得到不同的科研課題屬于不同的情況;(2)從12名選手中選出3名選手分別得一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)、三等獎(jiǎng).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)從5個(gè)不同的科研小課題中選出3個(gè),由3個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組進(jìn)行研究,對(duì)應(yīng)于從5個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的一個(gè)排列.因此不同的安排方法有

=5×4×3=60(種).(2)從12名選手中選出3名獲獎(jiǎng)并安排獎(jiǎng)次,共有

=12×11×10=1

320(種)不同的獲獎(jiǎng)情況.反思感悟

對(duì)簡(jiǎn)單的沒(méi)有限制條件的排列問(wèn)題,在分清元素和位置的情況下,直接用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1從甲、乙、丙三人中選兩人站成一排的所有站法為(

)A.甲乙、乙甲、甲丙、丙甲B.甲乙丙、乙丙甲C.甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙D.甲乙、甲丙、乙丙解析:從三人中選出兩人,而且要考慮這兩人的順序,所以有如下幾種站法:甲乙、甲丙、乙甲、乙丙、丙甲、丙乙.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)排列數(shù)公式例2求解下列問(wèn)題:(1)用排列數(shù)表示(55-n)(56-n)…(69-n)(n∈N*,且n<55).思路分析:(1)用排列數(shù)公式的定義解答即可;(2)直接用排列數(shù)公式計(jì)算;(3)用排列數(shù)的公式展開(kāi)得方程求解,要注意x的取值范圍,并檢驗(yàn)根是否合理.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解:(1)因?yàn)?5-n,56-n,…,69-n中的最大數(shù)為69-n,且共有69-n-(55-n)+1=15(個(gè)),探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解得x≥3,x∈N*.根據(jù)排列數(shù)公式,原方程化為(2x+1)·2x·(2x-1)·(2x-2)=140x·(x-1)·(x-2).因?yàn)閤≥3,兩邊同除以4x(x-1),得(2x+1)(2x-1)=35(x-2),即4x2-35x+69=0,解得x=3或x=

(因?yàn)閤為整數(shù),所以應(yīng)舍去).所以原方程的解為x=3.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

應(yīng)用排列數(shù)公式時(shí)應(yīng)注意三個(gè)方面問(wèn)題(1)準(zhǔn)確展開(kāi).應(yīng)用排列數(shù)公式展開(kāi)時(shí)要注意展開(kāi)式的項(xiàng)數(shù)要準(zhǔn)確.(2)合理約分.若運(yùn)算式是分式形式,則要先約分后計(jì)算.(3)合理組合.運(yùn)算時(shí)要結(jié)合數(shù)據(jù)特點(diǎn),應(yīng)用乘法的交換律、結(jié)合律,進(jìn)行數(shù)據(jù)的組合,可以提高運(yùn)算的速度和準(zhǔn)確性.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)“鄰”與“不鄰”問(wèn)題例37人站成一排.(1)甲、乙兩人相鄰的排法有多少種?(2)甲、乙兩人不相鄰的排法有多少種?(3)甲、乙、丙三人必相鄰的排法有多少種?(4)甲、乙、丙三人兩兩不相鄰的排法有多少種?思路分析:若元素相鄰,則可將相鄰元素視為一個(gè)元素,即將甲、乙或甲、乙、丙“捆綁”在一起,視為一個(gè)元素,與其他元素一起排列.至于不相鄰問(wèn)題,可以用“總”的排法減去“相鄰”的排法,也可以用插空法解決.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

對(duì)于本例中的7人,甲、乙兩人之間只有1人的排法有多少種?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

元素相鄰和不相鄰問(wèn)題的解題策略

限制條件解題策略元素相鄰?fù)ǔ２捎谩袄墶狈?即把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列元素不相鄰?fù)ǔ２捎谩安蹇铡狈?即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素插在前面元素排列的空中探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3用0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字:(1)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)?(2)能組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字且為5的倍數(shù)的五位數(shù)?(3)能組成多少個(gè)比1325大的四位數(shù)?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)一題多解——用多種方法解決排列問(wèn)題典例有4名男生、5名女生,全體排成一行,問(wèn)下列情形各有多少種不同的排法?(1)甲不在中間,也不在兩端;(2)甲、乙兩人必須排在兩端;(3)男女相間.【審題視點(diǎn)】這是一個(gè)排列問(wèn)題,一般情況下,從受到限制的特殊元素開(kāi)始考慮,或從特殊的位置開(kāi)始考慮.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

1.此類題目從不同的視角可以選擇不同的方法,我們用各種方法解決這個(gè)題的目的是:希望通過(guò)對(duì)本題的感悟,能掌握更多的解決這類問(wèn)題的方法.2.元素分析法最基本,位置分析法對(duì)重要元素區(qū)別對(duì)待,間接法對(duì)對(duì)立面比較容易求解的題目特別實(shí)用.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)跟蹤訓(xùn)練有語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中,其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有多少種不同的安排方法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.從5本不同的書(shū)中選兩本送給2名同學(xué),每人一本,則不同的送書(shū)方法的種數(shù)為(

)A.5 B.10 C.20 D.60解析:此問(wèn)題相當(dāng)于從5個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù),即共有

=20(種)不同的送書(shū)方法.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.(20-m)(21-m)(22-m)(23-m)(24-m)(25-m)B.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)C.(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)D.(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m)解析:

是指從20-m開(kāi)始依次連續(xù)的6個(gè)數(shù)相乘,即(20-m)(19-m)(18-m)(17-m)(16-m)(15-m).答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.(2020浙江高三專題練習(xí))某次演出共有6位演員參加,規(guī)定甲只能排在第一個(gè)或最后一個(gè)出場(chǎng),乙和丙必須排在相鄰的順序出場(chǎng),不同的演出順序共有(

)A.24種 B.144種

C.48種 D.96種答案:D

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.有8種不同的菜種,任選4種種在不同土質(zhì)的4塊地里,有

種不同的種法.

解析:將4塊不同土質(zhì)的地看作4個(gè)不同的位置,從8種不同的菜種中任選4種種在4塊不同土質(zhì)的地里,則本題即為從8個(gè)不同元素中任選4個(gè)元素的排列問(wèn)題,所以不同的種法共有

=8×7×6×5=1

680(種).答案:1680探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)5.用1、2、3、4、5、6、7這7個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù).(1)這些四位數(shù)中偶數(shù)有多少個(gè)?能被5整除的有多少個(gè)?(2)這些四位數(shù)中大于6500的有多少個(gè)?6.2.3組合6.2.4組合數(shù)激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥某校開(kāi)展冬季校運(yùn)會(huì)招募了20名志愿者,他們的編號(hào)分別是1號(hào),2號(hào),…,19號(hào),20號(hào).若要從中任意選取4人再按編號(hào)大小分成兩組去做一些預(yù)備服務(wù)工作,其中兩個(gè)編號(hào)較小的人在一組,兩個(gè)編號(hào)較大的在另一組,那么確保5號(hào)與14號(hào)入選并被分配到同一組的選取方法有多少種?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.2.相同組合:兩個(gè)組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點(diǎn)析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點(diǎn):兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素.(2)不同點(diǎn):排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無(wú)關(guān).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)下列問(wèn)題是組合的是

.

①在天津、濟(jì)南、西安三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上,有多少種不同的飛機(jī)票?②在①中有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)?③高中部11個(gè)班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽,需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?④從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù),有多少種不同的選法?答案:②③激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、組合數(shù)與組合數(shù)公式1.組合數(shù)的定義:從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù),用符號(hào)

表示.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考“組合”與“組合數(shù)”是同一概念嗎?它們有什么區(qū)別?提示:“組合”與“組合數(shù)”是兩個(gè)不同的概念,組合是指“從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素作為一組”,它不是一個(gè)數(shù),而是具體的一組對(duì)象;組合數(shù)是指“從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)”,它是一個(gè)數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)若

=28,則n的值為(

)

A.9

B.8

C.7

D.6答案:B

激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥三、組合數(shù)的性質(zhì)

答案:190

161700

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)組合概念的理解與應(yīng)用例1判斷下列問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題,并求出相應(yīng)的排列數(shù)或組合數(shù).(1)10個(gè)人相互寫一封信,一共寫了多少封信?(2)10個(gè)人相互通一次電話,一共通了多少次電話?(3)從10個(gè)人中選3人去開(kāi)會(huì),有多少種選法?(4)從10個(gè)人中選出3人擔(dān)任不同學(xué)科的課代表,有多少種選法?思路分析:觀察取出的元素與順序有關(guān)還是無(wú)關(guān),從而確定是排列問(wèn)題,還是組合問(wèn)題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.組合的特點(diǎn)是只選不排,即組合只是從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)不同的元素.2.只要兩個(gè)組合中的元素完全相同,不管順序如何,這兩個(gè)組合就是相同的組合.3.判斷組合與排列的依據(jù)是看是否與順序有關(guān),與順序有關(guān)的是排列問(wèn)題,與順序無(wú)關(guān)的是組合問(wèn)題.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1下列四個(gè)問(wèn)題中,屬于組合問(wèn)題的是(

)A.從3個(gè)不同小球中,取出2個(gè)排成一列B.老師在排座次時(shí)將甲、乙兩位同學(xué)安排為同桌C.在電視節(jié)目中,主持人從100位幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星D.將3張不同的電影票分給10人中的3人,每人1張解析:只有從100名幸運(yùn)觀眾中選出2名幸運(yùn)之星與順序無(wú)關(guān),是組合問(wèn)題.答案:C探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)組合數(shù)公式

思路分析:(1)先考慮利用組合數(shù)的性質(zhì)對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn),再利用組合數(shù)公式展開(kāi)計(jì)算.(2)式子中涉及字母,可以用階乘式證明.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)常見(jiàn)的組合問(wèn)題例3在一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中,某學(xué)校有12人通過(guò)了初試,學(xué)校要從中選出5人去參加市級(jí)培訓(xùn),在下列條件下,有多少種不同的選法?(1)任意選5人;(2)甲、乙、丙三人必須參加;(3)甲、乙、丙三人不能參加;(4)甲、乙、丙三人只能有1人參加;(5)甲、乙、丙三人至少1人參加.思路分析:本題屬于組合問(wèn)題中的最基本的問(wèn)題,可根據(jù)題意分別對(duì)不同問(wèn)題中的“含”與“不含”作出正確的判斷和分析.注意“至少”“至多”問(wèn)題,運(yùn)用間接法求解會(huì)簡(jiǎn)化思維過(guò)程.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)延伸探究

若本例題條件不變,甲、乙、丙三人至多2人參加,有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

組合問(wèn)題的基本解法(1)判斷是否為組合問(wèn)題;(2)是否分類或分步;(3)根據(jù)組合的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練3由13個(gè)人組成的課外活動(dòng)小組,其中5個(gè)人只會(huì)跳舞,5個(gè)人只會(huì)唱歌,3個(gè)人既會(huì)唱歌也會(huì)跳舞,若從中選出4個(gè)會(huì)跳舞和4個(gè)會(huì)唱歌的人去演節(jié)目,共有多少種不同的選法?探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)由分類加法計(jì)數(shù)原理得不同選法共有25+50+300+300+600+600=1

875(種).探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)數(shù)學(xué)思想——正難則反的思想典例平面上有9個(gè)點(diǎn),排成三行三列的方陣,以其中任意3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn),共可以組成

個(gè)三角形.

解析:正面考慮,需分類且容易出現(xiàn)遺漏或重復(fù).從反面考慮9個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)共線的情況的種數(shù),問(wèn)題則較易解決.9個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)點(diǎn)共線的情況,顯然是三行、三列和兩條對(duì)角線上的點(diǎn),易知共8種,9個(gè)答案:76

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)方法點(diǎn)睛

對(duì)于一些正面處理(解題方法中常稱“直接法”)較復(fù)雜或不易求解的問(wèn)題,常常從問(wèn)題的另一面去思考(解題方法中常稱“間接法”).這一解題方法在本章中是常用的.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)跟蹤訓(xùn)練從正方體六個(gè)面的對(duì)角線中任取兩條作為一對(duì),其中所成的角為60°的共有(

)A.24對(duì)

B.30對(duì)

C.48對(duì)

D.60對(duì)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)解析:(方法一

直接法)如圖,在上底面中選B1D1,四個(gè)側(cè)面中的面對(duì)角線都與它成60°,共8對(duì),同樣A1C1對(duì)應(yīng)的也有8對(duì),下底面也有16對(duì),這共有32對(duì);左右側(cè)面與前后側(cè)面中共有16對(duì).所以全部共有48對(duì).(方法二

間接法)正方體的12條面對(duì)角線中,任意兩條垂直、平行或成角為60°,所以成角為60°的共有

-12-6=48(對(duì)).答案:C

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)1.從10個(gè)不同的數(shù)中任取2個(gè)數(shù),求其和、差、積、商這四個(gè)問(wèn)題中,屬于組合的有(

)A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)解析:因?yàn)闇p法和除法運(yùn)算中交換兩個(gè)數(shù)的位置對(duì)計(jì)算結(jié)果有影響,所以屬于組合的有2個(gè).答案:B探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)A.4 B.5 C.6 D.7

答案:C

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},則集合A的子集中含有4個(gè)元素的子集共有

個(gè).

解析:滿足要求的子集中含有4個(gè)元素,由集合中元素的無(wú)序性,知其子集個(gè)數(shù)為

=5.答案:5探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)4.平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn),其中有4個(gè)點(diǎn)共線,此外再無(wú)任何3點(diǎn)共線,以這些點(diǎn)為頂點(diǎn),可得多少個(gè)不同的三角形?6.3.1二項(xiàng)式定理激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥我們?cè)诔踔袑W(xué)習(xí)了(a+b)2=a2+2ab+b2,試用多項(xiàng)式的乘法推導(dǎo)(a+b)3,(a+b)4的展開(kāi)式.上述兩個(gè)等式的右側(cè)有何特點(diǎn)?你能用組合的觀點(diǎn)說(shuō)明(a+b)4是如何展開(kāi)的嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥一、二項(xiàng)式定理

1.這個(gè)公式叫做二項(xiàng)式定理.2.二項(xiàng)展開(kāi)式:等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式,二項(xiàng)展開(kāi)式共有n+1項(xiàng).3.二項(xiàng)式系數(shù):各項(xiàng)的系數(shù)

(k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥名師點(diǎn)析理解二項(xiàng)式定理的注意事項(xiàng)(1)二項(xiàng)式定理形式上的特點(diǎn):①二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng).②二項(xiàng)式系數(shù)都是組合數(shù)

(k=0,1,2,…,n),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中某一項(xiàng)的系數(shù)不一定相等.(2)二項(xiàng)式定理中的字母a,b是不能交換的,即(a+b)n與(b+a)n的展開(kāi)式是有區(qū)別的,二者的展開(kāi)式中的項(xiàng)的排列順序是不同的,不能混淆.(3)二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式,對(duì)于任意的a,b,該等式都成立.(4)二項(xiàng)式定理中a和b中間用加號(hào)連接,若出現(xiàn)減號(hào),“-”歸屬后邊的字母或數(shù),仍可用二項(xiàng)式定理展開(kāi).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考二項(xiàng)式定理中,項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)有什么區(qū)別?提示:二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是完全不同的兩個(gè)概念.二項(xiàng)式系數(shù)是指

,它只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無(wú)關(guān),而項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)化簡(jiǎn)(x-1)4+4(x-1)3+6(x-1)2+4(x-1)+1得(

)A.x4B.(x-1)4C.(x+1)4D.x5解析:原式=(x-1+1)4=x4.答案:A激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥二、二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)

名師點(diǎn)析二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)形式上的特點(diǎn)

(2)字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同.(3)a與b的次數(shù)之和為n.激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微思考二項(xiàng)式(a+b)n與(b+a)n的展開(kāi)式的第

k+1項(xiàng)相同嗎?激趣誘思知識(shí)點(diǎn)撥微練習(xí)(1)(x+2)8的展開(kāi)式中的第6項(xiàng)為

.

A.8

B.9

C.10

D.11

答案:(1)1792x3

(2)B

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)二項(xiàng)式定理的正用、逆用

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)答案:44

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)反思感悟

1.(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式有n+1項(xiàng),是和的形式,各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是:(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n.(2)字母a按降冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0;字母b按升冪排列,從第一項(xiàng)起,次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2.逆用二項(xiàng)式定理可以化簡(jiǎn)多項(xiàng)式,體現(xiàn)的是整體思想.注意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn),向二項(xiàng)展開(kāi)式的形式靠攏.探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)變式訓(xùn)練1化簡(jiǎn):(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1.

探究一探究二探究三素養(yǎng)形成當(dāng)堂檢測(cè)利用二項(xiàng)式定理求待定項(xiàng)及系數(shù)

(1)求n;(2)求含x2的項(xiàng)的系數(shù);(3)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).思路分析:先利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng),求出當(dāng)x的次數(shù)為0時(shí)n的值