高三數(shù)學(xué)(理)一輪復(fù)習(xí)講解與練習(xí)36簡單的三角恒等變換(含答案解析)

第六節(jié)簡單的三角恒等變換[備考方向要了然]考什么怎么考能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切1.以選擇題或填空題的形式單獨(dú)觀察，如2012公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式進(jìn)年江蘇T11.行簡單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差2.在解答題中，與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記三角形等綜合，突出觀察三角恒等變換的工憶).具性作用，如2012年安徽T16等.[歸納·知識(shí)整合]1．半角公式2α2α2α(1)用cosα表示sin，cos，tan.2222α1－cosα2α1＋cosα2α1－cosαsin＝2；cos＝2；tan2＝.221＋cosαααα(2)用cosα表示sin，cos，tan.222α1－cosαsin＝±2；2α1＋cosαcos＝±2；2α1－cosαtan＝±.21＋cosαα(3)用sinα，cosα表示tan2.αsinα＝1－cosαtan＝sinα.21＋cosα[研究]如何用tanα表示sin2α與cos2α？2sinαcosα＝2tanα；提示：sin2α＝2sinαcosα＝222sinα＋cosαtanα＋1cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2α1－tan2α22＝2.cosα＋sinα1＋tanα2．形如asinx＋bcosx的化簡asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中tanφ＝b.a[自測·牛刀小試]1．(教材習(xí)題改編)化簡2＋cos2－sin21的結(jié)果是()A．－cos1B．cos1C.3cos1D．－3cos1解析：選C2＋cos2－sin21＝1＋cos2＋1－sin21＝2cos21＋cos21＝3cos1.21sin35°－2)2.sin20的值為(°11A.2B．－2C．－1D．121解析：選Bsin35°－2＝2sin235°－1＝－cos70°sin20°2sin20°2sin20°－sin20°＝＝－1.2sin20°22sin2x－1π3．若f(x)＝2tanx－2，則f)x的值為(x12sin2cos24A．－33B．8C．43D．－431－2sin2x解析：選B∵f(x)＝2tanx＋2＝2tanx＋2cosx＝2＝4，∴fπ＝41sinxsinxcosxsin2x12π2sinxsin68.4．(教材習(xí)題改編)函數(shù)y＝3cos4x＋sin4x的最小正周期為________．1解析：y＝3cos4x＋sin4x＝22cos4x＋2sin4xπππ2cos6cos4x＋sin6sin4x＝2cos4x－6，2ππ故T＝4＝2.答案：π2α5．若cosα＝－4，α是第三象限角，則1＋tan2＝________.5α1－tan2解析：∵cosα＝－4，且α是第三象限角，∴sinα＝－3，55ααcos2＋sin21＋tanαααα2＝cos2cos＋sin∴α＝221－tanαααα2cos－sin2cos－sin222αcos2αα2cos＋sin＝22ααααcos－sincos＋sin22223＝1＋sinα＝1＋sinα1－52αcosα＝＝－1.2α－42cos－sin2521答案：－三角函數(shù)式的化簡[例1](1)化簡：2α；sin2α－2cos＝________sinα－π4π(2)已知0＜x＜2，化簡：lgcosx·tanx＋1－2sin2x＋lg2cosx－π－lg(1＋sin2x)．24[自主解答](1)原式＝2sinαcosα－2cos2α2＝22·cosα.2sinα－cosα(2)原式＝lg(sinx＋cosx)＋lg(sinx＋cosx)－lg(1＋sin2x)sinx＋cosx21＋sin2x＝0.＝lg＝lg＝lg11＋sin2x1＋sin2x[答案](1)22cosα———————————————————1.三角函數(shù)式的化簡原則一是一致角，二是一致函數(shù)名，能求值的求值，必要時(shí)切化弦，更易通分、約分.2.三角函數(shù)式化簡的要求能求出值的應(yīng)求出值；盡量使三角函數(shù)種數(shù)最少；盡量使項(xiàng)數(shù)最少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù).3.三角函數(shù)化簡的方法化簡的方法主要有弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪.1－tanαα1．化簡：α2·1＋tanα·tan2.tan2ααα解：原式＝cos2sin2·1＋sinαsin2－α·αcosααsin2cos2cos2α＝cosα·1＋sinαsin2·αααcosαsin2cos2cos2α＝2cosα2cosαsinαsin2sinα＋··αsinαcosαcos2α2α＝2cosα2sin22cosα4sin2sinα＋＝＋ααsinαsincos2α2α2α2cosα＋4sin221－2sin2＋4sin222＝sinα＝sinα＝sin[例2]3π1＝－10已知4<α<π，tanα＋tanα3.(1)求tanα的值；

.α三角函數(shù)求值5sin2ααα2α＋8sincos＋11cos2－8(2)求222的值．π2sinα－4[自主解答]1＝－10，(1)∵tanα＋tanα33tan2α＋10tanα＋3＝0，解得tanα＝－1或tanα＝－3.33π4<α<π，∴－1<tanα<0.1∴tanα＝－.3(2)∵tanα＝－1，35sin2ααα2α＋8sincos＋11cos－8∴2222π2sinα－42α2α＋4sinα＋1＋cosα5sin＋cos6·－8＝222sinα－cosα5＋4sinα＋3＋3cosα－8＝4sinα＋3cosαsinα－cosαsinα－cosα＝4tanα＋35＝－.tanα－141－cos2α－sin2α保持本例條件不變，求的值．1＋cos2α－sin2α解：1－cos2α－sin2α2sin2α－2sinαcosα＝1＋cos2α－sin2α2cos2α－2sinαcosα2sinαsinα－cosα＝－tanα＝1.32cosαcosα－sinα———————————————————已知三角函數(shù)式的值，求其他三角函數(shù)式值的一般思路1先化簡所求式子；2觀察已知條件與所求式子之間的聯(lián)系從三角函數(shù)名及角下手；3將已知條件代入所求式子，化簡求值.3，sinβ＝－12，且α∈ππ，π，β∈－，0，求sinα的值．2．已知sin(2α－β)＝51322π解：∵2＜α＜π，∴π＜2α＜2π.ππ5π∵－＜β＜0，∴0＜－β＜，π＜2α－β＜，222而sin(2α－β)＝35＞0，∴2π＜2α－β＜5π4，cos(2α－β)＝.25π125又－2＜β＜0且sinβ＝－13，∴cosβ＝13，cos2α＝cos[(2α－β)＋β]cos(2α－β)cosβ－sin(2α－β)sinβ4531256＝5×13－5×－13＝65.又cos2α＝1－2sin2α，∴sin2α＝1309.π3130又α∈2，π，∴sinα＝130.asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的應(yīng)用[例3](2013西·域模擬)已知函數(shù)f(x)＝3sin2x＋sinxcosx，x∈π2，π.(1)求f(x)的零點(diǎn)；(2)求f(x)的最大值和最小值．[自主解答](1)令f(x)＝0，得sinx·(3sinx＋cosx)＝0，因此sinx＝0或tanx＝－33.π，得x＝π；，π由sinx＝0，x∈23π5π由tanx＝－3，x∈2，π，得x＝6.綜上，函數(shù)5πf(x)的零點(diǎn)為或π.631(2)f(x)＝2(1－cos2x)＋2sin2x3sin2x－3＋2.ππ2π5π由于x∈2，π，因此2x－3∈3，3.π2ππ因此當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，332f(x)的最大值為3；π3π11π當(dāng)2x－＝，即x＝時(shí)，32123f(x)的最小值為－1＋2.———————————————————公式asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)的應(yīng)用及注意事項(xiàng)22把形如y＝asinx＋bcosx＋k的函數(shù)化為一個(gè)角(1)利用asinx＋bcosx＝a＋bsin(x＋φ)的某種函數(shù)的一次式，可以求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、值域和最值、對(duì)稱軸等．(2)該公式是逆用兩角和的正弦公式獲取的．當(dāng)φ為特別角即a的值為1或33時(shí)要b3熟練掌握．對(duì)φ是非特別角時(shí)，只要求會(huì)求最值即可．3．(2013·川模擬銀)已知函數(shù)f(x)＝sin2x－23sin2x＋3＋1.(1)求f(x)的最小正周期及其單調(diào)遞加區(qū)間；ππ(2)當(dāng)x∈－，時(shí)，求f(x)的值域．662π＋1.解：f(x)＝sin2x＋3(1－2sinx)＋1＝sin2x＋3cos2x＋1＝2sin2x＋32π(1)函數(shù)f(x)的最小正周期T＝＝π.2πππ由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)2kπ－2≤2x＋3≤2kπ＋2，5πππ即kπ－12≤x≤kπ＋12(k∈Z)時(shí)，函數(shù)y＝sin2x＋3為單調(diào)遞加函數(shù)，故函數(shù)f(x)的單5ππ調(diào)遞加區(qū)間為kπ－12，kπ＋12(k∈Z)．πππ2π(2)∵x∈－，，∴2x＋∈0，，6633πsin2x＋3∈[0,1]，π∴f(x)＝2sin2x＋3＋1∈[1,3]．f(x)的值域?yàn)閇1,3]．個(gè)公式——輔助角公式可利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期．y＝asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)其中tanφ＝b有a2＋b2≥|y|.a2個(gè)方向——三角恒等變換的基本方向三角函數(shù)求值、化簡的基本思路是“變換”、經(jīng)過合適的變換達(dá)到由此及彼的目的．變換的基本方向有兩個(gè)：一是變換函數(shù)名稱，可以使用引誘公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、二倍角的余弦公式等；二是變換角的形式，可以使用兩角和與差的三角函數(shù)公式、倍角公式、對(duì)角進(jìn)行代數(shù)形式的變換等．3個(gè)步驟——三角恒等變換的步驟三角恒等變換可以歸納為以下三步：創(chuàng)新交匯——三角恒等變換與函數(shù)性質(zhì)的交匯問題1．三角恒等變換作為高考命題的重點(diǎn)內(nèi)容之一，主要與三角函數(shù)的求值、化簡以及三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合命題，有時(shí)也與向量等其他知識(shí)交匯命題．2．解決此類問題時(shí)，一要重視三角變化中的諸多公式，熟悉它們之間的內(nèi)在聯(lián)系；二要熟悉三角變換中各方面的技巧，特別是切化弦、降冪和升冪、角的變換等技巧．2π2[典例](2012安·徽高考)設(shè)函數(shù)f(x)＝2cos2x＋4＋sinx.(1)求f(x)的最小正周期；(2)設(shè)函數(shù)g(x)對(duì)任意x∈R，有g(shù)x＋π＝g(x)，且當(dāng)x∈0，π時(shí)，g(x)＝1－f(x)．求g(x)222在區(qū)間[－π，0]上的解析式．2π2[解](1)f(x)＝2cos2x＋4＋sinx＝2cos2xcosππ－sin2xsin＋1－cos2x2442＝1－1sin2x，22故f(x)的最小正周期為π.π11(2)當(dāng)x∈0，2時(shí)，g(x)＝2－f(x)＝2sin2x，故πππ①當(dāng)x∈－，0時(shí)，x＋∈0，2.22π由于對(duì)任意x∈R，gx＋2＝g(x)，π1π從而g(x)＝gx＋2＝2sin2x＋211＝2sin(＋π2x)＝－2sin2x.②當(dāng)x∈－π，－ππ2時(shí)，x＋π∈0，2，11sin2x.從而g(x)＝g(x＋π)＝sin[2(x＋π)]＝22綜合①②得g(x)在[－π，0]上的解析式為1π2sin2x，x∈－π，－2，g(x)＝1π.－sin2x，x∈－，022[名師談?wù)揮1．本題擁有以下創(chuàng)新點(diǎn)(1)命題方式：本題打破過去依照函數(shù)圖象確定三角函數(shù)解析式的傳統(tǒng)，而是將抽象函數(shù)與函數(shù)的周期性等相結(jié)合，觀察函數(shù)解析式的求法．(2)觀察內(nèi)容的創(chuàng)新：本題觀察了函數(shù)周期性及分類談?wù)撍枷朐谇蟪橄蠛瘮?shù)及分段函數(shù)解析式中的應(yīng)用，觀察了考生解析問題、解決問題的能力以及邏輯推理能力．2．解決本題的重點(diǎn)有以下幾點(diǎn)π(1)正確鑒別函數(shù)g(x)的周期T＝2；ππ(2)依照周期合適地將區(qū)間[－π，0]分成－π，－2和－2，0兩部分，并正確求出相應(yīng)的解析式；(3)具備較強(qiáng)的邏輯推理能力和運(yùn)算能力．[變式訓(xùn)練]1．設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A，B，C，向量m＝(3sinA，sinB)，n＝(cosB，3cosA)，若n·m＝1＋cos(A＋B)，則C的值為________．解析：m·n＝3sinAcosB＋3cosAsinB＝3sin(A＋B)＝3sin(π－C)＝3sinC，又cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cosC，故3sinC＝1－cosC，即3sinC＋cosC＝1，即2sinC＋π6＝1，即sinπ1ππ7ππ5π2πC＋6＝，由于＜C＋＜，故只有C＋＝，即C＝3.266666答案：2π32．(2013江·南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx.cos2x－sinxcosx的值；(1)若f(x)＝2f(－x)，求1＋sin2x2(2)求函數(shù)F(x)＝f(x)·f(－x)＋f(x)的最大值和單調(diào)遞加區(qū)間．解：(1)∵f(x)＝sinx＋cosx，∴f(－x)＝cosx－sinx.又∵f(x)＝2f(－x)，sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，且cosx≠0，tanx＝1，3∴cos2x－sinxcosx＝cos2x－sinxcosx＝1－tanx＝6.22221＋sinx2sinx＋cosx2tanx＋111(2)由題知F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx，F(xiàn)(x)＝cos2x＋sin2x＋1，π即F(x)＝2sin2x＋4＋1.π當(dāng)sin2x＋4＝1時(shí)，[F(x)]max＝2＋1.πππ3ππ由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，故所求函數(shù)F(x)的單24288調(diào)遞加區(qū)間為－3ππ＋kπ，＋kπ(k∈Z).88一、選擇題(本大題共6小題，每題5分，共30分)π1．(2013濟(jì)·南模擬)函數(shù)y＝sinxsin2＋x的最小正周期是()πB．πA.2C．2πD．4π解析：選B12π∵y＝sinxcosx＝sin2x，∴T＝＝π.221＋cos2α1，則tan2α等于()2．(2013沈·陽四校聯(lián)考)若sin2α＝255A.4B．－444C.3D．－31＋cos2α2cosα1解析：選D∵2cosα＝，＝＝sin2α2sinαcosαsinα2∴tanα＝2，∴tan2α＝2tanα442＝＝－.1－tanα1－43133．已知α∈(－π，0)，tan(3＋πα)＝aloga3(a＞0，且a≠1)，則cos2π＋α的值為()1010A.10B．－10310310C.10D．－10解析：選B∵由題意可知tan(3π＋α)＝1，3tanα＝1.33π又∵cosπ＋α＝cos－α＝sinα，22∴cos3π10＋α＝－10.2∵α∈(－π，0)，∴sinα＝－1010.π4．已知x∈2，π，cos2x＝a，則cosx＝()A.1－aB．－1－a22C.1＋aD．－1＋a22解析：選D依題意得cos2x＝1＋cos2x＝1＋a；22π1＋a又x∈2，π，因此cosx＝－2.5．若cos2α＝－2，則sinα＋cosα的值為()7π2sinα＋4A．－2B．－1221D.7C.22解析：選C由已知三角等式得cos2α－sin2α＝－2，整理得sinα＋cosα＝1.2222sinα－cosαπ3α3α，則sin＋cos的最小值為()6．設(shè)α∈0，2cosαsinα2732A.64B.553C.6D．1解析：選D3α3αsin4α＋cos4αsin2α＋cos2α2－2sin2αcos2α1－2sinsin＋cos＝sinαcosα＝sinαcosα＝cosαsinαsinαcosααcosα.令sinαcosα＝t，則t＝1sin2α.2π1∵α∈0，2，∴t∈0，2.令g(t)＝1－2t，g(t)在0，1上是減函數(shù)，t21∴當(dāng)t＝2時(shí)，g(t)min＝2－1＝1.二、填空題(本大題共3小題，每題5分，共15分)7．若α、β是銳角，且sinα－sinβ＝－1，cosα－cosβ＝1，則tan(α－β)＝________.22解析：∵sinα－sinβ＝－12，cosα－cosβ＝12，兩式平方相加得：2－2cosαcosβ－2sinαsinβ＝1，213即2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝.24π∵α、β是銳角，且sinα－sinβ＝－1<0，∴0<α<β<.22π∴－<α－β<0.2∴sin(α－β)＝－27.∴tan(α－β)＝sinα－β71－cosα－β＝－4＝－3.cosα－β答案：－738．設(shè)α是第二象限角，tanα＝－4ααα3，且sin<cos，則cos＝________.222解析：∵α是第二象限角，∴αααα可能在第一或第三象限．又sin<cos，∴為第三象限2222α角，∴cos<0.2∵tanα＝－4，3∴cosα＝－3α1＋cosα55，∴cos＝－2＝－25.5答案：－59．(2012江·蘇高考)設(shè)α為銳角，若cosα＋π＝4，則sin2α＋π的值為________．6512解析：由于α為銳角，cosα＋π＝4，因此sinα＋π＝3，sin2α＋π＝24，cos2α＋π656562567πππππππ172＝25，因此sin2α＋12＝sin2α＋6－4＝sin2α＋6cos4－cos2α＋6sin4＝50.答案：17250三、解答題(本大題共3小題，每題12分，共36分)10．(1)化簡4cos4x－2cos2x－1；π2πtan＋xsin4－x4(2)化簡[2sin50＋°sin10(1°＋3tan10)]°·2sin280°.2222解：(1)原式＝1＋cos2x－2cos2x－1＝cos2x＝2cos2x＝2cos2x＝π2ππππcos2xtan4＋xcos4＋xsin4＋xcos4＋xsin2＋2x2cos2x.(2)原式＝2sin50cos10＋°3sin10°°＋°sin10·°cos10°·2·sin80＝1cos10＋°3sin10°°22·2cos102sin50＋°2sin10·°cos10°＝22[sin50·°cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]22sin(50°＋10°)＝22×23＝6.11．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．(1)求f′(x)及函數(shù)y＝f′(x)的最小正周期；(2)當(dāng)x∈0，π時(shí)，求函數(shù)F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．2解：(1)由題意可知，f′(x)＝cosx－sinx＝－2·sinx－π，4因此y＝f′(x)的最小正周期為T＝2π.22(2)F(x)＝cosx－sinx＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2xπ＝1＋2sin2x＋4.πππ5π∵x∈0，2，∴2x＋4∈，，44sin2x＋π∈－2，1.42∴函數(shù)F(x)的值域?yàn)閇0,1＋2]．π的最小正周期為π，且其圖象經(jīng)過點(diǎn)5π.12．已知函數(shù)f(x)＝3cos(ωx＋φ)－＜φ＜0，0212(1)求函數(shù)f(x)的解析式；xππ，且g(α)＝1，g(β)＝32，求g(α－β)(2)若函數(shù)g(x)＝f2＋6，α，β∈0，24的值．2π解：(1)依題意函數(shù)的最小正周期T＝ω＝π，解得ω＝2，因此f(x)＝3cos(2x＋φ)．5π由于函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)12，0，5π因此3cos2×12＋φ＝0，獲取ππ由－＜φ＜0得φ＝－.23

2×5πππ＋φ＝kπ＋，k∈Z，即φ＝kπ－，k∈Z.1223故函數(shù)f(x)的解析式為f(x)＝3cos2x－π3.xππ(2)依題意有g(shù)(x)＝3cos2×2＋6－3＝3cosx，由g(α)＝3cosα＝1，得cosα＝1，3同理g(β)＝3cosβ＝342，得cosβ＝24.π而α，β∈0，2，因此sinα＝1－12223＝3，sinβ＝1－22＝14，44因此g(α－β)＝3cos(α－β)＝3(cosαcosβ＋sinαsinβ)＝3×1×2＋22×14＝34342＋47.41．求值：(1)sin10sin°30sin°50sin°70；°(2)2cos10－°sin20°cos20°.解：(1)原式＝sin10cos°10sin°50sin°70°2cos10°＝sin20sin°50sin°70°sin20cos°20sin°50°＝4cos10°4cos10°＝sin40sin°50°sin80°1＝16cos10＝8cos10°°16.2cos30°－20°－sin20°(2)原式＝cos20°＝2cos30cos°20＋°2sin30sin°20－°sin20°cos20°2cos30cos°20°＝cos20°＝3.2．已知sin(2α＋β)＝3sinβ，設(shè)tan