《運(yùn)籌學(xué)》整數(shù)規(guī)劃課件

Chapter5整數(shù)規(guī)劃

(IntegerProgramming)整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用分支定界法分配問(wèn)題與匈牙利法本章主要內(nèi)容：Chapter5整數(shù)規(guī)劃

(IntegerProgr整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃（簡(jiǎn)稱：IP） 要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問(wèn)題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的規(guī)劃問(wèn)題稱為該整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的松弛問(wèn)題。若該松弛問(wèn)題是一個(gè)線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃（簡(jiǎn)稱：IP）整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的種類：

純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃?；旌险麛?shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。

0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的種類：純整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃的典型例子例5.1工廠A1和A2生產(chǎn)某種物資。由于該種物資供不應(yīng)求，故需要再建一家工廠。相應(yīng)的建廠方案有A3和A4兩個(gè)。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個(gè)。各工廠年生產(chǎn)能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運(yùn)費(fèi)cij，見下表：B1B2B3B4年生產(chǎn)能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量350400300150工廠A3或A4開工后，每年的生產(chǎn)費(fèi)用估計(jì)分別為1200萬(wàn)或1500萬(wàn)元。現(xiàn)要決定應(yīng)該建設(shè)工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費(fèi)用最少。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃的典型例子例5.1工廠A1和A整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：這是一個(gè)物資運(yùn)輸問(wèn)題，特點(diǎn)是事先不能確定應(yīng)該建A3還是A4中哪一個(gè)，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實(shí)際生產(chǎn)物資。為此，引入0-1變量：再設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費(fèi)用，單位萬(wàn)元。則該規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以表示為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：這是一個(gè)物資運(yùn)輸問(wèn)題，特點(diǎn)是事先不能整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.2現(xiàn)有資金總額為B?？晒┻x擇的投資項(xiàng)目有n個(gè)，項(xiàng)目j所需投資額和預(yù)期收益分別為aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于種種原因，有三個(gè)附加條件：若選擇項(xiàng)目1，就必須同時(shí)選擇項(xiàng)目2。反之不一定項(xiàng)目3和4中至少選擇一個(gè)；項(xiàng)目5,6,7中恰好選擇2個(gè)。應(yīng)該怎樣選擇投資項(xiàng)目，才能使總預(yù)期收益最大。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.2現(xiàn)有資金總額為B?？晒┻x擇的整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：對(duì)每個(gè)投資項(xiàng)目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用0和1表示，令xj表示第j個(gè)項(xiàng)目的決策選擇，記為：投資問(wèn)題可以表示為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：對(duì)每個(gè)投資項(xiàng)目都有被選擇和不被選擇兩整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3指派問(wèn)題或分配問(wèn)題。人事部門欲安排四人到四個(gè)不同崗位工作，每個(gè)崗位一個(gè)人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成績(jī)（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績(jī)最好。

工作人員ABCD甲85927390乙95877895丙82837990丁86908088整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3指派問(wèn)題或分配問(wèn)題。人事部門整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用設(shè)數(shù)學(xué)模型如下：要求每人做一項(xiàng)工作，約束條件為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用設(shè)數(shù)學(xué)模型如下：要求每人做一整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用每項(xiàng)工作只能安排一人，約束條件為：變量約束：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用每項(xiàng)工作只能安排一人，約束條件為：變量約整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解的特征：

整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解集合是它松弛問(wèn)題可行解集合的一個(gè)子集，任意兩個(gè)可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解一定是它的松弛問(wèn)題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解的特征：整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3設(shè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題如下首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問(wèn)題（一般稱為松弛問(wèn)題）。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3設(shè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題如下首先不考慮整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用用圖解法求出最優(yōu)解為：x1＝3/2,x2=10/3，且有Z=29/6

現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)解):如用舍入取整法可得到4個(gè)點(diǎn)即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3)

按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點(diǎn)。故整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解集是一個(gè)有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值最大，即為Z=4。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用用圖解法求出最優(yōu)解為：x1＝3/2,整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法：

分支定界法和割平面法匈牙利法（指派問(wèn)題）整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法：分支定界法和割分支定界法1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問(wèn)題最優(yōu)解； 若松弛問(wèn)題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉(zhuǎn)下一步；2）分支與定界： 任意選一個(gè)非整數(shù)解的變量xi，在松弛問(wèn)題中加上約束：xi≤[xi]和xi≥[xi]+1組成兩個(gè)新的松弛問(wèn)題，稱為分枝。新的松弛問(wèn)題具有特征：當(dāng)原問(wèn)題是求最大值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問(wèn)題的上界；當(dāng)原問(wèn)題是求最小值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問(wèn)題的下界。 檢查所有分枝的解及目標(biāo)函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標(biāo)函數(shù)值大于（max）等于其它分枝的目標(biāo)值，則將其它分枝剪去不再計(jì)算，若還存在非整數(shù)解并且目標(biāo)值大于(max)整數(shù)解的目標(biāo)值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。分支定界法的解題步驟：分支定界法1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問(wèn)題最優(yōu)解；分支定界法的解題步分支定界法例5.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問(wèn)題(原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的松馳問(wèn)題)LPIP分支定界法例5.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解：首先去分支定界法用圖解法求松弛問(wèn)題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x2⑴⑵3(18/11,40/11)⑶21123x1＝18/11,x2=40/11Z=－218/11≈(－19.8)即Z也是IP最小值的下限。對(duì)于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2對(duì)于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2分支定界法用圖解法求松弛問(wèn)題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x2⑴⑵分支定界法分支：分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。分支定界法分支：分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。分支定界法先求LP1,如圖所示。此時(shí)在B點(diǎn)取得最優(yōu)解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整數(shù)解，問(wèn)題已探明，此枝停止計(jì)算。x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC同理求LP2,如圖所示。在C

點(diǎn)取得最優(yōu)解。即:x1＝2,x2=10/3,Z(2)＝－56/3≈－18.7∵Z(2)<Z(1)＝－16∴原問(wèn)題有比－16更小的最優(yōu)解，但x2不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。分支定界法先求LP1,如圖所示。此時(shí)在B點(diǎn)取得最優(yōu)解。x1x分支定界法在IP2中分別再加入條件：x2≤3,x2≥4得下式兩支：分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解分支定界法在IP2中分別再加入條件：x2≤3,x2≥4分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求LP21,如圖所示。此時(shí)D在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(21)＝-87/5≈-17.4<Z(1)=-16但x1＝12/5不是整數(shù)，可繼續(xù)分枝。即3≤x1≤2。求LP22，如圖所示。無(wú)可行解，故不再分枝。分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11B分支定界法

在（LP21）的基礎(chǔ)上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1≤2有下式：分別求出（LP211）和（LP212）的最優(yōu)解分支定界法在（LP21）的基礎(chǔ)上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACDEF先求（LP211）,如圖所示。此時(shí)在E點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝2,x2=3,Z(211)＝－17找到整數(shù)解，問(wèn)題已探明，此枝停止計(jì)算。求（LP212），如圖所示。此時(shí)F在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝3,x2=2.5,Z(212)＝－31/2≈－15.5>Z(211)

如對(duì)LP212繼續(xù)分解，其最小值也不會(huì)低于－15.5，問(wèn)題探明,剪枝。分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11B分支定界法原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為:x1=2,x2=3,Z*=－17以上的求解過(guò)程可以用一個(gè)樹形圖表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)

＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)

＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)

＝－18.5LP21x1=12/5,x2=3Z(21)

＝－17.4LP22無(wú)可行解LP211x1=2,x2=3Z(211)

＝－17LP212x1=3,x2=5/2Z(212)

＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃分支定界法原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為:LP1LPLP2LP2分支定界法例5.5用分枝定界法求解解:先求對(duì)應(yīng)的松弛問(wèn)題（記為L(zhǎng)P0）用圖解法得到最優(yōu)解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。分支定界法例5.5用分枝定界法求解解:先求對(duì)應(yīng)的松弛分支定界法1010松弛問(wèn)題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABC分支定界法1010松弛問(wèn)題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.分支定界法10x2oABCLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8①②LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5分支定界法10x2oABCLP1LP234LP1:X=(3,分支定界法10x1x2oABCLP1LP2134LP21:X=(4.33,6),Z21=35.336分支定界法10x1x2oABCLP1LP2134LP21:X分支定界法10x1x2oACLP1346LP211:X=(4,6),Z211=34LP212:X=(5,5),Z212=355LP212分支定界法10x1x2oACLP1346LP211:X=(4分支定界法上述分枝過(guò)程可用下圖表示：LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5x1≤3x1≥4LP21:X=(4.33,6)Z21=35.33x2≤6LP211:X=(4,6)Z211=34LP212:X=(5,5)Z212=35x1≤4x1≥5LP22無(wú)可行解x2≥7分支定界法上述分枝過(guò)程可用下圖表示：LP0:X=(3.57,小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握一般整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題概念及模型結(jié)構(gòu)掌握分支定界法原理能夠用分支定界法求解一般整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

設(shè)n個(gè)人被分配去做n件工作，規(guī)定每個(gè)人只做一件工作，每件工作只有一個(gè)人去做。已知第i個(gè)人去做第j件工作的效率（時(shí)間或費(fèi)用）為Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假設(shè)Cij≥0。問(wèn)應(yīng)如何分配才能使總效率（時(shí)間或費(fèi)用）最高？設(shè)決策變量分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式： 設(shè)n個(gè)人分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：分配問(wèn)題與匈牙利法克尼格定理

:

如果從分配問(wèn)題效率矩陣[aij]的每一行元素中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)ui，從每一列中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)vj，得到一個(gè)新的效率矩陣[bij]，則以[bij]為效率矩陣的分配問(wèn)題與以[aij]為效率矩陣的分配問(wèn)題具有相同的最優(yōu)解。分配問(wèn)題與匈牙利法克尼格定理:分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的求解步驟：1)變換指派問(wèn)題的系數(shù)矩陣(cij)為(bij)，使在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即從(cij)的每行元素都減去該行的最小元素；再?gòu)乃眯孪禂?shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。2)進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。在(bij)中找盡可能多的獨(dú)立0元素，若能找出n個(gè)獨(dú)立0元素，就以這n個(gè)獨(dú)立0元素對(duì)應(yīng)解矩陣(xij)中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的求解步驟：1)變換指派問(wèn)題的系分配問(wèn)題與匈牙利法找獨(dú)立0元素，常用的步驟為：

從只有一個(gè)0元素的行開始，給該行中的0元素加圈，記作◎。然后劃去◎所在列的其它0元素，記作?

；這表示該列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。依次進(jìn)行到最后一行。從只有一個(gè)0元素的列開始（畫?的不計(jì)在內(nèi)），給該列中的0元素加圈，記作◎；然后劃去◎所在行的0元素，記作?

，表示此人已有任務(wù)，不再為其指派其他任務(wù)了。依次進(jìn)行到最后一列。若仍有沒(méi)有劃圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個(gè)，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少這個(gè)0元素加圈(表示選擇性多的要“禮讓”選擇性少的)。然后劃掉同行同列的其它0元素?？煞磸?fù)進(jìn)行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。分配問(wèn)題與匈牙利法找獨(dú)立0元素，常用的步驟為：從只有一個(gè)分配問(wèn)題與匈牙利法

若◎元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（即：m＝n），那么這指派問(wèn)題的最優(yōu)解已得到。若m<n,則轉(zhuǎn)入下一步。3)用最少的直線通過(guò)所有0元素。其方法：

對(duì)沒(méi)有◎的行打“√”；對(duì)已打“√”的行中所有含?元素的列打“√”；再對(duì)打有“√”的列中含◎元素的行打“√”；重復(fù)①、②直到得不出新的打√號(hào)的行、列為止；對(duì)沒(méi)有打√號(hào)的行畫橫線，有打√號(hào)的列畫縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)l。注：l應(yīng)等于m，若不相等，說(shuō)明試指派過(guò)程有誤，回到第2步，另行試指派；若l＝m<n，表示還不能確定最優(yōu)指派方案，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到n個(gè)獨(dú)立的0元素，為此轉(zhuǎn)第4步。分配問(wèn)題與匈牙利法若◎元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（分配問(wèn)題與匈牙利法4)變換矩陣(bij)以增加0元素 在沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素中找出最小值，沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問(wèn)題仍相同。轉(zhuǎn)回第2步。分配問(wèn)題與匈牙利法4)變換矩陣(bij)以增加0元素分配問(wèn)題與匈牙利法例5.6有一份中文說(shuō)明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說(shuō)明書譯成不同語(yǔ)種的說(shuō)明書所需時(shí)間如下表所示，問(wèn)如何分派任務(wù)，可使總時(shí)間最少？

任務(wù)人員ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982分配問(wèn)題與匈牙利法例5.6有一份中文說(shuō)明書，需譯成英、分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。－52）試指派（找獨(dú)立0元素）◎◎◎??

找到3個(gè)獨(dú)立零元素但m=3<n=4分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。－52）分配問(wèn)題與匈牙利法3）作最少的直線覆蓋所有0元素◎◎◎??√√√獨(dú)立零元素的個(gè)數(shù)m等于最少直線數(shù)l，即l＝m=3<n=4；4）沒(méi)有被直線通過(guò)的元素中選擇最小值為1，變換系數(shù)矩陣，將沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。得到新的矩陣，重復(fù)2）步進(jìn)行試指派分配問(wèn)題與匈牙利法3）作最少的直線覆蓋所有0元素◎◎◎??分配問(wèn)題與匈牙利法000000試指派◎◎◎??◎得到4個(gè)獨(dú)立零元素，所以最優(yōu)解矩陣為：即完成4個(gè)任務(wù)的總時(shí)間最少為：2＋4＋1+8=15分配問(wèn)題與匈牙利法000000試指派◎◎◎??◎得到4個(gè)分配問(wèn)題與匈牙利法例5.7已知四人分別完成四項(xiàng)工作所需時(shí)間如下表，求最優(yōu)分配方案。

任務(wù)人員ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119分配問(wèn)題與匈牙利法例5.7已知四人分別完成四項(xiàng)工作所需時(shí)分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素?！?◎??◎◎2）試指派（找獨(dú)立0元素）獨(dú)立0元素的個(gè)數(shù)為4,指派問(wèn)題的最優(yōu)指派方案即為甲負(fù)責(zé)D工作，乙負(fù)責(zé)B工作，丙負(fù)責(zé)A工作，丁負(fù)責(zé)C工作。這樣安排能使總的工作時(shí)間最少，為4＋4＋9＋11＝28。分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素?！?◎?分配問(wèn)題與匈牙利法例5.8已知五人分別完成五項(xiàng)工作耗費(fèi)如下表，求最優(yōu)分配方案。

任務(wù)人員ABCDE甲759811乙9127119丙85468丁73696戊467511分配問(wèn)題與匈牙利法例5.8已知五人分別完成五項(xiàng)工作耗費(fèi)分配問(wèn)題與匈牙利法-1-2解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。分配問(wèn)題與匈牙利法-1-2解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。分配問(wèn)題與匈牙利法◎?◎◎◎??2）試指派（找獨(dú)立0元素）獨(dú)立0元素的個(gè)數(shù)l＝4<5，故畫直線調(diào)整矩陣。分配問(wèn)題與匈牙利法◎?◎◎◎??2）試指派（找獨(dú)立0元素）分配問(wèn)題與匈牙利法◎?◎◎◎??√√√選擇直線外的最小元素為1；直線外元素減1，直線交點(diǎn)元素加1，其他保持不變。分配問(wèn)題與匈牙利法◎?◎◎◎??√√√選擇直線外的最小元素為分配問(wèn)題與匈牙利法◎?◎?◎?◎?√√√√√√√l=m=4<n=5選擇直線外最小元素為1，直線外元素減1，直線交點(diǎn)元素加1，其他保持不變，得到新的系數(shù)矩陣。分配問(wèn)題與匈牙利法◎?◎?◎?◎?√√√√√√√l=m=4分配問(wèn)題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎總費(fèi)用為=5+7+6+6+4=28注：此問(wèn)題有多個(gè)最優(yōu)解分配問(wèn)題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎總費(fèi)用為=5+7+6分配問(wèn)題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎總費(fèi)用為=7+9+4+3+5=28分配問(wèn)題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎總費(fèi)用為=7+9+4分配問(wèn)題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎總費(fèi)用為=8+9+4+3+4=28分配問(wèn)題與匈牙利法◎??◎??◎?◎?◎總費(fèi)用為=8+9+4分配問(wèn)題與匈牙利法課堂練習(xí)：用匈牙利法求解下列指派問(wèn)題。練習(xí)1：練習(xí)2：分配問(wèn)題與匈牙利法課堂練習(xí)：用匈牙利法求解下列指派問(wèn)題。練習(xí)分配問(wèn)題與匈牙利法4821答案：分配問(wèn)題與匈牙利法4821答案：分配問(wèn)題與匈牙利法非標(biāo)準(zhǔn)型的指派問(wèn)題：匈牙利法的條件是：模型求最小值、效率cij≥0。當(dāng)遇到各種非標(biāo)準(zhǔn)形式的指派問(wèn)題時(shí)，處理方法是先將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，然后用匈牙利法來(lái)求解。分配問(wèn)題與匈牙利法非標(biāo)準(zhǔn)型的指派問(wèn)題：匈牙利法的條件是：模型分配問(wèn)題與匈牙利法1.最大化指派問(wèn)題處理方法：設(shè)m為最大化指派問(wèn)題系數(shù)矩陣C中最大元素。令矩陣B＝（m-cij）nn則以B為系數(shù)矩陣的最小化指派問(wèn)題和原問(wèn)題有相同的最優(yōu)解。例5.9某人事部門擬招聘4人任職4項(xiàng)工作，對(duì)他們綜合考評(píng)的得分如下表（滿分100分），如何安排工作使總分最多。分配問(wèn)題與匈牙利法1.最大化指派問(wèn)題處理方法：設(shè)m為最大化分配問(wèn)題與匈牙利法解:M＝95，令用匈牙利法求解C’，最優(yōu)解為：即甲安排做第二項(xiàng)工作、乙做第三項(xiàng)、丙做第四項(xiàng)、丁做第三項(xiàng),最高總分Z＝92＋95＋90＋80＝357分配問(wèn)題與匈牙利法解:M＝95，令用匈牙利法求解C’，最優(yōu)分配問(wèn)題與匈牙利法2.不平衡的指派問(wèn)題

當(dāng)人數(shù)m大于工作數(shù)n時(shí)，加上m－n項(xiàng)虛擬工作，例如：

當(dāng)人數(shù)m小于工作數(shù)n時(shí)，加上n－m個(gè)人，例如分配問(wèn)題與匈牙利法2.不平衡的指派問(wèn)題當(dāng)人數(shù)m大于工作分配問(wèn)題與匈牙利法3.一個(gè)人可做幾件事的指派問(wèn)題若某人可做幾件事，則將該人化作相同的幾個(gè)“人”來(lái)接受指派，且費(fèi)用系數(shù)取值相同。例如：丙可以同時(shí)任職A和C工作，求最優(yōu)指派方案。分配問(wèn)題與匈牙利法3.一個(gè)人可做幾件事的指派問(wèn)題若某人可分配問(wèn)題與匈牙利法4.某事一定不能由某人做的指派問(wèn)題將該人做此事的效率系數(shù)取做足夠大的數(shù)，可用M表示。例5.10分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人去完成A、B、C、D、E五項(xiàng)任務(wù)。每個(gè)人完成各項(xiàng)任務(wù)的時(shí)間如表所示。由于任務(wù)數(shù)多于人數(shù)，考慮任務(wù)E必須完成，其他4項(xiàng)中可任選3項(xiàng)完成。試確定最優(yōu)分配方案，使完成任務(wù)的總時(shí)間最少。

任務(wù)人員ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345分配問(wèn)題與匈牙利法4.某事一定不能由某人做的指派問(wèn)題將該人分配問(wèn)題與匈牙利法解:1)這是不平衡的指派問(wèn)題，首先轉(zhuǎn)換為標(biāo)準(zhǔn)型，再用匈牙利法求解。2)由于任務(wù)數(shù)多于人數(shù)，所以假定一名虛擬人，設(shè)為戊。因?yàn)楣ぷ鱁必須完成，故設(shè)戊完成E的時(shí)間為M（M為非常大的數(shù)），其余效率系數(shù)為0，則標(biāo)準(zhǔn)型的效率矩陣表示為：

任務(wù)人員ABCDE甲2529314237乙3938262033丙3427284032丁2442362345戊0000M分配問(wèn)題與匈牙利法解:1)這是不平衡的指派問(wèn)題，首先轉(zhuǎn)分配問(wèn)題與匈牙利法用匈牙利法求出最優(yōu)指派方案為：即甲－B，乙－D，丙－E，?。瑼,任務(wù)C放棄。最少時(shí)間為105。分配問(wèn)題與匈牙利法用匈牙利法求出最優(yōu)指派方案為：即甲－B，乙Chapter5整數(shù)規(guī)劃

(IntegerProgramming)整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用分支定界法分配問(wèn)題與匈牙利法本章主要內(nèi)容：Chapter5整數(shù)規(guī)劃

(IntegerProgr整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃（簡(jiǎn)稱：IP） 要求一部分或全部決策變量取整數(shù)值的規(guī)劃問(wèn)題稱為整數(shù)規(guī)劃。不考慮整數(shù)條件，由余下的目標(biāo)函數(shù)和約束條件構(gòu)成的規(guī)劃問(wèn)題稱為該整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的松弛問(wèn)題。若該松弛問(wèn)題是一個(gè)線性規(guī)劃，則稱該整數(shù)規(guī)劃為整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型的一般形式：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃（簡(jiǎn)稱：IP）整數(shù)線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的種類：

純整數(shù)線性規(guī)劃：指全部決策變量都必須取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。混合整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量中有一部分必須取整數(shù)值，另一部分可以不取整數(shù)值的整數(shù)線性規(guī)劃。

0-1型整數(shù)線性規(guī)劃：決策變量只能取值0或1的整數(shù)線性規(guī)劃。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)線性規(guī)劃問(wèn)題的種類：純整數(shù)線性規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃的典型例子例5.1工廠A1和A2生產(chǎn)某種物資。由于該種物資供不應(yīng)求，故需要再建一家工廠。相應(yīng)的建廠方案有A3和A4兩個(gè)。這種物資的需求地有B1,B2,B3,B4四個(gè)。各工廠年生產(chǎn)能力、各地年需求量、各廠至各需求地的單位物資運(yùn)費(fèi)cij，見下表：B1B2B3B4年生產(chǎn)能力A12934400A28357600A37612200A44525200年需求量350400300150工廠A3或A4開工后，每年的生產(chǎn)費(fèi)用估計(jì)分別為1200萬(wàn)或1500萬(wàn)元。現(xiàn)要決定應(yīng)該建設(shè)工廠A3還是A4，才能使今后每年的總費(fèi)用最少。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃的典型例子例5.1工廠A1和A整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：這是一個(gè)物資運(yùn)輸問(wèn)題，特點(diǎn)是事先不能確定應(yīng)該建A3還是A4中哪一個(gè)，因而不知道新廠投產(chǎn)后的實(shí)際生產(chǎn)物資。為此，引入0-1變量：再設(shè)xij為由Ai運(yùn)往Bj的物資數(shù)量，單位為千噸；z表示總費(fèi)用，單位萬(wàn)元。則該規(guī)劃問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型可以表示為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：這是一個(gè)物資運(yùn)輸問(wèn)題，特點(diǎn)是事先不能整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用混合整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.2現(xiàn)有資金總額為B。可供選擇的投資項(xiàng)目有n個(gè)，項(xiàng)目j所需投資額和預(yù)期收益分別為aj和cj（j＝1,2,..,n），此外由于種種原因，有三個(gè)附加條件：若選擇項(xiàng)目1，就必須同時(shí)選擇項(xiàng)目2。反之不一定項(xiàng)目3和4中至少選擇一個(gè)；項(xiàng)目5,6,7中恰好選擇2個(gè)。應(yīng)該怎樣選擇投資項(xiàng)目，才能使總預(yù)期收益最大。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.2現(xiàn)有資金總額為B。可供選擇的整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：對(duì)每個(gè)投資項(xiàng)目都有被選擇和不被選擇兩種可能，因此分別用0和1表示，令xj表示第j個(gè)項(xiàng)目的決策選擇，記為：投資問(wèn)題可以表示為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用解：對(duì)每個(gè)投資項(xiàng)目都有被選擇和不被選擇兩整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3指派問(wèn)題或分配問(wèn)題。人事部門欲安排四人到四個(gè)不同崗位工作，每個(gè)崗位一個(gè)人。經(jīng)考核四人在不同崗位的成績(jī)（百分制）如表所示，如何安排他們的工作使總成績(jī)最好。

工作人員ABCD甲85927390乙95877895丙82837990丁86908088整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3指派問(wèn)題或分配問(wèn)題。人事部門整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用設(shè)數(shù)學(xué)模型如下：要求每人做一項(xiàng)工作，約束條件為：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用設(shè)數(shù)學(xué)模型如下：要求每人做一整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用每項(xiàng)工作只能安排一人，約束條件為：變量約束：整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用每項(xiàng)工作只能安排一人，約束條件為：變量約整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解的特征：

整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解集合是它松弛問(wèn)題可行解集合的一個(gè)子集，任意兩個(gè)可行解的凸組合不一定滿足整數(shù)約束條件，因而不一定仍為可行解。整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解一定是它的松弛問(wèn)題的可行解（反之不一定），但其最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值不會(huì)優(yōu)于后者最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解的特征：整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3設(shè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題如下首先不考慮整數(shù)約束，得到線性規(guī)劃問(wèn)題（一般稱為松弛問(wèn)題）。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用例5.3設(shè)整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題如下首先不考慮整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用用圖解法求出最優(yōu)解為：x1＝3/2,x2=10/3，且有Z=29/6

現(xiàn)求整數(shù)解(最優(yōu)解):如用舍入取整法可得到4個(gè)點(diǎn)即(1，3),(2，3),(1，4),(2，4)。顯然，它們都不可能是整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解。x1x2⑴⑵33(3/2,10/3)

按整數(shù)規(guī)劃約束條件，其可行解肯定在線性規(guī)劃問(wèn)題的可行域內(nèi)且為整數(shù)點(diǎn)。故整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的可行解集是一個(gè)有限集，如右圖所示。其中(2,2),(3,1)點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值最大，即為Z=4。整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用用圖解法求出最優(yōu)解為：x1＝3/2,整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法：

分支定界法和割平面法匈牙利法（指派問(wèn)題）整數(shù)規(guī)劃的特點(diǎn)及應(yīng)用整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的求解方法：分支定界法和割分支定界法1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問(wèn)題最優(yōu)解； 若松弛問(wèn)題的最優(yōu)解滿足整數(shù)要求，得到整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解,否則轉(zhuǎn)下一步；2）分支與定界： 任意選一個(gè)非整數(shù)解的變量xi，在松弛問(wèn)題中加上約束：xi≤[xi]和xi≥[xi]+1組成兩個(gè)新的松弛問(wèn)題，稱為分枝。新的松弛問(wèn)題具有特征：當(dāng)原問(wèn)題是求最大值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問(wèn)題的上界；當(dāng)原問(wèn)題是求最小值時(shí)，目標(biāo)值是分枝問(wèn)題的下界。 檢查所有分枝的解及目標(biāo)函數(shù)值，若某分枝的解是整數(shù)并且目標(biāo)函數(shù)值大于（max）等于其它分枝的目標(biāo)值，則將其它分枝剪去不再計(jì)算，若還存在非整數(shù)解并且目標(biāo)值大于(max)整數(shù)解的目標(biāo)值，需要繼續(xù)分枝，再檢查，直到得到最優(yōu)解。分支定界法的解題步驟：分支定界法1）求整數(shù)規(guī)劃的松弛問(wèn)題最優(yōu)解；分支定界法的解題步分支定界法例5.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解：首先去掉整數(shù)約束，變成一般線性規(guī)劃問(wèn)題(原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的松馳問(wèn)題)LPIP分支定界法例5.4用分枝定界法求解整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題解：首先去分支定界法用圖解法求松弛問(wèn)題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x2⑴⑵3(18/11,40/11)⑶21123x1＝18/11,x2=40/11Z=－218/11≈(－19.8)即Z也是IP最小值的下限。對(duì)于x1＝18/11≈1.64，取值x1≤1，x1≥2對(duì)于x2=40/11≈3.64，取值x2≤3，x2≥4先將（LP）劃分為（LP1）和（LP2）,取x1≤1,x1≥2分支定界法用圖解法求松弛問(wèn)題的最優(yōu)解，如圖所示。x1x2⑴⑵分支定界法分支：分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。分支定界法分支：分別求出（LP1）和（LP2）的最優(yōu)解。分支定界法先求LP1,如圖所示。此時(shí)在B點(diǎn)取得最優(yōu)解。x1＝1,x2=3,Z(1)＝－16找到整數(shù)解，問(wèn)題已探明，此枝停止計(jì)算。x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BAC同理求LP2,如圖所示。在C

點(diǎn)取得最優(yōu)解。即:x1＝2,x2=10/3,Z(2)＝－56/3≈－18.7∵Z(2)<Z(1)＝－16∴原問(wèn)題有比－16更小的最優(yōu)解，但x2不是整數(shù)，故繼續(xù)分支。分支定界法先求LP1,如圖所示。此時(shí)在B點(diǎn)取得最優(yōu)解。x1x分支定界法在IP2中分別再加入條件：x2≤3,x2≥4得下式兩支：分別求出LP21和LP22的最優(yōu)解分支定界法在IP2中分別再加入條件：x2≤3,x2≥4分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACD先求LP21,如圖所示。此時(shí)D在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝12/5≈2.4,x2=3,Z(21)＝-87/5≈-17.4<Z(1)=-16但x1＝12/5不是整數(shù)，可繼續(xù)分枝。即3≤x1≤2。求LP22，如圖所示。無(wú)可行解，故不再分枝。分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11B分支定界法

在（LP21）的基礎(chǔ)上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1≤2有下式：分別求出（LP211）和（LP212）的最優(yōu)解分支定界法在（LP21）的基礎(chǔ)上繼續(xù)分枝。加入條件3≤x1分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11BACDEF先求（LP211）,如圖所示。此時(shí)在E點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝2,x2=3,Z(211)＝－17找到整數(shù)解，問(wèn)題已探明，此枝停止計(jì)算。求（LP212），如圖所示。此時(shí)F在點(diǎn)取得最優(yōu)解。即x1＝3,x2=2.5,Z(212)＝－31/2≈－15.5>Z(211)

如對(duì)LP212繼續(xù)分解，其最小值也不會(huì)低于－15.5，問(wèn)題探明,剪枝。分支定界法x1x2⑴⑵33(18/11,40/11)⑶11B分支定界法原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為:x1=2,x2=3,Z*=－17以上的求解過(guò)程可以用一個(gè)樹形圖表示如右：LP1x1=1,x2=3Z(1)

＝－16LPx1=18/11,x2=40/11Z(0)

＝－19.8LP2x1=2,x2=10/3Z(2)

＝－18.5LP21x1=12/5,x2=3Z(21)

＝－17.4LP22無(wú)可行解LP211x1=2,x2=3Z(211)

＝－17LP212x1=3,x2=5/2Z(212)

＝－15.5x1≤1x1≥2x2≤3x2≥4x1≤2x1≥3＃＃＃＃分支定界法原整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題的最優(yōu)解為:LP1LPLP2LP2分支定界法例5.5用分枝定界法求解解:先求對(duì)應(yīng)的松弛問(wèn)題（記為L(zhǎng)P0）用圖解法得到最優(yōu)解X＝(3.57,7.14),Z0=35.7,如下圖所示。分支定界法例5.5用分枝定界法求解解:先求對(duì)應(yīng)的松弛分支定界法1010松弛問(wèn)題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.14),Z0=35.7x1x2oABC分支定界法1010松弛問(wèn)題LP0的最優(yōu)解X=(3.57,7.分支定界法10x2oABCLP1LP234LP1:X=(3,7.6),Z1=34.8①②LP2:X=(4,6.5),Z2=35.5分支定界法10x2oABCLP1LP234LP1:X=(3,分支定界法10x1x2oABCLP1LP2134LP21:X=(4.33,6),Z21=35.336分支定界法10x1x2oABCLP1LP2134LP21:X分支定界法10x1x2oACLP1346LP211:X=(4,6),Z211=34LP212:X=(5,5),Z212=355LP212分支定界法10x1x2oACLP1346LP211:X=(4分支定界法上述分枝過(guò)程可用下圖表示：LP0:X=(3.57,7.14),Z0=35.7LP1:X=(3,7.6)Z1=34.8LP2:X=(4,6.5)Z2=35.5x1≤3x1≥4LP21:X=(4.33,6)Z21=35.33x2≤6LP211:X=(4,6)Z211=34LP212:X=(5,5)Z212=35x1≤4x1≥5LP22無(wú)可行解x2≥7分支定界法上述分枝過(guò)程可用下圖表示：LP0:X=(3.57,小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：掌握一般整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題概念及模型結(jié)構(gòu)掌握分支定界法原理能夠用分支定界法求解一般整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題小結(jié)學(xué)習(xí)要點(diǎn)：分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式：

設(shè)n個(gè)人被分配去做n件工作，規(guī)定每個(gè)人只做一件工作，每件工作只有一個(gè)人去做。已知第i個(gè)人去做第j件工作的效率（時(shí)間或費(fèi)用）為Cij(i=1.2…n;j=1.2…n)并假設(shè)Cij≥0。問(wèn)應(yīng)如何分配才能使總效率（時(shí)間或費(fèi)用）最高？設(shè)決策變量分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的標(biāo)準(zhǔn)形式： 設(shè)n個(gè)人分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為：分配問(wèn)題與匈牙利法克尼格定理

:

如果從分配問(wèn)題效率矩陣[aij]的每一行元素中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)ui，從每一列中分別減去(或加上)一個(gè)常數(shù)vj，得到一個(gè)新的效率矩陣[bij]，則以[bij]為效率矩陣的分配問(wèn)題與以[aij]為效率矩陣的分配問(wèn)題具有相同的最優(yōu)解。分配問(wèn)題與匈牙利法克尼格定理:分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的求解步驟：1)變換指派問(wèn)題的系數(shù)矩陣(cij)為(bij)，使在(bij)的各行各列中都出現(xiàn)0元素，即從(cij)的每行元素都減去該行的最小元素；再?gòu)乃眯孪禂?shù)矩陣的每列元素中減去該列的最小元素。2)進(jìn)行試指派，以尋求最優(yōu)解。在(bij)中找盡可能多的獨(dú)立0元素，若能找出n個(gè)獨(dú)立0元素，就以這n個(gè)獨(dú)立0元素對(duì)應(yīng)解矩陣(xij)中的元素為1，其余為0，這就得到最優(yōu)解。分配問(wèn)題與匈牙利法指派問(wèn)題的求解步驟：1)變換指派問(wèn)題的系分配問(wèn)題與匈牙利法找獨(dú)立0元素，常用的步驟為：

從只有一個(gè)0元素的行開始，給該行中的0元素加圈，記作◎。然后劃去◎所在列的其它0元素，記作?

；這表示該列所代表的任務(wù)已指派完，不必再考慮別人了。依次進(jìn)行到最后一行。從只有一個(gè)0元素的列開始（畫?的不計(jì)在內(nèi)），給該列中的0元素加圈，記作◎；然后劃去◎所在行的0元素，記作?

，表示此人已有任務(wù)，不再為其指派其他任務(wù)了。依次進(jìn)行到最后一列。若仍有沒(méi)有劃圈的0元素，且同行(列)的0元素至少有兩個(gè)，比較這行各0元素所在列中0元素的數(shù)目，選擇0元素少這個(gè)0元素加圈(表示選擇性多的要“禮讓”選擇性少的)。然后劃掉同行同列的其它0元素。可反復(fù)進(jìn)行，直到所有0元素都已圈出和劃掉為止。分配問(wèn)題與匈牙利法找獨(dú)立0元素，常用的步驟為：從只有一個(gè)分配問(wèn)題與匈牙利法

若◎元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（即：m＝n），那么這指派問(wèn)題的最優(yōu)解已得到。若m<n,則轉(zhuǎn)入下一步。3)用最少的直線通過(guò)所有0元素。其方法：

對(duì)沒(méi)有◎的行打“√”；對(duì)已打“√”的行中所有含?元素的列打“√”；再對(duì)打有“√”的列中含◎元素的行打“√”；重復(fù)①、②直到得不出新的打√號(hào)的行、列為止；對(duì)沒(méi)有打√號(hào)的行畫橫線，有打√號(hào)的列畫縱線，這就得到覆蓋所有0元素的最少直線數(shù)l。注：l應(yīng)等于m，若不相等，說(shuō)明試指派過(guò)程有誤，回到第2步，另行試指派；若l＝m<n，表示還不能確定最優(yōu)指派方案，須再變換當(dāng)前的系數(shù)矩陣，以找到n個(gè)獨(dú)立的0元素，為此轉(zhuǎn)第4步。分配問(wèn)題與匈牙利法若◎元素的數(shù)目m等于矩陣的階數(shù)n（分配問(wèn)題與匈牙利法4)變換矩陣(bij)以增加0元素 在沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素中找出最小值，沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。新系數(shù)矩陣的最優(yōu)解和原問(wèn)題仍相同。轉(zhuǎn)回第2步。分配問(wèn)題與匈牙利法4)變換矩陣(bij)以增加0元素分配問(wèn)題與匈牙利法例5.6有一份中文說(shuō)明書，需譯成英、日、德、俄四種文字，分別記作A、B、C、D?，F(xiàn)有甲、乙、丙、丁四人，他們將中文說(shuō)明書譯成不同語(yǔ)種的說(shuō)明書所需時(shí)間如下表所示，問(wèn)如何分派任務(wù)，可使總時(shí)間最少？

任務(wù)人員ABCD甲67112乙4598丙31104丁5982分配問(wèn)題與匈牙利法例5.6有一份中文說(shuō)明書，需譯成英、分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。－52）試指派（找獨(dú)立0元素）◎◎◎??

找到3個(gè)獨(dú)立零元素但m=3<n=4分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。－52）分配問(wèn)題與匈牙利法3）作最少的直線覆蓋所有0元素◎◎◎??√√√獨(dú)立零元素的個(gè)數(shù)m等于最少直線數(shù)l，即l＝m=3<n=4；4）沒(méi)有被直線通過(guò)的元素中選擇最小值為1，變換系數(shù)矩陣，將沒(méi)有被直線通過(guò)的所有元素減去這個(gè)最小元素；直線交點(diǎn)處的元素加上這個(gè)最小值。得到新的矩陣，重復(fù)2）步進(jìn)行試指派分配問(wèn)題與匈牙利法3）作最少的直線覆蓋所有0元素◎◎◎??分配問(wèn)題與匈牙利法000000試指派◎◎◎??◎得到4個(gè)獨(dú)立零元素，所以最優(yōu)解矩陣為：即完成4個(gè)任務(wù)的總時(shí)間最少為：2＋4＋1+8=15分配問(wèn)題與匈牙利法000000試指派◎◎◎??◎得到4個(gè)分配問(wèn)題與匈牙利法例5.7已知四人分別完成四項(xiàng)工作所需時(shí)間如下表，求最優(yōu)分配方案。

任務(wù)人員ABCD甲215134乙1041415丙9141613丁78119分配問(wèn)題與匈牙利法例5.7已知四人分別完成四項(xiàng)工作所需時(shí)分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素?！?◎??◎◎2）試指派（找獨(dú)立0元素）獨(dú)立0元素的個(gè)數(shù)為4,指派問(wèn)題的最優(yōu)指派方案即為甲負(fù)責(zé)D工作，乙負(fù)責(zé)B工作，丙負(fù)責(zé)A工作，丁負(fù)責(zé)C工作。這樣安排能使總的工作時(shí)間最少，為4＋4＋9＋11＝28。分配問(wèn)題與匈牙利法解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。◎?◎?分配問(wèn)題與匈牙利法例5.8已知五人分別完成五項(xiàng)工作耗費(fèi)如下表，求最優(yōu)分配方案。

任務(wù)人員ABCDE甲759811乙9127119丙85468丁73696戊467511分配問(wèn)題與匈牙利法例5.8已知五人分別完成五項(xiàng)工作耗費(fèi)分配問(wèn)題與匈牙利法-1-2解：1）變換系數(shù)矩陣，增加0元素。分配問(wèn)題與匈牙利法-1-2解：1）變換系數(shù)