二項(xiàng)分布和超幾何分布的區(qū)別(含答案)復(fù)習(xí)過程

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布的區(qū)別（含答案）

超幾何分布和二項(xiàng)分布一、兩者的定義是不同的1超幾何分布的定義在含有M件次品的卅件產(chǎn)品中，任取岸件*其中恰有X恰有X件次品，則P乜=必=網(wǎng)其中旳=血門［腮At且n<N.M<N,nM,N￡N\稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布，X1:■ld■P廣0廣1沖一0C；J'nmcfjV■■廣ffl廣片一加52獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的定義獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).在相同條件下竜復(fù)做的丹次試驗(yàn)，且各次試驗(yàn)試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，稱為用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中AC/-1.2^n)是:第f次試驗(yàn)結(jié)果，則A444?…如=H4)p(婦ZUJ…?二項(xiàng)分布.在"次獨(dú)立更復(fù)試驗(yàn)中，用無表示事件眉發(fā)主的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件川發(fā)主的概率為P,則PgA)=C：h(1-ri^a=0,1p2Trr),此時(shí)稱隨機(jī)變呈/服從二項(xiàng)分布，記作X?時(shí)、并稱。為成功概率.本質(zhì)區(qū)別超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，而二項(xiàng)分布描述的是放回抽樣問題超幾何分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是古典概型問題；二項(xiàng)分布中的概率計(jì)算實(shí)質(zhì)上是相互獨(dú)立事件的概率問題二、兩者之間是有聯(lián)系的

人教版新課標(biāo)選修2-3第59頁(yè)習(xí)題2.2B組第3題：例1某批n件產(chǎn)品的次品率為2%,現(xiàn)從中任意地依次抽出3件進(jìn)行檢驗(yàn)，問：（1）當(dāng)n=500,5000,500000時(shí)，分別以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件產(chǎn)品的概率各是多少？（2）根據(jù)（1）你對(duì)超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系有何認(rèn)識(shí)？【解】（"在不放回的方式抽取中，每次抽取時(shí)都是從這門件產(chǎn)品中抽取，從而扌由到次品的槪率都為0.02.可品數(shù)/?^（3,0.02），恰好抽到1件次品的概率為=l)=C\0.02x(l-0.02)2=3x0.02x0.982^0.057624在不放回的方式抽取中，抽到的次品數(shù)X是隨機(jī)變量，無服從超幾何分布，片的分布與產(chǎn)品的總數(shù)和有關(guān)，所以需要分3種情況分別計(jì)算：①》500時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為500件；其中次品的件數(shù)為500X2^=10,合格品的件數(shù)為490從500件產(chǎn)品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率為“斗90x489^OO57S5S；pmW站吩戈！_的張4^OO57S5S；I_丿一匚爲(wèi)-500x499x49ji~5IMIx49yx49K3!②n=5000時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為5000件'其中次品的件數(shù)為5000X2^=100,合格品的件數(shù)為4900從5000件產(chǎn)P(X-1)-300x4900x48^95000x499^x4998品中抽出3件，其中恰好抽到P(X-1)-300x4900x48^95000x499^x4998*0.057647^?n=50000時(shí)，產(chǎn)品的總數(shù)為50000件，其中次品的件數(shù)為50000X2%=1000,合格品的件數(shù)為49000,從50000件產(chǎn)品中抽岀3件；其中恰好抽到1件次品的概率為二1）二二1）二3000號(hào)4沁00弒4899950000x49999x49998紜0.057626.⑵根據(jù)（D的計(jì)算結(jié)果可以看出，當(dāng)產(chǎn)品的總數(shù)很大時(shí)，超幾何分布近似為二項(xiàng)分布?這也是可以理解的，當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽出的產(chǎn)品較少時(shí)，每次抽出產(chǎn)品后，次品率近似不變，這樣就可以近似看成每次抽樣的結(jié)果是互相獨(dú)立的，抽出產(chǎn)品中的次品件數(shù)近似服從二項(xiàng)分布.【說明】由于數(shù)字比較大，可以利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器進(jìn)行數(shù)值計(jì)算?另外，本題目也可以幫助學(xué)生了解超幾何分布和二項(xiàng)分布之間的關(guān)系：第一，n次試驗(yàn)中，某一事件A出現(xiàn)的次數(shù)X可能服從超幾何分布或二項(xiàng)分布?當(dāng)這n次試驗(yàn)是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，X服從二項(xiàng)分布；當(dāng)這n次試驗(yàn)是不放回摸球問題，事件A為摸到某種特性（如某種顏色）的球時(shí)，X服從超幾何分布第二，在不放回n次摸球試驗(yàn)中，摸到某種顏色的次數(shù)X服從超幾何分布，但是當(dāng)袋子中的球的數(shù)目N很大時(shí)，X的分布列近似于二項(xiàng)分布，并且隨著N的增加，這種近似的精度也增加.從以上分析可以看出兩者之間的聯(lián)系：當(dāng)調(diào)查研究的樣本容量非常大時(shí)，在有放回地抽取與無放回地抽取條件下，計(jì)算得到的概率非常接近，可以近似把超幾何分布認(rèn)為是二項(xiàng)分布.例2袋中有8個(gè)白球、2個(gè)黑球，從中隨機(jī)地連續(xù)抽取3次，每次取一個(gè)球，求（1）又放回抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)X的分布列；（2）無放回地抽樣時(shí)，取到黑球的個(gè)數(shù)Y的分布列.例1袋中有8個(gè)門球.2個(gè)黑球『從中隨機(jī)地連續(xù)抽取孑次，每次取1個(gè)球求：(1)有放回抽樣時(shí)舟取到烝球的個(gè)數(shù)兀的分布列；(2)無放冋抽祥時(shí)‘取到黑球的個(gè)數(shù)丫的分布列.解〈1)有放回抽樣時(shí)r取到的黑球數(shù)匱可取的取俏為0.1,23-又由于每次取到黑球的概率均為H次取就可以看成？次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?則上-R⑶*)./*{A'=0]=<^(-y)C'(~)3=P(X-1}==—i小"二詠新(p=律KX=3}-^(y)5(4)°=[吉：因此用的分布列為V01234S121P\25125125125(2)無故回抽樣時(shí)+取到的黑球數(shù)F可能的取值為且有：7、C\C；P(F=0)=4^5o?IT巴八1-廣I~fp/y*、CtGi=15囚此「的分布列為Y012P71571'1515?例匚(2016?潭河模擬)寒假期間「我市某校學(xué)生會(huì)組織部分同學(xué)，用鋼。分制”隨機(jī)調(diào)查“陽(yáng)光花園‘‘社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取忙名.如圖所示的莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉幾若車福度分?jǐn)?shù)不低于&5分，則稱該人的幸福度為“幸?！?幸福度7308446677889997655(1)求從這比人中隨機(jī)選取3人,至少有2人為“幸福協(xié)的概率匚⑵以這皓人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)(人數(shù)很夢(mèng)〉任選3人，記4表示抽到“幸?！钡娜藬?shù)，求占的分布列及數(shù)學(xué)期望.［錯(cuò)解］⑴由莖葉圖可知，抽取的16人中悻福”的人數(shù)有仁人，其他的有4人；記''從這加人中隨機(jī)選取3人，至少有2人是“幸福神"為事件4由題意得0\蟲_114070_140(2)￡的可能取值為0,1,2,3.則P(￡=0)=41560-14072則P(￡=0)=41560-14072_9560~70264_33560_7040123￡?193311r140707028220_1156028所以4的分布列為1933119［錯(cuò)解分析］第二問的選人問題是不放回抽樣問題,按照定義先考慮超幾何分布，但是題目中又明確給出:“以這16人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人”，說明不是從16人中任選3人,而是從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人,所以可以近似看作是3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，應(yīng)該按照二項(xiàng)分布去求解，而不能按照超幾何分布去處理.【正解】（1）同上；（町由莖葉圖和任選一人■該人幸福度為“幸福"的槪f的可能取值5^0.1,2.3,廣昭1；｝,則忙=0）1/1Y則忙=0）1/1Ya叱7匚刃2卜耐所以I的分布列対i0123p16496427642764從以上解題過程中我們還發(fā)現(xiàn)，錯(cuò)解中的期望值與正解中的期望值相等，好多學(xué)生都覺得不可思議,怎么會(huì)出現(xiàn)相同的結(jié)果呢？其實(shí)這還是由于前面解釋過的原因，超幾何分布與二項(xiàng)分布是有聯(lián)系的,看它們的期望公式：(1)在含有冊(cè)件次品的川件產(chǎn)品中，任取葉件，其中恰有才件次品，隨機(jī)變量才服從超幾何分布，超幾何分布的期望計(jì)算公式為EX=竺(可以根據(jù)組合數(shù)公N式以及期望的定義推導(dǎo))’C2)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作7匕乩EX=npi當(dāng)超幾何分布中的Ntoo時(shí)’藝，可以把N超幾何分布中的不放回抽樣問題，近似看件是有放回抽樣問題，再次說明2Too時(shí)，可以把超幾何分布看作是二項(xiàng)分布一綜上可知，當(dāng)提問中涉及“用樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)總體數(shù)據(jù)”字樣的為二項(xiàng)分布。例2根據(jù)我國(guó)相關(guān)浹規(guī)規(guī)定，食甜的含汞屋不得超過1血ppg沿海某市對(duì)一種貝類海鮮產(chǎn)品進(jìn)行拙樣檢杳，抽出樣本2。牛，測(cè)得含汞墾(單?位；卩網(wǎng))數(shù)據(jù)如F表所養(yǎng)a(0.25,(a50f(0.75,(1/zrsi0.25]0.50]0.75]1]1.25]1.50]頻數(shù)43223(1)若從這20個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)任取3個(gè),求恰有一個(gè)含汞雖超標(biāo)的槪率；(2)以此如個(gè)產(chǎn)品的樣豐數(shù)據(jù)來估計(jì)這批貝類海鮮產(chǎn)品的總體?若從這批數(shù)量很夫的貝類海鮮產(chǎn)品中任選3個(gè)?記瓷表示抽到的產(chǎn)品含汞星超標(biāo)的個(gè)數(shù)+求E的分布列及數(shù)學(xué)期望EE解⑴記“從這如個(gè)產(chǎn)品中隨機(jī)任取3個(gè)*恰有一牛含汞量超標(biāo)”為事件九則所求概率為

（2）錯(cuò)解所有f的取值為3,2』*F帖")_爼455二lUO^=1)525■硯_1140*莖2}一咼15C'1140*P姑一點(diǎn)酪~CL10=H401故F的分布列如下Eo123455525J501011401140J140U40器o+Ix525_114042X150立1伽宀W=3_1140=T（2）正解依題意.這批貝類海鮮產(chǎn)品中含汞量趙標(biāo)的概率為所有總的取值為珥F=0）-?（+）%+）'=鞏￡=門蘭G（*）弋尋）’土P聳=2）=空（+『｛弓■”二叱=旳二臥p（討=故E的芬布列如下￡0[13P2764'27M9IEg乂a27127+1X7T64+2K--+3x—M-643（可苴接應(yīng)用二項(xiàng)分布期望去式①用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)要求獨(dú)立（互不影響）而且重復(fù)（前后概率都相同）

②如果是任取，是一把取出來，還是分多次取出來，前后兩次會(huì)造成影響么？概率會(huì)相同么？有沒有順序？[由我旌測(cè)焼研熬機(jī)構(gòu)往備舉行一啟毀學(xué)新課程研討僉，共違請(qǐng)別定一規(guī)就奔教憶使用不同脫本就材的救奔人毀如下表所豐:人就盤皺人就B版蘇赴慝北料大版人就2015510⑴版it鈾習(xí)就萍申隨機(jī)選!fc1客T奉M人所伐用戯本^目同制慨單；②苦疏機(jī)逸出2寵険用人就皺周就師疫吉「設(shè)樓用人就丄驢尚就肺人毀務(wù)X,采甌機(jī)酸量X的分并列施紙學(xué)期愛-薛：⑴眞50峯就弼中隨機(jī)選出2廟時(shí)亦法鉄営€^]=1225,選th2人使用題本4目同的店法毀看鷗4UHV+<^i=3毬?lián)?人權(quán)用皺本制同的慨犁務(wù)戸=害￥=言(2図的所宵可能取值対0,1,2.吩=1)=60

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lip-理￥=可=魚_J1岳=而X012P3I?119鋁11?"^_0x17+1x1W+2x1M_119—7答題模板模板一離散型隨機(jī)變量的期望和方差例1.（2016*天津高考理1氐13分）某小組共10人,利用假期參抑義工活動(dòng)，己知參加義工活動(dòng)次數(shù)為I,2,號(hào)的人數(shù)分別為3,?￡現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì).（1）設(shè)A為事件巧矗由的2人參加又工活動(dòng)次數(shù)之和為4J求事件A發(fā)生的概率：〔2）沒X為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)俏，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.思維分析「775：茁亦2U尋亦疋E帚懇兩丘齊1|A.求出選山的2人參加義丄沾吻次數(shù)藝和的所冇結(jié)II果.即町求解概率’epp（A）.I\<2）隨機(jī)變城X的可范取ff]為U,1,N分別求出I；卩tx-o）,P（X=l）.PCX=2）的lit■由此能求出I|X的分布列和EX,]規(guī)范解答示例TOC\o"1-5"\h\z\(丨)從W人中選出2人的選法哉有￡：=羽種，|i事件A：參加次數(shù)的和為4,情況有匕①1人參加丨|｝次?另I人參加3次：②2人都參抑2次一||共有C；C：+CJ-I5種，I■……制L宀I453IIII;二申件人發(fā)牛.的槪率為二!34分|1(R)%的可能取值為山】?2.P(X=0)=Q；+f：；+U415g+*：-cT~215P(X=2)=415川分!--X的分布列為’111t11X012P4741111石1515AEX=OxA十心丄十2x?=d*151515I…]32卜|建設(shè)答題模板求離散型隨機(jī)變量的均值和方差問題的一般步驟:第一步：確定隨機(jī)變量的所有可能取值.第二步：求每一個(gè)可能值對(duì)應(yīng)的概率.第三步：列出離散型隨機(jī)變量的分布列.第四步：利用公式求出均值和方差.第五步：反思回顧■查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范.模板二離散型隨機(jī)變量的決策問題例2.(2016-新課標(biāo)1理19,12分〉某公司計(jì)劃購(gòu)買2臺(tái)機(jī)器’該種機(jī)器使用三年后即被淘汰"機(jī)器有一易損零件，在購(gòu)進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購(gòu)買這種零件作為備件，每個(gè)200元.在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購(gòu)買*則每個(gè)兀+現(xiàn)需決策在購(gòu)買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購(gòu)買幾個(gè)易損零件，為此搜集井整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100件機(jī)器更換的易損番件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)主的概率，icx表示2臺(tái)機(jī)(I)求X的分布列；(H)若要求P(X<n)>0.5r確定n的最小值*(ID)以購(gòu)買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在呼19與口=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？思堆分析<D由已知得X的可能取值為16,17,l?fL乩20.|\21.22r竹別束出相應(yīng)的槪率，由此能來出X的分|測(cè)列.|<n)由x的甘布列琳出p(X￡i&｝與p(x<19).1山此陡確丘満足嚴(yán)疋蘭町芒0.5屮n的繪小■｛乩(m)由x的井布科得po^iso.求出買也佈1|哥費(fèi)川期型眈I相買卻個(gè)所需費(fèi)叩則"心比較I；exl與n選用期閔較小的那卒.構(gòu)建答題模板TOC\o"1-5"\h\zI利用期望與方差進(jìn)行決策的方法：IIII笫一步：求離收型隨機(jī)變呈拘數(shù)學(xué)朋望：此題解題的|!關(guān)魏是正確求出x的分布列.計(jì)算!EX=x,p,+眄用+…十兀耳，III第二步：比較兩種情況，通常首先比較數(shù)學(xué)期報(bào)期i[望反應(yīng)了隨機(jī)變量的平均程度0!!第三步；報(bào)據(jù)最大收益原則，作出的選擇應(yīng)該是數(shù)學(xué)II期塑高的方案。|\第網(wǎng)步：若期塑相等時(shí).計(jì)算各自的方墾I]DX(X,-EX'y-+(a2EX)1-^+■+(^-/；\；仃】門2點(diǎn)門汕杠變祠巧聘疋件、力萃題小垃彳工二選|；擇方差較小者n｝II

I解:(]>Eh已知誓X的可能取血為16,17,IK,19,[護(hù)，21.22.|i|MJP(X-I6J■(-^L)jXi10025叫y)F嗇詩(shī)Ipg屈律齋X舗叭嗇產(chǎn)畚pg"囁)噲X1619202122P242SG2562552522512F；(IDii(I)騙hIsI8)==36)+/<￥=37}+找￡=1弟I=擺用=E}+岬片=l7]4-^4f=I￡}+P{j=]y)\-丄』』』-￡[252525252SI；.iff}5:0.5屮，"的塔小16為w-cm)由燈〕簿(^Ar<]9)|=P(X=16)+P(X=l7)-bP(lr■=!&}+P(X-19)L146L6_17252S252525,2UO\2Q+5W)門-+2E!買20平屈描零曲所醫(yī)費(fèi)用的麗K*,2UO\2Q+5W)門-+2E丄■電琳仏25|■.'EX|-^EX,rASW平更音適.即應(yīng)選ii=I:9b18.小題満分12^-）為旳戰(zhàn)國(guó)冢”箱準(zhǔn)扶荒.，廣業(yè)扶克“抽戰(zhàn)略，世一步優(yōu)化能源?fj費(fèi)結(jié)梅，某市決応在一地處山區(qū)的』縣睢進(jìn)光伏發(fā)電項(xiàng)口，衽詡縣山區(qū)居艮中隨機(jī)抽眠射戶，統(tǒng)計(jì)真年用電雖得到以卜統(tǒng)計(jì)表，頤桿*的頻率作九概率.ni電圭（度）(0.200](200,400](400,6(10](600.800](500,1000]戶數(shù)51510155〔門在詒縣山戌用良屮師機(jī)抽取10F，記具屮年用電雖爪趙過￡00度的戶數(shù)4JC求疋的數(shù)學(xué)捌望；⑺□知診去杲山區(qū)門然杓有居民3誡戶丁若計(jì)劃在該村安裝總轉(zhuǎn)機(jī)容魚為3QQ-T乩的比火壩電執(zhí)組'諂機(jī)紅聽發(fā)電塑除保LE該村匸常H1電外，剩余電雖區(qū)家電網(wǎng)以兀/度進(jìn)行收購(gòu).經(jīng)測(cè)算以每T瓦裝機(jī)容量T商發(fā)電1000疫，試帖汁診機(jī)紐毎今所發(fā)電雖除保止正常用電外注能為諺村創(chuàng)造直播收益藩卩兀？1S.解：（1）詣在該縣山區(qū)居民屮隨肌抽取1F,其鄧用電星木超過GOO度為爭(zhēng)件/.市卩（⑷=￡3分市□知W得從直縣山區(qū)尿艮屮隨機(jī)抽取10戶，衛(wèi)共屮鄧川電星爪超過goo度創(chuàng)戶數(shù)用，服從—壩■分布,即X故E(X)即X故E(X)⑵謖診總山區(qū)居民尸甘購(gòu)川電雖為E（y）,rt抽樣刖得TOC\o"1-5"\h\zS（F}100x—+300X—+500k—+700x—+5iMxA=50<1C度》10v75050505050分則詒門煎棚年均川電150000度.乂詒杓所一裝發(fā)電機(jī)組年預(yù)汁發(fā)電亞為300000度,故諭拭組每年所發(fā)電量除保社正荷川電外迷能剩余電呈的150000度，能為詒杓創(chuàng)造直浚收益120000元L2-芬（2008年高考理科二卷）（18）（本大題滿分12分）購(gòu)買某種保險(xiǎn)，每個(gè)投保人每年度向保險(xiǎn)公司交納保費(fèi)a元，若投保人在購(gòu)買保險(xiǎn)的一年度內(nèi)出險(xiǎn)，則可以獲得10000元的賠償金?假定在一年度內(nèi)有10000人購(gòu)買了這種保險(xiǎn)，且各投保人是否出險(xiǎn)相互獨(dú)立?已知保險(xiǎn)公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為10.999K4.(I)求一投保人在一年度內(nèi)出險(xiǎn)的概率p;(II)設(shè)保險(xiǎn)公司開辦該項(xiàng)險(xiǎn)種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0,求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(單