微積分筆記學(xué)習(xí)資料

微積分筆記精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔第一章函數(shù)、極限和連續(xù)

§1.1函數(shù)主要內(nèi)容㈠函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義:y=f(x),xED定義域:D(f),值域:Z(f).2.分段函數(shù):yx)D1D2y=f-1(x)3.隱函數(shù)y=f-1(x)4?反函數(shù)：y=f(x)tx=q(y)=f-i(y)定理:如果函數(shù):y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的；則它必定存在反函數(shù)：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。㈡函數(shù)的幾何特性1?函數(shù)的單調(diào)性：y二f(x),xWD,x、xED12當(dāng)x<x時(shí)，若f(x)wf(x),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)單調(diào)增加();1212若f(X])Mf(X2)，貝稱(chēng)f(x)在D內(nèi)單調(diào)減少()；若f(X])<f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加();若fy>f(x2),則稱(chēng)f(x)在D內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少()c2.函數(shù)的奇偶性：D(f)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)偶函數(shù)：f(-x)=f(x)3.函數(shù)的周期性：周期：T——最小的正數(shù)周期函數(shù):f(x+T)=f(x),xE(-8,周期：T——最小的正數(shù)4?函數(shù)的有界性：|f(x)|wM,xE(a,b)㈢基本初等函數(shù)1.常數(shù)函數(shù)：y=c，(c為常數(shù))

2.冪函數(shù)：y=xn,(n為實(shí)數(shù))3.指數(shù)函數(shù)：y=ax,(a>0、aMl)4.對(duì)數(shù)函數(shù)：y=logx,(a>0、aMl)a5.三角函數(shù)：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx6.反三角函數(shù)：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)1.復(fù)合函數(shù)：y=f(u),u=q(x)y二fg(x)],xEX初等函數(shù):由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算(加、減、乘、除)和復(fù)合所構(gòu)成的，并且能用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)§1.2極限主要內(nèi)容㈠極限的概念1.數(shù)列的極限：limY=annfg稱(chēng)數(shù)列｛Y｝以常數(shù)A為極限；或稱(chēng)數(shù)列｛Y｝收斂于A.nn定理:若｛Y｝的極限存在=｛Y｝必定有界.nn2.函數(shù)的極限：*VC^T)⑴當(dāng)x時(shí)，f(x)的極限：limXlimXfgif一glimXf+g⑵當(dāng)xfxo時(shí)，/(X)的極限：lim/(x)=AXfXo

左極限：limf(x)XTxo⑶函數(shù)極限存的充要條件：精品文檔A右極限：lim定理：limf(x)精品文檔A右極限：limxTxolimf(limf(x)二xTxolimf(x)=AxTxoo1?無(wú)窮大量：lim(x)|二+s稱(chēng)在該變化過(guò)程中f(x)為無(wú)窮大量。X再某個(gè)變化過(guò)程是指：xTxT+%xTa，xTx-,xTxJ，xTxo2?無(wú)窮小量:limf(x)二0稱(chēng)在該變化過(guò)程中f(x)為無(wú)窮小量。3．無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系：1定理：limf(x)二0olim__-二+a,(f(x)豐0)f(x)4?無(wú)窮小量的比較:lima=0，lim3=0P⑴若lim-^―—0，則稱(chēng)B是比a較咼階的無(wú)窮小量；P⑵若lim亍=c(c為常數(shù))，貝g稱(chēng)B與a同階的無(wú)窮小量；P⑶若lim—=1,則稱(chēng)B與a是等價(jià)的無(wú)窮小量，記作：B~a；P⑷若lim&，則稱(chēng)B是比a較低階的無(wú)窮小量。定理：若：幺?卩,a?卩1122則：lim—=lim2㈢兩面夾定理1．?dāng)?shù)列極限存在的判定準(zhǔn)則：設(shè)：yJxJz(n=l、2、3…)且：limy=limz=ann貝g：limx二annTa2．函數(shù)極限存在的判定準(zhǔn)貝：設(shè)：對(duì)于點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)的一切點(diǎn)(點(diǎn)x0除外)有g(shù)(x)<f(x)<h(x)且：limg(x)=limh(x)=AxTx0xTx0則：limf(x)=AxTx0㈣極限的運(yùn)算規(guī)貝若：limu(x)=A,limv(x)=B貝g?①lim[u(x)土v(x)]=limu(x)土limv(x)=A土lim[u(x)-v(x)]=limu(x)-limv(x)=TOC\o"1-5"\h\zu(x)limu(x)Ahm==(limv(x)③v(x)limv(x)B推論?①lim[u](x)士u2(x)士…士u(x)]=limu(x)士limu(x)士…士limu(x)12n②lim[c-u(x)]=c-limu(x)③lim[u(x)]n=[limu(x)]n㈤兩個(gè)重要極限sinxsin申(x)1lim=1或lim=11．xT0x或申(x)T0申(x)112．lim(1+)x=elim(1+x)x=exTaxxT0§1.3連續(xù)一、主要內(nèi)容㈠函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在x0處連續(xù)：f(x)在x0的鄰域內(nèi)有定義,精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除1olimAxT02olimxTx0左連續(xù)：Ay二lim［f(x+Ax)—f(x1olimAxT02olimxTx0左連續(xù)：/(x)=/(x)0limf(x)=f(x0)右連續(xù)：limf(x)=f(x0)xTx(—0xTx0x定理：xn在0處連續(xù)定理：xn在0處連續(xù)f(x)在xo處極限存在x函數(shù)在0處連續(xù)的充要條件：定理：4.limf(x)=定理：4.limf(x)=f(x)oxTx000函數(shù)在［q，b］上連續(xù)：limf(x)=xTx—limf(x)=f(x0)oxTx0f(x)在［a,b］上每一點(diǎn)都連續(xù)。ab在端點(diǎn)和b連續(xù)是指：limf(x)=f(a)左端點(diǎn)右連續(xù)；xTa+limf(limf(x)=f(b)右端點(diǎn)左連續(xù)。xTb—a+0b-x5.函數(shù)的間斷點(diǎn)：f(x)xxf(x)若fx在0處不連續(xù)，則0為fx的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)有三種情況：1o)x(f在0處無(wú)定義；2olimf(x)不存在；xTx03o)x(f在x0處有定義，且limf(x)存在xTx0但limf(x)豐f(x0)oxTx0兩類(lèi)間斷點(diǎn)的判斷：1o第一類(lèi)間斷點(diǎn)：精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除特點(diǎn)：limf(x)和limf特點(diǎn)：limf(x)和limf(x)都存在。xTx0-可去間斷點(diǎn)：limf(x)存在，但xTx0limf(x)豐f(x0)，或)x(f在x0處無(wú)定義。2o第二類(lèi)間斷點(diǎn)：特點(diǎn)：limf(x)和lim/(x)至少有一個(gè)為8,xTx0-或lim或limf(x)振蕩不存在。xTTxTx0無(wú)窮間斷點(diǎn)：無(wú)窮間斷點(diǎn)：limf(xlimf(x)至少有一個(gè)為8xTx0-㈡函數(shù)在x0處連續(xù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算：設(shè)lim(x)limg(x)g(xTx01o設(shè)lim(x)limg(x)g(xTx01olim[(x)]xTx0xTx0f(x)00)2olim[x)](xxTx03olimlimx)x02.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性：f(u),u9(x),limx0(x0),limuT9(x0則：limf[9(x)]lim申)(x)]xTx0xTx03.反函數(shù)的連續(xù)性：f(x),xx),y0limf(x)=f(x0)limxTx0yTy0(x00)])]0)㈢函數(shù)在［a，b］上連續(xù)的性質(zhì)最大值與最小值定理：f(x)在[a,b]上連續(xù)=f(x)上一定存在最大值與最小值。收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除f(x)b2.2.有界定理：f(x)在［a，b］上連續(xù)=3.介值定理：f(x)在［a，b］上連續(xù)=在(af(E)=c/(x)在［a，b］上一定有界，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)E，使得:其中：m<c<Mf(x)f(x)—10;bf(x)f(x)—10;b0a§§bx推論：f(x)在［a，b］上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得：f(E)=0初等函數(shù)的連續(xù)性：初等函數(shù)在其定域區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。第二章一元函數(shù)微分學(xué)精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔一、主要內(nèi)容㈠導(dǎo)數(shù)的概念1．導(dǎo)數(shù)：yf(X7X0§2.1導(dǎo)數(shù)與微分的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，lim_2X0Xlimf(XoX0X）f（Xo）limXX0f(X)f(X)0X0X0(X0)dy礦2．左導(dǎo)數(shù)：(XlimXX0右導(dǎo)數(shù)：(X0limXX0f(X)f(X)o一XX0f(X)f(X)0—XX0定理：f（X）則：f(X［在Xo的左)lim

0X或右）鄰域上連續(xù)在其內(nèi)可導(dǎo)，且極限存在；（X）（或：X0(X0)limX0f(X))3.函數(shù)可導(dǎo)的必要條件：定理：f（X）在X0處可導(dǎo)（X）在處連續(xù)4.函數(shù)可導(dǎo)的充要條件：定理：yf(X存在(X(X0），且存在。0XX0精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除1.基本求導(dǎo)公式：導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算：lo(u土v)，=u，土vf2o(u-v)'=u'?v+u?vIv丿v23.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：yIv丿v23.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：y=f(u),u=9(x),3o工I=U'?v一U?vy=f[9(x)]dydxdydu?dudx(v工0)或{f[9(x)]}'=f'[9(x)]?9'(x)☆注意{f[9(兀)]}'與ff[9(x)]的區(qū)別：{f[9(x)]}表示復(fù)合函數(shù)對(duì)自變量x求導(dǎo)；f'[9(兀)]表示復(fù)合函數(shù)對(duì)中間變量9(x)求導(dǎo)。4?高階導(dǎo)數(shù)：f"(x),f〃‘(x),或f(3)(x)f(”)(x)=[f(”-1)(x)]',(n=2,3,4)函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)等于其n-1導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)㈢微分的概念1.微分：f(x)在x的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義Ay=A(x)?△x+o(Ax)其中：A(x)與Ax無(wú)關(guān)，o(Ax)是比Ax較高階的無(wú)窮小量即：limA即：limAxT0o(Ax)Ax則稱(chēng)y=f(x)在x處可微，記作：dy=A(x)Axdy=Ady=A(x)dx(AxT0)導(dǎo)數(shù)與微分的等價(jià)關(guān)系：xx定理：/(兀)在處可微n/(兀)在處可導(dǎo)，且：f(x)=A(x)3?微分形式不變性：dy=f'(U)du不論u是自變量，還是中間變量，函數(shù)的微分d都具有相同的形式?！?.2中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容㈠中值定理1.羅爾定理:f(x)滿(mǎn)足條件:0在[a,b]上連續(xù)，0在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)；在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)E,在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)E,使得：f,(g)=f(b)—f(a)b-a㈡羅必塔法則：(0,—型未定式)08定理：f(x)和g(x)滿(mǎn)足條件：limf(x)=0(或8)1fi僉"g(x)=0(或8)x—a2o在點(diǎn)a的某個(gè)鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且g(X)豐0收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除0收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除0收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔3。f(x)A,(或)3xa()g(x)則：limf(X)limf(X)A,(或)Xa()g(x)xa()g(x)☆注意：lo法則的意義：把函數(shù)之比的極限化成了它們導(dǎo)數(shù)之比的極限。o若2不滿(mǎn)足法則的條件，不能使用法則0即不是0型或—型時(shí)，不可求導(dǎo)。o應(yīng)3用法則時(shí)，要分別對(duì)分子、分母求導(dǎo)，而不是對(duì)整個(gè)分式求導(dǎo)。o若o若f(X)和g(X)還滿(mǎn)足法則的條件，可以繼續(xù)使用法則，即：limxa()g(x)limlimxa()g(x)limxa(f(x)g(x)lima(f斗A(或(x)o若o若5函數(shù)是0型可采用代數(shù)變0形，化成0或—0形，化成0或—型；若是1,00,0型可采用對(duì)數(shù)或指數(shù)變形，化成0或—型。㈢導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1?切線方程和法線方程:設(shè)：y(x),切線方程：y0(x0(x0y)設(shè)：y(x),切線方程：y0(x0(x0y)0)(x法線方程：1f(x)0(x0),f(x0)0)2.曲線的單調(diào)性:⑴f(x)0(a,b)⑴f(x)0(a,b)(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)增加;精品文檔f'(x)<0xG(a,b)nf(x)在(a,b)內(nèi)單調(diào)減少;ff(x)>0xg(a,b)n在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加；廠(x)<0xG(a,b)n在(a,b)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少。函數(shù)的極值：⑴極值的定義：設(shè)f(X)在(a，b)內(nèi)有定義，%0是(a'b)內(nèi)的一點(diǎn)；若對(duì)于%0的某個(gè)鄰域內(nèi)的任意點(diǎn)1o.f(x)在'(x)=o或

o3o.f'(x)過(guò)豐xo，都有：f1o.f(x)在'(x)=o或

o3o.f'(x)過(guò)f(xo)是f(x)的一個(gè)極大值(或極小值

稱(chēng)xo為f(x)的極大值點(diǎn)(或極小值定理：f定理：f(x)存在。o點(diǎn))。⑵極值存在的必要條件：1o.f(x)存在極值2o.f氣xo稱(chēng)為x)的駐點(diǎn)⑶極值存在的充分條件：定理處連續(xù)；/'(x)不存在;ox時(shí)變號(hào)。o

f(x)是極值；ox是極值點(diǎn)。ox漸增通過(guò)o時(shí)x漸增通過(guò)o時(shí)f(x)由f(x)由(；則f(xo)為極大值；；則f(xo)為極小值lo.f'(x定理二：2。?廠(x)=0；o)存在。變(+f(x)是極值nox是極值點(diǎn)。o若/”(xo)，則f(xo)為極大值；，則f(xo)為極小值?！钭⒁猓厚v點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，精品文檔極值點(diǎn)也不一定是駐點(diǎn)。4．曲線的凹向及拐點(diǎn)：⑴若f〃(x)〉0,x(a，b)；則f(x)在(a，b)內(nèi)是上凹的(或凹的)⑵若f”(x)<0,x(U)；(a，b)f(x)(a，b)；則在內(nèi)是下凹的(或凸的)(⑴；10.f''(x⑶20.f“(x)過(guò)=0,

時(shí)變號(hào)。0f(xo))稱(chēng))的拐點(diǎn)。5。曲線的漸近線：⑴水平漸近線：若limf(x、T1—g或limf(xT+gy=A的水平漸近線。⑵鉛直漸近線：limTC-limTC+(x(xx=C是f的鉛直漸近線。(x)第三章一元函數(shù)積分學(xué)§3.1不定積分主要內(nèi)容㈠重要的概念及性質(zhì)：1．原函數(shù)：設(shè)：f(x),F(x),xGD若：F'(x)=/(X)則稱(chēng)F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù),并稱(chēng)F(x)+C是f(X)的所有原函數(shù)，其中C是任意常數(shù)。2．不定積分：函數(shù)f(x)的所有原函數(shù)的全體，稱(chēng)為函數(shù)f(x)的不定積分；記作:精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除精品文檔Jf(x)dx=F(x)+C其中：f(x)稱(chēng)為被積函數(shù)；f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式；稱(chēng)為積分變量。3.不定積分的性質(zhì)：f(x)dx稱(chēng)為被積表達(dá)式；稱(chēng)為積分變量。3.不定積分的性質(zhì)：⑴[jf(x)dx]⑵Jf'(x)dxf(xf(x)或：dJf(x)dxC或：f(x)dxJdf(x)=f(x)+C⑶J⑶J[f(x)+f(x)+12(x)]dxJf(Jf(x)dx+f(x)dx2+…+Jf(x)dxn—分項(xiàng)積分法⑷Jkf(x—分項(xiàng)積分法⑷Jkf(x)dx=kJf(x)dx(k為非零常數(shù))基本積分公式：㈡換元積分法：1?第一換元法：(又稱(chēng)“湊微元”法)JfJf[V(X)]申'(兀)dxf[V(X)]dV(X)湊微=Jf(t)dt令t=V(x)(x)]+C常用的湊微元函數(shù)有：1odx—d(axa(ax+b)(a,b為常數(shù)，2oxmdxdxm+1R/gm+1+b(m為常數(shù))((ae3oexdxaxdx若d(ax),(a44?！猑dxx5osindx=-d(cosx)cosxdx=d(sinx)sec2xdx=d(tanx)csc2xdx=-d(cotx)6o1dx=d(arcsinx)=-d(arccosx)6-71一x21dx=d(arctanx)=-d(arccotx)=d(lnx)1+X22.第二換元法：Jf(X)dx=If[9(t)]d9(t)令X=9(t)=I9'(t)f[9(t)]dx=F(t)+C-1(x)]+Cft反代t=9-1(x)第二換元法主要是針對(duì)含有根式的被積函數(shù)，其作用是將根式有理化一般有以下幾種代換：1ox=tn,n為偶數(shù)時(shí)，t>0(當(dāng)被積函數(shù)中有2^時(shí))2ox=asint,(或x=acosx),0<t<昂(當(dāng)被積函數(shù)中有x/a2—x2時(shí))23ox=atant,(或x=acott),0<tv—,(0vt<)22(當(dāng)被積函數(shù)中有x/a2+x2時(shí))4ox=asect,(或x=acsct),0<tv匚,(0vt<匚)22(當(dāng)被積函數(shù)中有、/x2一a2時(shí))㈢分部積分法：分部積分公式：

udvpudvp——精品文檔=u-v-Jvduvdx=uvdx分部積分法主要針對(duì)的類(lèi)型：其中(x)sinxdx,JP(x其中(x)sinxdx,JP(x)cosxdx(x)exdx(x)lnxdx(x)arcsinxdx,JP(x)arccosxdx(x)arctanxdx,JP(x)arccotxdxaxsinbxdx,JeaxcosbxdxP(x)=axn+axn-1++aPPPP01e多項(xiàng)式)選u規(guī)律：⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P⑴在三角函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P(x)u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“三多選多⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P⑵在指數(shù)函數(shù)乘多項(xiàng)式中，令P(x)u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“指多選多”⑶在多項(xiàng)式乘對(duì)數(shù)函數(shù)中，令lnx=u，其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“多對(duì)選對(duì)”⑷在多項(xiàng)式乘反三角函數(shù)中，選反三角函數(shù)為U其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“多反選反”⑸在指數(shù)函數(shù)乘三角函數(shù)中，可任選一函數(shù)為U其余記作dv;簡(jiǎn)稱(chēng)“指三任選”㈣簡(jiǎn)單有理函數(shù)積分：有理函數(shù)：f(x)=P(x)其中P(x)和Q(x)是多項(xiàng)式。Q(x)簡(jiǎn)單有理函數(shù)：⑵f(x)⑵f(x)=(x+a)(x+b)§3.2定積分主要內(nèi)容(―)?重要概念與性質(zhì)1.定積分的定義:Oaxix2xi-1Eixixn-1bxige【x,x］ii-1ifbf(x)dxa=lim另f(g)AxiAxT0i=1nt8定積分含四步：分割、近似、求和、取極限。定積分的幾何意義：是介于x軸，曲線y=f(x),直線x=a,x=b之間各部分面積的代數(shù)和。x軸上方的面積取正號(hào)，x軸下方的面積取負(fù)號(hào)。2.定積分存在定理：設(shè)：y=f(x)【a,b］若：f(x)滿(mǎn)足下列條件之一:.f(x)連.f(x續(xù)，e【a,b];有有限)在【a,b］上)在【a,b一類(lèi)間斷點(diǎn);］上則°：f(x)在J,b］上單調(diào)有可界;若積分存在，則積分值與以下因素?zé)o關(guān)：積分變量形式無(wú)關(guān)與在【a,b]上的劃分點(diǎn)g的選取無(wú)關(guān)ifbf(x)dx即a,b.可眶可以在【x，即關(guān)，積分值僅與被積函數(shù)ii-1,f(x)與區(qū)間=fbf(t)dt;a以任］意劃分;x］上任意選取i［a,b］有關(guān)。3.牛頓——萊布尼茲公式：精品文檔「1若F(x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在La,b」上的任意一個(gè)原函數(shù):則:bf(x)dx=F(x)b=F(b)一F(a)aa*牛頓——萊布尼茲公式是積分學(xué)中的核心定理，其作用是將一個(gè)求曲邊面積值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋找原函數(shù)及計(jì)算差量的問(wèn)題。原函數(shù)存在定理：若f(x)連續(xù)，xg[a,b],則：申(x)=fxf(t)dt,xg[a,b]a9(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù),且:9'(x)=(fxf(t)dt)'=f(x)a定積分的性質(zhì)：設(shè)f(x),g(x)在[a,b]上可積，則:1。fbakf(x)dx=kfbaf(x)dx2。fbaf(x)dx=一fabf(x)dx3b[f(x)土g(x)Idr=fbf(x)dx土4Jaf(x)dx=0a5。f&af(x)=fcf(xa)dx+fbf(x)dxcfbg(x)dxab)精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除估值定理：(b一a)<fb[f\x)dx<M(b一中mf(x)yf(x)f(x)在分/別[abx0aEbIx積分中值定理；：若f(x)連續(xù)使fbf(x)dxa二)定積分的計(jì)算：xe[ai,b],則=f(g)?(b-1.換元積分設(shè)f(x)連續(xù)，te[a,b]，xB,卩],<p(t)卩時(shí),9(卩)=且當(dāng)t從a變9(a)=a則：fbf(x)dxa2.分部積分fbudva3.廣義積分f，9(t)單b,=fPfa［申4.vdu(t)]?+8f(x)dx=f08一定積分的導(dǎo)數(shù)公式(fxf(t)dt)'0ax[f9(x)0af(t)dt]'x(x(x)dxa)二的最小值和最大值。e[a,b],f(x)dxf[9(x)]?9，(x)b,3[Je2(x)f(t)dt]'e1(x)x(三)定積分的應(yīng)用(x)]?申'(x)111.平面圖形的面積:1由y=f(x)>0與x軸所圍成的圖形的面積yf(x)2由y=f(x),y=g(x)(f>g)Q12與x=a,x=b所圍成的圖形的面積s=Jb[fa(x)-g(x)]dx3由x=?(y),x=e(y),(?>e)012與y=c,y=d所圍成的圖形的面積s=Jbf(x)dxas=Jd[?(y)-申(y)Ifyc4.求平面圖形面積的步驟①.求出曲線的交點(diǎn)，畫(huà)出草圖；②.確定積分變量，由交點(diǎn)確定積分上下限；③.應(yīng)用公式寫(xiě)出積分式，并進(jìn)行計(jì)算2.旋轉(zhuǎn)體的體積曲線y=f(x)>o,與xa,x及x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：2由曲線0(y)>0,與y="d及y軸所圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積：)dy第四章多元函數(shù)微積分初步§4.1偏導(dǎo)數(shù)與全微分主要內(nèi)容：㈠.多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的定義：(x,y)GD定義域:D(f)二元函數(shù)的幾何意義：二元函數(shù)是一個(gè)空間曲面。(而一元函數(shù)是平面上的曲線)㈡.二元函數(shù)的極限和連續(xù)：極限定義：設(shè)z=f(x,y)滿(mǎn)足條件:10在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。(x,y)可除外)00則稱(chēng)limxyTT則稱(chēng)limxyTTxy00f(x,y)z=f(x,y)在(x,y)極限存在，且等于00A。連續(xù)定義：設(shè)z=f(x,y)滿(mǎn)足條件:10在點(diǎn)(x0,y10在點(diǎn)(x0,y0)的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi)有定義。limxTx0yTy0f(x,y)(x0,y0)則稱(chēng)z(x0,y)處連續(xù)。0㈢?偏導(dǎo)數(shù):定義(x,y),(x0定義(x,y),(x0,y0)點(diǎn)幾(xo,yolimAxT0f(x0+Ax，y0)一fao,y0)0—Ax精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除f'(x,y)=limf(x0'y0+AV)一f(x0，y0)y00Ayr0ayf'(x,y),f'(x,y)分別為函數(shù)f(x,y)在(x,y)x00y0000處對(duì)x'y的偏導(dǎo)數(shù)。)在)在D內(nèi)任意點(diǎn)(x'y)處的偏導(dǎo)數(shù)記為：㈣?全微分：1?定義：z=f(x,y)(xAAx其中，A、與其中，A、與Ax、Ay無(wú)關(guān)，o(p)是比p=x/Ax2+—Ay2高階的無(wú)窮小量。貝U：d=df(x'y)=AAx+BAy是z=f(x'y)在點(diǎn)(x,y)處的全微分。全微分與偏導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理：若f'(x,y),f'(x,y)連續(xù)，(x,y)eD?xy貝：z=f(x'y)在點(diǎn)(x'y)處可微且dz=f'(x,y)dx+f'(x,y)dyxy㈤.復(fù)全函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：1.設(shè)：z=f(u'v)'u=u(x'y)'v=v(x'y)1.設(shè)：=f】u(x,y),v(x,y)]dudzdv+?dxdvdx精品文檔精品文檔精品文檔精品文檔收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除QzQvQvQy2.設(shè)y=f(u,v),u=u(X