計(jì)數(shù)原理排列組合綜合題型 高二數(shù)學(xué) 知識(shí)梳理 ?？碱}型（人教B版2019選擇性必修第二冊(cè)）

專(zhuān)題計(jì)數(shù)原理與排列組合綜合題型TOC\o"1-3"\h\u題型1分步和分類(lèi)綜合 2◆類(lèi)型1走樓梯問(wèn)題 2◆類(lèi)型2最短路線問(wèn)題 4題型2分組分配問(wèn)題 7題型3排數(shù)問(wèn)題 11題型4選“學(xué)院”問(wèn)題 15題型5捆綁法與插空法 18題型6定序問(wèn)題 27題型7多面手問(wèn)題 28題型8涂色問(wèn)題 32題型9隔板法相關(guān)問(wèn)題 39◆類(lèi)型1小球問(wèn)題 39◆類(lèi)型2整數(shù)解問(wèn)題 41◆類(lèi)型3五差別分組分配問(wèn)題 43◆類(lèi)型4二項(xiàng)式定理項(xiàng)數(shù)問(wèn)題 45題型10幾何圖形計(jì)數(shù)問(wèn)題 45題型11交換握手問(wèn)題 48知識(shí)點(diǎn)：求解排列應(yīng)用問(wèn)題的6種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對(duì)不相鄰問(wèn)題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中定序問(wèn)題除法處理對(duì)于定序問(wèn)題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法題型1分步和分類(lèi)綜合◆類(lèi)型1走樓梯問(wèn)題【例題1-1】（2020·上?！じ呷龑?zhuān)題練習(xí)）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級(jí)，上樓可以一步上一級(jí)，也可以一步上兩級(jí)，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（

）A．45種 B．36種 C．28種 D．25種【變式1-1】1．（2018·黑龍江大慶·高二階段練習(xí)（理））數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，無(wú)論是蜂的繁殖規(guī)律，樹(shù)的分枝，還是鋼琴音階的排列，當(dāng)中都蘊(yùn)含了一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，這個(gè)數(shù)列前兩項(xiàng)都是1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和，請(qǐng)你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問(wèn)題：小明走樓梯，該樓梯一共8級(jí)臺(tái)階，小明每步可以上一級(jí)或二級(jí)，請(qǐng)問(wèn)小明的不同走法種數(shù)是（）A．20 B．34 C．42 D．55【變式1-1】2．（2018·遼寧·營(yíng)口開(kāi)發(fā)區(qū)第一高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)（理））欲登上第10級(jí)樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，則不同的走法共有A．34種 B．55種C．89種 D．144種【變式1-1】3．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為_(kāi)__________.◆類(lèi)型2最短路線問(wèn)題【例題1-2】（2022·上海市高橋中學(xué)高三階段練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在M處，學(xué)校在N處，AB段正在修路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【變式1-2】1．（2022·福建省廈門(mén)集美中學(xué)高二階段練習(xí)）【2016高考新課標(biāo)2改編】如圖，小明從街道的E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為_(kāi)______________.【變式1-2】2．（2022·湖北恩施·高二期中）如圖，在中國(guó)象棋的模盤(pán)上，敵方有一無(wú)名小卒，小卒未過(guò)河前只能豎行，不能橫行，過(guò)河后每次只可橫行或豎行一格，需想辦法到達(dá)敵軍的“帥”處，從而坐上“正堂”，贏得勝利，已知小卒中途不會(huì)受到任何阻礙，則小卒坐到“正堂”的最短路線有______條.【變式1-2】3．（2022·江蘇徐州·高二期中）（多選）如圖，某城市M,N兩地之間有整齊的方格形道路網(wǎng)，某同學(xué)從M處沿道路走到A．他從M處到達(dá)N處有12種走法B．他從M處到達(dá)N處有35種走法C．他從M處經(jīng)過(guò)A處到達(dá)N處有18種走法D．他從M處經(jīng)過(guò)A處到達(dá)N處有30種走法【變式1-2】4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由8個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)B點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．48種 B．60種C．72種 D．90種題型2分組分配問(wèn)題【方法總結(jié)】分組分配問(wèn)題的基本方法：n個(gè)不同元素按照某些條件分配給k個(gè)不同得對(duì)象，稱(chēng)為分配問(wèn)題，分定向分配和不定向分配兩種問(wèn)題；將n個(gè)不同元素按照某些條件分成k組，稱(chēng)為分組向題。分組問(wèn)題有不平均分組、平均分組、和部分平均分組三種情況。分組問(wèn)題和分配問(wèn)題是有區(qū)別的，前者組與組之間只要元素個(gè)數(shù)相同是不區(qū)分的；而后者即使2組元素個(gè)數(shù)相同，但因?qū)ο蟛煌?，仍然是可區(qū)分的.對(duì)于后者必須先分組后排列?！纠}2】（2022·黑龍江·賓縣第二中學(xué)高二期末）現(xiàn)有6本不同的書(shū)，如果滿足下列要求，分別求分法種數(shù)．(1)分成三組，一組3本，一組2本，一組1本；(2)分給三個(gè)人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三個(gè)組每組兩本．【變式2-1】1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知有6本不同的書(shū).(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【變式2-1】2．（2022·遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)東戴河分校高三階段練習(xí)）乾隆皇帝欲將4幅不同的字畫(huà)全部賞賜給劉墉、紀(jì)昀、和珅3位大臣，每位大臣至少1幅，共有（

）種不同的分法A．24 B．36 C．48 D．72【變式2-1】3．（2022·廣東·高三開(kāi)學(xué)考試）三名同學(xué)到五個(gè)社區(qū)參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，要求每個(gè)社區(qū)有且只有一名同學(xué)，每名同學(xué)至多去兩個(gè)社區(qū)，則不同的派法共有（

）A．90種 B．180種 C．125種 D．243種【變式2-1】4.2019年某地春季高考有10所高校招生，如果某3位同學(xué)恰好被其中2所高校錄取，那么錄取方式有_____種？【變式2-1】5．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）某市新冠疫情封閉管理期間，為了更好的保障社區(qū)居民的日常生活，選派6名志愿者到甲、乙、丙三個(gè)社區(qū)進(jìn)行服務(wù)，每人只能去一個(gè)地方，每地至少派一人，則不同的選派方案共有（

）A．540種 B．180種 C．360種 D．630種【變式2-1】6.在某國(guó)際級(jí)乒乓球比賽中，組委會(huì)將來(lái)自中國(guó)、英國(guó)、瑞典的6名乒乓球裁判（其中每個(gè)國(guó)家各兩名）安排到某個(gè)比賽場(chǎng)館的一號(hào)二號(hào)和三號(hào)場(chǎng)地進(jìn)行裁判工作，要求每個(gè)場(chǎng)地都有兩名裁判，且這兩名裁判來(lái)自不同的國(guó)家，則不同的安排方案有_____種.A.96種B.90種C.48種D.24種【變式2-1】7.（2022·四川省南部中學(xué)高三階段練習(xí)（理））2022年遂寧主城區(qū)突發(fā)“920疫情”，23日凌晨2時(shí)，射洪組織五支“最美逆行醫(yī)療隊(duì)”去支援遂寧主城區(qū)，將分派到遂寧船山區(qū)、遂寧經(jīng)開(kāi)區(qū)、遂寧高新區(qū)進(jìn)行核酸采樣服務(wù)，每支醫(yī)療隊(duì)只能去一個(gè)區(qū)，每區(qū)至少有一支醫(yī)療隊(duì)，若恰有兩支醫(yī)療隊(duì)者被分派到高新區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．30種 B．40種 C．50種 D．60種【變式2-1】8．（2022·湖北·荊州中學(xué)高三階段練習(xí)）某小區(qū)共有3個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)同時(shí)進(jìn)行檢測(cè)，有6名志愿者被分配到這3個(gè)檢測(cè)點(diǎn)參加服務(wù)，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進(jìn)行檢測(cè)工作的傳授，每個(gè)檢測(cè)點(diǎn)至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個(gè)檢測(cè)點(diǎn)，則不同的分配方案種數(shù)是______．題型3排數(shù)問(wèn)題【方法總結(jié)】常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題及解題原則(1)常見(jiàn)的組數(shù)問(wèn)題：奇數(shù)、偶數(shù)、整除數(shù)、各數(shù)位上的和或數(shù)字間滿足某種特殊關(guān)系等．(2)常用的解題原則：首先明確題目條件對(duì)數(shù)字的要求，針對(duì)這一要求通過(guò)分類(lèi)、分步進(jìn)行組數(shù)；其次注意特殊數(shù)字對(duì)各數(shù)位上數(shù)字的要求，如偶數(shù)的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)、兩位及其以上的數(shù)首位數(shù)字不能是0、被3整除的數(shù)各位數(shù)上的數(shù)字之和能被3整除等；最后先分類(lèi)再分步從特殊數(shù)字或特殊位置進(jìn)行組數(shù)．【例題3】從1～9這9個(gè)數(shù)字中，選取4個(gè)數(shù)字，組成含有1對(duì)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的種數(shù)有（

）A．30240 B．60480 C．15120 D．630【變式3-1】1．在1，2，3，…，9這幾個(gè)數(shù)中任取4個(gè)數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，則共有______種不同取法．【來(lái)源】滬教版（2020）選修第二冊(cè)單元訓(xùn)練第6章計(jì)數(shù)原理組合、計(jì)數(shù)原理在古典概率中的應(yīng)用（A卷）【變式3-1】2．由數(shù)字0，1，2，3，4．回答下列問(wèn)題：(1)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的自然數(shù)？(2)在無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的自然數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求取出的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率．【變式3-1】3．由數(shù)字0，1，2，3，4．回答下列問(wèn)題：(1)可組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？(2)從中任取兩個(gè)數(shù)，求取出的兩個(gè)數(shù)之積恰為偶數(shù)的不同取法有多少種？【變式3-1】4．用1，2，3，4，5，6，7組成無(wú)重復(fù)數(shù)字七位數(shù)，滿足下述條件的七位數(shù)各有多少個(gè)？(1)偶數(shù)不相鄰；(2)1和2之間恰有一個(gè)奇數(shù)，沒(méi)有偶數(shù)；(3)三個(gè)偶數(shù)從左到右按從小到大的順序排列.【變式3-1】5．由數(shù)字0，1，2，3，4.回答下列問(wèn)題：(1)從中任取兩個(gè)數(shù)，求取出的兩個(gè)數(shù)之積恰為偶數(shù)的不同取法有多少種？(2)可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)自然數(shù)？(3)在無(wú)重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)的自然數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求取出的兩個(gè)數(shù)都是偶數(shù)的概率.【變式3-1】6．用0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)，（用數(shù)字作答）（1）能被5整除的四位數(shù)有多少個(gè)？（2）這些自然數(shù)中有多少個(gè)數(shù)比430125大？題型4選“學(xué)院”問(wèn)題【例題4】4名同學(xué)去爭(zhēng)奪3項(xiàng)冠軍，不允許并列，共有多少種不同的情況？【變式4-1】1．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高二階段練習(xí)（理））某地有四個(gè)信箱，現(xiàn)有三封信需要郵寄出去，所有郵寄方式一共有（

）A．A43 B．C43 C．【變式4-1】2．（2022·云南省楚雄第一中學(xué)高二階段練習(xí)）甲、乙、丙三個(gè)同學(xué)報(bào)名參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì)中設(shè)立的跳高、鉛球、跳遠(yuǎn)、100米比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，共有多少種不同的報(bào)名方法（

）A．12 B．24 C．64 D．81【變式4-1】3．（2022·江蘇·響水縣第二中學(xué)高二期中）有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？（不一定6名同學(xué)都參加）(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限.【變式4-1】4．（2022·廣東江門(mén)·高二期中）某班有5名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目．每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限，有多少種不同的報(bào)名方法？【變式4-1】5．（2021·江西·金溪一中高二階段練習(xí)（理））學(xué)校組織甲、乙、丙、丁4名同學(xué)去A，B，C，3個(gè)工廠進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，每名同學(xué)只能去1個(gè)工廠.問(wèn)有多少種不同的分配方案？【變式4-1】6．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為了豐富學(xué)生的課余生活，某學(xué)校開(kāi)設(shè)了籃球、書(shū)法、美術(shù)、吉他、舞蹈、擊劍共六門(mén)活動(dòng)課程，甲、乙、丙3名同學(xué)從中各自任選一門(mén)活動(dòng)課程參加，則這3名學(xué)生所選活動(dòng)課程不全相同的選法有（

）A．120種 B．150種 C．210種 D．216種【變式4-1】7．（2021·遼寧營(yíng)口·高二期末）（1）某校運(yùn)動(dòng)會(huì)上甲、乙、丙、丁四名同學(xué)在100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目中選擇，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）若甲、乙、丙、丁四名同學(xué)選報(bào)100m、400m、800m三個(gè)項(xiàng)目，每項(xiàng)均有一人報(bào)名，且每人至多報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（3）若甲、乙、丙、丁名同學(xué)爭(zhēng)奪100m、400m、800m三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？【變式4-1】8.（1）有4名學(xué)生報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽，每人限報(bào)一科，有多少種不同的報(bào)名方法？（2）有4名學(xué)生參加爭(zhēng)奪數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)競(jìng)賽冠軍，有多少種不同的結(jié)果？（3）將3封不同的信投入4個(gè)不同的郵筒，則有多少種不同投法？【變式4-1】9．（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）（多選題）有4位同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有34B．每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有43C．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D．每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有33題型5捆綁法與插空法【方法總結(jié)】相鄰元素捆綁法：某些元素要求必須相鄰時(shí)，可以先將這些元素看做一個(gè)整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部順序．插空法：某些元素要求不相鄰時(shí)，可以先安排其他的元素，再將這些不相鄰的元素插入由其他元素形成的空當(dāng)．【例題5】（2022·浙江·高二階段練習(xí)）某學(xué)?；I備元旦晚會(huì)節(jié)目單時(shí)，準(zhǔn)備在前五個(gè)節(jié)目排三個(gè)歌唱節(jié)目，一個(gè)小品節(jié)目以及一個(gè)相聲節(jié)目，若三個(gè)歌唱節(jié)目最多有兩個(gè)相鄰，則不同的排法總數(shù)為（

）A．75 B．80 C．84 D．96【變式5-1】1．（2021·江蘇·蘇州市蘇州高新區(qū)第一中學(xué)高二階段練習(xí)）（多選）已知A、B、C、D、E五個(gè)人并排站在一起，則下列說(shuō)法正確的有（）A．若A、B不相鄰共有72種方法B．若A不站在最左邊，B不站最右邊，有72種方法．C．若A在B右邊有60種排法D．若A、B兩人站在一起有48種方法【變式5-1】2．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）（多選）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是（

）A．全體站成一排，女生必須站在一起有144種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種．【變式5-1】3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）中國(guó)的“五岳”是指在中國(guó)境內(nèi)的五座名山：東岳泰山、西岳華山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山、坐落于東、西、南、北、中五個(gè)方位．郭靖同學(xué)決定利用今年寒假時(shí)間，游覽以下五座名山：嵩山、泰山、華山、黃山、廬山，若他首先游覽黃山，且屬于“五岳”的名山游覽順序必須相鄰，則郭靖同學(xué)游覽這五座名山的順序共有_____種（用數(shù)字作答）．【變式5-1】4．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）甲乙丙丁戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰的不同排列方式有______種.【變式5-1】5．（2022·陜西·寶雞市陳倉(cāng)高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））高三畢業(yè)時(shí)，甲乙丙丁四名同學(xué)找班主任老師站成一排拍照.(1)若甲乙必須站一起，則共有多少種不同的排法？(2)若最左端只能站甲或乙，且最右端不能站甲，則共有多少種不同的排法？(3)求班主任老師必須站正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)不能相鄰的排法？【變式5-1】6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）男生3人、女生3人任意排列，求下列事件發(fā)生的概率：(1)站成一排，至少2個(gè)女生相鄰；(2)站成一排，甲在乙的左邊（可以不相鄰）；(3)站成前后兩排，每排3人，甲不在前排，乙不在后排；(4)站成前后兩排，每排3人，后排每一個(gè)人都比他前面的人高；(5)站成一圈，甲、乙之間恰好有1個(gè)人．【變式5-1】7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）6男4女站成一排，求滿足下列條件的排法各有多少種？（用式子表達(dá)）(1)男甲必排在首位；(2)男甲、男乙必排在正中間；(3)男甲不在首位，男乙不在末位；(4)男甲、男乙必排在一起；(5)4名女生排在一起；(6)任何兩個(gè)女生都不得相鄰；(7)男生甲、乙、丙順序一定．【變式5-1】8．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù).(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，女生必須站在一起；(4)全體排成一排，男生互不相鄰；(5)全體排成一排，其中甲不站最左邊，也不站最右邊；(6)全體排成一排，其中甲不站最左邊，乙不站最右邊；(7)甲、乙、丙三人從左到右順序一定.【變式5-1】9．（2022·浙江·高二階段練習(xí)）已知書(shū)架上有三本不同的外語(yǔ)書(shū)，兩本不同的數(shù)學(xué)書(shū)和兩本不同的語(yǔ)文書(shū)，現(xiàn)在要把這七本書(shū)在書(shū)架上自左至右排成一排.(1)若兩本數(shù)學(xué)書(shū)不能相鄰，兩本語(yǔ)文書(shū)不能相鄰，求不同的排法總數(shù)；(2)若同科目的書(shū)不能相鄰，求不同的排法總數(shù).【變式5-1】10．（2022·河北滄州·高三階段練習(xí)）現(xiàn)有7位老師（含甲、乙）隨意排成一排拍照留念．(1)求甲、乙不相鄰的概率；(2)求甲、乙之間所隔人數(shù)為2的不同排法的種數(shù)．題型6定序問(wèn)題【方法總結(jié)】縮倍法：某些特殊元素要求排列后的先后順序不變，排列時(shí)可以把它們與其余的元素一起排列，然后除以它們數(shù)量的階乘．【例題6】（2021·廣東·卓雅外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高二階段練習(xí)）5個(gè)節(jié)目，若甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目按給定順序出現(xiàn)不同的排法有（

）A．120種 B．80種 C．48種 D．20種【變式6-1】1.7個(gè)人按照下列要求排成一縱隊(duì)：A，B，C三人的前后順序一定，有多少種不同的排法？（用數(shù)字作答）【變式6-1】2.3名男生，4名女生，按照不同的要求排列，求不同的排隊(duì)方案的方法種數(shù)．（1）全體站成一排，甲必須在乙的右邊；（定序問(wèn)題）（2）全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右順序不變．（定序問(wèn)題）【變式6-1】3.（1）10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？QUOTE（2）書(shū)架上某層有6本書(shū)，新買(mǎi)3本插進(jìn)去，要保持原有6本書(shū)的順序，有種不同的插法（具體數(shù)字作答）（3）某市春節(jié)晚會(huì)原定10個(gè)節(jié)目，導(dǎo)演最后決定添加3個(gè)與“抗冰救災(zāi)”有關(guān)的節(jié)目，但是賑災(zāi)節(jié)目不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)，并且已經(jīng)排好的10個(gè)節(jié)目的相對(duì)順序不變，則該晚會(huì)的節(jié)目單的編排總數(shù)為.【變式6-1】4.用1，2，3，4，5，6，7這七個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中：（1）若偶數(shù)2，4，6次序一定，有多少個(gè)？（2）若偶數(shù)2，4，6次序一定，奇數(shù)1，3，5，7的次序也一定的有多少個(gè)？【變式6-1】5．（2021·重慶·字水中學(xué)高二期末）某車(chē)隊(duì)有7輛車(chē)，現(xiàn)要調(diào)出4輛按一定順序出去執(zhí)行任務(wù)．要求甲、乙兩車(chē)必須參加，且甲車(chē)要先于乙車(chē)開(kāi)出有_______種不同的調(diào)度方法（填數(shù)字）．題型7多面手問(wèn)題【例題7】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某國(guó)際旅行社現(xiàn)有11名對(duì)外翻譯人員，其中有5人只會(huì)英語(yǔ)，4人只會(huì)法語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)法語(yǔ)，現(xiàn)從這11人中選出4人當(dāng)英語(yǔ)翻譯，4人當(dāng)法語(yǔ)翻譯，則共有（

）種不同的選法A．225 B．185 C．145 D．110【變式7-1】1．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）有8名學(xué)生，其中2名學(xué)生會(huì)下象棋但不會(huì)下圍棋，3名學(xué)生會(huì)下圍棋但不會(huì)下象棋，3名學(xué)生既會(huì)下象棋又會(huì)下圍棋.現(xiàn)從這8名學(xué)生中選出2名學(xué)生，其中一名學(xué)生參加象棋比賽，另一名學(xué)生參加圍棋比賽，則不同的選派方法有（

）A．18 B．24 C．27 D．30【變式7-1】2．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二期中）某龍舟隊(duì)有9名隊(duì)員，其中3人只會(huì)劃左舷，4人只會(huì)劃右舷，2人既會(huì)劃左舷又會(huì)劃右舷．現(xiàn)要選派劃左舷的3人、右舷的3人共6人去參加比賽，則不同的選派方法共有_______【變式7-1】3．（2022·浙江·高三專(zhuān)題練習(xí)）某醫(yī)療隊(duì)有6名醫(yī)生，其中只會(huì)外科的醫(yī)生1名，只會(huì)內(nèi)科的醫(yī)生3名，既會(huì)外科又會(huì)內(nèi)科的醫(yī)生2名.現(xiàn)在要從醫(yī)療隊(duì)中抽取3名醫(yī)生支援3個(gè)不同的村莊，每個(gè)村莊1人，要求3名醫(yī)生中至少有一名會(huì)內(nèi)科，至少有一名會(huì)外科，則共有___________種派遣方法.【變式7-1】4．（2020·四川省武勝烈面中學(xué)校高二期中（理））6名工人，其中2人只會(huì)電工，3人只會(huì)木工，還有1人既會(huì)電工又會(huì)木工，選出電工2人木工2人，共有______種不同的選法．【變式7-1】5．（2020·遼寧·凌源市第二高級(jí)中學(xué)高三期中）現(xiàn)有7名志愿者，其中只會(huì)俄語(yǔ)的有3人，既會(huì)俄語(yǔ)又會(huì)英語(yǔ)的有4人.從中選出4人擔(dān)任“一帶一路”峰會(huì)開(kāi)幕式翻譯工作，2人擔(dān)任英語(yǔ)翻譯，2人擔(dān)任俄語(yǔ)翻譯，共有_______種不同的選法．【變式7-1】6．（2020·上海·閔行中學(xué)高二期中）在一次演唱會(huì)上共10名演員（每名演員都會(huì)唱歌或跳舞），其中7人能唱歌，6人會(huì)跳舞.（1）問(wèn)既能唱歌又會(huì)跳舞的有幾人？（2）現(xiàn)要選出一個(gè)2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少種選派方法？題型8涂色問(wèn)題【方法總結(jié)】涂色問(wèn)題中通常要用到分類(lèi)討論的思想，因此確定分類(lèi)討論標(biāo)準(zhǔn)是解題的關(guān)鍵：涂色問(wèn)題的主要策略：（1）根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，對(duì)各個(gè)區(qū)域分步涂色，這是處理染色問(wèn)題的基本方法；（2）根據(jù)使用顏色總數(shù)分類(lèi)討論；（3）根據(jù)某2個(gè)不相鄰區(qū)域是否同色分類(lèi)討論；（4）根據(jù)相間區(qū)域使用顏色的種類(lèi)分類(lèi)討論；（5）遇到點(diǎn)或線或面的涂色問(wèn)題，可將空間問(wèn)題平面化轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問(wèn)題。【例題8】（2015·吉林四平·高二期末（理））用紅，黃兩種顏色給如圖所示的一列方格染色（可以只染一種顏色）要求相鄰的兩格不都染成紅色，則不同的染色方法數(shù)為A．7 B．28 C．34 D．42【變式8-1】1．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)高三階段練習(xí)（理））如圖，節(jié)日花壇中有5個(gè)區(qū)域，現(xiàn)有4種不同顏色的花卉可供選擇，要求相同顏色的花不能相鄰栽種，則符合條件的種植方案有_____________種.【變式8-1】2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，有A、B、C、D四塊區(qū)域需要植入花卉，現(xiàn)有4種不同花卉可供選擇，要求相鄰區(qū)域植入不同花卉，不同的植入方法有（）A．12種 B．24種 C．48種 D．72種【變式8-1】3．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，湖北省分別與湖南、安徽、陜西、江西四省交界，且湘、皖、陜互不交界，在地圖上分別給各省地域涂色，要求相鄰省涂不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可供選用，則不同的涂色方案數(shù)為（

）A．480 B．600 C．720 D．840【變式8-1】4．（2022·山東·梁山現(xiàn)代高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)要給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的著色方案種數(shù)為（

）A．36 B．48 C．72 D．144【變式8-1】5．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色把圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開(kāi)，若相鄰區(qū)域不能涂同一種顏色，則不同的涂法共有（

）種A．144 B．73 C．48 D．32【變式8-1】6．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）如圖，給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，若有四種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有______種.【變式8-1】7．（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有（

）種不同的染色方案.A．96 B．144 C．240 D．360【變式8-1】8．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）如圖，“趙爽弦圖”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的瑰寶，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成．現(xiàn)從給出的5種不同的顏色中最多可以選擇4種不同的顏色給這5個(gè)區(qū)域涂色；要求相鄰的區(qū)域不能涂同一種顏色，每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色．則不同的涂色方案有（

）種A．120 B．240 C．300 D．360題型9隔板法相關(guān)問(wèn)題【方法總結(jié)】相同元素分配問(wèn)題的處理策略（1）隔板法：如果將放有小球的盒子緊挨著成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相鄰兩塊隔板形成一個(gè)“盒”，每一種插入隔板的方法對(duì)應(yīng)著小球放入盒子的一種方法，此方法稱(chēng)之為隔板法.隔板法專(zhuān)門(mén)解決相同元素的分配問(wèn)題.（2）將n個(gè)相同的元素分給m個(gè)不同的對(duì)象（n≥m），有Cm-1n-1種方法.可描述為n-1個(gè)空中插入m-1塊板.◆類(lèi)型1小球問(wèn)題【例題9-1】（2022·山西大同·高二期中）袋中有十個(gè)完全相同的乒乓球，四個(gè)小朋友去取球，每個(gè)小朋友至少取一個(gè)球，所有的球都被取完，最后四個(gè)小朋友手中乒乓球個(gè)數(shù)的情況一共有（

）A．84種 B．504種 C．729種 D．39種【變式9-1】1．（2021·重慶市天星橋中學(xué)高二期中）5個(gè)相同的小球全部放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少放1個(gè)小球，有____種放法．【變式9-1】2．（2022·河北·大名縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）將20個(gè)完全相同的球放入編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子中．(1)若要求每個(gè)盒子至少放一個(gè)球，則一共有多少種放法？(2)若每個(gè)盒子可放任意個(gè)球，則一共有多少種放法？(3)若要求每個(gè)盒子放的球的個(gè)數(shù)不小于其編號(hào)數(shù)，則一共有多少種放法？◆類(lèi)型2整數(shù)解問(wèn)題【例題9-2】（2022·重慶·高二階段練習(xí)）若方程：x1【變式9-2】1．（2022·重慶·高二階段練習(xí)）已知關(guān)于x?y?z的三元一次方程【變式9-2】2．（2022·福建師大附中高三階段練習(xí)）各數(shù)位數(shù)字之和等于8(數(shù)字可以重復(fù))的四位數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)____．【變式9-2】3.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）若方程x1+x【變式9-2】4．（2021·浙江臺(tái)州·高二期中）已知a,b,【變式9-2】5．（2022·全國(guó)·高二單元測(cè)試）已知不定方程x1(1)不定方程正整數(shù)解的組數(shù)；(2)不定方程自然數(shù)解的組數(shù).◆類(lèi)型3五差別分組分配問(wèn)題【例題9-3】（2022·江蘇·漣水縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）學(xué)校有8個(gè)優(yōu)秀學(xué)生名額，要求分配到高一、高二、高三，每個(gè)年級(jí)至少1個(gè)名額，則有（

）種分配方案.A．45 B．210 C．21 D．120【變式9-3】1．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將10本完全相同的科普知識(shí)書(shū)，全部分給甲?乙?丙3人，每人至少得2本，則不同的分法數(shù)為（

）A．720種 B．420種 C．120種 D．15種【變式9-3】2．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某市舉行高三數(shù)學(xué)競(jìng)賽，有6個(gè)參賽名額分給甲乙丙三所學(xué)校，每所學(xué)校至少分得一個(gè)名額，共有______種不同的分配方法.（用數(shù)字作答）【變式9-3】3．（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）某地舉辦慶祝建黨100周年“奮進(jìn)新時(shí)代，學(xué)習(xí)再出發(fā)”的黨史知識(shí)競(jìng)賽.已知有15個(gè)參賽名額分