74-麥克斯韋速率分布-玻爾茲曼分布課件

一、速率分布函數(shù)令N表示一定量氣體的總分子數(shù)，N表示分子速率在某一區(qū)間v~v+v(如80~100m/s)內(nèi)的分子數(shù)，則:表示分子速率在區(qū)間v~v+v內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，即分子速率在v~v+v區(qū)間內(nèi)的幾率。表示分子速率在速率v附近單位區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，即分子速率在v附近單位區(qū)間內(nèi)的幾率。信息學(xué)院物理教研室一、速率分布函數(shù)令N表示一定量氣體的總分子數(shù)，N表示1當(dāng)Dv0時(shí)，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)----速率

分布函數(shù)。----表示分子速率在v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。對(duì)于處在一定溫度下的氣體，它只是速率v的函數(shù)，叫做氣體分子的速率分布函數(shù)。

速率在v1~v2區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為:信息學(xué)院物理教研室當(dāng)Dv0時(shí)，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)----速率分布函數(shù)。--2若取

，則:----速率分布函數(shù)的歸一化條件由概率論可知，對(duì)于任意一個(gè)以速率v為變量的物理量，其統(tǒng)計(jì)平均值為:信息學(xué)院物理教研室若取，則:----速率分布函數(shù)的歸一化條件由概率論可知3如果所求平均值并不是所有分子的平均值，而是求速率v在某一區(qū)間內(nèi)(v1~v2)所有分子的某物理量的統(tǒng)計(jì)平均值，則:N表示速率v在v1~v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，所以:則:信息學(xué)院物理教研室如果所求平均值并不是所有分子的平均值，而是求速率v在某一區(qū)間4二、麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵信息學(xué)院物理教研室二、麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵信息5分子速率分布圖：分子總數(shù)為速率在區(qū)間的分子數(shù).表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.信息學(xué)院物理教研室分子速率分布圖：分子總數(shù)為速率在6速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式最早是由麥克斯韋在1859年利用碰撞概率的方法導(dǎo)出。----麥克斯韋速率分布率麥克斯韋速率分布曲線信息學(xué)院物理教研室速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式最早是由麥克斯韋在1859年利用碰7S1S2面積S1物理意義:分子速率在區(qū)間v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；分子速率在v~v+dv區(qū)間內(nèi)的幾率。面積S2物理意義:分子速率在區(qū)間v1

~v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；分子速率在v1

~v2區(qū)間內(nèi)的幾率。信息學(xué)院物理教研室S1S2面積S1物理意義:分子速率在區(qū)間v~v+8三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最概然速率vp:與f(v)極大值對(duì)應(yīng)的速率。物理意義:如果把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則分子速率在vp所在區(qū)間內(nèi)的幾率最大。由一級(jí)微商的特性可有:信息學(xué)院物理教研室三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最概然速率vp:與f(v)極大值對(duì)應(yīng)的9不同氣體，在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。若氣體分子的質(zhì)量m1>m2則:m1m2信息學(xué)院物理教研室不同氣體，在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。若氣體分子的質(zhì)10對(duì)于某一定質(zhì)量的氣體，在不同溫度的平衡態(tài)下的麥克斯韋速率分布曲線如圖所示，若T1>T2，則:T2T1信息學(xué)院物理教研室對(duì)于某一定質(zhì)量的氣體，在不同溫度的平衡態(tài)下的麥克斯韋速率分112、平均速率3、方均根速率信息學(xué)院物理教研室2、平均速率3、方均根速率信息學(xué)院物理教研室12最概然速率:平均速率:方均根速率:信息學(xué)院物理教研室最概然速率:平均速率:方均根速率:信息學(xué)院13(1)例題:在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為f(v)、分子質(zhì)量為m、最可幾速率為vp，試說明下列各式的物理意義:表示:。(2)表示:。分子速率在區(qū)間vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比分子平均平動(dòng)動(dòng)能信息學(xué)院物理教研室(1)例題:在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分14例題:用總分子數(shù)N、氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)表示下列各量:(1)速率大于v0的分子數(shù)=(2)速率大于v0的那些分子的平均速率=(3)多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于的v0幾率信息學(xué)院物理教研室例題:用總分子數(shù)N、氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)15平均自由程與分子的平均碰撞頻率自由程:

分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路程。信息學(xué)院物理教研室平均自由程與分子的平均碰撞頻率自由程:分子兩次相鄰碰撞之16分子平均自由程:每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間，一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均路程。通常記做。分子平均碰撞頻率:單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子和其它分子碰撞的平均次數(shù)。通常記做

。若用代表分子的平均速率，則:簡(jiǎn)化模型1.分子為剛性小球；2.分子有效直徑為d；3.其它分子皆靜止，某一分子以平均速率相對(duì)其他分子運(yùn)動(dòng)。信息學(xué)院物理教研室分子平均自由程:每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間，一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平17單位時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù):考慮其他分子的運(yùn)動(dòng):分子平均碰撞頻率:信息學(xué)院物理教研室單位時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù):考慮其他分子的運(yùn)動(dòng):分子平均碰撞18由以上討論知分子平均自由程為:

將代入上式得:信息學(xué)院物理教研室由以上討論知分子平均自由程為:將代入上式得:信息學(xué)院19四、玻爾茲曼分布1、重力場(chǎng)中分子密度按高度的等溫分布設(shè)重力場(chǎng)中的氣體處于平衡態(tài)，考查氣體中位于高度z

處的一個(gè)面積為DS、厚度為dz

的氣柱，如圖，設(shè)氣體分子的質(zhì)量為m，z處的分子數(shù)密度為n，則:由理想氣體的物態(tài)方程可得:則:所以:信息學(xué)院物理教研室四、玻爾茲曼分布1、重力場(chǎng)中分子密度按高度的等溫分布設(shè)重20設(shè)處，則:得:由:得:----等溫氣壓公式另一種表述:信息學(xué)院物理教研室設(shè)處，則:得:由:得:----等溫氣壓公式另一212、麥克斯韋－玻爾茲曼能量分布律重力場(chǎng)中有:玻爾茲曼用提出，微觀粒子在保守力場(chǎng)中的數(shù)密度分布函數(shù)為:----玻爾茲曼粒子數(shù)密度按位置分布律信息學(xué)院物理教研室2、麥克斯韋－玻爾茲曼能量分布律重力場(chǎng)中有:玻爾茲曼用提出22根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法法則，微觀粒子按速度及位置的分布律為:式中:粒子的機(jī)械能信息學(xué)院物理教研室根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法法則，微觀粒子按速度及位置的分布律為23一、速率分布函數(shù)令N表示一定量氣體的總分子數(shù)，N表示分子速率在某一區(qū)間v~v+v(如80~100m/s)內(nèi)的分子數(shù)，則:表示分子速率在區(qū)間v~v+v內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，即分子速率在v~v+v區(qū)間內(nèi)的幾率。表示分子速率在速率v附近單位區(qū)間內(nèi)分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，即分子速率在v附近單位區(qū)間內(nèi)的幾率。信息學(xué)院物理教研室一、速率分布函數(shù)令N表示一定量氣體的總分子數(shù)，N表示24當(dāng)Dv0時(shí)，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)----速率

分布函數(shù)。----表示分子速率在v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。對(duì)于處在一定溫度下的氣體，它只是速率v的函數(shù)，叫做氣體分子的速率分布函數(shù)。

速率在v1~v2區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比為:信息學(xué)院物理教研室當(dāng)Dv0時(shí)，是一個(gè)連續(xù)的函數(shù)----速率分布函數(shù)。--25若取

，則:----速率分布函數(shù)的歸一化條件由概率論可知，對(duì)于任意一個(gè)以速率v為變量的物理量，其統(tǒng)計(jì)平均值為:信息學(xué)院物理教研室若取，則:----速率分布函數(shù)的歸一化條件由概率論可知26如果所求平均值并不是所有分子的平均值，而是求速率v在某一區(qū)間內(nèi)(v1~v2)所有分子的某物理量的統(tǒng)計(jì)平均值，則:N表示速率v在v1~v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)，所以:則:信息學(xué)院物理教研室如果所求平均值并不是所有分子的平均值，而是求速率v在某一區(qū)間27二、麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵信息學(xué)院物理教研室二、麥克斯韋速率分布實(shí)驗(yàn)裝置金屬蒸汽顯示屏狹縫接抽氣泵信息28分子速率分布圖：分子總數(shù)為速率在區(qū)間的分子數(shù).表示速率在區(qū)間的分子數(shù)占總數(shù)的百分比.信息學(xué)院物理教研室分子速率分布圖：分子總數(shù)為速率在29速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式最早是由麥克斯韋在1859年利用碰撞概率的方法導(dǎo)出。----麥克斯韋速率分布率麥克斯韋速率分布曲線信息學(xué)院物理教研室速率分布函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式最早是由麥克斯韋在1859年利用碰30S1S2面積S1物理意義:分子速率在區(qū)間v~v+dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；分子速率在v~v+dv區(qū)間內(nèi)的幾率。面積S2物理意義:分子速率在區(qū)間v1

~v2內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比；分子速率在v1

~v2區(qū)間內(nèi)的幾率。信息學(xué)院物理教研室S1S2面積S1物理意義:分子速率在區(qū)間v~v+31三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最概然速率vp:與f(v)極大值對(duì)應(yīng)的速率。物理意義:如果把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則分子速率在vp所在區(qū)間內(nèi)的幾率最大。由一級(jí)微商的特性可有:信息學(xué)院物理教研室三、三種統(tǒng)計(jì)速率1、最概然速率vp:與f(v)極大值對(duì)應(yīng)的32不同氣體，在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。若氣體分子的質(zhì)量m1>m2則:m1m2信息學(xué)院物理教研室不同氣體，在同一溫度下的麥克斯韋速率分布曲線。若氣體分子的質(zhì)33對(duì)于某一定質(zhì)量的氣體，在不同溫度的平衡態(tài)下的麥克斯韋速率分布曲線如圖所示，若T1>T2，則:T2T1信息學(xué)院物理教研室對(duì)于某一定質(zhì)量的氣體，在不同溫度的平衡態(tài)下的麥克斯韋速率分342、平均速率3、方均根速率信息學(xué)院物理教研室2、平均速率3、方均根速率信息學(xué)院物理教研室35最概然速率:平均速率:方均根速率:信息學(xué)院物理教研室最概然速率:平均速率:方均根速率:信息學(xué)院36(1)例題:在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分布函數(shù)為f(v)、分子質(zhì)量為m、最可幾速率為vp，試說明下列各式的物理意義:表示:。(2)表示:。分子速率在區(qū)間vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比分子平均平動(dòng)動(dòng)能信息學(xué)院物理教研室(1)例題:在平衡狀態(tài)下，已知理想氣體分子的麥克斯韋速率分37例題:用總分子數(shù)N、氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)表示下列各量:(1)速率大于v0的分子數(shù)=(2)速率大于v0的那些分子的平均速率=(3)多次觀察某一分子的速率，發(fā)現(xiàn)其速率大于的v0幾率信息學(xué)院物理教研室例題:用總分子數(shù)N、氣體分子速率v和速率分布函數(shù)f(v)38平均自由程與分子的平均碰撞頻率自由程:

分子兩次相鄰碰撞之間自由通過的路程。信息學(xué)院物理教研室平均自由程與分子的平均碰撞頻率自由程:分子兩次相鄰碰撞之39分子平均自由程:每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間，一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平均路程。通常記做。分子平均碰撞頻率:單位時(shí)間內(nèi)一個(gè)分子和其它分子碰撞的平均次數(shù)。通常記做

。若用代表分子的平均速率，則:簡(jiǎn)化模型1.分子為剛性小球；2.分子有效直徑為d；3.其它分子皆靜止，某一分子以平均速率相對(duì)其他分子運(yùn)動(dòng)。信息學(xué)院物理教研室分子平均自由程:每?jī)纱芜B續(xù)碰撞之間，一個(gè)分子自由運(yùn)動(dòng)的平40單位時(shí)間內(nèi)平均碰撞次數(shù):考慮其他分子的運(yùn)動(dòng):分子平均碰撞頻