2022-2023學(xué)年上海市嘉定區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題一、填空題1．函數(shù)的最小正周期為_____．【答案】【詳解】試題分析：【解析】三角函數(shù)的周期.2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中是虛數(shù)單位，則___________．【答案】－3【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求解.【詳解】由可得：，所以，故答案為：.3．已知，則________.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】由誘導(dǎo)公式可知.故答案為:4．一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關(guān)系是________【答案】相交或異面【分析】分為共面和不共面，可確定兩種位置關(guān)系.【詳解】若為異面直線，當(dāng)共面時(shí)，相交；當(dāng)不共面時(shí)，異面故答案為相交或異面【點(diǎn)睛】本題考查空間中直線與直線位置關(guān)系的判定，屬于基礎(chǔ)題.5．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是______．【答案】【分析】應(yīng)用向量共線的坐標(biāo)表示得，即可求.【詳解】由題意知：，解得.故答案為：6．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，它是一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，則原圖形的周長(zhǎng)為________．【答案】8【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法，還原出原圖，根據(jù)原圖與直觀圖的關(guān)系，求得邊長(zhǎng)，即可得答案.【詳解】根據(jù)直觀圖，還原原圖可得OABC，如圖所示：根據(jù)原圖與直觀圖的關(guān)系可得，，且，所以，所以原圖形OABC的周長(zhǎng)為3+1+3+1=8，故答案為：87．若復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是方程（、均為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，則___【答案】【分析】先由題意，得到，化簡(jiǎn)整理，再由復(fù)數(shù)相等，得到，根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）是方程（、均為實(shí)數(shù)）的一個(gè)根，所以，整理得：，因此，解得.所以.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查求復(fù)數(shù)的模，熟記復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，以及復(fù)數(shù)相等的充要條件即可，屬于?？碱}型.8．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則與平面所成角的大小為______．【答案】【分析】連接相交于，連接，，轉(zhuǎn)化為求直線和平面所成的角，再利用線面垂直的判定定理可得就是直線和平面所成的角，由可得答.【詳解】連接，由于分別是的中點(diǎn)，所以，所以直線和平面所成的角的大小等于直線和平面所成的角，連接相交于，連接，根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可知平面，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以就是直線和平面所成的角，因?yàn)?，所以，所以，，所以，故與平面所成角的大小為.故答案為：.9．在中，若，，，則的面積為___________.【答案】【分析】利用公式求出，利用正弦定理求出，利用三角形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以，，所以，由正弦定理得，得，得，所以的面積.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用正弦定理、三角形面積公式求解是解題關(guān)鍵.10．已知、滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為______．【答案】10【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)、的夾角為，因?yàn)樵诜较蛏系臄?shù)量投影為，所以，因此，因此，所以，，因此有，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，故答案為：1011．已知函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為______．【答案】【分析】化函數(shù)為f（x）＝2sin（ωx），由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間求出x的取值范圍，結(jié)合題意列不等式組求出k的值，再根據(jù)函數(shù)f（x）的對(duì)稱軸求出ω的值．【詳解】函數(shù)，，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，，，；可解得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，，可得：，，其中，解得：且，，，解得：，，可解得：，又由，；可解得函數(shù)的對(duì)稱軸為：，，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得：，可解得：．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，正確確定k的值是解題的關(guān)鍵，是中檔題12．已知為的外心，，，則的最大值為________【答案】【分析】以外接圓圓心為半徑建立坐標(biāo)系，設(shè)，列方程用表示出，代入圓的方程，再利用不等式解出的范圍即可.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為1，以外接圓圓心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，不妨設(shè)，，，則，，，因?yàn)椋?，解得，因?yàn)樵趫A上，所以，即，所以，所以，解得或，因?yàn)橹荒茉趦?yōu)弧上，所以，故【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本定理及其意義，熟記平面向量基本定理即可，屬于常考題型.二、單選題13．若、是兩條不重合的直線，垂直于平面，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】利用線面垂直性質(zhì)定理去判斷“”與“”邏輯關(guān)系即可解決.【詳解】若、是兩條不重合的直線，垂直于平面，則由，可以得到，即“”是“”的充分條件；由，可得或，即“”不是“”的必要條件.故“”是“”的充分不必要條件故選：A14．函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和差公式化簡(jiǎn)函數(shù)，由整體法令，即可求解.【詳解】，令，即，故函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為．故選：C15．如圖，正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，連接，對(duì)空間任意兩點(diǎn)，若線段與線段都不相交，則稱兩點(diǎn)可視，下列選項(xiàng)中與點(diǎn)可視的為（

）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)異面直線的定義判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故A錯(cuò)；C選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：四邊形是平行四邊形，與相交，故D錯(cuò)；利用排除法可得選項(xiàng)B正確.故選：B.16．已知直線垂直平面，垂足為，在矩形中，，若點(diǎn)A在上移動(dòng)，點(diǎn)在平面上移動(dòng)，則、兩點(diǎn)間的最大距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等號(hào)能成立時(shí)求得、兩點(diǎn)間的最大距離即可解決【詳解】取AB中點(diǎn)E，連接OE、DE，則則、兩點(diǎn)間的距離，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)依次共線時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)平面平面，直線AB與平面所成角為故選：B三、解答題17．已知復(fù)數(shù)，且是純虛數(shù)．(1)求復(fù)數(shù)；(2)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由純虛數(shù)的定義列出方程得出復(fù)數(shù)；（2）由復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算結(jié)合復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限，列出不等式得出的取值范圍．【詳解】（1）∵，∴，又是純虛數(shù)，∴且，即，∴．（2）由（1）得：，則，∵復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，∴，解得，故的取值范圍為．18．已知向量，．(1)當(dāng)，求(2)求的最小值，并求此時(shí)向量，的夾角大?。敬鸢浮?1)(2)最小值為，此時(shí)，夾角大小為【分析】（1）根據(jù)模長(zhǎng)公式即可求解，（2）根據(jù)模長(zhǎng)的坐標(biāo)運(yùn)算即可利用函數(shù)的性質(zhì)求最值.【詳解】（1）因因?yàn)?，所以．?）解法設(shè)，，因?yàn)?，所以，由，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等所以最小值為，此時(shí)，夾角大小為．解法設(shè)，由，所以故當(dāng)，時(shí)最小值為，此時(shí)．19．如圖，已知是底面為正方形的長(zhǎng)方體，，，為的中點(diǎn)，(1)求證：直線平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）連接交于點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，由此可得，利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）方法一：取中點(diǎn)，知，則所求角為，在中，由長(zhǎng)度關(guān)系可求得結(jié)果；方法二：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用線線角的向量求法可求得結(jié)果.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，四邊形為長(zhǎng)方形，為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，，，又，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，平面.（2）方法一：取中點(diǎn)，連接，分別為中點(diǎn)，，即為異面直線與所成角，平面，平面，又平面，；，，，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.方法二：，，，，；以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，即異面直線與所成角的余弦值為.20．在中，角、、所對(duì)的邊分別是、、．且．(1)求角的大?。?2)求的取值范圍；(3)若，，為中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，且滿足．求的值，并求此時(shí)的面積．【答案】(1)(2)(3)，的面積為【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理求解即可；（2）根據(jù)（1）可得，得到，再根據(jù)正弦的和差角公式與輔助角公式，根據(jù)角度的范圍求解即可；（3）先根據(jù)直角三角形中的關(guān)系求解得，再設(shè)，推導(dǎo)可得，再根據(jù)求解即可【詳解】（1）由正弦定理及，得，即，化簡(jiǎn)得，故．又，故．（2）由（1）知，，故.又，則，，故．（3）∵，∴，∵，為中點(diǎn)，∴，∵，∴，，∴，，設(shè)，則，∴，，∴，在直角中，，∴當(dāng)時(shí)，的面積為．21．已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義非零向量的“相伴函數(shù)”為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”；記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為(1)已知，，若函數(shù)為集合中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范圍；(2)已知點(diǎn)滿足條件：，，若向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值，當(dāng)在區(qū)間變化時(shí)，求的取值范圍；(3)當(dāng)向量時(shí)，“相伴函數(shù)”為，若，方程存在4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）把化為形式得“相伴向量”，求出模后可得其范圍；（2）寫出“相伴函數(shù)”，根據(jù)輔助角公式得最大值及最大值點(diǎn)，由的范圍得的范圍，再得出的范圍后可得的取值范圍；（3）由定義得并化簡(jiǎn)（化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式），解方程得或，求得兩根，然后作出函數(shù)，的圖象，由圖象可得且有兩根的的范圍．【詳解】（1），∴函數(shù)的相伴向量，，∴