湖南省株洲市鴻仙中學(xué)2019年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

湖南省株洲市鴻仙中學(xué)2019年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條件是（

）A．

B.

C．

D．且參考答案：C2.在（x﹣y）10的展開式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)參考答案：C【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．【分析】由二項(xiàng)展開式可得出系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)一定為負(fù)，再結(jié)合組合數(shù)的性質(zhì)即可判斷出系數(shù)最小的項(xiàng)．【解答】解：展開式共有11項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，且第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)第6項(xiàng)．故選C．3.如果數(shù)列滿足：首項(xiàng)那么下列說法正確的是

（

）

A．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列

B．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)成等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)成等比數(shù)列C．該數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列

D．該數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)分別加4后構(gòu)成一個(gè)公比為2的等比數(shù)列參考答案：C4.下列命題中，真例題的是(

)（A）．，＜0（B）．，（C）．“a＋b＝0”的充要條件是“＝－1”

（D）．“a＞1，b＞1”是“ab＞1“的充分條件參考答案：D5.已知正數(shù)x,y滿足，則的最小值為(

)A．1

B．

C．

D．參考答案：C6.已知函數(shù)f（x）=x（1+a|x|）．設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．

B．C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】3F：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【分析】排除法：取a=﹣，由f（x+a）＜f（x），得（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，分x＜0，0≤x≤，x＞討論，可得A，檢驗(yàn)是否符合題意，可排除B、D；取a=1，由f（x+a）＜f（x），得（x+1）|x+1|+1＞x|x|，分x＜﹣1，﹣1≤x≤0，x＞0進(jìn)行討論，檢驗(yàn)是否符合題意，排除C．【解答】解：取a=﹣時(shí)，f（x）=﹣x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x﹣）|x﹣|+1＞x|x|，（1）x＜0時(shí)，解得﹣＜x＜0；（2）0≤x≤時(shí)，解得0；（3）x＞時(shí)，解得，綜上知，a=﹣時(shí)，A=（﹣，），符合題意，排除B、D；取a=1時(shí)，f（x）=x|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜﹣1時(shí)，解得x＞0，矛盾；（2）﹣1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0時(shí)，解得x＜﹣1，矛盾；綜上，a=1，A=?，不合題意，排除C，故選A．7.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=（4+i）+（﹣3﹣2i）的虛部是（）A．1 B． C．﹣1 D．﹣i參考答案：D【考點(diǎn)】A6：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案．【解答】解：z=（4+i）+（﹣3﹣2i）=1﹣i∴復(fù)數(shù)z的虛部為﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．8.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12．則公差d=（）A． B．1 C．2 D．8參考答案：C【考點(diǎn)】等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式，建立方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，Sm﹣2=﹣4，Sm=0，Sm+2=12，∴am+am﹣1=Sm﹣Sm﹣2=0+4=4，am+2+am+1=Sm+2﹣Sm=12﹣0=12，即，解得d=2．故選：C．9.設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，它的周期是，則A．的圖象過點(diǎn) B．在上是減函數(shù)C．的一個(gè)對(duì)稱中心是 D．的最大值是A參考答案：C略10.已知是等差數(shù)列，，則過點(diǎn)的直線斜率是（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.球?yàn)槔忾L(zhǎng)為的正方體的內(nèi)切球，為球的球面上動(dòng)點(diǎn)，為中點(diǎn)，,則點(diǎn)的軌跡周長(zhǎng)為

．

參考答案：12.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和Sn滿足log2（Sn+1）=n，則an=．參考答案：2n﹣1【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．

【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)log2（Sn+1）=n，可得Sn的公式，進(jìn)而代入an=Sn﹣Sn﹣1中即可求得an【解答】解：由log2（Sn+1）=n得Sn+1=2n，∴Sn=2n﹣1，∴a1=S1=2﹣1=1，an=Sn﹣Sn﹣1=（2n﹣1）﹣（2n﹣1﹣1）=2n﹣2n﹣1=2n﹣1；∴an=2n﹣1．2n﹣1；【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)列的求和問題．屬基礎(chǔ)題．13.直三棱柱ABC-A1B1C1中，，設(shè)其外接球的球心為O，已知三棱錐O-ABC的體積為1，則球O表面積的最小值為__________．參考答案：.【分析】設(shè)，由三棱錐的體積為可得．然后根據(jù)題意求出三棱柱外接球的半徑為，再結(jié)合基本不等式可得外接球表面積的最小值．【詳解】如圖，在中，設(shè)，則．分別取的中點(diǎn)，則分別為和外接圓的圓心，連，取的中點(diǎn)，則為三棱柱外接球的球心．連，則為外接球的半徑，設(shè)半徑為．∵三棱錐的體積為，即，∴．在中，可得，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴球表面積的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】解答幾何體外接球的體積、表面積問題的關(guān)鍵是確定球心的位置，進(jìn)而得到球的半徑，解題時(shí)注意球心在過底面圓圓心且垂直于底面的直線上，且球心到幾何體各頂點(diǎn)的距離相等．在確定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半徑，此類問題考查空間想象力和計(jì)算能力，難度較大．14.從某學(xué)習(xí)小組10名同學(xué)中選出3人參加一項(xiàng)活動(dòng)，其中甲、乙兩人都被選中的概率是

．參考答案：略15.的展開式中的系數(shù)是

；參考答案：答案：1416.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為______.參考答案：－3【分析】畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解．【詳解】由題意，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，可化為直線，直線過點(diǎn)A時(shí)，此時(shí)直線在y軸上的截距最小，目標(biāo)函數(shù)取得最小值，又由，解得，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為．

【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃求解目標(biāo)函數(shù)的最值問題．其中解答中正確畫出不等式組表示的可行域，利用“一畫、二移、三求”，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．17.下面有六個(gè)命題：①函數(shù)在第一象限是增函數(shù).

②終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合是③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn).④函數(shù)⑤的圖象中一條對(duì)稱軸是⑥函數(shù)的最小正周期是。其中真命題的序號(hào)是

（寫出所有真命題的序號(hào)）參考答案：②③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)上為增函數(shù)，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）當(dāng)m=0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（3）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；函數(shù)恒成立問題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【專題】壓軸題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）由函數(shù)上為增函數(shù)，得g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，由此能求出θ的值．（2）當(dāng)m=0時(shí)，求出f（x）、f′（x），在定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0得到單調(diào)區(qū)間，由極值定義可得極值；（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，分m≤0，m＞0兩種情況進(jìn)行討論，由題意知，只要在[1，e]上F（x）max＞0即可；【解答】解：（1）∵函數(shù)上為增函數(shù)，∴g′（x）=﹣+≥0在[1，+∞）上恒成立，≥0，∵θ∈（0，π），∴sinθ＞0，故要使xsinθ﹣1≥0在[1，+∞）恒成立，只需1×sinθ﹣1≥0，即sinθ≥1，只需sinθ=1，∵θ∈（0，π），∴θ=．（2）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）．當(dāng)m=0時(shí)，f（x）=，f′（x）=，當(dāng)0＜x＜2e﹣1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞2e﹣1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；所以f（x）的增區(qū)間是（0，2e﹣1），減區(qū)間是（2e﹣1，+∞），當(dāng)x=2e﹣1時(shí)，f（x）取得極大值f（2e﹣1）=﹣1﹣ln（2e﹣1）．（3）令F（x）=f（x）﹣g（x）=mx﹣﹣2lnx，①當(dāng)m≤0時(shí)，x∈[1，e]，mx﹣≤0，﹣2lnx﹣＜0，∴在[1，e]上不存在一個(gè)x0，使得f（x0）＞g（x0）成立．②當(dāng)m＞0時(shí)，F(xiàn)′（x）=m+﹣=，∵x∈[1，e]，∴2e﹣2x≥0，mx2+m＞0，∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立．故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，F(xiàn)（x）max=F（e）=me﹣﹣4，只要me﹣﹣4＞0，解得m＞．故m的取值范圍是（，+∞）【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．19.已知函數(shù)(I)若,函數(shù)的極大值為,求實(shí)數(shù)的值；(Ⅱ)若對(duì)任意的,在上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由題意，.①當(dāng)時(shí)，，令，得；，得，所以在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減.所以的極大值為，不合題意.②當(dāng)時(shí)，，令，得；，得或，所以在單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減.所以的極大值為，得.綜上所述.（Ⅱ）令，，當(dāng)時(shí)，，則對(duì)恒成立等價(jià)于，即，對(duì)恒成立.①當(dāng)時(shí)，，，，此時(shí)，不合題意.②當(dāng)時(shí)，令，，則，其中，，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，時(shí)，，所以對(duì)，，從而在上單調(diào)遞增，所以對(duì)任意，，即不等式在上恒成立.時(shí)，由，及在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以存在唯一的使得，且時(shí)，.從而時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則時(shí)，，即，不符合題意.綜上所述，.

20.在一個(gè)盒子中有大小一樣的7個(gè)球，球上分別標(biāo)有數(shù)字1，1，2，2，2，3，3．現(xiàn)從盒子中同時(shí)摸出3個(gè)球，設(shè)隨機(jī)變量X為摸出的3個(gè)球上的數(shù)字和．

（1）求概率P(X≥7)；[來源:學(xué)§科§網(wǎng)]

（2）求X的概率分布列，并求其數(shù)學(xué)期望E(X)．參考答案：解（1）P(X＝7)＝＝，P(X＝8)＝＝．所以P（X≥7）＝.

………4分（2）P(X＝6)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝4)＝＝．所以隨機(jī)變量X的概率分布列為X4567[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)]8P[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

…………8分所以E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6．

………10分21.（本小題滿分12分）在中，設(shè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為，.（1）求角；（2）若且，求的面積.參考答案：(1)；(2)試題分析：（1）利用兩角差的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得，結(jié)合范圍0＜C＜π，即可解得C的值．（2）由正弦函數(shù)化簡(jiǎn)sinA=2sinB，可得a=2b，利用余弦定理解得b，可求a的值，利用三角形面積公式即可得解．考點(diǎn)：兩角差的正弦函數(shù)，余弦函數(shù)公式，正弦定理，余弦定理【方法點(diǎn)睛】對(duì)余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對(duì)任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”、“夾角”、“余弦”．(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個(gè)角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．22.（本題滿分14分）給定橢圓，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓Ｃ的“準(zhǔn)圓”.若橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)為，其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到Ｆ的距離為．（Ⅰ）求橢圓Ｃ的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；（Ⅱ）點(diǎn)P是橢圓C的“準(zhǔn)圓”上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線，使得與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，且分別交其“準(zhǔn)圓”于點(diǎn)M，N．（1）當(dāng)P為“準(zhǔn)圓”與軸正半軸的交點(diǎn)時(shí)，求的方程；（2）求證：|MN|為定值．參考答案：（本題滿分14分）解：（I）因?yàn)椋运詸E圓的方程為，

…………………3分又=2,所以準(zhǔn)圓的方程為.

………4分（II）（1）因?yàn)闇?zhǔn)圓與軸正半軸的交點(diǎn)為P（0，2）,設(shè)過點(diǎn)P（0，2），且與橢圓有一個(gè)公共點(diǎn)的直線為,

所以，消去y，得到,…………6分因?yàn)闄E圓與只有一個(gè)公共點(diǎn),所以,

解得.所以方程為.

……………9分（2）①當(dāng)中有一條無斜率時(shí)，不妨設(shè)無斜率，因?yàn)榕c