一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題設(shè)計

一元二次方程的解集及其根與系數(shù)的關(guān)系【教學(xué)目標(biāo)】1.理解一元二次方程的定義，并會求一元二次方程的解集．2．掌握一元二次方程的根的判別式，并會用其判斷根的個數(shù)．3．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值．【核心素養(yǎng)】1.通過對一元二次方程的解集及根與系數(shù)的關(guān)系的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．2．通過求一元二次方程的解集，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【教學(xué)重點】1.理解一元二次方程的定義，并會求一元二次方程的解集．(重點)2．掌握一元二次方程的根的判別式，并會用其判斷根的個數(shù)．(重點)【教學(xué)難點】掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并會用其求一些關(guān)于方程兩根的代數(shù)式的值．【教學(xué)過程】【新知探究】1．一元二次方程的定義形如ax2＋bx＋c＝0的方程為一元二次方程，其中a，b，c是常數(shù)，且a≠0.2．一元二次方程的解法(1)直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法．(2)配方法：通過方程的簡單變形，將左邊配成一個含有未知數(shù)的完全平方式，若右邊是一個非負(fù)常數(shù)，則可以運(yùn)用直接開平方法求解，這種解一元二次方程的方法叫做配方法．(3)公式法：將一元二次方程中的系數(shù)a，b,c的值代入式子x＝eq\f(－b±\r(b2－4ac),2a)中，就求得方程的根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法．3．一元二次方程根的判別式式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)根的判別式，通常用Δ表示，即Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)沒有實數(shù)根．4．一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根是x1，x2，那么x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1·x2＝eq\f(c,a)，即兩個根的和等于一次項系數(shù)與二次項系數(shù)的比的相反數(shù)，兩個根的積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比．【初試身手】1．一元二次方程x2－16＝0的解集是()A．{－8,8} B．{－4}C．{4} D．{－4,4}D[利用直接開平方法解方程，即x2－16＝0，∴x2＝16，解得x1＝4，x2＝－4，故選D.]2．用配方法解方程x2－8x＋5＝0，將其化為(x＋a)2＝b的形式，正確的是()A．(x＋4)2＝11 B．(x＋4)2＝21C．(x－8)2＝11 D．(x－4)2＝11D[x2－8x＋5＝0，x2－8x＝－5，x2－8x＋16＝－5＋16，(x－4)2＝11，故選D.]3．用公式法解方程6x－8＝5x2時，a，b，c的值分別是()A．5、6、－8 B．5、－6、－8C．5、－6、8 D．6、5、－8C[原方程可化為5x2－6x＋8＝0，∴a＝5,b＝－6，c＝8，故選C.]4．已知一元二次方程2x2＋2x－1＝0的兩個根為x1，x2，且x1＜x2，下列結(jié)論正確的是()A．x1＋x2＝1 B．x1·x2＝－1C．|x1|＜|x2| D．xeq\o\al(2,1)＋x1＝eq\f(1,2)D[根據(jù)題意，得x1＋x2＝－eq\f(2,2)＝－1，x1x2＝－eq\f(1,2)，所以A，B選項錯誤．∵x1＋x2＜0，x1x2＜0，∴x1，x2異號，且負(fù)數(shù)的絕對值大，所以C選項錯誤．∵x1為一元二次方程2x2＋2x－1＝0的根，∴2xeq\o\al(2,1)＋2x1－1＝0，∴xeq\o\al(2,1)＋x1＝eq\f(1,2)，D選項正確．故選D.]【知識提高】一元二次方程的解法角度一直接開平方法【例1】用直接開平方法求下列一元二次方程的解集：(1)4y2－25＝0；(2)3x2－x＝15－x.[思路點撥]可將方程轉(zhuǎn)化為x2＝p(p≥0)的形式．再兩邊開平方進(jìn)行降次，化為一元一次方程．[解](1)移項，得4y2＝25.兩邊都除以4，得y2＝eq\f(25,4).解得y1＝eq\f(5,2)，y2＝－eq\f(5,2).所以原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－\f(5,2))).(2)移項，合并同類項，得3x2＝15.兩邊都除以3，得x2＝5.解得x1＝eq\r(5)，x2＝－eq\r(5).所以原一元二次方程的解集是{eq\r(5)，－eq\r(5)}．規(guī)律方法：應(yīng)用直接開平方法求一元二次方程解集的主要步驟1化為x2＝pp≥0的形式；2直接開平方；3解兩個一元一次方程，寫出方程的兩個根；4總結(jié)寫成解集的形式.跟蹤訓(xùn)練1．用直接開平方法求下列一元二次方程的解集．(1)(x＋1)2＝12；(2)(6x－1)2－25＝0.[解](1)直接開平方，得x＋1＝±2eq\r(3)，∴x1＝2eq\r(3)－1，x2＝－2eq\r(3)－1.∴原一元二次方程的解集是{2eq\r(3)－1，－2eq\r(3)－1}．(2)移項，得(6x－1)2＝25.開平方，得6x－1＝±5.∴x1＝1，x2＝－eq\f(2,3).∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2,3))).角度二配方法【例2】用配方法求下列方程的解集．(1)x2＋4x－1＝0；(2)4x2＋8x＋1＝0.[解](1)∵x2＋4x－1＝0，∴x2＋4x＝1，∴x2＋4x＋4＝1＋4，∴(x＋2)2＝5，∴x＝－2±eq\r(5)，∴x1＝－2＋eq\r(5)，x2＝－2－eq\r(5).∴原一元二次方程的解集是{－2＋eq\r(5)，－2－eq\r(5)}．(2)移項，得4x2＋8x＝－1.二次項系數(shù)化為1，得x2＋2x＝－eq\f(1,4)，配方，得x2＋2x＋12＝12－eq\f(1,4)，即(x＋1)2＝eq\f(3,4).∴x＋1＝±eq\f(\r(3),2).∴x1＝－1＋eq\f(\r(3),2)，x2＝－1－eq\f(\r(3),2)，∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1＋\f(\r(3),2)，－1－\f(\r(3),2))).規(guī)律方法利用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0，先把二次項系數(shù)變?yōu)?，即方程兩邊都除以a，然后把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程的一邊配方化為一個完全平方式，另一邊化為非負(fù)數(shù)，然后用直接開平方法求解若另一邊為負(fù)數(shù)，則此方程無實數(shù)根.跟蹤訓(xùn)練2．用配方法求下列方程的解集．(1)x2＋3＝2eq\r(3)x；(2)2x2－5＋eq\r(2)x＝0.[解](1)移項，得x2－2eq\r(3)x＝－3.配方，得x2－2eq\r(3)x＋(eq\r(3))2＝－3＋(eq\r(3))2，即(x－eq\r(3))2＝0.∴x1＝x2＝eq\r(3).∴原一元二次方程的解集是{eq\r(3)}．(2)移項，得2x2＋eq\r(2)x＝5.二次項系數(shù)化為1，得x2＋eq\f(\r(2),2)x＝eq\f(5,2).配方，得x2＋eq\f(\r(2),2)x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up20(2)＝eq\f(5,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))eq\s\up20(2).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(2),4)))eq\s\up20(2)＝eq\f(21,8).∴x＋eq\f(\r(2),4)＝±eq\f(\r(42),4).∴x1＝eq\f(－\r(2)＋\r(42),4)，x2＝eq\f(－\r(2)－\r(42),4)，∴原一元二次方程的解集是eq\f(－\r(2)＋\r(42),4)，eq\f(－\r(2)－\r(42),4).角度三公式法【例3】用公式法求下列方程的解集．(1)x2－4eq\r(3)x＋10＝0；(2)eq\f(1,2)x2＋eq\f(1,2)x＋eq\f(1,8)＝0.[思路點撥]先化成一元二次方程的一般形式，再求Δ，然后根據(jù)求根公式求解．[解](1)∵a＝1，b＝－4eq\r(3)，c＝10，Δ＝b2－4ac＝(－4eq\r(3))2－4×1×10＝8＞0，∴x＝eq\f(－－4\r(3)±\r(8),2×1)＝eq\f(4\r(3)±2\r(2),2)＝2eq\r(3)±eq\r(2)，∴x1＝2eq\r(3)＋eq\r(2)，x2＝2eq\r(3)－eq\r(2).∴原一元二次方程的解集是{2eq\r(3)＋eq\r(2)，2eq\r(3)－eq\r(2)}．(2)方程兩邊都乘以8，得4x2＋4x＋1＝0.∵a＝4，b＝4，c＝1，Δ＝b2－4ac＝42－4×4×1＝0，∴x＝eq\f(－4±\r(0),2×4)＝－eq\f(1,2)，∴x1＝x2＝－eq\f(1,2).∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))).規(guī)律方法利用公式法解一元二次方程時，首先將方程化為一般形式，找出二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項，計算b2－4ac的值；當(dāng)b2－4ac≥0時，把a(bǔ)，b，c的值代入求根公式即可求出原方程的解，然后總結(jié)寫出解集.跟蹤訓(xùn)練3．用公式法求下列方程的解集．(1)x2＋3＝2eq\r(2)x；(2)3x2＝－6x－1.[解](1)將方程化為一般形式為x2－2eq\r(2)x＋3＝0.∵a＝1，b＝－2eq\r(2)，c＝3，Δ＝b2－4ac＝(－2eq\r(2))2－4×1×3＝－4＜0，∴原方程沒有實數(shù)根．∴原一元二次方程的解集是?.(2)將方程化為一般形式為3x2＋6x＋1＝0，∵a＝3，b＝6，c＝1，Δ＝b2－4ac＝62－4×3×1＝24＞0，∴x＝eq\f(－6±\r(24),2×3)＝eq\f(－3±\r(6),3).∴x1＝eq\f(－3＋\r(6),3)，x2＝eq\f(－3－\r(6),3).∴原一元二次方程的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(－3＋\r(6),3)，\f(－3－\r(6),3))).一元二次方程的根的判別式【例4】不解方程，判斷下列一元二次方程的解集情況．(1)3x2－2x－1＝0；(2)2x2－x＋1＝0；(3)4x－x2＝x2＋2.[解](1)∵Δ＝(－2)2－4×3×(－1)＝16＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．∴方程的解集中有兩個元素．(2)∵Δ＝(－1)2－4×2×1＝－7＜0，∴方程沒有實數(shù)根．∴方程的解集為空集．(3)方程整理為x2－2x＋1＝0,∵Δ＝(－2)2－4×1×1＝0,∴方程有兩個相等的實數(shù)根．∴方程的解集中有一個元素．規(guī)律方法一元二次方程ax2＋bx＋c＝0a≠0的根的判別式Δ＝b2－4ac.當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＝0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程沒有實數(shù)根.跟蹤訓(xùn)練4．下列一元二次方程中，解集為空集的是()A．x2－2x＝0B．x2＋4x－1＝0C．2x2－4x＋3＝0 D．3x2＝5x－2C[利用根的判別式Δ＝b2－4ac分別進(jìn)行判定即可．A．Δ＝(－2)2－4×1×0＝4＞0，有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項不合題意；B．Δ＝42－4×1×(－1)＝20＞0，有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項不合題意；C．Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8＜0，沒有實數(shù)根，故此選項符合題意；D．Δ＝(－5)2－4×3×2＝1＞0，有兩個不相等的實數(shù)根，故此選項不合題意．故選C.]一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系【例5】設(shè)x1，x2是方程2x2－9x＋6＝0的兩個根，求下列各式的值．(1)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)；(2)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)；(3)(x1－3)(x2－3)；(4)x1－x2.[解]由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(9,2)，x1x2＝3.(1)eq\f(1,x1)＋eq\f(1,x2)＝eq\f(x1＋x2,x1x2)＝eq\f(9,2)÷3＝eq\f(3,2)；(2)xeq\o\al(2,1)＋xeq\o\al(2,2)＝(x1＋x2)2－2x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up20(2)－2×3＝eq\f(57,4)；(3)(x1－3)(x2－3)＝x1x2－3(x1＋x2)＋9＝3－3×eq\f(9,2)＋9＝－eq\f(3,2)；(4)∵(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)))eq\s\up20(2)－4×3＝eq\f(33,4)，∴x1－x2＝±eq\f(\r(33),2).規(guī)律方法利用根與系數(shù)的關(guān)系求有關(guān)代數(shù)式的值的一般方法(1)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x1＋x2，x1x2的值；(2)將所求的代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為含x1＋x2，x1x2的代數(shù)式的形式；(3)將x1＋x2，x1x2的值整體代入，求出待求代數(shù)式的值．跟蹤訓(xùn)練5．已知α，β是一元二次方程x2＋x－2＝0的兩個實數(shù)根，則α＋β－αβ的值是()A．3