2021-2022學(xué)年四川省廣安市鄰水縣袁市中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題

2021-2022學(xué)年四川省廣安市鄰水縣袁市中學(xué)高三數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1,,則=(

)A.

B.3×+1

C.3×

D.+1參考答案：C略2.若則過可以做兩條直線與圓相切的概率為

A.

B.

C.

D.參考答案：B3.已知實數(shù)x，y滿足，若ax+y的最大值為10，則實數(shù)a=（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：C【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，判斷最優(yōu)解的位置，將點的坐標(biāo)代入求出a的值即可．【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：由，解得A（3，4），令z=ax+y，因為z的最大值為10，所以直線在y軸上的截距的最大值為10，即直線過（0，10），所以z=ax+y與可行域有交點，當(dāng)a＞0時，直線經(jīng)過A時z取得最大值．即ax+y=10，將A（3，4）代入得：3a+4=10，解得：a=2，當(dāng)a≤0時，直線經(jīng)過A時z取得最大值．即ax+y=10，將A（3，4）代入得：3a+4=10，解得：a=2，與a≤0矛盾，綜上：a=2．4.已知集合，則如圖所示陰影部分表示的集合為（

）A．B．C．D．參考答案：C5.若,則(

)A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.已知函數(shù)f（x）=是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是（）A．﹣3≤a＜0 B．﹣3≤a≤﹣2 C．a(chǎn)≤﹣2 D．a(chǎn)＜0參考答案：B【考點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】由函數(shù)f（x）上R上的增函數(shù)可得函數(shù)，設(shè)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5，h（x）=，則可知函數(shù)g（x）在x≤1時單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）≤h（1），從而可求【解答】解：∵函數(shù)是R上的增函數(shù)設(shè)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5（x≤1），h（x）=（x＞1）由分段函數(shù)的性質(zhì)可知，函數(shù)g（x）=﹣x2﹣ax﹣5在（﹣∞，1]單調(diào)遞增，函數(shù)h（x）=在（1，+∞）單調(diào)遞增，且g（1）≤h（1）∴∴解可得，﹣3≤a≤﹣2故選B7.若即時起10分鐘內(nèi)，305路公交車和202路公交車由南往北等可能進入二里半公交站，則這兩路公交車進站時間的間隔不超過2分鐘的概率為（

）A.0.18 B.0.32 C.0.36 D.0.64參考答案：C【分析】利用面積型幾何概型求解即可【詳解】設(shè)305路車和202路車的進站時間分別為、，設(shè)所有基本事件為,“進站時間的間隔不超過2分鐘”為事件，則,畫出不等式表示的區(qū)域如圖中陰影區(qū)域，則，則.選.【點睛】本題考查幾何概型，考查不等式組表示的區(qū)域，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化題意是列不等式組是關(guān)鍵，是中檔題8.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A．

B．

C．

D．參考答案：B9.設(shè)實數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是A．[0，]

B．[，]

C．[0，]

D．[，]參考答案：B略10.下列命題中，真命題是（

）A．

B.是的充要條件

C．D.命題的否定是真命題。參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（不等式選做題）若不等式對一切非零實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：12.已知集合，則集合

.參考答案：13.一個幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的體積為__

___．參考答案：14.有100件產(chǎn)品編號從00到99，用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取5件產(chǎn)品進行檢驗，分組后每組按照相同的間隔抽取產(chǎn)品，若第5組抽取的產(chǎn)品編號為91，則第2組抽取的產(chǎn)品編號為________．參考答案：3115.函數(shù)的定義域為

參考答案：略16.已知命題p：?n∈N，n2＜2n，則￢p為．參考答案：?n0∈N，n02≥【考點】2J：命題的否定．【分析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，即可得到結(jié)論．【解答】解：∵命題p是全稱命題，∴根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，可知：￢p：?n0∈N，n02≥，故答案為：?n0∈N，n02≥【點評】本題主要考查含有量詞的命題的否定，全稱命題的否定是特稱命題，比較基礎(chǔ)．17.B.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）已知極點在直角坐標(biāo)系的原點O處，極軸與軸的正半軸重合，曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.則曲線C上的點到直線的最短距離為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分l4分）已知是二次函數(shù)，不等式的解集是(0，5)，且在區(qū)間[-1，4]上的最大值是12．(I)求f(x)的解析式；(II)是否存在正整數(shù)m,使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只有兩個不等的實數(shù)根？若存在，求出所有m的值；若不存在，請說明理由．參考答案：19.設(shè)函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=（m＞0）．（1）當(dāng)m=1時，函數(shù)y=f（x）與y=g（x）在x=1處的切線互相垂直，求n的值；（2）若函數(shù)y=f（x）﹣g（x）在定義域內(nèi)不單調(diào)，求m﹣n的取值范圍；（3）是否存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立？若存在，求出滿足條件的實數(shù)a；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程．【專題】導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】（1）分別求出f（x）、g（x）的導(dǎo)數(shù)，求得在x=1處切線的斜率，由兩直線垂直的條件，解方程即可得到n；（2）求出y=f（x）﹣g（x）的導(dǎo)數(shù)，可得，得的最小值為負，運用基本不等式即可求得m﹣n的范圍；（3）假設(shè)存在實數(shù)a，運用構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間和最值，結(jié)合不等式恒成立思想即有三種解法．【解答】解：（1）當(dāng)m=1時，，∴y=g（x）在x=1處的切線斜率，由，∴y=f（x）在x=1處的切線斜率k=1，∴，∴n=5．（2）易知函數(shù)y=f（x）﹣g（x）的定義域為（0，+∞），又，由題意，得的最小值為負，∴m（1﹣n）＞4，∴，∴m+（1﹣n）＞4或m+1﹣n＜﹣4，∴m﹣n＞3或m﹣n＜﹣5；（3）解法一、假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立．令θ（x）=，其中x＞0，a＞0，則θ'（x）=，設(shè)，∴δ（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，δ（x）=0在區(qū)間（0，+∞）必存在實根，不妨設(shè)δ（x0）=0，即，可得（*）θ（x）在區(qū)間（0，x0）上單調(diào)遞增，在（x0，+∞）上單調(diào)遞減，所以θ（x）max=θ（x0），θ（x0）=（ax0﹣1）?ln2a﹣（ax0﹣1）?lnx0，代入（*）式得，根據(jù)題意恒成立．又根據(jù)基本不等式，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等式成立即有，即ax0=1，即．代入（*）式得，，即，解得．解法二、假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0根據(jù)條件對任意正數(shù)x恒成立，即（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0對任意正數(shù)x恒成立，∴且，解得且，即時上述條件成立，此時．解法三、假設(shè)存在實數(shù)a，使得f（）?f（eax）+f（）≤0對任意正實數(shù)x恒成立．令θ（x）=ax?ln2a﹣ax?lnx+lnx﹣ln2a=（ax﹣1）（ln2a﹣lnx），其中x＞0，a＞0要使得（ax﹣1）（ln2a﹣lnx）≤0對任意正數(shù)x恒成立，等價于（ax﹣1）（2a﹣x）≤0對任意正數(shù)x恒成立，即對任意正數(shù)x恒成立，設(shè)函數(shù)，則φ（x）的函數(shù)圖象為開口向上，與x正半軸至少有一個交點的拋物線，因此，根據(jù)題意，拋物線只能與x軸有一個交點，即，所以．【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運用，以及不等式恒成立思想的運用，考查運算能力，具有一定的綜合性．20.在△ABC中，A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知，且3sinAcosB+bsin2A=3sinC．（I）求a的值；

（Ⅱ）若A=，求△ABC周長的最大值．參考答案：（I）∵3sinAcosB+bsin2A=3sinC，∴3sinAcosB+bsin2A=3sinAcosB+3cosAsinB，.…………3分∴bsinAcosA=3cosAsinB，∴ba=3b，∴a=3；.…………5分（Ⅱ）由正弦定理可得，∴b=sinB，c=sinC………7分∴C△ABC=3+（sinB+sinC）=3+[sin（﹣C）+sinC]=3+sin（+C）…8分∵0＜C＜，∴＜+C＜，∴＜sin（+C）≤1，.…………10分∴△ABC周長的最大值為3+．.…………12分21.若{cn}是遞增數(shù)列，數(shù)列{an}滿足：對任意，存在，使得，則稱{an}是{cn}的“分隔數(shù)列”.（1）設(shè)，證明：數(shù)列{an}是{cn}的分隔數(shù)列；（2）設(shè)是{cn}的前n項和，，判斷數(shù)列{Sn}是否是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列，并說明理由；（3）設(shè)是{cn}的前n項和，若數(shù)列{Tn}是{cn}的分隔數(shù)列，求實數(shù)a，q的取值范圍．參考答案：（1）證明見解析；（2）數(shù)列不是數(shù)列的分隔數(shù)列；（3）.【分析】（1）由新定義，可得2n≤m+1＜2n+2，求得m＝2n，即可得證；（2）運用等差數(shù)列的求和公式，結(jié)合新定義，即可判斷；（3）討論a＞0，q＞1或a＜0，0＜q＜1，結(jié)合新定義，加以恒成立思想，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】（1）∵{cn}是遞增數(shù)列，數(shù)列{an}滿足：對任意n∈N*，存在m∈N*，使得，∴cn≤am＜cn+1，∵cn＝2n，am＝m+1，∴2n≤m+1＜2n+2，∴2n﹣1＜m≤2n+1，∴m＝2n，∴對任意n∈N*，存在m＝2n∈N*，使得，則稱{an}是{cn}的“分隔數(shù)列；（2）cn＝n﹣4，Sn是{cn}的前n項和，dn＝c3n﹣2，∴dn＝（3n﹣2）﹣4＝3n﹣6，∴d1＝﹣3，∴Sn＝＝n（n﹣7），若數(shù)列{Sn}是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列，∴3n﹣6≤m（m﹣7）＜3n﹣3，即6（n﹣2）≤m（m﹣7）＜6（n﹣1），由于n＝4時，12≤m（m﹣7）＜18，不存在自然數(shù)m，使得不等式成立，∴數(shù)列{Sn}不是數(shù)列{dn}的分隔數(shù)列；（3）設(shè)，Tn是{cn}的前n項和，∵數(shù)列{Tn}是{cn}的分隔數(shù)列，則{cn}為遞增，當(dāng)a＞0時，q＞1，∴aqn﹣1≤＜aqn，即有qm﹣1＜qn（q﹣1），且qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1），當(dāng)1＜q＜2時，數(shù)列最小項可以得到m不存在；q＞2時，由m＝n，qm﹣1≥qn﹣1（q﹣1）成立；qn﹣1＜qn（q﹣1）成立，可得n＝2時，q2﹣1＜q2（q﹣1），解得q＞2，對n＞3也成立；當(dāng)a＜0時，0＜q＜1時，aqn﹣1≤＜aqn，即有1﹣qm＞qn（1﹣q），且1﹣qm≤qn﹣1（1﹣q），取m＝n+1，可得1﹣qm＞qn（1﹣q）成立，1﹣qn+1≤qn﹣1（1﹣q）成立，可得q＝0恒成立，則a＜0，0＜q＜1不成立，綜上可得，a＞0，q＞2．【點睛】本題考查了新定義的理解和運用，等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．22.已知函數(shù)f（x）=lnx+，其中a為大于零的常數(shù)．．（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上的最小值；（3）求證：對于任意的n∈N*，且n＞1時，都有l(wèi)nn＞++…+成立．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】（1）求導(dǎo)，將函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增化為導(dǎo)數(shù)恒不小于0，從而求a的取值范圍；（2）研究閉區(qū)間上的最值問題，先求出函數(shù)的極值，比較極值和端點處的函數(shù)值的大小，最后確定出最小值．（3）由（1）知函數(shù)f（x）=﹣1+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，構(gòu)造n與n﹣1的遞推關(guān)系，可利用疊加法求出所需結(jié)論【解答】解：（1）由題意，f′（x）=﹣=，∵a為大于零的常數(shù)，若使函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，則使ax﹣1≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，即a﹣1≥0，故a≥1；（2）當(dāng)a≥1時，f′（x）＞0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為增函數(shù)∴f（x）min=f（1）=0．當(dāng)0＜a≤，∵f′（x）＜0在（1，2）上恒成立，這時f（x）在[1，2]上為減函數(shù)∴f（x）min=f（2）=ln2﹣，當(dāng)＜a＜1時，令f′（x）=0，得x=∈（1，2）．又∵對于x∈[1，）有f′（x）＜0，