2018屆中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)八三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形試題浙教版

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE20學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形教學(xué)準(zhǔn)備教學(xué)準(zhǔn)備一。教學(xué)目標(biāo)：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有關(guān)概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知識進行計算、解答有關(guān)綜合題。（3)培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、及分類討論的數(shù)學(xué)思想的能力二.教學(xué)重點、難點：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基礎(chǔ)知識、基本技能是本節(jié)的重點。難點是綜合應(yīng)用這些知識解決問題的能力。三。知識要點:知識點1三角形的邊、角關(guān)系①三角形任何兩邊之和大于第三邊;②三角形任何兩邊之差小于第三邊；③三角形三個內(nèi)角的和等于180°；④三角形三個外角的和等于360°；⑤三角形一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;⑥三角形一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角。知識點2三角形的主要線段和外心、內(nèi)心①三角形的角平分線、中線、高；②三角形三邊的垂直平分線交于一點，這個點叫做三角形的外心，三角形的外心到各頂點的距離相等；③三角形的三條角平分線交于一點，這個點叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等;④連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半。知識點3等腰三角形等腰三角形的識別：①有兩邊相等的三角形是等腰三角形;②有兩角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊）；③三邊相等的三角形是等邊三角形;④三個角都相等的三角形是等邊三角形;⑤有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。等腰三角形的性質(zhì)：①等邊對等角；②等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合;③等腰三角形是軸對稱圖形,底邊的中垂線是它的對稱軸；④等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°。知識點4直角三角形直角三角形的識別：①有一個角等于90°的三角形是直角三角形;②有兩個角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形.直角三角形的性質(zhì):①直角三角形的兩個銳角互余；②直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；③勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。知識點5全等三角形定義、判定、性質(zhì)知識點6相似三角形知識點7銳角三角函數(shù)與解直角三角形例題精講例題精講例1.（1)已知：等腰三角形的一邊長為12，另一邊長為5，求第三邊長。（2）已知:等腰三角形中一內(nèi)角為80°，求這個三角形的另外兩個內(nèi)角的度數(shù)。分析：利用等腰三角形兩腰相等、兩底角相等即可求得.解：（1)分兩種情況：①若腰長為12，底邊長為5，則第三邊長為12。②若腰長為5，底邊長為12，則第三邊長為5.但此時兩邊之和小于第三邊,故不合題意。因此第三邊長為12。（2）分兩種情況：①若頂角為80°，則另兩個內(nèi)角均為底角分別是50°、50°.②若底角為80°，則另兩個內(nèi)角分別是80°、20°.因此這個三角形的另外兩個內(nèi)角分別是50°、50°或80°、20°。說明：此題運用“分類討論”的數(shù)學(xué)思想，本題著重考查等腰三角形的性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系。例2.已知：如圖，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°,D為AB邊上的一點，求證：（1）⊿ACE≌⊿BCD，（2）AD＋AE＝DE。分析：要證⊿ACE≌⊿BCD，已具備AC＝BC，CE＝CD兩個條件，還需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD顯然能證;要證AD＋AE＝DE，需條件∠DAE＝90°，因為∠BAC＝45°,所以只需證∠CAE＝∠B＝45°,由⊿ACE≌⊿BCD能得證。證明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD,即∠ACE＝∠BCD,∵AC＝BC,CE＝CD，∴⊿ACE≌⊿BCD.（2）∵⊿ACE≌⊿BCD,∴∠CAE＝∠B＝45°,∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE.例3.已知：點P是等邊⊿ABC內(nèi)的一點，∠BPC＝150°，PB＝2，PC＝3,求PA的長。分析：將⊿BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°至⊿BCD，即可證得⊿BPD為等邊三角形，⊿PCD為直角三角形。解：∵BC＝BA,∴將⊿BAP繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，使BA與BC重合，得⊿BCD，連結(jié)PD?！郆D＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等邊三角形.∴∠BPD＝60°?！唷螪PC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°?！郉C＝．∴PA＝DC＝EQ。【變式】若已知點P是等邊⊿ABC內(nèi)的一點，PA＝，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度數(shù)嗎?請試一試。例4。如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，連結(jié)PA、PB、PC,以BP為邊作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，連結(jié)CQ．（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論．（2)若PA:PB：PC＝3：4:5，連結(jié)PQ，試判斷△PQC的形狀,并說明理由．解:(1)把△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°即可得到△CBQ．利用等邊三角形的性質(zhì)證△ABP≌△CBQ，得到AP＝CQ．(2）連接PQ,則△PBQ是等邊三角形．PQ＝PB,AP＝CQ故CQ：PQ：PC＝PA：PB：PC＝3：4：5，∴△PQC是直角三角形．點評：利用等邊三角形性質(zhì)、判定、三角形全等、直角三角形的判定等知識點完成此題的證明．例5.如圖,有兩個長度相同的滑梯（即BC＝EF），左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的長度DF相等，則∠ABC＋∠DFE＝______．分析:∠ABC與∠DFE分布在兩個直角三角形中，若說明這兩個直角三角形全等則問題便會迎刃而解．解答：在Rt△ABC和Rt△DEF中，BC＝EF，AC＝DF，∴△ABC≌△DEF，∴∠ABC＝∠DEF,∴∠ABC＋∠DFE＝90°,因此填90°．點評:此例主要依據(jù)用所探索的直角三角形全等的條件來識別兩個直角三角形全等，并運用與它相關(guān)的性質(zhì)進行解題．例6?！吨腥A人民共和國道路交通管理條例》規(guī)定：“小汽車在城市街道上的行駛速度不得超過70千米/時”．一輛小汽車在一條城市街道上由西向東行駛(如圖所示)，在距離路邊25米處有“車速檢測儀O”，測得該車從北偏西60°的A點行駛到北偏西30°的B點,所用時間為1.5秒．（1）試求該車從A點到B的平均速度；（2）試說明該車是否超過限速．解析:(1)要求該車從A點到B點的速度．只需求出AB的距離，在△OAC中，OC＝25米．∵∠OAC＝90°－60°＝30°，∴OA＝2CO＝50米由勾股定理得CA＝＝25（米)在△OBC中,∠BOC＝30°∴BC＝OB?！啵?BC）2＝BC2＋252∴BC＝（米)∴AB＝AC－BC＝25－＝(米）∴從A到B的速度為÷1.5＝（米/秒）（2)米/秒≈69.3千米/時∵69。3千米/時〈70千米/時∴該車沒有超過限速．

點評：此題應(yīng)用了直角三角形中30°角對的直角邊是斜邊的一半及勾股定理，也是幾何與代數(shù)的綜合應(yīng)用．例7。如圖,正方形網(wǎng)格中，小格的頂點叫做格點，小華按下列要求作圖：①在正方形網(wǎng)格的三條不同的實線上各取一個格點，使其中任意兩點不在同一實線上；②連結(jié)三個格點，使之構(gòu)成直角三角形，小華在下面的正方形網(wǎng)格中作出了Rt△ABC．請你按照同樣的要求,在右邊的兩個正方形網(wǎng)格中各畫出一個直角三角形,并使三個網(wǎng)格中的直角三角形互不全等．簡析：此題的答案可以有很多種，關(guān)鍵是抓住有一直角這一特征，可以根據(jù)勾股定理的逆定理“若兩邊的平方和等于第三邊的平方，則三角形為直角三角形”構(gòu)造出直角三角形,答案如下圖．例8。如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝1，點D、E在直線BC上運動，設(shè)BD＝x,CE＝y(tǒng)．（1)如果∠BAC＝30°，∠DAE＝105°，試確定y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;（2）如果∠BAC的度數(shù)為α，∠DAE的度數(shù)為β,當(dāng)α、β滿足怎樣的關(guān)系式時，(1）中y與x之間的函數(shù)關(guān)系式還成立,試說明理由．解：（1）在△ABC中，AB＝AC＝1,∠BAC＝30°，∠ABC＝∠ACB＝75°，∠ABD＝∠ACE＝105°．又∠DAE＝105°，∴∠DAB＋∠CAE＝75°．又∠DAB＋∠ADB＝∠ABC＝75°，∴∠CAE＝∠ADB，∴△ADB∽△EAC,∴，∴y＝．(2）當(dāng)α、β滿足β－＝90°,y＝仍成立．此時∠DAB＋∠CAE＝β－α，∴∠DAB＋∠ADB＝β－α,∴∠CAE＝∠ADB．又∵∠ABD＝∠ACE,∴△ADB∽△EAC，∴y＝．點評：確定兩線段間的函數(shù)關(guān)系，可利用線段成比例、找相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系．例9.如圖，梯形ABCD中,AB∥CD,且AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB,BC的中點，EF與BD相交于點M．（1)求證:△EDM∽△FBM;(2）若DB＝9，求BM．（1）證明：∵E是AB中點,∴AB＝2BE,AB＝2CD，∴CD＝EB，又AB∥CD，∴四邊形CBED是平行四邊形，∴CB∥DE,∴，∴△EDM∽△FBM．（2)解：△EDM∽△FBM，∴,∴F是BC中點，DE＝2FB，∴DM＝2BM，∴BM＝DB＝3例10。已知△ABC中，∠ACB＝90o，CD⊥AB于D，AD∶BD＝2∶3且CD＝6。求（1）AB；（2）AC。分析：設(shè)AD＝2k，BD＝3k。根據(jù)直角三角形和它斜邊上的高，可知△ABC∽△ACD∽△CBD。通過相似三角形對應(yīng)邊成比例求出其中k的大??；但是如果根據(jù)射影定理，那么就可以直接計算出k的大小。解：設(shè)AD＝2k，BD＝3k（k>0）?！摺螦CB＝90o，CD⊥AB.∴CD2＝AD?BD，∴62＝2k?3k,∴k＝。∴AB＝.又∵AC2＝AD?AB，∴AC＝。例11.已知△ABC中，∠ACB＝90o，CH⊥AB,HE⊥BC，HF⊥AC。求證:（1）△HEF≌△EHC；（2）△HEF∽△HBC。分析：從已知條件中可以獲得四邊形CEHF是矩形,要證明三角形全等要收集到三個條件，有公共邊EH,根據(jù)矩形的性質(zhì)可知EF＝CH，HF＝EC。要證明三角形相似，從條件中得∠FHE＝∠CHB＝90o，由全等三角形可知，∠HEF＝∠HCB,這樣就可以證明兩個三角形相似。證明：∵HE⊥BC,HF⊥AC，∴∠CEH＝∠CFH＝90o。又∵∠ACB＝90o，∴四邊形CEHF是矩形。∴EF＝CH，HF＝EC,∠FHE＝90o.又∵HE＝EH,∴△HFE≌△EHC?！唷螲EF＝∠HCB?！摺螰HE＝∠CHB＝90o，∴△HEF∽△HBC.說明:在這一題的分析過程中，走“兩頭湊”比較快捷，從已知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)有用的信息，從結(jié)論出發(fā)，尋找解決問題需要的條件。解題中還要注意上下兩小題的“臺階”關(guān)系。培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣.例12。兩個全等的含30o，60o角的三角板ADE和ABC如圖所示放置，E,A，C三點在一條直線上，連接BD，取BD的中點M，連結(jié)ME，MC。試判斷△EMC是什么樣的三角形,并說明理由.分析:判斷一個三角形的形狀,可以結(jié)合所給出的圖形作出假設(shè),或許是等腰三角形。這樣就可以轉(zhuǎn)化為另一個問題:嘗試去證明EM＝MC，要證線段相等可以尋找全等三角形來解決，然而圖中沒有形狀大小一樣的兩個三角形。這時思考的問題就可以轉(zhuǎn)化為這樣一個新問題：如何構(gòu)造一對全等三角形？根據(jù)已知點M是直角三角形斜邊的中點，產(chǎn)生聯(lián)想：直角三角形斜邊上的中點是斜邊的一半，得:MD＝MB＝MA.連結(jié)MA后，可以證明△MDE≌△MAC。答:△EMC是等腰直角三角形.證明：連接AM，由題意得，DE＝AC，AD＝AB,∠DAE＋∠BAC＝90o?！唷螪AB＝90o?！唷鱀AB為等腰直角三角形。又∵MD＝MB,∴MA＝MD＝MB，AM⊥DB,∠MAD＝∠MAB＝45o。∴∠MDE＝∠MAC＝105o,∠DMA＝90o.∴△MDE≌△MAC?！唷螪ME＝∠AMC,ME＝MC。又∠DME＋∠EMA＝90o,∴∠AMC＋∠EMA＝90o?！郙C⊥EM。∴△EMC是等腰直角三角形。說明：構(gòu)造全等三角形是解決這個問題的關(guān)鍵，那么構(gòu)造全等又如何進行的呢?對條件的充分認(rèn)識和對知識點的聯(lián)想可以找到添加輔助線的途徑.構(gòu)造過程中要不斷地轉(zhuǎn)化問題或轉(zhuǎn)化思維的角度。會轉(zhuǎn)化，善于轉(zhuǎn)化，更能體現(xiàn)思維的靈活性.在問題中創(chuàng)設(shè)以三角板為情境也是考題的一個熱點.課后練習(xí)課后練習(xí)1。如圖,△ABC中，D、E分別是AC、AB上的點，BD與CE交于點O，給出下列三個條件：①∠EBO＝∠DCO;②∠BEO＝∠CDO；③BE＝CD．（1）上述三個條件中，哪兩個條件可判定△ABC是等腰三角形（用序號寫出所有情形）；

（2）選擇第（1）小題中的一種情況,證明△ABC是等腰三角形．2.（1）已知如圖①,在△AOB和△COD中,OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝60o。求證：①AC＝BD,②∠APB＝60o。（2）如圖②，在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為______________；∠APB的大小為_____________.（3）如圖③，在△AOB和△COD中，OA＝kOB，OC＝kOD（k〉1），∠AOB＝∠COD＝α，則AC與BD間的等量關(guān)系式為_________________；∠APB的大小為_____________。3。一塊直角三角形木板的一條直角邊AB長為1。5m，面積為1.5m24。一般的室外放映的電影膠片上每一個圖片的規(guī)格為：3。5cm×3.5cm,放映的熒屏的規(guī)格為2m×2m,若放映機的光源距膠片20cm時，問熒屏應(yīng)拉在離鏡頭多遠的地方,放映的圖象剛好布滿整個熒屏?5.如圖,已知∠MON＝90o，等邊三角形ABC的一個頂點A是射線OM上的一定點，頂點B與點O重合，頂點C在∠MON內(nèi)部.（1）當(dāng)頂點B在射線ON上移動到B1時,連結(jié)AB1為一邊的等邊三角形AB1C1（2）設(shè)AB1與OC交于點Q，AC的延長線與B1C1交于點D。求證：;(3）連結(jié)CC1，試猜想∠ACC1為多少度?并證明你的猜想.6.如圖所示，設(shè)A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向600km的B處，正以每小時200km的速度沿北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心500km的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．(1）A城是否受到這次臺風(fēng)的影響？為什么?（2）若A城受到這次臺風(fēng)的影響，那么A城遭受這次臺風(fēng)的影響有多長時間？7.(1）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分線，∠CAB＝60°，CD＝，BD＝2，求AC，AB的長．（2）“實驗中學(xué)"有一塊三角形狀的花園ABC，有人已經(jīng)測出∠A＝30°，AC＝40米,BC＝25米,你能求出這塊花園的面積嗎？（3）某片綠地形狀如圖所示，其中AB⊥BC,CD⊥AD，∠A＝60°,AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長．8。高為12米的教學(xué)樓ED前有一棵大樹AB，如圖所示．（1）某一時刻測得大樹AB,教學(xué)樓ED在陽光下的投影長分別是BC＝2.5米，DF＝7。5米，求大樹AB的高度;（2）現(xiàn)有皮尺和高為h米的測角儀，請你設(shè)計另一種測量大樹AB高度的方案，要求：①在圖中，畫出你設(shè)計的圖形（長度用字母m，n……表示，角度用希臘字母α，β……表示);②根據(jù)你所畫出的示意圖和標(biāo)注的數(shù)據(jù)，求出大樹的高度并用字母表示．9。如圖所示，某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓，該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓的前面15米處要蓋一棟高20米的新樓．當(dāng)冬季正午的陽光與水平線的夾角為32°時．(1）問超市以上的居民住房采光是否受影響，為什么？（2)若要使超市采光不受影響，兩樓至少應(yīng)相距多少米？(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin32°≈，cos32°≈．）練習(xí)答案練習(xí)答案1.解：(1)①③或②③(2）已知①③求證△ABC是等腰三角形．證:先證△EBO≌△DCO．得OB＝OC，得∠DBC＝∠ECB．∴∠ABC＝∠ACB．即△ABC是等腰三角形2.證明：∵△AOB和△COD為正三角形,∴OA＝OB，OD＝OC，∠AOB＝60o,∠COD＝60o?！摺螦OB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC,∴∠AOC＝∠BOD?！唷鰽OC≌△BOD，∴AC＝BD?！唷螼AC＝∠OBD，∴∠APB＝∠AOB＝60o.（2）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝BD；∠APB的大小為α.（3）AC與BD間的等量關(guān)系式為AC＝kBD；∠APB的大小為180o－α。3.解：方案(1):