2018學(xué)數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)練酷專題課時跟蹤檢測（十七）三角函數(shù)與解三角形理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE課時跟蹤檢測（十七）三角函數(shù)與解三角形1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a＋b＋c＝8。（1)若a＝2，b＝eq\f(5,2),求cosC的值；(2）若sinA＋sinB＝3sinC,且△ABC的面積S＝eq\f(9，2）sinC，求a和b的值．解：（1）由題意可知c＝8－(a＋b)＝eq\f（7,2).由余弦定理得,cosC＝eq\f（a2＋b2－c2，2ab)＝eq\f（22＋\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5，2)))2－\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(7，2）))2，2×2×\f(5,2）)＝－eq\f（1，5)。即cosC＝－eq\f(1，5）.（2)因為sinA＋sinB＝3sinC。由正弦定理可知a＋b＝3c。又因為a＋b＋c＝8，故a＋b＝6.①由于S＝eq\f(1，2）absinC＝eq\f（9，2）sinC，所以ab＝9，②由①②解得a＝3，b＝3。2．（2017·全國卷Ⅲ）△ABC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a，b，c。已知sinA＋eq\r（3)cosA＝0，a＝2eq\r（7)，b＝2.(1)求c;(2）設(shè)D為BC邊上一點，且AD⊥AC，求△ABD的面積．解：（1)由已知可得tanA＝－eq\r(3)，所以A＝eq\f(2π,3).在△ABC中，由余弦定理得28＝4＋c2－4ccoseq\f（2π,3)，即c2＋2c－24＝0.解得c＝4（負值舍去)．(2）由題設(shè)可得∠CAD＝eq\f（π,2)，所以∠BAD＝∠BAC－∠CAD＝eq\f(π，6）.故△ABD的面積與△ACD的面積的比值為eq\f(\f（1,2)AB·AD·sin\f（π,6),\f（1，2）AC·AD）＝1.又△ABC的面積為eq\f（1，2)×4×2×sineq\f（2π,3)＝2eq\r（3)，所以△ABD的面積為eq\r(3).3．(2017·天津模擬）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b,c，若sinA＋cosA＝1－sineq\f(A,2).（1）求sinA的值；(2）若c2－a2＝2b，且sinB＝3cosC，求b。解：（1)由已知，2sineq\f(A,2)coseq\f（A，2)＋1－2sin2eq\f（A，2)＝1－sineq\f（A，2)，在△ABC中，sineq\f(A,2)≠0，因而sineq\f（A，2）－coseq\f（A,2)＝eq\f（1，2）,則sin2eq\f(A，2）－2sineq\f（A，2）coseq\f(A，2)＋cos2eq\f（A,2）＝eq\f（1，4）,因而sinA＝eq\f(3，4)。(2）由已知sinB＝3cosC，結(jié)合(1），得sinB＝4cosCsinA。法一:利用正弦定理和余弦定理得b＝eq\f(4a2＋b2－c2,2ab）×a,整理得b2＝2(c2－a2)．又c2－a2＝2b，∴b2＝4b,在△ABC中，b≠0，∴b＝4。法二：∵c2＝a2＋b2－2abcosC，∴2b＝b2－2abcosC，在△ABC中，b≠0，∴b＝2＋2acosC，①又sinB＝4cosCsinA，由正弦定理，得b＝4acosC，②由①②解得b＝4.4．(2017·天津五區(qū)縣模擬)在△ABC中,內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b,c,且8sin2eq\f(A＋B,2)－2cos2C＝7。(1）求tanC的值；（2)若c＝eq\r(3），sinB＝2sinA,求a,b的值．解:(1)在△ABC中，因為A＋B＋C＝π，所以eq\f（A＋B,2）＝eq\f（π,2）－eq\f(C，2），則sineq\f(A＋B，2)＝coseq\f（C，2)。由8sin2eq\f（A＋B,2)－2cos2C＝7，得8cos2eq\f(C,2)－2cos2C＝7，所以4（1＋cosC）－2(2cos2C－1)＝7，即(2cosC－1)2＝0,所以cosC＝eq\f（1,2).因為0＜C＜π，所以C＝eq\f（π,3)，于是tanC＝taneq\f(π，3）＝eq\r（3）.（2）由sinB＝2sinA，得b＝2a。①又c＝eq\r（3),由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcoseq\f(π,3），即a2＋b2－ab＝3.②聯(lián)立①②，解得a＝1，b＝2.5．(2018屆高三·湘中名校聯(lián)考)設(shè)銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B,C的對邊分別為a，b，c，a＝2bsinA.（1）求B的大?。唬?）求cosA＋sinC的取值范圍．解：(1）∵a＝2bsinA，根據(jù)正弦定理得sinA＝2sinBsinA，∵sinA≠0，∴sinB＝eq\f（1,2）.又△ABC為銳角三角形，∴B＝eq\f（π,6）。(2)∵B＝eq\f(π，6),∴cosA＋sinC＝cosA＋sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(π－\f（π,6）－A))＝cosA＋sineq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（π,6)＋A））＝cosA＋eq\f(1，2）cosA＋eq\f（\r（3），2）sinA＝eq\r（3)sineq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（A＋\f（π,3）)).由△ABC為銳角三角形知，A＋B＞eq\f（π，2），∴eq\f(π，3）＜A＜eq\f（π,2），∴eq\f(2π，3)＜A＋eq\f(π,3）＜eq\f(5π，6)，∴eq\f（1,2)＜sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(A＋\f（π,3）））＜eq\f(\r（3),2),∴eq\f(\r（3)，2)＜eq\r（3)sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(A＋\f（π，3)）)＜eq\f(3，2），∴cosA＋sinC的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（\r（3），2）,\f(3,2）)）。6.（2017·洛陽模擬)如圖，平面四邊形ABDC中,∠CAD＝∠BAD＝30°.(1）若∠ABC＝75°，AB＝10，且AC∥BD，求CD的長;（2)若BC＝10，求AC＋AB的取值范圍．解：（1）由已知，易得∠ACB＝45°，在△ABC中,eq\f（10，sin45°)＝eq\f(CB,sin60°），解得CB＝5eq\r(6).因為AC∥BD，所以∠ADB＝∠CAD＝30°，∠CBD＝∠ACB＝45°，在△ABD中,∠ADB＝30°＝∠BAD，所以DB＝AB＝10.在△BCD中，CD＝eq\r（CB2＋DB2－2CB·DBcos45°)＝5eq\r（10－4\r(3））。（2)AC＋AB＞BC＝10，由余弦定理得cos60°＝eq\f（AB2＋AC2－100，2AB·AC)，即(AB＋AC）2－100＝3AB·AC.又AB·AC≤eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（AB＋AC，2)))2，所以eq\f（AB＋AC2－100,