高中數(shù)學(xué)人教A版2第二章推理與證明合情推理與演繹推理2

合情推理與演繹推理合情推理[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理．2．了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．[知識鏈接]1．歸納推理和類比推理的結(jié)論一定正確嗎？答歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確．類比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測正在被研究中的事物的特征，所以類比推理的結(jié)果具有猜測性，不一定可靠．2．由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？答一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．歸納推理和類比推理定義特征歸納推理由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理類比推理是由特殊到特殊的推理2.合情推理的含義歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，再進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統(tǒng)稱為合情推理．3．合情推理的過程eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想)要點(diǎn)一歸納推理的應(yīng)用例1觀察如圖所示的“三角數(shù)陣”1…………第1行22…………第2行343…………第3行4774…………第4行51114115…………第5行…………記第n(n＞1)行的第2個數(shù)為an(n≥2，n∈N*)，請仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題：(1)第6行的6個數(shù)依次為________、________、________、________、________、________；(2)依次寫出a2、a3、a4、a5；(3)歸納出an＋1與an的關(guān)系式．解由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)．(1)6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4由此歸納：an＋1＝an＋n.規(guī)律方法對于數(shù)陣問題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對上、下行，左、右列間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到規(guī)律，問題即可迎刃而解．跟蹤演練1根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式．(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；(2)a1＝a，an＋1＝eq\f(1,2－an)；(3)對一切的n∈N*，an>0，且2eq\r(Sn)＝an＋1.解(1)由已知可得a1＝3＝22－1，a2＝2a1＋1＝2×3＋1＝7＝23－1a3＝2a2＋1＝2×7＋1＝15＝24－1a4＝2a3＋1＝2×15＋1＝31＝25－猜想an＝2n＋1－1，n∈N*.(2)由已知可得a1＝a，a2＝eq\f(1,2－a1)＝eq\f(1,2－a)，a3＝eq\f(1,2－a2)＝eq\f(2－a,3－2a)，a4＝eq\f(1,2－a3)＝eq\f(3－2a,4－3a).猜想an＝eq\f(n－1－n－2a,n－n－1a)(n∈N*)．(3)∵2eq\r(Sn)＝an＋1，∴2eq\r(S1)＝a1＋1，即2eq\r(a1)＝a1＋1，∴a1＝1.又2eq\r(S2)＝a2＋1，∴2eq\r(a1＋a2)＝a2＋1，∴aeq\o\al(2,2)－2a2－3＝0.∵對一切的n∈N*，an>0，∴a2＝3.同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*)．要點(diǎn)二類比推理的應(yīng)用例2如圖所示，在△ABC中，射影定理可表示為a＝b·cosC＋c·cosB，其中a，b，c分別為角A，B，C的對邊．類比上述定理，寫出對空間四面體性質(zhì)的猜想．解如右圖所示，在四面體P－ABC中，設(shè)S1，S2，S3，S分別表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面積，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA與底面ABC所成二面角的大?。覀儾孪肷溆岸ɡ眍惐韧评淼饺S空間，其表現(xiàn)形式應(yīng)為S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.規(guī)律方法(1)類比推理的基本原則是根據(jù)當(dāng)前問題的需要，選擇適當(dāng)?shù)念惐葘ο?，可以從幾何元素的?shù)目、位置關(guān)系、度量等方面入手．由平面中的相關(guān)結(jié)論可以類比得到空間中的相關(guān)結(jié)論．(2)平面圖形與空間圖形類比平面圖形空間圖形點(diǎn)線線面邊長面積面積體積線線角二面角三角形四面體跟蹤演練2已知P(x0，y0)是拋物線y2＝2px(p>0)上的一點(diǎn)，過P點(diǎn)的切線方程的斜率可通過如下方式求得：在y2＝2px兩邊同時對x求導(dǎo)，得2yy′＝2p，則y′＝eq\f(p,y)，所以過P的切線的斜率k＝eq\f(p,y0).類比上述方法求出雙曲線x2－eq\f(y2,2)＝1在P(eq\r(2)，eq\r(2))處的切線方程為________．答案2x－y－eq\r(2)＝0解析將雙曲線方程化為y2＝2(x2－1)，類比上述方法兩邊同時對x求導(dǎo)得2yy′＝4x，則y′＝eq\f(2x,y)，即過P的切線的斜率k＝eq\f(2x0,y0)，由于P(eq\r(2)，eq\r(2))，故切線斜率k＝eq\f(2\r(2),\r(2))＝2，因此切線方程為y－eq\r(2)＝2(x－eq\r(2))，整理得2x－y－eq\r(2)＝0.要點(diǎn)三平面圖形與空間圖形的類比例3三角形與四面體有下列相似性質(zhì)：(1)三角形是平面內(nèi)由直線段圍成的最簡單的封閉圖形；四面體是空間中由三角形圍成的最簡單的封閉圖形．(2)三角形可以看作是由一條線段所在直線外一點(diǎn)與這條線段的兩個端點(diǎn)的連線所圍成的圖形；四面體可以看作是由三角形所在平面外一點(diǎn)與這個三角形三個頂點(diǎn)的連線所圍成的圖形．通過類比推理，根據(jù)三角形的性質(zhì)推測空間四面體的性質(zhì)填寫下表：三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心解三角形四面體三角形的兩邊之和大于第三邊四面體任意三個面的面積之和大于第四個面的面積三角形的中位線的長等于第三邊長的一半，且平行于第三邊四面體的中截面(以任意三條棱的中點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形)的面積等于第四個面的面積的eq\f(1,4)，且平行于第四個面三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，且這個點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心四面體的六個二面角的平分面交于一點(diǎn)，且這個點(diǎn)是四面體內(nèi)切球的球心規(guī)律方法將平面幾何中的三角形、長方形、圓、面積等和立體幾何中的三棱錐、長方體、球、體積等進(jìn)行類比，是解決和處理立體幾何問題的重要方法．跟蹤演練3類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等；②各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；③各個面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等．A．① B．①②C．①②③ D． ③答案C解析由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，叫類比推理，上述三個結(jié)論均符合推理結(jié)論，故均正確．1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論不能判斷正誤答案B解析根據(jù)合情推理定義可知，合情推理必須有前提有結(jié)論．2．下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排起來，那么第36顆珠子應(yīng)是什么顏色()A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大答案A解析由圖知：三白二黑周而復(fù)始相繼排列，36÷5＝7余1.∴第36顆珠子的顏色為白色．3．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：123456789101112131415……按照以上排列的規(guī)律，第n行(n≥3)從左向右的第3個數(shù)為________．答案eq\f(n2－n＋6,2)解析前n－1行共有正整數(shù)1＋2＋…＋(n－1)個，即eq\f(n2－n,2)個，因此第n行第3個數(shù)是全體正整數(shù)中第eq\f(n2－n,2)＋3個，即為eq\f(n2－n＋6,2).4．觀察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，….這些等式反映了自然數(shù)間的某種規(guī)律，設(shè)n表示正整數(shù)，用關(guān)于n的等式表示為________．答案(n＋2)2－n2＝4n＋4解析由已知四個式子可分析規(guī)律：(n＋2)2－n2＝4n＋4.1．合情推理是指“合乎情理”的推理，數(shù)學(xué)研究中，得到一個新結(jié)論之前，合情推理常常能幫助我們猜測和發(fā)現(xiàn)結(jié)論；證明一個數(shù)學(xué)結(jié)論之前，合情推理常常能為我們提供證明的思路和方向．合情推理的過程概括為：eq\x(從具體問題出發(fā))→eq\x(觀察、分析、比較、聯(lián)想)→eq\x(歸納、類比)→eq\x(提出猜想).一般來說，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，其可靠性還需進(jìn)一步證明．2．歸納推理與類比推理都屬合情推理：(1)歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理．它是一種由部分到整體，由個別到一般的推理．(2)類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理，它是一種由特殊到特殊的推理.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．?dāng)?shù)列5,9,17,33，x，…中的x等于()A．47 B．65C．63 D．128答案B解析5＝22＋1,9＝23＋1,17＝24＋1,33＝25＋1，歸納可得：x＝26＋1＝65.2．根據(jù)給出的數(shù)塔猜測123456×9＋7等于()1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝111111…A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113答案B解析由數(shù)塔猜測應(yīng)是各位都是1的七位數(shù)，即1111111.3．設(shè)0<θ<eq\f(π,2)，已知a1＝2cosθ，an＋1＝eq\r(2＋an)，猜想an＝()A．2coseq\f(θ,2n) B．2coseq\f(θ,2n－1)C．2coseq\f(θ,2n＋1) D．2sineq\f(θ,2n)答案B解析法一∵a1＝2cosθ，a2＝eq\r(2＋2cosθ)＝2eq\r(\f(1＋cosθ,2))＝2coseq\f(θ,2)，a3＝eq\r(2＋a2)＝2eq\r(\f(1＋cos\f(θ,2),2))＝2coseq\f(θ,4)，…，猜想an＝2coseq\f(θ,2n－1).法二驗(yàn)n＝1時，排除A、C、D，故選B.4．對命題“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊中點(diǎn)”可類比猜想：正四面體的內(nèi)切球切于四面體各正三角形的()A．一條中線上的點(diǎn)，但不是中心B．一條垂線上的點(diǎn)，但不是垂心C．一條角平分線上的點(diǎn)，但不是內(nèi)心D．中心答案D解析由正四面體的內(nèi)切球可知，內(nèi)切球切于四個側(cè)面的中心．5．觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，…，根據(jù)上述規(guī)律，第四個等式為________．答案13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2(或152)解析觀察前3個等式發(fā)現(xiàn)等式左邊分別是從1開始的兩個數(shù)、三個數(shù)、四個數(shù)的立方和，等式右邊分別是這幾個數(shù)的和的平方，因此可得第四個等式是：13＋23＋33＋43＋53＝(1＋2＋3＋4＋5)2＝152.6．觀察下列等式1＝12＋3＋4＝93＋4＋5＋6＋7＝254＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49…照此規(guī)律，第n個等式為________．答案n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)27．在△ABC中，若∠C＝90°，則cos2A＋cos2B＝1，用類比的方法，猜想三棱錐的類似性質(zhì)，并證明你的猜想解由平面類比到空間，有如下猜想：“在三棱錐P－ABC中，三個側(cè)面PAB，PBC，PCA兩兩垂直，且與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1”證明設(shè)P在平面ABC的射影為O，延長CO交AB于M，記PO＝h，由PC⊥PA，PC⊥PB得PC⊥面PAB，從而PC⊥PM，又∠PMC＝α，cosα＝sin∠PCO＝eq\f(h,PC)，cosβ＝eq\f(h,PA)，cosγ＝eq\f(h,PB)∵VP－ABC＝eq\f(1,6)PA·PB·PC＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA·PBcosα＋))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PB·))eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(PCcosβ＋\f(1,2)PC·PAcosγ))·h，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosα,PC)＋\f(cosβ,PA)＋\f(cosγ,PB)))h＝1即cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.二、能力提升8．設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，△ABC的面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r＝eq\f(2S,a＋b＋c)，類比這個結(jié)論可知：四面體S－ABC的四個面的面積分別為S1、S2、S3、S4，內(nèi)切球半徑為r，四面體S－ABC的體積為V，則r＝()\f(V,S1＋S2＋S3＋S4) B．eq\f(2V,S1＋S2＋S3＋S4)C．eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4) D．eq\f(4V,S1＋S2＋S3＋S4)答案C解析設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個面為底面的4個三棱錐體積的和．則四面體的體積為V四面體A－BCD＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝eq\f(3V,S1＋S2＋S3＋S4).9．(2023·湖北)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù)．如三角形數(shù)1,3,6,10，…，第n個三角形數(shù)為eq\f(nn＋1,2)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n.記第n個k邊形數(shù)為N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達(dá)式：三角形數(shù)N(n,3)＝eq\f(1,2)n2＋eq\f(1,2)n正方形數(shù)N(n,4)＝n2五邊形數(shù)N(n,5)＝eq\f(3,2)n2－eq\f(1,2)n六邊形數(shù)N(n,6)＝2n2－n……可以推測N(n，k)的表達(dá)式，由此計(jì)算N(10,24)＝________.答案1000解析由歸納推理可知：n2和n前面的系數(shù)，一個成遞增的等差數(shù)列，另一個成遞減的等差數(shù)列，所以N(n，k)＝eq\f(k－2,2)n2－eq\f(1,2)n(k－4)，所以N(10,24)＝eq\f(24－2,2)×102－eq\f(1,2)×10(24－4)＝1100－100＝1000.10．(2023·陜西)觀察下列等式：eq\a\vs4\al(12＝1,12－22＝－3,12－22＋32＝6,12－22＋32－42＝－10,…)照此規(guī)律，第n個等式可為________．答案12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝eq\f(－1n＋1,2)n(n＋1)解析分n為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況．當(dāng)n為偶數(shù)時，分組求和：(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2]＝－eq\f(nn＋1,2).當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個等式＝－eq\f(nn－1,2)＋n2＝eq\f(nn＋1,2).綜上，第n個等式：12－22＋32－…＋(－1)n－1n2＝eq\f(－1n＋1,2)n(n＋1)．11．某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)；(2)根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解(1)選擇②式，計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)三角恒等式為sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα·(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＋eq\f(\r(3),2)sinαcosα＋eq\f(1,4)sin2α－eq\f(\r(3),2)sinαcosα－eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(3,4)sin2α＋eq\f(3,4)cos2α＝eq\f(3,4).12．(1)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證：eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值b2－a2.(2)類比(1)可得如下真命題：雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線PA、PB分別與y軸交于點(diǎn)M、N，求證eq\o(AN,\s\up6(→))·eq\o(BM,\s\up6(→))為定值，請寫出這個定值(不要求寫出解題過程)．解(1)證明如下：設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)，(x0≠±a)依題意，得