2018屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題檢測(cè)（十六）概率與統(tǒng)計(jì)文

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE22學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題檢測(cè)(十六)概率與統(tǒng)計(jì)A卷-—夯基保分專練一、選擇題1．已知數(shù)列{an｝滿足a1＝2，an＋1＝－2an（n∈N＊）．若從數(shù)列｛an｝的前10項(xiàng)中隨機(jī)抽取一項(xiàng),則該項(xiàng)不小于8的概率是（）A。eq\f(3，10) B。eq\f（2，5）C。eq\f（3，5） D.eq\f(7,10）解析：選B由題意可知an＝2·(－2)n－1，故前10項(xiàng)中，不小于8的只有8,32，128,512，共4項(xiàng)，故所求概率是eq\f（4,10）＝eq\f(2,5）.2．(2017·湖南五市十校聯(lián)考)在矩形ABCD中，AB＝2AD，在CD上任取一點(diǎn)P,△ABP的最大邊是AB的概率是（）A。eq\f(\r（2)，2) B.eq\f（\r(3）,2）C。eq\r（2)－1 D。eq\r（3）－1解析：選D分別以A，B為圓心，AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，交CD于P1，P2,則當(dāng)P在線段P1P2間運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使得△ABP的最大邊是AB，易得eq\f（P1P2,CD)＝eq\r(3）－1，即△ABP的最大邊是AB的概率是eq\r(3）－1。3．（2017·天津高考）有5支彩筆（除顏色外無差別）,顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫．從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為(）A.eq\f(4,5) B.eq\f(3，5）C。eq\f(2，5) D.eq\f（1，5)解析：選C從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，有10種不同取法：（紅，黃），（紅,藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán)），(黃，綠)，（黃，紫)，(藍(lán)，綠)，（藍(lán)，紫），（綠，紫)．而取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有（紅,黃）,（紅，藍(lán))，（紅,綠)，(紅,紫），共4種，故所求概率P＝eq\f（4,10)＝eq\f(2，5）。4．(2017·惠州三調(diào))齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬,田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬,田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽，則田忌獲勝的概率為()A.eq\f（1，3） B.eq\f(1,4）C.eq\f（1，5) D.eq\f（1，6)解析：選A設(shè)田忌的上、中、下三個(gè)等次的馬分別為A，B,C，齊王的上、中、下三個(gè)等次的馬分別為a,b，c,從雙方的馬匹中各隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場(chǎng)比賽的所有可能結(jié)果有Aa，Ab,Ac,Ba,Bb,Bc，Ca，Cb，Cc，共9種，田忌獲勝有Ab，Ac,Bc，共3種，田忌獲勝的概率為eq\f（1，3）.5．已知集合A＝｛－2,3,5，7}，從A中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a，b，作為復(fù)數(shù)z＝a＋bi（i為虛數(shù)單位）的實(shí)部和虛部．則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為(）A。eq\f(1,2） B.eq\f（2,3）C.eq\f（3,4) D.eq\f(4，5）解析:選A從集合A＝｛－2,3，5，7}中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同的元素a,b，組成復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)有（－2,3），(－2，5)，(－2，7），（3，－2),(3,5），（3,7）,(5，－2），（5，3),(5，7),(7，－2），（7，3），(7，5），共12種;其中位于第一象限的點(diǎn)有（3，5)，（3,7）,(5，3），（5，7）,（7，3)，（7,5），共6種．所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限的概率為P＝eq\f(6，12）＝eq\f（1,2）。6．(2017·云南第一次統(tǒng)一檢測(cè))在平面區(qū)域eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4≤0,,x>0,，y>0）)內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)（a，b)，則函數(shù)f(x)＝ax2－4bx＋1在區(qū)間［1，＋∞)上是增函數(shù)的概率為（)A.eq\f(1，4）B。eq\f(1,3）C。eq\f（1，2)D。eq\f(2，3)解析：選B不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D所示的△AOB的內(nèi)部及邊界AB(不包括邊界OA，OB)，則S△AOB＝eq\f（1，2)×4×4＝8。函數(shù)f(x）＝ax2－4bx＋1在區(qū)間[1，＋∞）上是增函數(shù)，則應(yīng)滿足a>0且x＝eq\f（4b,2a）≤1，即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉0，,a≥2b,)）可得對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分（包括邊界OC，BC，不包括邊界OB），由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝2b,，a＋b－4＝0，））解得a＝eq\f（8,3),b＝eq\f（4，3)，所以S△COB＝eq\f（1,2)×4×eq\f（4,3)＝eq\f（8,3）,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,可知所求的概率P＝eq\f（\f（8,3），8）＝eq\f(1，3）.二、填空題7．(2017·貴陽檢測(cè)）同時(shí)擲兩顆骰子，則向上的點(diǎn)數(shù)之和是7的概率是________．解析:依題意，記拋擲兩顆骰子向上的點(diǎn)數(shù)分別為a,b,則可得到數(shù)組(a，b)共有6×6＝36組，其中滿足a＋b＝7的組數(shù)共有6組，分別為(1，6），(2，5)，（3,4)，（4，3)，（5，2），(6，1）,因此所求的概率等于eq\f(6,36）＝eq\f（1,6).答案:eq\f(1，6)8．在長(zhǎng)度為10的線段AB上任取一點(diǎn)C(異于A，B）,則以AC，BC為半徑的兩圓面積之和小于58π的概率是________．解析：設(shè)AC＝x，則BC＝10－x,0＜x＜10。由題意知,πx2＋π（10－x)2＜58π,即x2－10x＋21＜0,解得3＜x＜7。故所求的概率為eq\f（7－3，10)＝eq\f（2,5）.答案:eq\f（2,5)9．(2017·福州質(zhì)檢)從集合M＝｛(x，y)｜（|x|－1）2＋（｜y|－1）2<4，x，y∈Z｝中隨機(jī)取一個(gè)點(diǎn)P（x，y）,若xy≥k（k>0）的概率為eq\f(6，25)，則k的最大值是________．解析:因?yàn)镸＝｛(x，y)｜（｜x｜－1）2＋(｜y|－1)2〈4，x，y∈Z}，所以M＝{（x，y）｜|x|≤2,|y｜≤2，x，y∈Z｝,所以集合M中元素的個(gè)數(shù)為5×5＝25.因?yàn)閤y＝1的情況有2種，xy＝2的情況有4種，xy＝4的情況有2種，所以要使xy≥k（k>0)的概率為eq\f（6,25)，需1〈k≤2，所以k的最大值為2.答案：2三、解答題10．《聰明花開—-莆仙話挑戰(zhàn)賽》欄目共有五個(gè)項(xiàng)目,分別為“和一斗”“斗麻利”“文儒生”“放獨(dú)步"“正功夫”．《聰明花開》欄目組為了解觀眾對(duì)項(xiàng)目的看法，設(shè)計(jì)了“你最喜歡的項(xiàng)目是哪一個(gè)”的調(diào)查問卷(每人只能選一個(gè)項(xiàng)目），對(duì)現(xiàn)場(chǎng)觀眾進(jìn)行隨機(jī)抽樣調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)(單位：人）:和一斗斗麻利文儒生放獨(dú)步正功夫115230115345460（1)在所有參與該問卷調(diào)查的人中,用分層抽樣的方法抽取n人座談，其中恰有4人最喜歡“斗麻利"，求n的值及所抽取的人中最喜歡“和一斗”的人數(shù);(2)在(1)中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中，任選2人參加欄目組互動(dòng)，求恰有1人最喜歡“和一斗”的概率．解：(1)由已知得eq\f(n,115＋230＋115＋345＋460）＝eq\f（4，230)，解得n＝22.抽取的人中最喜歡“和一斗”的有115×eq\f（4,230）＝2(人)．（2)從(1）中抽取的最喜歡“和一斗”和“斗麻利”的人中，最喜歡“和一斗"的有2人,分別記為A1,A2,最喜歡“斗麻利”的有4人,分別記為B1，B2，B3，B4。從中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有：｛A1，A2}，{A1，B1｝,{A1，B2}，｛A1，B3},{A1，B4｝，｛A2，B1｝，{A2，B2}，｛A2，B3},｛A2，B4｝，｛B1,B2｝，｛B1，B3}，｛B1,B4｝,{B2，B3}，｛B2，B4},｛B3，B4｝，共15種．其中，恰有1人最喜歡“和一斗”的可能結(jié)果有：{A1，B1}，｛A1，B2｝，{A1，B3｝，{A1，B4｝，｛A2，B1}，｛A2，B2},｛A2，B3｝,{A2，B4}，共8種．故恰有1人最喜歡“和一斗”的概率P＝eq\f(8，15）.11．（2017·石家莊一模）某港口有一個(gè)泊位,現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了某月100艘輪船在該泊位?？康臅r(shí)間（單位：小時(shí))，如果停靠時(shí)間不足半小時(shí)按半小時(shí)計(jì)時(shí)，超過半小時(shí)不足1小時(shí)按1小時(shí)計(jì)時(shí)，依此類推，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：?？繒r(shí)間2.533.544。555。56輪船數(shù)量12121720151383（1)設(shè)該月100艘輪船在該泊位的平均?？繒r(shí)間為a小時(shí),求a的值;(2）假定某天只有甲、乙兩艘輪船需要在該泊位停靠a小時(shí)，且在一晝夜的時(shí)間段中隨機(jī)到達(dá)，求這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率．解:（1)a＝eq\f(1,100）×(2。5×12＋3×12＋3。5×17＋4×20＋4。5×15＋5×13＋5.5×8＋6×3）＝4。（2）設(shè)甲船到達(dá)的時(shí)間為x，乙船到達(dá)的時(shí)間為y，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（0≤x<24,,0≤y〈24，))若這兩艘輪船在?？吭摬次粫r(shí)至少有一艘船需要等待,則｜y－x|<4，作出示意圖如圖．所以必須等待的概率P＝1－eq\f（202,242)＝eq\f(11，36)，故這兩艘輪船中至少有一艘在?？吭摬次粫r(shí)必須等待的概率為eq\f(11,36）.12．(2017·惠州第三次調(diào)研考試)在某校舉行的航天知識(shí)競(jìng)賽中，參與競(jìng)賽的文科生與理科生人數(shù)之比為1∶3，且成績(jī)分布在［40，100］，分?jǐn)?shù)在80以上(含80）的同學(xué)獲獎(jiǎng)．按文、理科用分層抽樣的方法抽取200人的成績(jī)作為樣本，得到成績(jī)的頻率分布直方圖如圖所示．(1）求a的值，并計(jì)算所抽取樣本的平均值eq\x\to（x）(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；（2）填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷在犯錯(cuò)誤的概率不超過0。05的前提下能否認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”.文科生理科生總計(jì)獲獎(jiǎng)5不獲獎(jiǎng)總計(jì)200附表及公式:P(K2≥k0）0。100.050。0250。0100.0050。001k02.7063.8415。0246.6357.87910.828K2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d）。解：(1）a＝eq\f（1,10)×［1－（0。01＋0。015＋0。03＋0.015＋0。005）×10］＝0。025，eq\x\to（x)＝45×0.1＋55×0。15＋65×0.25＋75×0。3＋85×0.15＋95×0.05＝69.(2）2×2列聯(lián)表如下：文科生理科生總計(jì)獲獎(jiǎng)53540不獲獎(jiǎng)45115160總計(jì)50150200因?yàn)镵2＝eq\f(200×5×115－35×452,40×160×50×150)≈4.167>3.841，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下能認(rèn)為“獲獎(jiǎng)與學(xué)生的文、理科有關(guān)”．B卷-—大題增分專練1．某地電影院為了了解當(dāng)?shù)赜懊詫?duì)快要上映的一部電影的票價(jià)的看法，進(jìn)行了一次調(diào)研，得到了票價(jià)x(單位：元）與渴望觀影人數(shù)y(單位：萬人）的結(jié)果如下表:x(單位：元)30405060y（單位：萬人)4.5432。5（1)若y與x具有較強(qiáng)的相關(guān)關(guān)系，試分析y與x之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（2）請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程;(3)根據(jù)（2）中求出的線性回歸方程，預(yù)測(cè)票價(jià)定為多少元時(shí)，能獲得最大票房收入．參考公式：eq\o(b，\s\up6（^）)＝eq\f(\i\su（i＝1，n，x)iyi－n\a\vs4\al（\x\to（x)）\a\vs4\al（\x\to(y)),\i\su（i＝1,n，x）\o\al（2，i）－n\x\to（x）2)，eq\o(a,\s\up6（^））＝eq\x\to（y)－eq\o（b,\s\up6(^))eq\x\to（x).解：（1)由表中數(shù)據(jù)易知，y隨x的增大而減小，故y與x之間是負(fù)相關(guān)．（2)由表中數(shù)據(jù)可得eq\x\to（x)＝45，eq\x\to（y）＝3。5,eq\i\su（i＝1，4,x）iyi－4eq\a\vs4\al（\x\to(x)）eq\a\vs4\al（\x\to（y）)＝－35，eq\i\su（i＝1，4，x)eq\o\al（2，i)－4eq\x\to（x）2＝500，則eq\o(b,\s\up6（^））＝eq\f(\i\su（i＝1,4，x）iyi－4\a\vs4\al（\x\to（x））\a\vs4\al(\x\to(y））,\i\su(i＝1,4，x)\o\al(2,i）－4\x\to（x)2）＝－0。07，eq\o（a，\s\up6（^))＝3.5＋0.07×45＝6.65，所以,所求線性回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝－0。07x＋6。65.(3）根據(jù)（2）中的線性回歸方程，若票價(jià)為x元，則渴望觀影人數(shù)約為（－0.07x＋6.65)萬人，可預(yù)測(cè)票房收入為z＝x（－0.07x＋6。65）＝－0。07x2＋6.65x＝－0。07(x－47。5）2＋157。9375，易得,當(dāng)x＝47.5時(shí)，z取得最大值，即票價(jià)定為47.5元時(shí)，能獲得最大票房收入．2．某高中學(xué)校高一年級(jí)學(xué)生某次身體素質(zhì)體能測(cè)試的原始成績(jī)采用百分制，已知所有這些學(xué)生的原始成績(jī)均分布在[50,100］內(nèi)，發(fā)布成績(jī)使用等級(jí)制．各等級(jí)劃分標(biāo)準(zhǔn)見圖表．規(guī)定：A，B，C三級(jí)為合格等級(jí)，D為不合格等級(jí)。分?jǐn)?shù)85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等級(jí)ABCD為了解該校高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從中抽取了n名學(xué)生的原始成績(jī)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)．按照[50，60),[60，70）,[70，80），[80,90)，［90，100]的分組作出頻率分布直方圖如圖①所示,樣本中原始成績(jī)?cè)?0分及以上的所有數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖②所示．(1)求n和頻率分布直方圖中的x，y的值，并估計(jì)該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率；(2）在選取的樣本中，從成績(jī)?yōu)锳,D兩個(gè)等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)研,求至少有一名學(xué)生的成績(jī)是A等級(jí)的概率．解：（1）由頻率分布直方圖及莖葉圖中的相關(guān)數(shù)據(jù)可知，樣本容量n＝eq\f（6,0。012×10）＝50，x＝eq\f(2,50×10）＝0.004，y＝eq\f（1－0.004＋0。01＋0。012＋0.056×10，10）＝0。018.因?yàn)槌煽?jī)是合格等級(jí)的頻率為1－0。1＝eq\f（9,10)，依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，該校高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)是合格等級(jí)的概率是eq\f（9，10)。（2)由頻率分布直方圖及莖葉圖知，A等級(jí)學(xué)生共有3名，D等級(jí)學(xué)生共有0.1×50＝5名，記A等級(jí)學(xué)生分別為A1，A2，A3,D等級(jí)學(xué)生分別為D1,D2，D3，D4，D5,則從8名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有情況為A1A2,A1A3,A1D1,A1D2,A1D3,A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，A2D4，A2D5，A3D1,A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2,D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4,D2D5，D3D4，D3D5，D4記“至少有一名學(xué)生的成績(jī)是A等級(jí)”為事件E，則其對(duì)立事件eq\x\to（E)的可能結(jié)果為D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3,D2D4,D2D5，D3D4，D3D5,D4D5,共10種．所以P(E）＝1－P(eq\x\to(E）)＝1－eq\f（10，28）＝eq\f（9,14)。3．傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識(shí)競(jìng)賽為主的《中國(guó)詩詞大會(huì)》火爆熒屏．某機(jī)構(gòu)組織了一場(chǎng)詩詞知識(shí)競(jìng)賽，將中學(xué)組和大學(xué)組的參賽選手按成績(jī)分為優(yōu)秀、良好、一般三個(gè)等級(jí)，從中隨機(jī)抽取100名選手進(jìn)行調(diào)查,如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的選手等級(jí)與人數(shù)的條形圖．(1）若將一般等級(jí)和良好等級(jí)合稱為合格等級(jí),根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0。05的前提下認(rèn)為選手成績(jī)優(yōu)秀與文化程度有關(guān)？?jī)?yōu)秀合格總計(jì)大學(xué)組中學(xué)組總計(jì)(2)若參賽選手共6萬名，用頻率估計(jì)概率，試估計(jì)其中優(yōu)秀等級(jí)的選手人數(shù)；（3）在優(yōu)秀等級(jí)的選手中選取6名，在良好等級(jí)的選手中選取6名，都依次編號(hào)為1，2，3,4,5，6，在選出的6名優(yōu)秀等級(jí)的選手中任取一名，記其編號(hào)為a，在選出的6名良好等級(jí)的選手中任取一名,記其編號(hào)為b，求使得方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ax＋by＝3，,x＋2y＝2））有唯一一組實(shí)數(shù)解(x,y）的概率．參考公式：K2＝eq\f（nad－bc2，a＋bc＋da＋cb＋d）,其中n＝a＋b＋c＋d。參考數(shù)據(jù)：P（K2≥k0)0.100。050。01k02。7063.8416.635解：(1)由條形圖可得2×2列聯(lián)表如下：優(yōu)秀合格總計(jì)大學(xué)組451055中學(xué)組301545總計(jì)7525100所以K2的觀測(cè)值k＝eq\f（100×45×15－10×302，75×25×45×55）＝eq\f（100，33)≈3.030＜3.841,所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為選手成績(jī)優(yōu)秀與文化程度有關(guān)．(2)由條形圖知，所抽取的100名選手中，優(yōu)秀等級(jí)有75名，所以估計(jì)參賽選手中優(yōu)秀等級(jí)的選手有60000×eq\f（75,100）＝45000（名)．(3）a可從1,2,3，4，5，6中取，有6種取法,b可從1，2,3,4，5，6中取，有6種取法，共有36組,要使方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（ax＋by＝3，，x＋2y＝2))有唯一一組實(shí)數(shù)解,則eq\f（a，b)≠eq\f（1，2).易知使eq\f(a，b)＝eq\f(1，2）成立的a，b滿足的實(shí)數(shù)對(duì)有(1,2），（2,4)，(3，6)，共3組,故滿足eq\f(a，b)≠eq\f(1，2)的實(shí)數(shù)對(duì)的組數(shù)為36－3＝33.故所求概率P＝eq\f（33，36）＝eq\f(11，12）.4．交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通6座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用(基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為a元,在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是費(fèi)率浮動(dòng)機(jī)制，且保費(fèi)與上一年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相聯(lián)系．發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如下表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和費(fèi)率浮動(dòng)比率表浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率A1上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮10%A2上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮20％A3上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮30％A4上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮10％A6上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮30%某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通6座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了60輛車齡已滿三年該品牌同型號(hào)私家車的