求數(shù)列通項(xiàng)公式

求數(shù)列通項(xiàng)公式第一頁，共二十七頁，2022年，8月28日通項(xiàng)公式：如果數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,即注意：1.通項(xiàng)公式通常不是唯一的，一般取其最簡(jiǎn)單的形式；

2.通項(xiàng)公式以數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n為唯一變量；

3.并非每個(gè)數(shù)列都存在通項(xiàng)公式.第二頁，共二十七頁，2022年，8月28日例1、寫出下面數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使它的前幾項(xiàng)分別是下列各數(shù)。

已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，觀察數(shù)列特征，通常先將各項(xiàng)分解成幾部分（如符號(hào)、分子、分母、底數(shù)、指數(shù)等），然后觀察各部分與項(xiàng)數(shù)的關(guān)系，寫出通項(xiàng)。一、觀察法第三頁，共二十七頁，2022年，8月28日1、寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式:(1)

9,99,999,9999,……解：an=10n－1(2)1,11,111,1111,……分析：注意觀察各項(xiàng)與它的序號(hào)的關(guān)系有10－1，102－1，103－1，104－1解：an=(10n－1)

這是特殊到一般的思想，也是數(shù)學(xué)上重要的思想方法，但欠嚴(yán)謹(jǐn)！分析:注意與熟悉數(shù)列9,99,999,9999,···聯(lián)系練習(xí)：第四頁，共二十七頁，2022年，8月28日第五頁，共二十七頁，2022年，8月28日二、

公式法：

(1)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：(2)等比數(shù)列通項(xiàng)公式：例如：(1)

(2)第六頁，共二十七頁，2022年，8月28日三、

定義法：運(yùn)用第七頁，共二十七頁，2022年，8月28日例2.｛an｝的前項(xiàng)和Sn=2n2－1，求通項(xiàng)an解：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1

=(2n2－1)－[2(n－1)2－1]=4n－2不要遺漏n=1的情形哦！當(dāng)n=1時(shí),a1=1不滿足上式

因此an=1

(n=1)4n

－2(n≥2,)第八頁，共二十七頁，2022年，8月28日變式.已知{an}中，a1+2a2+3a3+???+nan=3n+1,求通項(xiàng)an解:∵a1+2a2+3a3+···+nan=3n+1(n≥1)注意n的范圍∴a1+2a2+3a3+···+(n－1)an－1=3n（n≥2）

nan=3n+1－3n=2·3n2·3nn∴an=而n=1時(shí),a1=9（n≥2）兩式相減得：∴an=9(n=1)2·3nn（n≥2,）第九頁，共二十七頁，2022年，8月28日例3.第十頁，共二十七頁，2022年，8月28日例4.第十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日例5.已知{an}中,an+1=an+n(n∈N*),a1=1,求通項(xiàng)an解:由an+1=an+n(n∈N*)得a2

－a1=1a3

－a2=2a4

－a3=3???an－an－1=n

－1an=(an－an－1)+(an－1－an－2)+???+(a2

－a1)+

a1

=(n－

1)+(n

－2)+???+2+1+1四、累加法(遞推公式形如an+1=an+f(n)型的數(shù)列)n個(gè)等式相加得a1=1an+1－

an=n(n∈N*)（1）注意討論首項(xiàng);(2)適用于an+1=an+f(n)型遞推公式第十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日求法：累加法練習(xí)：第十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)例6.已知{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列,且(n+1)an+12+an+1an－nan2=0,

求{an}的通項(xiàng)公式解:∵(n+1)an+12+an+1an－nan2=0∴(an+1+an)[(n+1)an+1－

nan]=0∵an+1+an>0∴(n≥1)∴an=...

注意：累乘法與累加法有些相似，但它是n個(gè)等式相乘所得∴(n+1)an+1=

nan第十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日練習(xí)1：五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)第十五頁，共二十七頁，2022年，8月28日練習(xí)2五、累乘法

(形如an+1=f(n)?an型)第十六頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.

方法①：猜想證明：由及,

計(jì)算出,,,,

歸納猜想：;

然后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想正確(略).第十七頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.方法②迭代法：。第十八頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.例7.已知，根據(jù)條件,確定數(shù)列的通項(xiàng)公式.方法③構(gòu)造法：根據(jù)構(gòu)造一個(gè)新數(shù)列設(shè)，則，∴，∴，即，∴為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3.∴，∴.第十九頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法題型1.已知數(shù)列{an}的首項(xiàng),以及滿足條件an+1=pan+q（p、q為常數(shù)）時(shí)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式.方法總結(jié)：利用待定系數(shù)法令

an+=p(an-1+),

得到從而構(gòu)造出等比數(shù)列{},輔助求出{an}的通項(xiàng)公式第二十頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法例8.已知數(shù)列中，34，第二十一頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法例8.已知數(shù)列中，34，第二十二頁，共二十七頁，2022年，8月28日六、構(gòu)造法第二十三頁，共二十七頁，2022年，8月28日【變式遷移】已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2且n∈N*）.（1）求證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式.

解：（1）方法1：（構(gòu)造法）因?yàn)閍1＝5且an＝2an－1＋2n－1，所以當(dāng)n≥2時(shí)，an－1＝2（an－1－1）＋2n，所以

，所以

，第二十四頁，共二十七頁，2022年，8月28日所以是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知,所以an＝（n＋1）2n＋1.已知數(shù)列｛an｝中，a1＝5且an＝2an－1＋2n－1（n≥2