2023學(xué)年人教A版高一上學(xué)期數(shù)學(xué)講義第14講函數(shù)模型及其應(yīng)用（解析版）

第十四講函數(shù)模型及其應(yīng)用

教材要點學(xué)科素養(yǎng)學(xué)考高考考法指津高考考向

.兒類示同增長的函數(shù)模

11.結(jié)合實例體會幾類不

數(shù)學(xué)運算水平1水平1

型同增長的函數(shù)模型的意【考查內(nèi)容】指數(shù)函數(shù)、

義，了解“指數(shù)增長”對數(shù)函數(shù)、基函數(shù)的增長

2.三類函數(shù)模型的增長差

直觀想象水平1水平1的概念及其意義。差異，擬合函數(shù)模型的建

異

立與求解。

2.會對收集到的相關(guān)數(shù)

3.常見的幾類函數(shù)模型數(shù)學(xué)建模水平1水平1

據(jù)所作出的散點圖進行【考查題型】理科以選擇

擬合，建立數(shù)學(xué)模型，題、填空題為主，文科也

并總結(jié)出解決該類問題可能以解答題形式出現(xiàn)。

4.用函數(shù)模型解決實際問

數(shù)學(xué)建模水平1水平2的方法步驟。

題的基本步驟【分值情況】5-12分

知識通關(guān)

知識點1常見的函數(shù)模型

(1)一次函數(shù)模型y=kx+b（k,b為常數(shù)，k/0）

常

(2)二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a#0）

用

(3)指數(shù)函數(shù)模型y=bax+c（a,b,c為常數(shù)，b#0,a>0且aWl）

函

(4)對數(shù)函數(shù)模型y=mlogax+n（m,a,n為常數(shù)，m聲0,a>0且存1）

數(shù)

(5)基函數(shù)模型y=axn+b（a,b為常數(shù),a/0）

模

ax+b,x<m

型(6)分段函數(shù)

cx+d,x>m

知識點2解決函數(shù)應(yīng)用問題的步驟

利用函數(shù)知識和函數(shù)觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行:

（一）審題；（二）建模；（三）求模；（四）還原.

這些步驟用框圖表示如圖:

題型------次函數(shù)、二次函數(shù)模型解析：

規(guī)律方法利用二次函數(shù)求最值的方法及注意點（1）：按30元銷售，可獲利50%,

/.a（l+50%）=30,解得a=20.

（1）方法：根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型解析式后，

可利用配方法、判別式法、換元法利用函數(shù)的單

（2）:?銷售量y（件）與每件售價x（元）滿足關(guān)系y

調(diào)性等方法求最值，從而解決實際問題中的利潤

=-10x+800,則每天銷售利潤W（元）與每件售價

最大、用料最省等最值問題.

x（元）滿足

注意：取得最值時的自變量與實際意義是否相

（2）W=（-10x+800）（x-20）

舛

=-10x2+l000x+l6000

=-10（X-50）2+9000,

故當(dāng)x=50時，W取最大值9000,

例1、某公司試銷某種“上海世博會”紀念品，每件即每件售價為50元時，每天獲得的利潤最大，最

按30元銷售，可獲利50%,設(shè)每件紀念品的成本大利潤是9000元.

為a元.

（1）試求a的值；

【變式訓(xùn)練11

（2）公司在試銷過程中進行了市場調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量

某租車公司擁有汽車100輛，當(dāng)每輛車的月租

y（件）與每件售價x（元）滿足關(guān)系y=-10x+800.設(shè)

金為3000元時，可全部租出，當(dāng)每輛車的月租金

每天銷售利潤為W（元），求每天銷售利潤W（元）與

每增加60元時，末租出的車將會增加一輛，租出

每件售價x（元）之間的函數(shù)解析式;當(dāng)每件售價為多

的車每月需要維護費160元，未租出的車每月需要

少時，每天獲得的利潤最大？最大利潤是多少？

維護費40元.

(1)當(dāng)每輛車的月租金定為3900元時，能租出

多少輛車？

(2)一當(dāng)每輛車的月租金為多少元時，租車公司

的月收益最大？最大月收益是多少？

解析：

(1)租金增加了900元，900+60=15,

所以未租出的車有15輛，一共租出了85輛.

(2)設(shè)租金提高后有x輛未租出，

則已租出(100—x)輛.

租賃公司的月收益為y元，例2、大西洋雄魚每年都要逆流而上，游回產(chǎn)地產(chǎn)

卵，經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)鞋魚的游速可以表示為函數(shù)

y-(3000+60x)(1.00-x)-160.(100-x)-40x,

v=，og3擊，單位是m/s,9是表示魚的耗氧量的

其中xe[0,100],xGN,

單位數(shù).

整理，得y=-60x2+3120x+284000

(1)當(dāng)一條鯉魚的耗氧量是900個單位時，它的

=-60(x-26)2+324560,

游速是多少？

當(dāng)x=26時，y=324560,

(2)某條鯉魚想把游速提高1m/s,那么它的耗

即最大月收益為324560元.氧量的單位數(shù)是原來的多少倍.

此時，月租金為3000+60x26=4560(元).解析：

(1)由V=，Og3*可知，

題型二指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型函數(shù)模型

當(dāng)0=900時，V=3bg3罌=1log39=l(m/s).

規(guī)律方法指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)問題的類型及解法

當(dāng)一條雄魚的耗氧量是900個單位時,它的游速

(1)指數(shù)型函數(shù)模型：y=max(a>0且arl,m#)),在實

1m/s.

際問題中，有關(guān)人口增長，銀行利率，細胞分裂等增

長率問題都可用指數(shù)型函數(shù)模型來表示.I由V2-Vl=l,

L021.01俎缶。

(2)對數(shù)型函數(shù)模型：y=mlogax+c(m/0,a>0且a/l),5bg3而一迎3而i1得鼠=9.

對數(shù)型函數(shù)模型一般給出函數(shù)關(guān)系式，然后利用對數(shù)

的運算求解.

(3)指數(shù)型、對數(shù)型函數(shù)應(yīng)用題的解題思路：①依題意,

找出或建立數(shù)學(xué)模型，②依實際情況確立解析式中的

，耗氧量的單位數(shù)為原來的9倍.

(1)分段函數(shù)的“段”一定要分得合理，不重不漏.

【變式訓(xùn)練2】

(2)分段函數(shù)的定義域為對應(yīng)每一段自變量取值范

圍的并集.

一個人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速

上升到0.3〃吆/〃山，在停止喝酒后，血液中的酒精(3)分段函數(shù)的值域求法為：逐段求函數(shù)值的范圍,

含量以每小時25%的速度減少，為了保障交通安

全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：駕駛員血

液中的酒精含量不得超過0.09叫/mL,那么這個

人至少經(jīng)過小時才能開車.(精確到1小

例3、經(jīng)市場調(diào)查，某城市的一種小商品在過去的

時.，參考數(shù)據(jù)：1g3ao.48,1g4=0.60)

近20天內(nèi)的銷售量(件)與價格(元)均為時間t(天)的

函數(shù),且銷售量近似滿足g(t)=80-2t(件)，價格近

解析：

(0<t<10)

設(shè)x小時后才能開車，則有似滿足于f(t)=,(元).

125—；t,(10<t<20)

03(1—0.25)、40.09,即<0.3,

(1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0W￡20)

3的函數(shù)表達式；

兩邊取對數(shù)有xlg：?lg0.3,

4

(2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值.

,.?昆<0,

4解析：(1)由已知，由價格乘以銷售量可得：

心lg0.3lg3-1

故一匝3Ig3-lg4)(15+1r)(80-2r),0<?<10

64

(25-1r)(80-2/),10<Z<20

代入1g3弓0.48,1g4a0.60可得

、0.48-113

x>------=—._-z2+10^+1200,0<z<10

0.48-0.603

-r-90r+2000,10<r<20

/.%最小為5,

.?.這個人至少經(jīng)過5小時才能開車。

(2)由(1)知，

題型三分段函數(shù)模型

①當(dāng)0<t<10時

規(guī)律方法應(yīng)用分段函數(shù)時的三個注意點

y=-t2+10t+l200=-(t-5)2+l225,400x—x2,0<x<200,xGN.

H(x)=<

［40000,x>200,xGN,

函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為t=5,

其中x是儀器的月產(chǎn)量.

該函數(shù)在tw［0,5］遞增,在te(5,10］遞減，

(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)(用f(x)表示)；

.?.yel225(當(dāng)t=5時取得),

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時，車間所獲利潤最大？最

ynin=l200(當(dāng)t=0或10時取得)：

大利潤為多少元？(總收入=總成本+利潤)

②當(dāng)10<t<20時

解析：

y=t2-90t+2000=(t—45-一25,

⑴設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為t=10000+100x.

圖象開口向上，對稱軸為t=45,又f(x)=H(x)—t,則

該函數(shù)在tG(10,20］遞減，f-x2+300x-10000,0<x<200,x^N,

f(x)=|

DOOOO-lOOx,x>200,xSN.

；?皿=1200(當(dāng)t=10時取得)，

(2)①當(dāng)0<x<200時,f(x)=-(x-150)2+12500,

丫而“=600(當(dāng)t=20時取得).

...當(dāng)x=150時，有最大值12500；

綜上所述，，

②當(dāng)x>200時，f(x)-30OOO-lOOx是減函數(shù)，

yinax=1225(當(dāng)t=5時取得)，

f(x)<30000-100x200<12500.

y?in=600(當(dāng)t=20時取得).

...當(dāng)x=150時,f(x)取最大值，最大值為12500.

【變式訓(xùn)練3】

綜上所述，每月生產(chǎn)150臺儀器時，利潤最大,

某車間生產(chǎn)一種儀器的固定成本為10000元，

最大利潤為12500元.

每生產(chǎn)一臺該儀器需要增加投入100元，已知總收

入滿足函數(shù)：

思維拓展

考向一建立擬合函數(shù)模型解決實際問題(1)定義：

規(guī)律方法根據(jù)收集的數(shù)據(jù)或給出的數(shù)據(jù)畫出散點圖，然

后選擇函數(shù)模型并求出函數(shù)解析式，再進行擬合、

比較，選出最恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型的過程，稱為函數(shù)擬(1)描點畫出灌溉面積隨積雪深度變化的圖象；

合(或數(shù)據(jù)擬合)

(2)建立一個能基本反映灌溉面積變化的函數(shù)模型，

并畫出圖象；

(2)建立擬合函數(shù)與預(yù)測的基本步驟(3)根據(jù)所建立的函數(shù)模型，估計若變今年最大積雪

深度為25cm,則可以灌溉土地多少公頃？

解析：

(1)描點、作圖，如圖(甲)所示：

例4、為了估計山上積雪融化后對下游灌溉的影響,

在山上建立了一個觀察站，測量最大積雪深度x與

當(dāng)年灌溉面積y.現(xiàn)有連續(xù)10年的實測資料，如表

(2)從圖(甲)中可以看到，數(shù)據(jù)點大致落在一條

所示.

直線附近，

年序最大積雪深度x(cm)灌溉面積y(公頃)

由此，我們假設(shè)灌溉面積y與最大積雪深度x滿足:

115.228.6

一次函數(shù)模型y=a+bx(a,b為常數(shù)且厚0).

210.421.1

取其中的兩組數(shù)據(jù)(10.4,21.1),(24.0,45.8),

321.240.5

21.1=a+10.4b,

418.636.6代入y=a+bx,

45.8=a+24.0b,

526.449.8

用計算器可得a=2.2,b=1.8.

623.445.0

這樣，得到一個函數(shù)模型：y=2.2+1.8x,

713.529.2

作出函數(shù)圖象如圖(乙)，

816.734.1

可以發(fā)現(xiàn)，這個函數(shù)模型與己知數(shù)據(jù)的擬合程

924.045.8

度較好，這說明它能較好地反映最大積雪深度與灌

1019.136.9溉面積的關(guān)系.

(3)由(2)得到的函數(shù)模型為y=2.2+1.8x,

則由y=2.2+L8x25,求得y=47.2,

k=-3

解得《

。=150'

即當(dāng)最大積雪深度為25cm時，可以灌溉土地

約為47.2公頃。

故y=-3x+150,30W0,

【變式訓(xùn)練4】

把點(45,15)和(50,0)

某商場經(jīng)營一批進價為30元/件的商品，在市場

試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x（單位：元）與代入解析式驗證，檢驗成立.

日銷售量》（單位：件）之間有如下表所示的關(guān)系.

則日銷售利潤

P=(x—30)(—3x+150)=—3/+240%-4500,

30<x<50,

240

當(dāng)取對稱軸'=一兩萬=4°<3°,5（）］時,

日銷售利潤最大為300.

A.35,225B.40,300

答案B

C.45,350D.45,400

解析:

考向二函數(shù)模型的綜合應(yīng)用

在平面直角坐標系中畫出表格中的各點，如圖規(guī)律方法解函數(shù)應(yīng)用題的一般步驟

（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)

量關(guān)系；

（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)

知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；

（3）解模：求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；

猜測為一次函數(shù)，故設(shè)y=h匕為常數(shù)）,

（4）還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際

問題的意義；

3Qk+b=60

將（30,60）和（40,30）代入得

40%+匕=30

ynnx=3萬兀.

【變式訓(xùn)練5】

例5、某家庭進行理財投資，根據(jù)長期收益率市場今年冬季，我國大部分地區(qū)遭遇霧霾天氣，給

預(yù)測，投資債券等穩(wěn)健型產(chǎn)品的收益與投資額成正人們的健康、交通安全等帶來了嚴重影響.經(jīng)研究，

比，投資股票等風(fēng)險型產(chǎn)品的收益與投資額的算術(shù)發(fā)現(xiàn)工業(yè)廢氣等污染物排放是霧霾形成和持續(xù)的

平方根成正比.已知投資1萬元時兩類產(chǎn)品的收益重要因素，污染治理刻不容緩.為此，某工廠新購

分別為0.125萬元和0.5萬元.

置并安裝了先進的廢氣處理設(shè)備，使產(chǎn)生的廢氣經(jīng)

過過濾后排放，以降低對空氣的污染.已知過濾過

(1)分別寫出兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)關(guān)系；

程中廢氣的污染物數(shù)量P(單位：mg/L)與過濾時間

(2)若該家庭有20萬元資金，全部用于理財投資，

t(單位：小時)間的關(guān)系為P=Poe-k，(Po,k均為非零

問：怎樣分配資金能使投資獲得最大收益？其最大常數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù))，其中Po為t=0時的

收益是多少萬元？

污染物數(shù)量.若經(jīng)過5小時過濾后還剩余90%的污

染物.

解析：(1)設(shè)兩類產(chǎn)品的收益與投資額的函數(shù)分別

為f(x)=kix,g(x)=k2\/x.

(1)求常數(shù)卜的值；

由已知得f(l)=：=ki,g(l)=4=k2,(2)試計算污染物減少到40%至少需要多少時間(精

oZ

確到1小時，參考數(shù)據(jù):In0.2之一1.61,In0.3--1.20,

/.f(x)=1x(x>0),g(x)=^\/x(x>0).In0.4--0.92,In0.5--0.69,In0.9=-0.11.)

oZ

(2)設(shè)投資穩(wěn)健型產(chǎn)品為x萬元，

解析：

則投資風(fēng)險型類產(chǎn)品為(20-x)萬元.

(1)由已知，當(dāng)t=0時，P=Po;

依題意得

當(dāng)t=5時，P=9O%Po.

于是有90%Po=Poe-5k.

令t=720-x(0WtW24),

解得k=-gln0.9(或0.022).

則丫2=0—丁1~+孑1=1_*_2)2+3,

oZo]

(2)由(1)得，P=Poe(-ln0.9)t.

???當(dāng)t=2時，即x=16時，收益最大,

當(dāng)P=4O%Po時，有0.4Po=Poe"ln0.9)t.

m&In0.4-0.924.60、

解得t="j----------------------=—=41.82.

^ln0.91x(-0.11)”

故污染物減少到40%至少需要42小時.

綜合訓(xùn)練

摩A組基礎(chǔ)演練

一、選擇題

1.某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的函數(shù)解析式為y=5x+4000,而手套出廠價格為每副

10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為()

A.200副B.400副

C.600副D.800副

解析：由5x+4000W10x,解得近800,即日產(chǎn)手套至少800副時才不虧本.

答案D

2.某市生產(chǎn)總值連續(xù)兩年持續(xù)增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產(chǎn)總值

的年平均增長率為()

.p+q(p+i)(q+i)-i

A.——RB.----------------------

22

C.aD.-\/(p+l)(q+l)-l

解析：設(shè)年平均增長率為x,則有(1+p)(l+q)=(l+x>,解得X=A/(1+p)(l+q)—1.

答案D

3.某種細胞在正常培養(yǎng)過程中，時刻t(單位：分)與細胞數(shù)n(單位：個)的部分數(shù)據(jù)如下表：

t02060140

n128128

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，推測繁殖到1000個細胞時的時刻t最接近于()

A.200B.220

C.240D.260

解析：由表中數(shù)據(jù)可以看出，n與t的函數(shù)關(guān)系式為n=臉，令n=1000,則2點=1000,rfo2,°=1024,

所以繁殖到1000個細胞時，時刻t最接近200分鐘，故應(yīng)選A

答案A

4.若鐳經(jīng)過100年后剩留原來質(zhì)量的95.76%,設(shè)質(zhì)量為1的鐳經(jīng)過x年后剩留量為y,則x,y的函數(shù)關(guān)

系是()

X

A.y=(0.9576)—B.y=(0.9576)100x

09579x

C.y=(------)xD.y=1—(0.0424)—

J\1007J100

解析：設(shè)鐳一年放射掉其質(zhì)量的t%,則有95.76%=卜(1一。*1=1—(0.9576)上，

V

；.y=(l—t)x=(0.9576)詢

答案A

5.地震學(xué)家里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測振儀衡量地震能量等級，其計算公

式M=lgA-lg4,M表示里氏震級，A是被測地震的最大振幅，4是“標準地震”的振幅(使用標準地

震振幅是為了修正測振儀距實際震中的距離造成的偏差)，計算7.8級地震的最大振幅是4.5級地震的最大

振幅的倍數(shù)()(答案精確到個位，參考數(shù)據(jù):1g398?2.6,lgl995?3.3,lg7.8?0.89,1g3。0.48)

A.1995B.398C.89D.48

解析：設(shè)7.8級地震的最大振幅為4，4.5級地震的最大振幅為4，由題意可知7.8=IgA-lgA),

4.5=1gA,-1g4,兩式相減，可得：7.8-4.5=lgA-(IgA-愴4)，

AA

即3.3=愴/lg4=lg?,因為lgl995?3.3,所以于=1995,

答案A

6.某食品加工廠2018年獲利20萬元，經(jīng)調(diào)整食品結(jié)構(gòu)，開發(fā)新產(chǎn)品.計劃從2019年開始每年比上一年獲

利增加20%,問從哪一年開始這家加工廠年獲利超過60萬元（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771）.（）

A.2023年B.2024年C.2025年D.2026年

解析：設(shè)第n年獲利y元，則y=20xl.2",〃wN*,2019年即第1年，20xl.2">60,

〃〉］嗚23=里=成=__^21?6.03,所以“27,

'-21g1.2Ig3+21g2-l0.4771+0.6020-1

即從2025年開始這家加工廠年獲利超過60萬元.

答案C

7.某輛汽車每次加油都把油箱加滿，下表記錄了該車相鄰兩次加油時的情況.

加油時間加油量（升）加油時的累計里程（千米）

2015年5月1日1235（。）

2015年5月15日4835600

注：”累計里程”指汽車從出廠開始累計行駛的路程

在這段時間內(nèi)，該車每10（）千米平均耗油量為（）

A.6升B.8升C.10升D.12升

解析：因為第一次郵箱加滿，所以第二次的加油量即為該段時間內(nèi)的耗油量，故耗油量V=48升.

而這段時間內(nèi)行駛的里程數(shù)S=356（X）-35（XX）=6（X）千米.

48

所以這段時間內(nèi)，該車每100千米平均耗油量為——xl00=8升，故選B.

600

答案B

8.下面是一幅統(tǒng)計圖，根據(jù)此圖得到的以下說法中，正確的個數(shù)是（）

(1)這幾年生活水平逐年得到提高；

(2)生活費收入指數(shù)增長最快的一年是2008年；

(3)生活價格指數(shù)上漲速度最快的一年是2009年；

(4)雖然2010年生活費收入增長緩慢，但生活價格指數(shù)也略有降低，因而生活水平有較大的改善.

A.1B.2

C.3D.4

解析：由題意知，“生活費收入指數(shù)''減去“生活價格指數(shù)”的差是逐年增大的，故(1)正確；“生活費收入

指數(shù)”在2008?2009年最陡；故(2)正確；“生活價格指數(shù)”在2009?2010年最平緩，故⑶不正確；“生活價

格指數(shù)”略呈下降，而“生活費收入指數(shù)”呈上升趨勢，故(4)正確.

答案C

9.一個人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車，當(dāng)他離汽車25米時，交通燈由紅變綠，汽車以1

米/秒2的加速度勻加速開走，那么()

A.人可在7秒內(nèi)追上汽車

B.人可在10秒內(nèi)追上汽車

C.人追不上汽車，其間距最少為5米

D.人追不上汽車，其間距最少為7米

解析：設(shè)汽車經(jīng)過t秒行駛的路程為s米，則$=吳車與人的間距d=(s+25)—6t=￥—6t+25=T(t—

6)2+7,當(dāng)t=6時，d取得最小值為7,故選D.

答案D

二、填空題

10.某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km(不超過3km按起步價付費)；超過3km

但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費；超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每

次乘坐需付燃油附加費1元.現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛!了km.

9,0<x<3

解析：設(shè)出租車行駛xkm時，付費y元，則y=<8+2.15(x-3)+l,3<%<8

8+2.15x5+2.85x(x-8)=l,x>8

由y=22.6,解得x=9.

答案9

11.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的小要使存留的污垢不超過1%,則至少要清洗的次數(shù)是(1g

2-0.3010).

解析：設(shè)至少要洗x次，則(I—。)飛上，

4100

所以X二三3.322,所以需4次.

1g2

答案4

12.為了在“十一”黃金周期間降價促銷，某超市對顧客實行購物優(yōu)惠活動，規(guī)定一次購物付款總額：①如

果不超過200元，則不予優(yōu)惠；②如果超過200元，但不超過500元，則按標價給予9折優(yōu)惠；③如果超

過500元，其中500元按第②條給予優(yōu)惠，超過500元的部分給予7折優(yōu)惠.辛云和她母親兩次去購物，

分別付款168元和423元，假設(shè)她們一次性購買上述同樣的商品，則應(yīng)付款額為元.

解析：依題意，價值為x元商品和實際付款數(shù)f(x)之間的函數(shù)關(guān)系式為

x,0<x<200

/(x)=<0.9x,200<x<500

500x0.9+(x-500)x0.7,x>500

當(dāng)f(x)=168時，由168-0.9=187<200,故止匕時x=168；當(dāng)f(x)=423時，由423+0.9=470G(200,500],

故此時x=470....兩次共購得價值為470+168=638(元)的商品，/.500x0.9+(638-500)x0.7=546.6(70),

故若一次性購買上述商品，應(yīng)付款額為546.6元.

答案546.6

13.在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的質(zhì)量M「克、火箭(除燃料外)的質(zhì)量m

千克的函數(shù)關(guān)系式是v=20003(1B).當(dāng)燃料質(zhì)量是火箭質(zhì)量的倍時，火箭的最大速度可達12

m

千米/秒.

解析：當(dāng)v=12000時，20001n(l+—)=12000,

.?.ln(l+-)=6,，M=e6T

mm

答案e6-l

三、解答題

ca

0.1+151n——,x<6,

a-x

14.有時可用函數(shù)f(x)=〈_描述學(xué)習(xí)某學(xué)科知識的掌握程度.其中x表示某學(xué)科

X—4.4

----F，x>6,

Ix—4

知識的學(xué)習(xí)次數(shù)(XGN*),f(x)表示對該學(xué)科知識的掌握程度，正實數(shù)a與學(xué)科知識有關(guān).

(1)證明：當(dāng)瘧7時，掌握程度的增長量f(x+l)—Rx)總是下降；

(2)根據(jù)經(jīng)驗，學(xué)科甲、乙、丙對應(yīng)的a的取值區(qū)間分別為(115,121],(121,127],(127J33J.當(dāng)學(xué)習(xí)某

學(xué)科知識6次時，掌握程度是85%,請確定相應(yīng)的學(xué)科.

04

解析：⑴證明：當(dāng)運7時，f(x+l)-f(x)=^^)

而當(dāng)xN7時，函數(shù)y=(x—3)(x—4)單調(diào)遞增，且(x—3)(x—4)>0,故函數(shù)f(x+1)—f(x)單調(diào)遞減，所

以當(dāng)x>7時，掌握程度的增長量f(x+l)—f(x)總是下降.

(2)由題意可知0.1+15ln—8=0.85,整理得一三=e0°5,解得a=-^二-6=20.50x6=123,

a—6a-6鏟吸一1

又123c(121,127],故該學(xué)科是乙學(xué)科.

答案見解析

15.某公司試銷一種成本單價為500元的新產(chǎn)品，規(guī)定試銷時銷售單價不低于成本單價，又不高于800元.經(jīng)

試銷調(diào)查，發(fā)現(xiàn)銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的關(guān)系可近似看作一次函數(shù)y=kx+b（k，O）,函數(shù)圖象如

圖3-2-9所示.

圖3-2-9

（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)y=kx+b（k#O）的表達式;

（2）設(shè)公司獲得的毛利潤（毛利潤=銷售總價一成本總價）為S元.試問銷售單價定為多少時，該公司可

獲得最大毛利潤？最大毛利潤是多少？此時的銷售量是多少？

解析：（1）由圖象知，當(dāng)x=600時，y=400；當(dāng)x=700時，y=300,代入y=kx+b（k#0^,

400=600%+。攵=—1

得4解得4

300=lQQk+b8=1000

所以y=-x+l000(500<x<800).

（2）銷售總價=銷售單價x銷售量=xy,

成本總價=成本單價x銷售量=500y,

代入求毛利潤的公式，得

S=xy-500y

=x(-x+l000)-500(-x+l00