高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)7

高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)7一、選擇題1．已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|x2＜3，x∈Z}，則（）A．M?N B．N?M C．M∩N＝{﹣1，0} D．M∪N＝M2．記cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（）A．1-k2k B．-1-k23．放煙花是逢年過(guò)節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式，已知一種煙花模型的三視圖如圖中的粗實(shí)線所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該煙花模型的體積為（）A．15π B．413π C．403π 4．黃金三角形有兩種，其中底和腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），例如，正五角星由5個(gè)黃金三角形和一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在一個(gè)黃金三角形ABC中，BCACA．1-254 B．-3+58 5．“(loga2)?A．0＜a＜b B．1＜a＜b C．2＜a＜b D．1＜b＜a6．已知函數(shù)f（x）＝10sinx+16x3在x＝0處的切線與直線nx﹣y＝0平行，則二項(xiàng)式（1+x+x2）（1﹣x）nA．120 B．135 C．140 D．1007．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是（）A．12 B．﹣1 C．2018 8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，4），C（0，﹣4），頂點(diǎn)B在橢圓x29+A．35 B．53 C．459．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將梯形ABCD沿對(duì)角線AC折疊成三棱錐D﹣ABC，當(dāng)二面角D﹣AC﹣B是直二面角時(shí)，三棱錐D﹣ABC的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C．12π D．16π10．已知函數(shù)f（x）＝x2+2x（x＞0），若f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈N*，則f2019（x）在[1，2]上的最大值是（）A．42018﹣1 B．42019﹣1 C．92019﹣1 D．32201911．已知點(diǎn)C是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且圓C與直線x=-12相交于A，B兩點(diǎn)，則|FA|?|A．[4，+∞） B．[3，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）12．已知正實(shí)數(shù)m，n，設(shè)a＝m+n，b=m2+14mn+n2．若以a，b為某個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)，設(shè)其第三條邊長(zhǎng)為c，且c滿足c2＝kA．（1，6） B．（2，36） C．（4，20） D．（4，36）二、填空題13．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法計(jì)算f（π）時(shí)，需要乘法和加法的總次數(shù)為．14．已知向量a→，b→滿足|a→|＝|b→|＝2，且（a→+2b→）?（a15．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色，先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開(kāi)始的第2020個(gè)數(shù)是．16．已知a，b∈[0，1]，則S（a，b）=a1+b+b1+a+（1﹣三、解答題17．把函數(shù)f（x）＝2sinx的圖象向左平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，函數(shù)y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱，記函數(shù)h（x）＝f（x（1）求函數(shù)y＝h（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）畫出函數(shù)y＝h（x）在區(qū)間[-π18．為了響應(yīng)2018年全國(guó)文明城市建設(shè)的號(hào)召，長(zhǎng)沙市文明辦對(duì)長(zhǎng)沙市市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查．每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示．組別[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）頻數(shù)2515020025022510050（Ⅰ）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（μ，210），μ近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求P（36＜Z≤79.5）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，文明辦為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：（i）得分不低于μ的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）2040概率3414現(xiàn)市民小王要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：210≈14.5，若X～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜X≤μ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973．19．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)F1、F2分別為雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C的離心率為2，點(diǎn)（1，32）在雙曲線C上．不在x軸上的動(dòng)點(diǎn)P與動(dòng)點(diǎn)Q（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；（2）在動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上有兩個(gè)不同的點(diǎn)M（x1，y1）、N（x2，y2），線段MN的中點(diǎn)為G，已知點(diǎn)（x1，x2）在圓x2+y2＝2上，求|OG|?|MN|的最大值，并判斷此時(shí)△OMN的形狀．高三數(shù)學(xué)寒假作業(yè)7（答案解析）一、選擇題1．已知集合M＝{x|﹣2＜x＜1}，N＝{x|x2＜3，x∈Z}，則（）A．M?N B．N?M C．M∩N＝{﹣1，0} D．M∪N＝M【解答】解：N={x|-3＜x＜3，x∈Z}={-1，0，1}，M＝{∴M∩N＝{﹣1，0}．故選：C．2．記cos（﹣80°）＝k，那么tan100°＝（）A．1-k2k B．-1-k2【解答】解：法一：sin80°=1-所以tan100°＝﹣tan80°=-sin80°法二：cos（﹣80°）＝k?cos（80°）＝k，tan100°=sin100°故選：B．3．放煙花是逢年過(guò)節(jié)一種傳統(tǒng)慶祝節(jié)日的方式，已知一種煙花模型的三視圖如圖中的粗實(shí)線所示，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該煙花模型的體積為（）A．15π B．413π C．403π 【解答】解：由三視圖可知幾何體是半徑為2，高為3的圓柱，與半徑為1，高為1的圓柱，以及底面半徑為1，高為2的圓錐，組成的幾何體．幾何體的體積為：22故選：B．4．黃金三角形有兩種，其中底和腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是頂角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰三角形），例如，正五角星由5個(gè)黃金三角形和一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在一個(gè)黃金三角形ABC中，BCACA．1-254 B．-3+58 【解答】解：由圖可知，∠ACB＝72°，且cos72°=1∴cos144°＝2cos272°﹣1=-5則sin234°＝sin（144°+90°）＝cos144°=-5故選：C．5．“(loga2)?A．0＜a＜b B．1＜a＜b C．2＜a＜b D．1＜b＜a【解答】解：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21lo若焦點(diǎn)在y軸，則log2b＞log2a＞0，即b＞a＞1．等價(jià)條件為b＞a＞1，則對(duì)應(yīng)的充分不必要條件可以為b＞a＞2，故選：C．6．已知函數(shù)f（x）＝10sinx+16x3在x＝0處的切線與直線nx﹣y＝0平行，則二項(xiàng)式（1+x+x2）（1﹣x）nA．120 B．135 C．140 D．100【解答】解：函數(shù)f（x）＝10sinx+16x3在x＝0處的切線與直線nx﹣y＝0平行，則則二項(xiàng)式（1+x+x2）（1﹣x）n＝（1+x+x2）（1﹣x）10＝（1﹣x3）?（1﹣x）9，∵（1﹣x）9的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為Tr+1=C9r?（﹣x故分別令r＝4，r＝1，可得展開(kāi)式中x4的系數(shù)為C94-故選：B．7．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，那么輸出的S值是（）A．12 B．﹣1 C．2018 【解答】解：依題意，執(zhí)行如圖所示的程序框圖可知：初始S＝2，當(dāng)k＝0時(shí)，S0＝﹣1，k＝1時(shí)，S1=1同理S2＝2，S3＝﹣1，S4=1可見(jiàn)Sn的值周期為3．∴當(dāng)k＝2007時(shí)，S2007＝S0＝﹣1，k＝2008，退出循環(huán)．輸出S＝﹣1．故選：B．8．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（0，4），C（0，﹣4），頂點(diǎn)B在橢圓x29+A．35 B．53 C．45【解答】解：∵△ABC的頂點(diǎn)A（0，4），C（0，﹣4），頂點(diǎn)B在橢圓x29+y225=1上∴a＝2，即AB+∵由正弦定理知sinBsinA+sinC=AC故選：C．9．在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，將梯形ABCD沿對(duì)角線AC折疊成三棱錐D﹣ABC，當(dāng)二面角D﹣AC﹣B是直二面角時(shí)，三棱錐D﹣ABC的外接球的表面積為（）A．4π B．8π C．12π D．16π【解答】解：如圖：AB＝4，AD＝CD＝2，∴AC=22，BC=2取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)O，連結(jié)DE，OE，∵平面DCA⊥平面ACB，DE⊥AC∴DE⊥平面ACB，∵DE=2，OE=∴OD＝2，∴OB＝OA＝OC＝OD，∴OB＝2，即外接球的半徑為2，此時(shí)三棱錐外接球的表面積為4π?22＝16π．故選：D．10．已知函數(shù)f（x）＝x2+2x（x＞0），若f1（x）＝f（x），fn+1（x）＝f（fn（x）），n∈N*，則f2019（x）在[1，2]上的最大值是（）A．42018﹣1 B．42019﹣1 C．92019﹣1 D．322019【解答】解：f（x）＝x2+2x在（0，+∞）為增函數(shù)，且f（x）＞0，所以f1（x）在[1，2]為增函數(shù)，所以f1（x）max＝8＝32﹣1，且f1（x）＞0，同理f2（x）max＝f（f1（x）max）＝322-1，且f2（同理f3（x）max＝f（f2（x）max）＝323-1，且f3（依此類推：f2019（x）max＝f（f2018（x）max）＝322019故選：D．11．已知點(diǎn)C是拋物線y2＝4x上的動(dòng)點(diǎn)，以C為圓心的圓過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F，且圓C與直線x=-12相交于A，B兩點(diǎn)，則|FA|?|A．[4，+∞） B．[3，+∞） C．[2，+∞） D．[1，+∞）【解答】解：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F（1，0），設(shè)圓C的方程為(x-x令x=-12，可得y2﹣2y0y+3x0則△＝4y02-12x0+3＝4設(shè)A（-12，y1），B（-12，y2），則y1+y2＝2y0，y1?y2＝3因?yàn)辄c(diǎn)C（x0，y0）在拋物線y2＝4x上，故y02=4所以|FA|?|FB|=y1=(3x0-因?yàn)閤0≥0，所以|FA|?|FB|≥3，即|FA|?|FB|的取值范圍是[3，+∞）．故選：B．12．已知正實(shí)數(shù)m，n，設(shè)a＝m+n，b=m2+14mn+n2．若以a，b為某個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)，設(shè)其第三條邊長(zhǎng)為c，且c滿足c2＝kA．（1，6） B．（2，36） C．（4，20） D．（4，36）【解答】解法一：∵正實(shí)數(shù)m，n，∴a＝m+n≥2mn，b=∵其第三條邊長(zhǎng)為c，且c滿足c2＝k?mn，∴c2＝a2+b2﹣2abcosC≥4mn+16mn﹣16mncosC，∵﹣1≤cosC≤1，∴4kmn≤c2≤36mn，∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（4，36）．解法二：∵a，b，c是某個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)，∴a+b＞ca+c＞b又b=m2+14mn+n2＞∴b+c＞a，成立，∴a+b＞c為m+n+m∴k＜∵m+n≥2mn，m2+∴m+n+m2+14mn+n2∴m+n+m2+14mn+n2對(duì)于a+c＞b為m+n+kmn∴k=m=m=m2+令m2+n2m2t為2時(shí)，有最大值為2，∴k＞2，∴k綜上，4＜k＜36．∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為（4，36）．故選：D．二、填空題13．若f（x）＝x4+3x3+x+1，用秦九韶算法計(jì)算f（π）時(shí)，需要乘法和加法的總次數(shù)為6．【解答】解：由于函數(shù)f（x）＝x4+3x3+x+1＝（（（x+3）x）x+1）x+1，分別算出v0＝1，v1＝π+3＝3+π，v2＝（3+π）π＝3π+π2，v3＝（3π+π2）π+1＝3π2+π3+1，v4＝（3π2+π3+1）π+1．由上述可得出乘法3次，加法3次；∴乘法和加法的總次數(shù)6次故答案為：6．14．已知向量a→，b→滿足|a→|＝|b→|＝2，且（a→+2b→）?（a→-【解答】解：∵（a→+2b→）?（a→-b→∴cos＜a∴向量a→與b→的夾角為故答案為：π315．在正整數(shù)數(shù)列中，由1開(kāi)始依次按如下規(guī)則，將某些整數(shù)染成紅色，先染1；再染3個(gè)偶數(shù)2，4，6；再染6后面最鄰近的5個(gè)連續(xù)奇數(shù)7，9，11，13，15；再染15后面最鄰近的7個(gè)連續(xù)偶數(shù)16，18，20，22，24，26，28；再染此后最鄰近的9個(gè)連續(xù)奇數(shù)29，31，…，45；按此規(guī)則一直染下去，得到一紅色子數(shù)列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16，…，則在這個(gè)紅色子數(shù)列中，由1開(kāi)始的第2020個(gè)數(shù)是3995．【解答】解：設(shè)第n次染色的最后一個(gè)數(shù)字為an，根據(jù)染色的最后一個(gè)數(shù)字，1，6，15，28，……，可得an＝n（2n﹣1），因?yàn)榍皀次染色數(shù)字的個(gè)數(shù)之和為1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2，由n2≤2020≤（n+1）2，可得n＝44．每一次染色的數(shù)組成公差為2的等差數(shù)列（除第一次外），所以第45次染色的數(shù)字總共有2×45﹣1＝89個(gè)，第2020個(gè)數(shù)是第45次染色的第2020﹣442＝84個(gè)數(shù)，所以它為45×（2×45﹣1）﹣2×5＝3995故答案為：3995．16．已知a，b∈[0，1]，則S（a，b）=a1+b+b1+a+（1﹣a）（1﹣【解答】解：∵a，b∈[0，1]，∴S（a，b）=a1+b+b1+a+（1﹣令T=ab(1-ab)(1+a)(1+b)，X則T=ab(1-ab)令f（X）=x2(1-X)1+X可得：f′（X）=-2X(X2+X-1)X∈[0，5-12）時(shí)，f′（X∈（5-12，1]時(shí)，f′（故當(dāng)X=5-12時(shí)，f（X故S（a，b）=a1+b+b1+a+（1﹣故答案為：13-5三、解答題17．把函數(shù)f（x）＝2sinx的圖象向左平移φ(0＜φ＜π2)個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，函數(shù)y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱，記函數(shù)h（x）＝f（x（1）求函數(shù)y＝h（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；（2）畫出函數(shù)y＝h（x）在區(qū)間[-π【解答】解：（1）把函數(shù)f（x）＝2sinx的圖象向左平移φ(0＜φ＜π得到函數(shù)g（x）＝2sin（x+φ）的圖象．根據(jù)y＝g（x）的圖象關(guān)于直線x=π6對(duì)稱，得即φ=π3+mπ(m∈Z)，又0＜φ＜π2則h(x)=f(x)?g(x)=4sinx?sin(x+=2sin則函數(shù)y＝h（x）的最小正周期T=2π令-π2+2kπ≤2x-故函數(shù)y＝h（x）的單調(diào)增區(qū)間是[-π（2）在區(qū)間[-π2，π2]上，2x-列表如下：2x--7π﹣π-π0π5πx-π-5π-ππππh（x）21﹣1132故y＝h（x）在區(qū)間[-π18．為了響應(yīng)2018年全國(guó)文明城市建設(shè)的號(hào)召，長(zhǎng)沙市文明辦對(duì)長(zhǎng)沙市市民進(jìn)行了一次文明創(chuàng)建知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷調(diào)查．每一位市民僅有一次參加機(jī)會(huì)，通過(guò)隨機(jī)抽樣，得到參加問(wèn)卷調(diào)查的1000人的得分（滿分：100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示．組別[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）頻數(shù)2515020025022510050（Ⅰ）由頻數(shù)分布表可以認(rèn)為，此次問(wèn)卷調(diào)查的得分Z服從正態(tài)分布N（μ，210），μ近似為這1000人得分的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表），請(qǐng)利用正態(tài)分布的知識(shí)求P（36＜Z≤79.5）；（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，文明辦為此次參加問(wèn)卷調(diào)查的市民制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：（i）得分不低于μ的可以獲贈(zèng)2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于μ的可以獲贈(zèng)1次隨機(jī)話費(fèi)；（ii）每次贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)和對(duì)應(yīng)的概率為贈(zèng)送的隨機(jī)話費(fèi)（單位：元）2040概率3414現(xiàn)市民小王要參加此次問(wèn)卷調(diào)查，記X（單位：元）為該市民參加問(wèn)卷調(diào)查獲贈(zèng)的話費(fèi)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．附：210≈14.5，若X～N（μ，σ2），則①P（μ﹣σ＜X≤μ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.