2022-2023學(xué)年廣東省惠州市惠城區(qū)南山學(xué)校八年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年廣東省惠州市惠城區(qū)南山學(xué)校八年級（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分1．下列分式是最簡分式的（）A． B． C． D．2．下列運算正確的是（）A．x2+x2＝x4 B．a(chǎn)2?a3＝a5 C．（3x）2＝6x2 D．（mn）5÷（mn）＝mn43．觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④4．在下列各圖的△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）A． B． C． D．5．分式方程的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝6 D．x＝86．在△ABC中，AB＝2n﹣5，AC＝4，BC＝13，則n的取值范圍是（）A．n＜11 B．7＜n＜11 C．9＜n＜17 D．n＞77．已知三角形兩邊的長分別為1、5，第三邊的長為整數(shù)，則第三邊的長為（）A．4 B．5 C．6 D．78．如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點D與點G重合．當(dāng)兩張紙片交叉所成的角α最小時，tanα等于（）A． B． C． D．9．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．下列結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP；⑥連接OC，OC平分∠AOE；⑦△CPQ為等邊三角形．其中正確的有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個10．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，將∠COB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°），角的兩邊分別與BC，AB交于點M，N，連接DM，CN，MN，下列四個結(jié)論：①CM＝BN；②CN⊥DM；③∠ADM＝∠BNM；④AN2+CM2＝MN2；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．如圖：△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，那么CF的長為．12．使式子有意義的x的取值范圍是．13．因式分解8m2n﹣2n＝．14．一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是．15．計算：m2n﹣2?3m﹣3n3＝．16．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為4，則勒洛三角形的周長為：．17．如圖，A、B是函數(shù)y＝上兩點，P為一動點，作PB∥y軸，PA∥x軸，下列說法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，則OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，則S△ABP＝4，正確有．（填序號）三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題8分，第24，25小題10分。18．先化簡，再求值（+1），其中x為滿足x2+x﹣3＝0．19．如圖，點D是△ABC外一點，連接BD、AD，AD與BC交于點O．下列三個等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．請從這三個等式中，任選兩個作為已知條件，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題，將你選擇的等式或等式的序號填在下面對應(yīng)的橫線上，然后對該真命題進(jìn)行證明．已知：，．求證：．20．已知點A（a，﹣3）與點B（5，b）關(guān)于x軸對稱，求a+b的立方根．21．已知：如圖，點A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．22．等腰三角形的三邊長分別為3x﹣2，4x﹣3，7，求等腰三角形的周長．23．如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F．求證：△ABE≌△CAF．24．學(xué)習(xí)了平行線的判定與性質(zhì)后，某興趣小組提出如下問題：已知：如圖，AB∥CD．【初步感知】如圖1，若∠C＝3∠B，求∠B的度數(shù)；【拓展延伸】如圖2，當(dāng)點E、F在兩平行線之間，且在位于BC異側(cè)時，求證：∠B+∠E＝∠C+∠F；【類比探究】如圖3，若∠ABE＝3∠EBP，∠CFE＝3∠EFP，若∠E＝88°，∠C＝130°，直接寫出∠BPF的度數(shù)．25．閱讀下列解題過程，然后解題：題目：已知（a、b、c互不相等），求x+y+z的值．解：設(shè)，則x＝k（a﹣b），y＝k（b﹣c），z＝k（c﹣a），∴x+y+z＝k（a﹣b+b﹣c+c﹣a）＝k?0＝0，∴x+y+z＝0．依照上述方法解答下列問題：已知：，其中x+y+z≠0，求的值．

參考答案一、單選題：本大題共10小題，每小題3分，共30分1．下列分式是最簡分式的（）A． B． C． D．【分析】利用最簡分式的定義：一個分式的分子與分母沒有公因式時，叫最簡分式，可得結(jié)果．解：A．分子分母不能分解因式，也沒有公因式，是最簡分式；B.＝＝，所以不是最簡分式；C.＝，所以不是最簡分式；D.＝＝，所以不是最簡分式；故選：A．【點評】本題主要考查了最簡分式，先將分子分母因式分解是解答此題的關(guān)鍵．2．下列運算正確的是（）A．x2+x2＝x4 B．a(chǎn)2?a3＝a5 C．（3x）2＝6x2 D．（mn）5÷（mn）＝mn4【分析】根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、除法和冪的乘方計算判斷即可．解：A、x2+x2＝2x2，錯誤；B、a2?a3＝a5，正確；C、（3x）2＝9x2，錯誤；D、（mn）5÷（mn）＝（mn）4，錯誤；故選：B．【點評】此題考查同底數(shù)冪的乘法、除法，關(guān)鍵是根據(jù)合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、除法和冪的乘方法則解答．3．觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡：其中，能夠說明AB＞AC的是（）A．①② B．②③ C．①③ D．③④【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，三邊關(guān)系，作一條線段等于已知線段判斷即可．解：如圖①中，由作圖可知，EB＝EC，∵EA+EC＞AC，∴EA+EB＞AC，即AB＞AC．如圖③中，由作圖可知，AT＝AC，∵點T在線段AB上，∴AB＞AT，即AB＞AC．故選：C．【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．4．在下列各圖的△ABC中，正確畫出AC邊上的高的圖形是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)三角形的高的概念判斷．解：AC邊上的高就是過B作垂線垂直AC交AC的延長線于D點，因此只有C符合條件，故選：C．【點評】本題考查了三角形的角平分線、中線和高，關(guān)鍵是利用基本作圖作三角形高的方法解答．5．分式方程的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x＝6 D．x＝8【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．解：去分母得：2（x﹣1）＝x+4，解得：x＝6，檢驗：把x＝6代入得：（x+4）（x﹣1）≠0，∴分式方程的解為x＝6．故選：C．【點評】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．6．在△ABC中，AB＝2n﹣5，AC＝4，BC＝13，則n的取值范圍是（）A．n＜11 B．7＜n＜11 C．9＜n＜17 D．n＞7【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形三邊的關(guān)系列不等式組，解不等式組即可求解．解：在△ABC中，AB＝2n﹣5，AC＝4，BC＝13，又∵BC﹣AC＜AB＜BC+AC，∴，解得：7＜n＜11，故選：B．【點評】本題主要考查了構(gòu)成三角形三邊的條件以及求解不等式組解集的知識．三角形中，任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，掌握此知識點是解答本題的關(guān)鍵．7．已知三角形兩邊的長分別為1、5，第三邊的長為整數(shù)，則第三邊的長為（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系得出第三邊的范圍，進(jìn)而得到答案．解：設(shè)第三邊的長為x，則5﹣1＜x＜5+1，即4＜x＜6，∵第三邊的長為整數(shù)，∴第三邊的長為5，故選：B．【點評】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟記三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．8．如圖，有兩張矩形紙片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把紙片ABCD交叉疊放在紙片EFGH上，使重疊部分為平行四邊形，且點D與點G重合．當(dāng)兩張紙片交叉所成的角α最小時，tanα等于（）A． B． C． D．【分析】由“ASA”可證△CDM≌△HDN，可證MD＝DN，即可證四邊形DNKM是菱形，當(dāng)點B與點E重合時，兩張紙片交叉所成的角a最小，可求CM＝，即可求tanα的值．解：如圖，∵∠ADC＝∠HDF＝90°∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°∴△CDM≌△HDN（ASA）∴MD＝ND，且四邊形DNKM是平行四邊形∴四邊形DNKM是菱形∴KM＝DM∵sinα＝sin∠DMC＝∴當(dāng)點B與點E重合時，兩張紙片交叉所成的角a最小，設(shè)MD＝a＝BM，則CM＝8﹣a，∵M(jìn)D2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝∴CM＝∴tanα＝tan∠DMC＝＝故選：D．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，求CM的長是本題的關(guān)鍵．9．如圖，C為線段AE上一動點（不與點A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點O，AD與BC交于點P，BE與CD交于點Q，連接PQ．下列結(jié)論：①AD＝BE；②AP＝BQ；③PQ∥AE；④∠AOB＝60°；⑤DE＝DP；⑥連接OC，OC平分∠AOE；⑦△CPQ為等邊三角形．其中正確的有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【分析】首先利用SAS證明△ACD≌△BCE，得AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，可說明①④正確；再利用ASA說明△ACP≌△BCQ，得AP＝BQ，由∠PCQ＝60°，得△PCQ是等邊三角形，可說明②③⑦正確，由∠DPC＞∠DCP，得CD＞DP，故⑤錯誤，作CM⊥AD，CN⊥BE，證得△COM≌△CON，即可證得OC平分∠AOE，故⑥正確．解：∵△ABC、△CDE是等邊三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，∠CBE＝∠CAD，∵∠APC＝∠BPO，∴∠AOB＝∠ACB＝60°，故①④正確；∵∠ACB＝∠BCQ，AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP＝CQ，∵∠PCQ＝60°，∴△PCQ是等邊三角形，∴∠QPC＝∠ACB＝60°，∴PQ∥AC，故②③⑦正確；∵∠DPC＞∠DCP，∴CD＞DP，故⑤錯誤，作CM⊥AD，CN⊥BE，∵△COM≌△CON，∴CM＝CN，∴OC平分∠AOE，故⑥正確，∴正確的有6個．故選：C．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如圖，正方形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，將∠COB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α（0＜α＜90°），角的兩邊分別與BC，AB交于點M，N，連接DM，CN，MN，下列四個結(jié)論：①CM＝BN；②CN⊥DM；③∠ADM＝∠BNM；④AN2+CM2＝MN2；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【分析】由“ASA”可證△OCM≌△OBN，△DCM≌△CBN，可得CM＝BN，∠CDM＝∠BCN，由余角的性質(zhì)可判斷②，由∠DMN≠90°可判斷③，由“SAS”可證△DCM≌△CNB，由勾股定理可判斷④．解：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，BO＝CO，AC⊥BD，∠ACB＝∠ABD＝45°，∵將∠COB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，∴∠COM＝∠BON，且BO＝CO，∠ACB＝∠ABD，∴△OCM≌△OBN（ASA），∴CM＝BN，故①正確；∵CD＝BC，∠DCM＝∠CBN＝90°，∴△DCM≌△CBN（SAS），∴∠CDM＝∠BCN，∵∠CDM+∠CMD＝90°，∴∠BCN+∠CMD＝90°，∴CN⊥DM，故②正確；若∠ADM＝∠BNM，∴∠ADM+∠ANM＝180°，∴∠DAN+∠DMN＝90°，∴∠DMN＝90°，∵CN⊥DM，∴∠NEM＝90°，∴∠DMN＝90°不可能，故③錯誤，∵AB＝BC，BN＝CM，∴AN＝BM，∵BN2+BM2＝MN2，∴AN2+CM2＝MN2；故④正確故選：B．【點評】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的綜合應(yīng)用，熟練掌握正方形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．二、填空題：本大題共7小題，每小題4分，共28分。11．如圖：△ABC≌△DEF，BC＝7，EC＝4，那么CF的長為3．【分析】利用全等三角形的性質(zhì)可得EF＝BC＝7，再解即可．解：∵△ABC≌△DEF，∴EF＝BC＝7，∵EC＝4，∴CF＝3，故答案為：3．【點評】此題主要考查了全等三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握全等三角形的對應(yīng)邊相等．12．使式子有意義的x的取值范圍是x＞4．【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．解：使式子有意義，則x﹣4＞0，解得：x＞4．故答案為：x＞4．【點評】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式定義是解題關(guān)鍵．13．因式分解8m2n﹣2n＝2n（2m+1）（2m﹣1）．【分析】先提取公因式2n，再運用平方差公式分解即可．解：8m2n﹣2n＝2n（2m+1）（2m﹣1），故答案為：2n（2m+1）（2m﹣1）．【點評】本題考查了因式分解，熟練掌握因式分解的方法和基本步驟是解題的關(guān)鍵．14．一個多邊形的內(nèi)角和是720°，這個多邊形的邊數(shù)是6．【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理180°?（n﹣2）即可求得．解：∵多邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）?180°，∴（n﹣2）×180°＝720°，解得n＝6，∴這個多邊形的邊數(shù)是6．故答案為：6．【點評】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理即180°?（n﹣2），難度適中．15．計算：m2n﹣2?3m﹣3n3＝．【分析】根據(jù)單項式乘單項式的運算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義即可求出答案．解：原式＝3m﹣1n＝，故答案為：．【點評】本題考查單項式乘單項式，解題的關(guān)鍵是熟練單項式乘單項式的運算法則以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義，本題屬于基礎(chǔ)題型．16．如圖，分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形稱為勒洛三角形．若等邊三角形的邊長為4，則勒洛三角形的周長為：4π．【分析】根據(jù)弧長公式計算即可．解：如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝4，∴勒洛三角形的周長為：＝4π．故答案為：4π．【點評】本題主要考查了弧長公式，牢記弧長公式是解題關(guān)鍵．17．如圖，A、B是函數(shù)y＝上兩點，P為一動點，作PB∥y軸，PA∥x軸，下列說法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，則OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，則S△ABP＝4，正確有②③④．（填序號）【分析】根據(jù)點P是動點，得到BP與AP不一定相等，判斷出①錯誤；設(shè)出點P的坐標(biāo)，得出AP，BP，利用三角形面積公式計算即可判斷出②正確；利用角平分線定理的逆定理判斷出③正確；求出矩形OMPN＝2，進(jìn)而得出mn＝2，根據(jù)三角形的面積公式計算，即可得出結(jié)論．解：點P是動點，∴BP與AP不一定相等，∴△BOP與△AOP不一定全等，故①錯誤；設(shè)P（m，n），∴BP∥y軸，∴B（m，），∴BP＝|﹣n|，∴S△BOP＝×|﹣n|×|m|＝|3﹣mn|，∵PA∥x軸，∴A（，n）∴AP＝|﹣m|，∴S△AOP＝×|﹣m|×|n|＝|3﹣mn|，∴S△AOP＝S△BOP，②正確；如圖1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA，∴OP平分∠AOB，③正確；如圖2，延長BP交x軸于N，延長AP交y軸于M，∴AM⊥y軸，BN⊥x軸，又∠MON＝90°，∴四邊形OMPN是矩形，∵點A，B在雙曲線y＝上，∴S△AMO＝S△BNO＝3，∵S△BOP＝2，∴S△PMO＝S△PNO＝1，∴S矩形OMPN＝2，∴mn＝2，∴m＝，∴BP＝|﹣n|＝|3n﹣n|＝2|n|，AP＝|﹣m|＝||，∴S△ABP＝×2|n|×||＝4，④正確；故答案為②③④．【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)、三角形面積公式、角平分線定理逆定理、矩形的判定和性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、正確作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．三、解答題：第18，19，20小題6分，第21，22，23小題8分，第24，25小題10分。18．先化簡，再求值（+1），其中x為滿足x2+x﹣3＝0．【分析】根據(jù)分式的加法法則、除法法則把原式化簡，整體代入計算，得到答案．解：原式＝（+）?＝?（x+2）＝x2+x+2，∵x2+x﹣3＝0，∴x2+x＝3，∴原式＝2+3＝5．【點評】本題考查的是分式的化簡求值，掌握分式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．19．如圖，點D是△ABC外一點，連接BD、AD，AD與BC交于點O．下列三個等式：①BC＝AD②∠ABC＝∠BAD③AC＝BD．請從這三個等式中，任選兩個作為已知條件，剩下的一個作為結(jié)論，組成一個真命題，將你選擇的等式或等式的序號填在下面對應(yīng)的橫線上，然后對該真命題進(jìn)行證明．已知：①BC＝AD，②∠ABC＝∠BAD．求證：③AC＝BD．【分析】先組成一個真命題，利用三角形全等的判定求解．解：答案不唯一．∵BC＝AD，∠ABC＝∠BAD．又∵AB＝BA，∴△ABC≌△BAD，∴AC＝BD．【點評】本題考查真假命題，及全等三角形的判定和性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．已知點A（a，﹣3）與點B（5，b）關(guān)于x軸對稱，求a+b的立方根．【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點P（x，y）關(guān)于x軸的對稱點P′的坐標(biāo)是（x，﹣y），進(jìn)而得出a，b的值，再根據(jù)立方根的定義計算即可．解：∵點A（a，﹣3）與點B（5，b）關(guān)于x軸對稱，∴a＝5，b＝3，則a+b＝8，∴a+b的立方根為2．【點評】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)性質(zhì)以及立方根，正確記憶關(guān)于坐標(biāo)軸對稱的坐標(biāo)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．21．已知：如圖，點A、D、C、F在一條直線上，且AD＝CF，AB＝DE，∠BAC＝∠EDF．求證：∠B＝∠E．【分析】利用全等三角形的判定和性質(zhì)定理解答即可．【解答】證明：∵AD＝CF，∴AD+CD＝CF+CD，∴AC＝DF．在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確利用全等三角形的判定定理進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．22．等腰三角形的三邊長分別為3x﹣2，4x﹣3，7，求等腰三角形的周長．【分析】先根據(jù)題中已知等腰三角形的三邊的長，而沒有指明哪個是腰，哪個是底邊，故應(yīng)該分三種情況進(jìn)行分析求解即可．解：①當(dāng)3x﹣2是底邊時，則腰長為：4x﹣3，7，∴4x﹣3＝7，∴x＝2.5，∴3x﹣2＝5.5，∴等腰三角形的周長＝7+7+5.5＝19.5；②當(dāng)4x﹣3是底邊時，則腰長為：3x﹣2，7，∴3x﹣2＝7，∴x＝3，∴4x﹣3＝9，∴等腰三角形的周長＝7+7+9＝23；③當(dāng)7是底邊時，則腰長為：3x﹣2，4x﹣3，∴3x﹣2＝4x﹣3，∴x＝1，∴3x﹣2＝1，4x﹣3＝1，∵1+1＜7，∴不能構(gòu)成三角形．則三角形的周長為19.5或23．【點評】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系的的知識，解題的關(guān)鍵是分類討論，并用三邊關(guān)系定理檢驗．23．如圖，∠BAC＝90°，AD是∠BAC內(nèi)部一條射線，若AB＝AC，BE⊥AD于點E，CF⊥AD于點F．求證：△ABE≌△CAF．【分析】根據(jù)已知可得∠CAF+∠BAE＝90°，根據(jù)垂直定義可得∠CFA＝∠BEA＝90°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余可得∠C+∠CAF＝90°，從而利用同角的余角相等可得∠C＝∠BAE，即可解答．【解答】證明：∵∠BAC＝90°，∴∠CAF+∠BAE＝90°，∵BE⊥AD，CF⊥AD，∴∠CFA＝∠BEA＝90°，∴∠C+∠CAF＝90°，∴∠C＝∠BAE，∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF（AAS）．【點評】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握一線三等角構(gòu)造全等模型是解題的關(guān)鍵．24．學(xué)習(xí)了平行線的判定與性質(zhì)后，某興趣小組提出如下問題：已知：如圖，AB∥CD．【初步感知】如圖1，若∠C＝3∠B，求∠B的度數(shù)；【拓展延伸】如圖2，當(dāng)點E、F在兩平行線之間，且在位于BC異側(cè)時，求證：∠B+∠E＝∠C+∠F；【類比探究】如圖3，若∠ABE＝3∠EBP，∠CFE＝3∠EFP，若∠E＝88°，∠C＝130°，直接寫出∠BPF的度數(shù)．【分析】【初