2022-2023學年江蘇省鹽城市阜寧縣九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江蘇省鹽城市阜寧縣九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝12．一鞋店試銷一種新款式鞋，試銷期間賣出情況如表：型號2222.52323.52424.525數(shù)量（雙）351015832鞋店經(jīng)理最關心哪種型號鞋暢銷，則下列統(tǒng)計量對鞋店經(jīng)理來說最有意義的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)或平均數(shù)3．若x＝1是關于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一個根，則m與方程另一個根分別是（）A．6，5 B．5，﹣6 C．2，5 D．﹣6，54．已知⊙O的半徑為3cm，點O到同一平面內直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后得的方程為（）A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝26．如圖，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，則∠OBC的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．45° D．80°7．如圖，BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點E，直線l切⊙O于點C，延長OD交l于點F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，則CF的長度為（）A．2 B．2 C．2 D．48．如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切，切點為C，若大圓的半徑是13，小圓的半徑是5，則AB的長為（）A．10 B．12 C．20 D．24二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分，將答案填在答題卡上）9．在方差計算公式S2＝[++…+]中，數(shù)20表示這組數(shù)據(jù)的．10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則2x1+3x1x2+2x2的值是．11．在⊙O中，直徑AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，則弦CD的長為．12．如圖AB、AC、BD是圓O的切線，切點分別為P、C、D，若AB＝5，BD＝2，則AC的長是．13．某同學在數(shù)學實踐活動中，制作了一個側面積為60π，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長為．14．“雜交水稻之父”袁隆平和他的團隊探索培育的“海水稻”在某試驗田的產量逐年增加，2018年平均畝產量約500公斤，2020年平均畝產量約800公斤．若設平均畝產量的年平均增長率為x．根據(jù)題意，可以列出關于x的方程為．15．抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產之一．如圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則圖中的長為cm．（結果保留π）16．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（6，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°，則點P的坐標為．三、解答題（本大題共11小題，共102分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知一組數(shù)據(jù)3，4，9，a，5的平均數(shù)是6，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．18．用配方法解關于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．19．如圖，要把破殘的圓片復制完整，已知弧上的三點A、B、C．（1）用尺規(guī)作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）設△ABC是等腰三角形，底邊BC＝24cm，腰AB＝13cm，求圓片的半徑R．20．解下列一元二次方程．（1）x+3﹣x（x+3）＝0；（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．21．如圖：＝，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．22．已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，當m為取值范圍內的最小整數(shù)時，求此方程的根．23．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．（1）求∠BOC的度數(shù)．（2）求∠EDF的度數(shù)．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為半徑OA的中點，CD⊥AB交⊙O于點D和點E，DF∥AB交⊙O于F，連接AF，AD．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所圍成的圖形的面積．（結果保留π）25．如圖，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，點P從點A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點D移動，兩點同時出發(fā)，一點到達終點時另一點即停．（1）運動幾秒時，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分？（2）運動幾秒時，P，Q兩點之間的距離是10cm？26．如圖，A，B是⊙O上兩點，且AB＝OA，連接OB并延長到點C，使BC＝OB，連接AC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）點D，E分別是AC，OA的中點，DE所在直線交⊙O于點F，G，OA＝4，求GF的長．27．【實驗操作】已知線段BC＝2，用量角器作∠BAC＝30°，合作學習小組通過操作、觀察、討論后發(fā)現(xiàn)：點A的位置不唯一，它在以BC為弦的圓弧上（點B、C除外），小麗同學畫出了符合要求的一條圓?。▓D1）．（1）請你幫助解決小麗同學提出的問題：①該弧所在圓的半徑長為；②△ABC面積的最大值為；【類比探究】（2）小亮同學所畫的角的頂點在圖1所示的弓形內部，記為A'，請你證明∠BA'C＞30°；【問題拓展】（3）結合以上探究活動經(jīng)驗，解決新問題：如圖2，在平面直角坐標系的第一象限內有一點B（2，m），過點B作AB⊥y軸，BC⊥x軸，垂足分別為A、C，若點P在線段AB上滑動（點P可以與點A、B重合），使得∠OPC＝45°的位置有兩個，求m的取值范圍．

參考答案一、選擇題（本大題共8小題，每題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求）1．下列方程是一元二次方程的是（）A．x3+2x+1＝0 B．x2+1＝2x+1 C．＝1 D．x2+y＝1【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐個判斷即可．解：A．是一元三次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；B．是一元二次方程，故本選項符合題意；C．是分式方程，故本選項符合題意；D．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，能熟記一元二次方程的定義是解此題的關鍵，注意：只含有一個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程，叫一元二次方程．2．一鞋店試銷一種新款式鞋，試銷期間賣出情況如表：型號2222.52323.52424.525數(shù)量（雙）351015832鞋店經(jīng)理最關心哪種型號鞋暢銷，則下列統(tǒng)計量對鞋店經(jīng)理來說最有意義的是（）A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．中位數(shù)或平均數(shù)【分析】鞋店的經(jīng)理最關心的是各種鞋號的鞋的銷售量，特別是銷售量最大的鞋號．解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)最多的數(shù)，鞋店的經(jīng)理最關心的是各種鞋號的鞋的銷售量，特別是銷售量最多的鞋號．故鞋店的經(jīng)理最關心的是眾數(shù)．故選：C．【點評】本題考查學生對統(tǒng)計量的意義的理解與運用．要求學生對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當?shù)倪\用．3．若x＝1是關于x的一元二次方程x2﹣mx+5＝0的一個根，則m與方程另一個根分別是（）A．6，5 B．5，﹣6 C．2，5 D．﹣6，5【分析】由于x＝1是方程的一個根，直接把它代入方程即可求出m的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系可以求出方程的另一根．解：∵x＝1是方程的一個根，∴1﹣m+5＝0，∴m＝6，設另一個根為x2，則1+x2＝6，∴x2＝5，∴m的值是6，另一個根是5．故選：A．【點評】此題考查了一元二次方程的解，根與系數(shù)的關系，把方程的根代入原方程就可以確定待定系數(shù)m的值，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系就可以求出方程的另一個根．4．已知⊙O的半徑為3cm，點O到同一平面內直線l的距離為5cm，則直線l與⊙O的位置關系是（）A．相交 B．相切 C．相離 D．無法判斷【分析】設圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，若d＜r，則直線與圓相交；若d＝r，則直線與圓相切；若d＞r，則直線與圓相離，從而得出答案．解：設圓的半徑為r，點O到直線l的距離為d，∵d＝5，r＝3，∴d＞r，∴直線l與圓相離．故選：C．【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，解決此類問題的關鍵是通過比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關系完成判定．5．用配方法解方程x2﹣2x﹣1＝0時，配方后得的方程為（）A．（x+1）2＝0 B．（x﹣1）2＝0 C．（x+1）2＝2 D．（x﹣1）2＝2【分析】在本題中，把常數(shù)項﹣1移項后，應該在左右兩邊同時加上一次項系數(shù)﹣2的一半的平方．解：把方程x2﹣2x﹣1＝0的常數(shù)項移到等號的右邊，得到x2﹣2x＝1，方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，得到x2﹣2x+1＝1+1配方得（x﹣1）2＝2．故選：D．【點評】考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；（2）把二次項的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．6．如圖，A、B、C在⊙O上，∠A＝50°，則∠OBC的度數(shù)是（）A．50° B．40° C．45° D．80°【分析】根據(jù)圓周角定理可得∠BOC＝100°，然后根據(jù)BO＝CO可得∠OBC＝∠OCB，進而可利用三角形內角和定理可得答案．解：∵∠BAC＝50°，∴∠BOC＝2∠BAC＝100°，∵BO＝CO，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣100°）÷2＝40°，故選：B．【點評】此題主要考查了圓周角定理，關鍵是掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．7．如圖，BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點E，直線l切⊙O于點C，延長OD交l于點F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，則CF的長度為（）A．2 B．2 C．2 D．4【分析】根據(jù)垂徑定理求得＝，AE＝DE＝2，即可得到∠COD＝2∠ABC＝45°，則△OED是等腰直角三角形，得出OD＝＝2，根據(jù)切線的性質得到BC⊥CF，得到△OCF是等腰直角三角形，進而即可求得CF＝OC＝OD＝2．解：∵BC為⊙O的直徑，弦AD⊥BC于點E，∴＝，AE＝DE＝2，∴∠COD＝2∠ABC＝45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE＝ED＝2，∴OD＝＝2，∵直線l切⊙O于點C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF＝OC，∵OC＝OD＝2，∴CF＝2，故選：B．【點評】本題考查了垂徑定理，等弧所對的圓心角和圓周角的關系，切線的性質，勾股定理的應用，求得CF＝OC＝OD是解題的關鍵．8．如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB與小圓相切，切點為C，若大圓的半徑是13，小圓的半徑是5，則AB的長為（）A．10 B．12 C．20 D．24【分析】連接OA、OC，如圖，先根據(jù)切線的性質得到OC⊥AB，則根據(jù)垂徑定理得到AC＝BC，然后利用勾股定理計算出AC，從而得到AB的長．解：連接OA、OC，如圖，∵AB為小圓的切線，∴OC⊥AB，∴AC＝BC，在Rt△OAC中，∵OA＝13，OC＝5，∴AC＝＝12，∴AB＝2AC＝24．故選：D．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了垂徑定理和勾股定理．二、填空題（本大題共8小題，每題3分，共24分，將答案填在答題卡上）9．在方差計算公式S2＝[++…+]中，數(shù)20表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【分析】根據(jù)方差公式S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，得出數(shù)20表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)．解：在方差計算公式S2＝[++…+]中，數(shù)20表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；故答案為：平均數(shù)．【點評】本題考查方差的定義：一般地設n個數(shù)據(jù)，x1，x2，…xn的平均數(shù)為，則方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]．10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的兩個實數(shù)根，則2x1+3x1x2+2x2的值是5．【分析】先根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，再把2x1+3x1x2+2x2變形為2（x1+x2）+3x1x2，然后利用整體代入的方法計算．解：根據(jù)根與系數(shù)的關系得x1+x2＝4，x1x2＝﹣1，所以2x1+3x1x2+2x2＝2（x1+x2）+3x1x2＝2×4+3×（﹣1）＝5．故答案為：5．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根，則x1+x2＝﹣，x1x2＝．11．在⊙O中，直徑AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，則弦CD的長為2．【分析】首先連接OC，由弦CD⊥AB于P，OP＝，利用勾股定理即可求得CP的長，然后由垂徑定理求得弦CD的長．解：連接OC，∵在⊙O中，直徑AB＝4，∴OA＝OC＝AB＝2，∴弦CD⊥AB于P，OP＝，∴CP＝＝1，∴CD＝2CP＝2．故答案為：2．【點評】此題考查了垂徑定理以及勾股定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵．12．如圖AB、AC、BD是圓O的切線，切點分別為P、C、D，若AB＝5，BD＝2，則AC的長是3．【分析】根據(jù)切線長定理得到AC＝AP，BP＝BD＝2，然后求出AP即可．解：∵AB、AC、BD是圓O的切線，∴AC＝AP，BP＝BD＝2，∵AP＝AB﹣BP＝5﹣2＝3，∴AC＝3．故答案為3．【點評】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了切線長定理．13．某同學在數(shù)學實踐活動中，制作了一個側面積為60π，底面半徑為6的圓錐模型（如圖所示），則此圓錐的母線長為10．【分析】設此圓錐的母線長為l，利用扇形的面積公式得到×2π×6×l＝60π，然后解方程即可．解：設此圓錐的母線長為l，根據(jù)題意得×2π×6×l＝60π，解得l＝10，所以此圓錐的母線長為10．故答案為10．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．14．“雜交水稻之父”袁隆平和他的團隊探索培育的“海水稻”在某試驗田的產量逐年增加，2018年平均畝產量約500公斤，2020年平均畝產量約800公斤．若設平均畝產量的年平均增長率為x．根據(jù)題意，可以列出關于x的方程為500（1+x）2＝800．【分析】設水稻畝產量的年平均增長率為x，根據(jù)“2018年平均畝產×（1+增長率）2＝2020年平均畝產”即可列出關于x的一元二次方程．解：水稻畝產量的年平均增長率為x，根據(jù)題意得：500（1+x）2＝800，故答案為：500（1+x）2＝800．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程的知識，根據(jù)數(shù)量關系列出關于x的一元二次方程是解題的關鍵．15．抖空竹在我國有著悠久的歷史，是國家級的非物質文化遺產之一．如圖，AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，延長AC，BD交于點P．若∠P＝120°，⊙O的半徑為6cm，則圖中的長為2πcm．（結果保留π）【分析】連接OC，OD，先求出∠COD的度數(shù)，最后利用弧長公式求解答案即可．解：如圖所示，連接OC，OD，∵AC，BD分別與⊙O相切于點C，D，∴∠OCP＝∠ODP＝90°，由四邊形內角和為360°可得，∠COD＝360°﹣∠OCP﹣∠ODP﹣∠CPD＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°．∴的長＝＝2π．故答案為：2π．【點評】本題考查了切線的性質，弧長的計算，求出∠COD的度數(shù)是解題的關鍵．16．如圖，平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（6，5），⊙A與x軸相切，點P在y軸正半軸上，PB與⊙A相切于點B．若∠APB＝30°，則點P的坐標為（0，13）．【分析】過點A作AC⊥x軸于C，AD⊥OP于D，連接AB，根據(jù)切線的性質得到AB⊥PB，根據(jù)直角三角形的性質求出PA，根據(jù)勾股定理求出PD，進而求出OP，得到答案．解：過點A作AC⊥x軸于C，AD⊥OP于D，連接AB，則四邊形ADOC為矩形，∵點A的坐標為（6，5），∴AD＝OC＝6，OD＝AC＝5，∵⊙A與x軸相切，PB與⊙A相切于點B，∴AB＝AC＝5，AB⊥PB，在Rt△APB中，∠APB＝30°，則PA＝2AB＝10，∴PD＝＝＝8，∴OP＝5+8＝13，∴點P的坐標為（0，13），故答案為：（0，13）．【點評】本題考查的是切線的性質、坐標與圖形性質，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的關鍵．三、解答題（本大題共11小題，共102分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．已知一組數(shù)據(jù)3，4，9，a，5的平均數(shù)是6，求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)．【分析】根據(jù)平均數(shù)求出a的值，然后得出眾數(shù)和中位數(shù)即可．解：由題意知，＝6，解得a＝9，∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為9，中位數(shù)為5．【點評】本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念，熟練掌握平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)的概念是解題的關鍵．18．用配方法解關于x的方程x2+px+q＝0（p2﹣4q＞0）．【分析】此題考查了配方法解一元二次方程，要注意解題步驟，把左邊配成完全平方式，右邊化為常數(shù)．再利用直接開平方法即可求解．解：∵x2+px+q＝0，x2+px＝﹣q，x2+px+＝﹣q+，（x+）2＝，∵p2﹣4q＞0，∴x+＝±，x＝．【點評】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關鍵．19．如圖，要把破殘的圓片復制完整，已知弧上的三點A、B、C．（1）用尺規(guī)作圖法，找出弧BC所在圓的圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）設△ABC是等腰三角形，底邊BC＝24cm，腰AB＝13cm，求圓片的半徑R．【分析】（1）作圖思路：可根據(jù)AB，AC的垂直平分線來確定圓心．（2）本題可通過構建直角三角形來求解．連接AO交BC于E．先求出AE的值，然后在直角三角形OBE中，用半徑表示出OE，OB，然后根據(jù)勾股定理求出半徑的值．解：（1）分別作AB、AC的垂直平分線，設交點為O，則O為所求圓的圓心．（2）連接AO交BC于E，連接OB．∵AB＝AC，∴AE⊥BC，BE＝BC＝12（厘米），在Rt△ABE中，AE＝＝＝5（厘米），設⊙O的半徑為Rcm，在Rt△BEO中，OB2＝BE2+OE2，即R2＝122+（R﹣5）2，∴R2＝144+R2﹣10R+25，∴R＝．所以所求圓的半徑為cm．【點評】本題綜合考查了垂徑定理，勾股定理等知識點，要注意作圖中是根據(jù)垂徑定理作為作圖依據(jù)．20．解下列一元二次方程．（1）x+3﹣x（x+3）＝0；（2）（2x﹣1）（x+3）＝4．【分析】（1）利用因式分解法解方程即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．解：（1）x+3﹣x（x+3）＝0，（x+3）﹣x（x+3）＝0，（x﹣3）（1﹣x）＝0，∴x﹣3＝0或1﹣x＝0，∴x1＝3，x2＝1．（2）（2x﹣1）（x+3）＝4，2x2+5x﹣7＝0，（2x+7）（x﹣1）＝0，∴2x+7＝0或x﹣1＝0，∴x1＝﹣，x2＝1．【點評】本題考查了解一元二次方程，解決本題的關鍵是掌握解一元二次方程的方法．21．如圖：＝，D、E分別是半徑OA和OB的中點，求證：CD＝CE．【分析】連接OC，構建全等三角形△COD和△COE；然后利用全等三角形的對應邊相等證得CD＝CE．【解答】證明：連接OC．在⊙O中，∵＝∴∠AOC＝∠BOC，∵OA＝OB，D、E分別是半徑OA和OB的中點，∴OD＝OE，∵OC＝OC（公共邊），∴△COD≌△COE（SAS），∴CD＝CE（全等三角形的對應邊相等）．【點評】本題考查了圓心角、弧、弦的關系，以及全等三角形的判定與性質．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．22．已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+m+2＝0．（1）求證：方程總有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，當m為取值范圍內的最小整數(shù)時，求此方程的根．【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結合根的判別式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（m+1）2，由偶次方的非負性可得出（m+1）2≥0，即Δ≥0，進而可證出方程總有兩個實數(shù)根；（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出x1＝1，x2＝m+2，結合方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，即可得出m的取值范圍，取其中的最小整數(shù)即可得出結論．【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣（m+3），c＝m+2．∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×（m+2）＝m2+2m+1＝（m+1）2．∵（m+1）2≥0，即Δ≥0，∴方程總有兩個實數(shù)根；（2）解：∵x2﹣（m+3）x+m+2＝0，即（x﹣1）[x﹣（m+2）]＝0，∴x﹣1＝0或x﹣（m+2）＝0，解得：x1＝1，x2＝m+2．∵方程的兩個實數(shù)根都是正整數(shù)，∴m≥﹣1，且m為整數(shù)，∴m的最小值為﹣1．當m＝﹣1時，此方程的根為x1＝x2＝1．【點評】本題考查了根的判別式以及因式分解法解一元二次方程，解題的關鍵是：（1）牢記“當Δ≥0時，方程有兩個實數(shù)根”；（2）利用因式分解法，求出方程的兩個實數(shù)根．23．如圖，⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，∠ABC＝60°，∠ACB＝70°．（1）求∠BOC的度數(shù)．（2）求∠EDF的度數(shù)．【分析】（1）由切線長定理可知BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，則∠OBC和∠OCB的度數(shù)可求出，進而可求出∠BOC的度數(shù)；（2）連接OE，OF．由三角形內角和定理可求得∠A＝50°，由切線的性質可知：∠OFA＝90°，∠OEA＝90°，從而得到∠A+∠EOF＝180°，故可求得∠EOF＝130°，即可解決問題．解：（1）∵⊙O是△ABC的內切圓，切點分別為D、E、F，∴BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，∴∠OBC＝∠ABC＝30°，∠OCB＝∠ACB＝35°，∴∠BOC＝180°﹣30°﹣35°＝115°；（2）如圖所示；連接OE，OF．∵∠ABC＝60°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣60°﹣70°＝50°．∵AB是圓O的切線，∴∠OFA＝90°．同理∠OEA＝90°．∴∠BAC+∠EOF＝180°．∴∠EOF＝130°，∴∠EDF＝∠EOF＝65°．【點評】本題主要考查的是切線的性質、切線長定理、三角形、四邊形的內角和、圓周角定理，求得∠EOF的度數(shù)是解題的關鍵．24．如圖，AB是⊙O的直徑，點C為半徑OA的中點，CD⊥AB交⊙O于點D和點E，DF∥AB交⊙O于F，連接AF，AD．（1）求∠DAF的度數(shù)；（2）若AB＝10，求弦AD，AF和所圍成的圖形的面積．（結果保留π）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質得到∠EDF＝∠ECB＝90°，求得OC＝，于是得到結論；（2）連接OD，于是得到∠DOF＝2∠E＝60°，根據(jù)扇形的面積公式即可得到結論．解：（1）∵DF∥AB，CD⊥AB，∴∠EDF＝∠ECB＝90°，∴EF為⊙O的直徑，∵點C為半徑OA的中點，∴OC＝，∴∠E＝30°，∴∠DAF＝∠E＝30°；（2）連接OD，則∠DOF＝2∠E＝60°，∵DF∥AB，∴S△ADF＝S△DOF，∴S陰影＝S扇形，∵OD＝AB＝5，∴弦AD，AF和所圍成的圖形的面積＝＝π．【點評】本題考查了扇形的面積，平行線的性質，直角三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．25．如圖，在矩形ABCD中，DC＝14cm，AD＝6cm，點P從點A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點B移動；同時，點Q從點C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點D移動，兩點同時出發(fā)，一點到達終點時另一點即停．（1）運動幾秒時，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分？（2）運動幾秒時，P，Q兩點之間的距離是10cm？【分析】設運動時間為t秒，根據(jù)題意可得0≤t≤；（1）由題意可得CQ＝tcm，AP＝4tcm，即知S梯形PADQ＝＝9t+42，當S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2時，9t+42＝×14×6，當S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5時，9t+42＝×14×6，解方程可得答案；（2）過P作PM⊥CD于M，可證明四邊形ADMP是矩形，故∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm，由勾股定理可得|14﹣5t|2+62＝102，即可解得答案．解：設運動時間為t秒，根據(jù)題意可得0≤t≤；（1）∵點P從點A出發(fā)沿AB以4cm/s的速度向點B移動，點Q從點C出發(fā)沿CD以1cm/s的速度向點D移動，∴CQ＝tcm，AP＝4tcm，∴DQ＝（14﹣t）cm，∴S梯形PADQ＝＝＝9t+42，當S梯形PADQ：S梯形BPQC＝5：2時，9t+42＝×14×6，解得t＝2，當S梯形PADQ：S梯形BPQC＝2：5時，9t+42＝×14×6，解得t＝﹣2（舍去），∴運動2秒時，PQ能將矩形ABCD的面積分成2：5兩部分；（2）過P作PM⊥CD于M，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝90°，∵PM⊥CD，∴∠APM＝90°，∴四邊形ADMP是矩形，∴∠PMD＝∠PMQ＝90°，PM＝AD＝6cm，DM＝AP＝4tcm∴QM＝|DQ﹣DM|＝|14t﹣t﹣4t|＝|14﹣5t|（cm），∵QM2+PM2＝PQ2，P，Q兩點之間的距離是10cm，∴|14﹣5t|2+62＝102，解得t＝或t＝（大于，舍去），∴運動秒時，P，Q兩點之間的距離是10cm．【點評】本題考查一元一元一次方程和一元二次方程的應用，涉及勾股定理及應用，解題的關鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示相關線段的長度．26．如圖，A，B是⊙O上兩點，且AB＝OA，連接OB并延長到點C，使BC＝OB，連接AC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）點D，E分別是AC，OA的中點，DE所在直線交⊙O于點F，G，OA＝4，求GF的長．【分析】（1）證明∠OAC＝90°即可；（2）求弦長，根據(jù)垂徑定理先求出弦長的一半即可．連結OF，過點O作OH⊥GF于點H，根據(jù)中位線定理得DE∥OC，所以∠OEH＝∠AOB＝60°，求出OH，根據(jù)勾股定理求出HF，乘2即可求出GF．【解答】（1）證明：∵AB＝OA＝OB，∴△OAB是等邊三角形．∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．∵BC＝OB，∴BC＝AB，∴∠BAC＝∠C，∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，∴∠BAC＝∠C＝30°．∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．∴OA⊥AC，∵點A在⊙O上，∴AC是⊙O的切線；（2）解：如圖，連結OF，過點O作OH⊥GF于點H．∴GF＝2HF，∠