《自動控制原理電子教案》第二章 數(shù)學(xué)模型

第2章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

2.1控制系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程2.2拉氏變換與反變換2.3

傳遞函數(shù)2.4

系統(tǒng)方框圖及其化簡2.5

信號流圖與梅遜公式整理課件重點(diǎn)：難點(diǎn)：2.傳遞函數(shù)的概念、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。實(shí)際物理系統(tǒng)，特別是機(jī)械系統(tǒng)微分方程的列寫。3.系統(tǒng)框圖的建立、化簡。4.梅遜公式的應(yīng)用。1.拉氏變換的定義與常見函數(shù)的拉氏變換。整理課件1.數(shù)學(xué)模型：●自控系統(tǒng)的組成可以是電氣的、機(jī)械的、液壓或氣動的等等，然而描述這些系統(tǒng)發(fā)展的模型卻可以是相同的。因此，通過數(shù)學(xué)模型來研究自動控制系統(tǒng)，可以擺脫各種不同類型系統(tǒng)的外部特征，研究其內(nèi)在的共性運(yùn)動規(guī)律?！窠⑾到y(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，是分析和設(shè)計控制系統(tǒng)的首要工作（或基礎(chǔ)工作）。2.建立數(shù)學(xué)模型的目的：描述系統(tǒng)內(nèi)部物理量（或變量）之間動態(tài)關(guān)系的表達(dá)式。整理課件3.建模方法：5.由數(shù)學(xué)模型求取系統(tǒng)性能指標(biāo)的主要途徑

微分方程傳遞函數(shù)頻率特性狀態(tài)方程

求解觀察線性微分方程性能指標(biāo)傳遞函數(shù)時間響應(yīng)頻率響應(yīng)拉氏變換拉氏反變換估算估算計算S=jω頻率特性4.常用數(shù)學(xué)模型整理課件2.1線性系統(tǒng)的微分方程微分方程的列寫的步驟：

1.確定系統(tǒng)的輸入、輸出變量；2.從輸入端開始，按照信號的傳遞順序，根據(jù)各變量所遵循的物理定理寫出各微分方程；3.消去中間變量，寫出輸入、輸出變量的微分方程；

4.變換成標(biāo)準(zhǔn)形式。整理課件例：

圖為機(jī)械位移系統(tǒng)。Fy(t)kfm整理得:解:彈簧彈性力:阻尼器的阻尼力:2.1.1機(jī)械系統(tǒng)整理課件

例：如圖RLC電路，試列寫以ur(t)為輸入量，uc(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。RLCi(t)ur(t)uc(t)

解:2.1.2電系統(tǒng)整理課件

用線性微分方程描述的系統(tǒng)，稱為線性系統(tǒng)。如果方程的系數(shù)為常數(shù)，則稱為線性定常系統(tǒng)；如果方程的系數(shù)不是常數(shù)，而是時間的函數(shù)，則稱為線性時變系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的特點(diǎn)是具有線性性質(zhì)，即遵循疊加原理。分析上述系統(tǒng)模型還可以看出，描述系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程的系數(shù)都是系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及其組合，這就說明系統(tǒng)的動態(tài)特性是是系統(tǒng)的固有特性，取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及其參數(shù)。整理課件式中：，，…，和，，…，——由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的實(shí)常數(shù)。由于實(shí)際系統(tǒng)中總含有慣性元件以及受到能源能量的限制，所以總是:

在工程實(shí)踐中，可實(shí)現(xiàn)的線性定常系統(tǒng)，均能用階常系數(shù)線性微分方程來描述其運(yùn)動特性。設(shè)系統(tǒng)的輸入量為，系統(tǒng)的輸出量為，則單輸入、單輸出階系統(tǒng)常系數(shù)線性微分方程有如下的一般形式：≤整理課件2.2拉氏變換與反變換2.2.1拉氏變換一.拉氏變換的定義：L

式中：是復(fù)變數(shù)，（σ、ω均為實(shí)數(shù)），表示進(jìn)行拉普拉斯變換的符號。

象函數(shù)注意：（1）在任一有限區(qū)間內(nèi)，為分段函數(shù)，只能有有限個間斷點(diǎn)。原函數(shù)（2）當(dāng)時間∞，。當(dāng)時，則的拉氏變換為：≥有一個以時間為自變量的實(shí)變函數(shù)，且時整理課件二.幾種典型函數(shù)的拉氏變換1.單位階躍函數(shù)的拉氏變換整理課件2.單位脈沖函數(shù)δ(t)的拉氏變換≤≤

單位脈沖函數(shù)單位脈沖函數(shù)的性質(zhì)：整理課件又稱單位斜坡函數(shù)，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：3.單位速度函數(shù)的拉氏變換整理課件4.單位加速度函數(shù)的拉氏變換整理課件5.指數(shù)函數(shù)的拉氏變換6.正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的拉氏變換整理課件三.拉氏變換的主要定理1.疊加定理拉氏變換服從線性函數(shù)的齊次性和疊加性。設(shè)，則

式中：——常數(shù)。（1）齊次性（2）疊加性設(shè)，，則

兩者結(jié)合起來，就有:整理課件2.微分定理同樣，可得的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換是：……設(shè)

，則。式中：——函數(shù)在時刻的值，即初始值。整理課件

式中：，，…，——原函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)在時刻的值。如果函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的初始值均為零（稱為零初始件），則

各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換為:整理課件設(shè)

，則。

式中:

——積分

在時刻的值。3.積分定理當(dāng)初始條件為零時，當(dāng)初始條件為零時，對多重積分是整理課件它表明原函數(shù)在時的數(shù)值。

即原函數(shù)的初值等于乘以象函數(shù)的終值。4.初值定理5.終值定理設(shè)，并且存在，則

即原函數(shù)的終值等于乘以象函數(shù)的初值。整理課件2.2.2拉氏反變換拉氏反變換的公式為：通常將復(fù)雜函數(shù)展開成有理分式函數(shù)之和，然后由拉氏變換表一一查出對應(yīng)的反變換函數(shù)，即得所求的原函數(shù)。式中：——表示拉普拉斯反變換的符號求解拉氏反變換的方法：部分分式法整理課件在控制理論中，常遇到的象函數(shù)是的有理分式:為了將寫成部分分式，首先將的分母因式分解，則有:

部分分式法式中，，，…，是的根，稱為的極點(diǎn)。按照這些根的性質(zhì)，可分為以下幾種情況來研究。整理課件1.的極點(diǎn)為各不相同的實(shí)數(shù)時的拉氏反變換再根據(jù)拉氏變換的疊加定理，求原函數(shù)。式中，是待定系數(shù)，它是處的留數(shù)，其求法如下：整理課件

（2.37）例1：求的原函數(shù)。解:首先將的分母因式分解，則有：整理課件整理課件2.含有共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)時的拉氏反變換例2:

已知,求。解：整理課件查拉氏變換表得：整理課件2.2.3應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程應(yīng)用拉氏變換解線性微分方程時，采用下列步驟：(2)解代數(shù)方程，得到有關(guān)變量的拉氏變換表達(dá)式；(3)用拉氏反變換得到微分方程的時域解。

(1)對線性微分方程中每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，使微分方程變?yōu)榈拇鷶?shù)方程；整理課件2.3.1傳遞函數(shù)的概念2.3控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

1.定義

線性定常系統(tǒng)在零初始條件下，輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為傳遞函數(shù)。一般系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：整理課件2.傳遞函數(shù)的性質(zhì)：（1）傳遞函數(shù)是s的函數(shù)，其中分子表示了系統(tǒng)與外界的聯(lián)系，分母反映了系統(tǒng)本身的固有特性。（3）n≥m，因?yàn)閷?shí)際系統(tǒng)或元件總存在慣性。（4）傳遞函數(shù)可以有量綱，也可以沒有；（5）物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)、環(huán)節(jié)或元件，可以具有相同形式的傳遞函數(shù)。（2）若輸入給定，則系統(tǒng)的響應(yīng)為：零狀態(tài)響應(yīng)整理課件1.傳遞函數(shù)可寫為如下形式：K稱為傳遞系數(shù)或增益，在頻率法中使用較多。2.3.2傳遞函數(shù)的零點(diǎn)(zero)和極點(diǎn)(pole)

0

jS平面零、極點(diǎn)分布圖：2.傳遞函數(shù)也可分解為如下形式：首1型尾1型式中zi稱為零點(diǎn)；pj稱為極點(diǎn)；稱為傳遞系數(shù)或根軌跡增益。整理課件0

jS平面1.

極點(diǎn)決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。2.3.3零點(diǎn)和極點(diǎn)對系統(tǒng)性能的影響穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性

系統(tǒng)極點(diǎn)的形式：

當(dāng)時，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

越大，系統(tǒng)消除誤差的速度越快，快速性越好。

影響了自由響應(yīng)的振蕩情況，決定了系統(tǒng)在規(guī)定時間內(nèi)接近穩(wěn)態(tài)的情況。系統(tǒng)特征方程的根當(dāng)時，如果自由響應(yīng)收斂于0，那么系統(tǒng)是穩(wěn)定的。必落在復(fù)平面的左半平面整理課件2.零點(diǎn)影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占比重。例具有相同極點(diǎn)不同零點(diǎn)的兩個系統(tǒng),分別求零初始條件下的單位階躍響應(yīng)。-1-20ImRe兩個系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1、-2，零點(diǎn)分別為：-0.5、-1.3。解：整理課件2.3.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)

1.比例環(huán)節(jié)：2.微分環(huán)節(jié)：（1）輸出是輸入的導(dǎo)數(shù)，即輸出反映了輸入信號的變化趨勢,有預(yù)告的能力。特點(diǎn):（2）增加系統(tǒng)的阻尼比。（3）強(qiáng)化噪聲。既然對輸入有預(yù)測能力，那么對噪聲也能預(yù)測。因而微分環(huán)節(jié)常用來改善控制系統(tǒng)的動態(tài)性能。整理課件3.積分環(huán)節(jié)：（1）輸出量取決于輸入量對時間的積累。（2）輸出相對于輸入有明顯的滯后，有滯后作用。特點(diǎn)：4.一階微分環(huán)節(jié)：5.慣性環(huán)節(jié)：整理課件6.二階微分環(huán)節(jié)：7.振蕩環(huán)節(jié)：8.延時環(huán)節(jié)：阻尼比無阻尼振蕩頻率（1）當(dāng)0<<1時，輸出為一振蕩過程，稱為振蕩環(huán)節(jié)。（2）當(dāng)

≥1時，輸出為一指數(shù)上升曲線而不振蕩，這時不是振蕩環(huán)節(jié)。整理課件2.4.1框圖的構(gòu)成要素2.4系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖及其化簡以圖形描述系統(tǒng)信號傳遞關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。方框圖（框圖）：表示對信號進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。表示對兩個或兩個以上信號進(jìn)行加減運(yùn)算。1.方框：2.比較點(diǎn)：“+”表示相加，“-”表示相減。注意：只有相同量綱的量才能比較。整理課件表示同一信號向不同方向傳遞。1.框圖的建立步驟(1)根據(jù)系統(tǒng)遵循的定律，建立系統(tǒng)的微分方程；(2)在零初始條件下對微分方程進(jìn)行拉氏變換，并根據(jù)因果關(guān)系繪出相應(yīng)的框圖；(3）按照信號的傳遞過程，依次將各框圖連接起來，系統(tǒng)輸入量置于左端，輸出量置于右端，便得到系統(tǒng)的框圖。

3.引出點(diǎn)：注：同一位置引出的信號不僅量綱相同，數(shù)值也相等。2.4.2框圖的建立方程個數(shù)比中間變量多1個輸入中間變量輸出整理課件例1繪出RC電路的框圖。

R

Cui(t)uo(t)（1）根據(jù)電路遵循的定律，列寫微分方程：

（2）對上式進(jìn)行拉氏變換，并繪出相應(yīng)框圖:i(t)解:整理課件（3）將上述各框圖按照信號的傳遞方向連接起來，即構(gòu)成RC網(wǎng)絡(luò)的框圖:輸入中間變量輸出反饋線整理課件2.4.3框圖的等效變換法則2.方框的并聯(lián)等效1.方框的串聯(lián)等效整理課件3.反饋連接的框圖等效稱為開環(huán)傳遞函數(shù)

如果，稱為單位反饋。

稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)

整理課件（3）將上述各框圖按照信號的傳遞方向連接起來，即構(gòu)成RC網(wǎng)絡(luò)的框圖:慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）整理課件4.引出點(diǎn)的移動等效a.引出點(diǎn)前移

C(s)=G(s)R(s)b.引出點(diǎn)后移加“本身”加“倒數(shù)”整理課件5.比較點(diǎn)的移動等效a.比較點(diǎn)前移b.比較點(diǎn)后移加“本身”加“倒數(shù)”C(s)=G(s)R(s)-B(s)整理課件C(s)=E(s)-B2(s)=R(s)-B1(s)-B2(s)=R(s)-B2(s)-B1(s)6.相鄰的相加點(diǎn)可互換位置或合并整理課件7.相鄰的引出點(diǎn)可互換位置或合并整理課件2.4.4框圖的化簡（1）判斷有無交叉情況。（2）如無交叉情況，利用等效法則1、2、3化簡即可。（3）如有交叉情況，先利用等效法則4、5、6、7消去交叉，

然后按照步驟2化簡即可。1.框圖化簡步驟整理課件ab整理課件整理課件整理課件2.4.5反饋系統(tǒng)的傳遞函數(shù)1.系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)斷開系統(tǒng)的主反饋通路。把G1(s)G2(s)H(s)之積稱為該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。整理課件2.R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù)令N(s)=0，此時C1(s)對R(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：整理課件3.N(s)作用下系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)令R(s)=0，此時C2(s)對N(s)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:整理課件4.系統(tǒng)的總輸出根據(jù)線性疊加原理，系統(tǒng)的總輸出等于各外作用引起的輸出的總和。整理課件5.閉環(huán)系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)閉環(huán)系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號的作用下，以誤差信號作為輸出量時的傳遞函數(shù)為系統(tǒng)誤差傳遞函數(shù)。令N(s)=0，此時E(s)對R(s)的誤差傳遞函數(shù)為：整理課件令R(s)=0，此時E(s)對N(s)的誤差傳遞函數(shù)為：整理課件根據(jù)疊加原理，系統(tǒng)總誤差為:對于一個閉環(huán)系統(tǒng)，當(dāng)輸入的取法不同時，前向通道的傳遞函數(shù)不同，反饋回路的傳遞函數(shù)不同，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)不同，但系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母不變，因?yàn)榉帜阜从沉讼到y(tǒng)本身的固有特性，與外界無關(guān)。整理課件2.5系統(tǒng)的信號流圖及梅遜公式對于復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的簡化過程是冗長的。梅遜(S.J.Mason)提出了一種信號流圖法，可以不需要經(jīng)過任何簡化，直接確定系統(tǒng)輸入和輸出變量間的聯(lián)系，再利用梅遜公式求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。一、信號流圖及其術(shù)語1.節(jié)點(diǎn):

表示變量或信號的點(diǎn)。用“○”表示，在旁邊注上信號的代號。例如：、和是圖中的節(jié)點(diǎn)。整理課件2.輸入節(jié)點(diǎn):它是只有輸出的節(jié)點(diǎn)，也稱源點(diǎn)。例如，圖中是一個輸入節(jié)點(diǎn)。