2014高考數(shù)學-（12）簡單幾何體模塊跟蹤訓練

PAGE1-2014高考數(shù)學模塊跟蹤訓練簡單幾何體一、選擇題(8×5＝40分)1．在空間四點O、A、B、C中，若Oeq\o(A,\s\up6(→))、Oeq\o(B,\s\up6(→))、Oeq\o(C,\s\up6(→))是空間的一個基底，則下列命題中，不正確的是 ()A．O、A、B、C四點不共線B．O、A、B、C四點共面，但不共線C．O、A、B、C四點不共面D．O、A、B、C四點中任三點不共線答案：B2．已知A、B、C三點不共線，點O是平面ABC外一點，則在下列各條件中，能得到點M與A、B、C一定共面的條件為 ()A.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))B.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))C.eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))D.eq\o(OM,\s\up6(→))＝2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))答案：B[解析：由共面向量定理的推論知eq\o(OA,\s\up6(→))、eq\o(OB,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))的系數(shù)之和為1，選項B中eq\f(1,3)＋(－eq\f(1,3))＋1＝1符合．3．已知空間四邊形ABCD，連結AC、BD，設M、G分別是BC、CD的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))等于 ()A.eq\o(AG,\s\up6(→))B.eq\o(CG,\s\up6(→))C.eq\o(BC,\s\up6(→))D.eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))[答案：A解析：如圖所示，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AG,\s\up6(→)).4．對于空間任意一點O和不共線的三點A、B、C，若eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))(其中x、y、z∈R)，則x＋y＋z＝1是四點P、A、B、C共面的 ()A．必要而不充分條件B．充分而不必要條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件答案：C解析：若四點P，A，B，C共面，根據(jù)共面定理知：eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋ωeq\o(AC,\s\up6(→))(λ，ω∈R)，∴eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λ(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋ω(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－λ－ω)eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))＋ωeq\o(OC,\s\up6(→))，令x＝1－λ－ω，y＝λ，z＝ω，即eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，且x＋y＋z＝1.反之，若x＋y＋z＝1，則x＝1－y－z，代入已知條件得eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－y－z)eq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))＋zeq\o(OC,\s\up6(→))，于是eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝y(tǒng)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋z(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AB,\s\up6(→))＋zeq\o(AC,\s\up6(→))，由共面向量定理知P、A、B、C四點共面．5．若A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，則△BCD是 ()A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．直角三角形 D．不確定答案：B解析：∵eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))2>0，同理eq\o(CB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))>0，eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(DC,\s\up6(→))>0，故△BCD為銳角三角形．因此選B.6．已知空間四邊形ABCD每邊及對角線長均為eq\r(2)，E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，則eq\o(GE,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(1,2) B．1 C.eq\r(2) D.eq\f(\r(2),2)答案：A解析：由于ABCD為正四面體，E、F、G為中點，因此△EFG為等腰直角三角形，所以eq\o(GE,\s\up6(→))·eq\o(GF,\s\up6(→))＝|eq\o(GE,\s\up6(→))|·|eq\o(GF,\s\up6(→))|·cos45°＝1×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(1,2).故選A.7．如圖，空間四邊形OABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，點M在OA上，且OM＝2MA，N為BC中點，則eq\o(MN,\s\up6(→))等于 ()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c答案：B解析：∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.故選B.8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝eq\r(2)BB1，則AB1與C1B所成的角的大小為()A．60°B．90°C．105°D．75°答案：B解析：如下圖，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，設|eq\o(BB1,\s\up6(→))|＝1，∴eq\o(AB1,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝eq\r(2)·eq\r(2)·cos120°＋1＝0.∴AB1⊥BC1.二、填空題(4×5＝20分)9．在四面體O－ABC中，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，則eq\o(OE,\s\up6(→))＝________(用a、b、c表示)．答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c命題意圖：考查空間向量基本定理的應用．解析：eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，故填eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.10．如圖已知點G是△ABC的重心，O是空間任一點，若eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OG,\s\up6(→))，則λ的值是________．答案：3解析：如圖G為重心，E為AB的中點eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))，eq\o(OG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(OE,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))，∴λ＝3.11．已知平行六面體ABCD—A′B′C′D′中，以頂點A為端點的三條棱長都等于1，且兩兩夾角都是60°，則對角線AC1的長是________．答案：eq\r(6)解析：|eq\o(AC1,\s\up6(→))|2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋eq\o(CC1,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＋2eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CC1,\s\up6(→))＝1＋1＋1＋2·eq\f(1,2)＋2·eq\f(1,2)＋2·eq\f(1,2)＝6.則|AG|＝eq\r(6).12．在各棱長都等于1的正四面體OABC中，若點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝x·eq\o(OA,\s\up6(→))＋y·eq\o(OB,\s\up6(→))＋z·eq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值等于______．答案：eq\f(\r(6),3)解析：由于點P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝x·OA＋y·eq\o(OB,\s\up6(→))＋z·eq\o(OC,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)，所以點P與A，B，C共面，即P點在平面ABC內，所以|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值即為點O到平面ABC的距離，亦即正四面體的高，可以求得|eq\o(OP,\s\up6(→))|的最小值為eq\f(\r(6),3).三、解答題(4×10＝40分)13．如圖所示，設P是正方形ABCD所在平面外一點，O為正方形ABCD的中心，Q是CD的中點，已知PO⊥平面ABCD.(1)用基向量Peq\o(A,\s\up6(→))、Peq\o(C,\s\up6(→))、Peq\o(Q,\s\up6(→))表示向量Oeq\o(Q,\s\up6(→))；(2)用基向量Peq\o(O,\s\up6(→))、Peq\o(Q,\s\up6(→))、Peq\o(D,\s\up6(→))表示向量Peq\o(A,\s\up6(→)).解析：(1)Oeq\o(Q,\s\up6(→))＝Peq\o(Q,\s\up6(→))－Peq\o(O,\s\up6(→))＝Peq\o(Q,\s\up6(→))－eq\f(1,2)(Peq\o(A,\s\up6(→))＋Peq\o(C,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,2)Peq\o(A,\s\up6(→))－eq\f(1,2)Peq\o(C,\s\up6(→))＋Peq\o(Q,\s\up6(→)).(2)∵Peq\o(A,\s\up6(→))＋Peq\o(C,\s\up6(→))＝2Peq\o(O,\s\up6(→))，∴Peq\o(A,\s\up6(→))＝2Peq\o(O,\s\up6(→))－Peq\o(C,\s\up6(→)).又∵Peq\o(C,\s\up6(→))＋Peq\o(D,\s\up6(→))＝2Peq\o(Q,\s\up6(→))，∴Peq\o(C,\s\up6(→))＝2Peq\o(Q,\s\up6(→))－Peq\o(D,\s\up6(→)).∴Peq\o(A,\s\up6(→))＝2Peq\o(O,\s\up6(→))－Peq\o(C,\s\up6(→))＝2Peq\o(O,\s\up6(→))－(2Peq\o(Q,\s\up6(→))－Peq\o(D,\s\up6(→)))＝2Peq\o(O,\s\up6(→))－2Peq\o(Q,\s\up6(→))＋Peq\o(D,\s\up6(→))14．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于a，點E、F、G分別是AB、AD、DC的中點，求下列向量的數(shù)量積．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(2)eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))；(3)eq\o(GF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))；(4)eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→)).解析：在空間四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝a，〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝60°；(1)∴eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝a·acos60°＝eq\f(1,2)a2.(2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝a，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝a，〈eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝60°.∴eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝a2cos60°＝eq\f(1,2)a2.(3)|eq\o(GF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)a，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝a，又eq\o(GF,\s\up6(→))∥eq\o(AC,\s\up6(→))，∴〈eq\o(GF,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))〉＝π，∴eq\o(GF,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a2cosπ＝－eq\f(1,2)a2.(4)∵|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)a，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝a，EF∥BD，∴〈eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝60°.∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a2cos60°＝eq\f(1,4)a2.15．正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是BB1、D1B1的中點，求證：EF⊥平面AB1證明：證法一：設eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝b，則eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(EB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1F,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)．∵eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝a＋b，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(－a2＋a·b＋a·c＋a·b＋b2＋b·c)∵a2＝|a|2，b2＝|b|2，∴b2－a2＝0.又a·c＝b·c＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(AB1,\s\up6(→)).同理可證eq\o(EF,\s\up6(→))⊥eq\o(B1C,\s\up6(→)).∴EF⊥AB1，EF⊥B1C，從而EF⊥平面B1證法二：設正方體的棱長為2，如圖以D為原點建立空間直角坐標系，[則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(xiàn)(1,1,2)，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)，eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(0,2