分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法

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分?jǐn)?shù)乘法與分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)法

我們知道，分?jǐn)?shù)乘法的運(yùn)算是這樣的：分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，應(yīng)當(dāng)分子乘分子，分母乘分母（當(dāng)然能約分的最好先約分在計(jì)算）。

分?jǐn)?shù)乘法中有大量十分好玩兒的現(xiàn)象與技巧，它主要通過些運(yùn)算定律、性質(zhì)和一些技巧性的方法，達(dá)到計(jì)算正確而迅速的目的。

1、運(yùn)用運(yùn)算定律：這里主要指乘法分派律的應(yīng)用。對(duì)于乘法算式中有因數(shù)可以湊整時(shí)，一定要細(xì)心分析另一個(gè)因數(shù)的特點(diǎn)，盡量進(jìn)行變換拆分，從而使用乘法分派律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算。

2、充分約分：除了把公因數(shù)約簡(jiǎn)外，對(duì)于分子、分母中含有的公因式，也可直接約簡(jiǎn)為1。

進(jìn)行分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)真審題，細(xì)心觀測(cè)運(yùn)算符號(hào)和數(shù)字特點(diǎn)，合理進(jìn)行簡(jiǎn)算。需要注意的是參與運(yùn)算的數(shù)必需變形而不變質(zhì)，當(dāng)變成符合運(yùn)算定律的形式時(shí)，才能使計(jì)算既對(duì)又快。

——乘法分派律的妙用

4467例1．計(jì)算：（1）×37（2）2023×

452023444444分析與解：觀測(cè)這兩道題的數(shù)字特點(diǎn)，第（1）題中的與1只相差1個(gè)分?jǐn)?shù)單位，假使把寫成（1－）

454545的差與37相乘，再運(yùn)用乘法分派律可以使計(jì)算簡(jiǎn)便。同樣，第（2）題中可以把整數(shù)2023寫成（2023+1）的和與

67相乘，再運(yùn)用乘法分派律計(jì)算比較簡(jiǎn)便。2023

435656×37（2）×37（3）×5644575741711例2．計(jì)算：（1）72×（2）73×

1724158441分析與解：（1）72把改寫成(72+)，再運(yùn)用乘法分派律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。（2）73把

17171516改寫成(72+)，再運(yùn)用乘法分派律計(jì)算比常規(guī)方法計(jì)算要簡(jiǎn)便得多。

15計(jì)算：（1）

473161311計(jì)算：（1）20×（2）16×（3）57×（4）64×

7101381332179

1

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2813計(jì)算：（1）×37（2）×28

2929

——乘法交換律的巧用

53754132635例3.計(jì)算：（1）×＋×＋×（2）×39+×25+×

27827122427444135，就可以應(yīng)2713263326用乘法分派律使計(jì)算簡(jiǎn)便。（2）觀測(cè)題目的特點(diǎn)，×39可以寫成×13，×可以寫成×，這樣每

444134133個(gè)因數(shù)中都含有，就可以運(yùn)用乘法分派律使計(jì)算簡(jiǎn)便。

4

分析與解：（1）觀測(cè)題目的特點(diǎn)，分子中都有5，分母中都有27，根據(jù)乘法的交換律，湊出

計(jì)算：（1）

（3）

1491155456×＋×（2）×＋×＋×13713717691718171351×39+×27（4）×17+×25441111

——有關(guān)小數(shù)、帶分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)乘法的巧算

145例4.計(jì)算：41×0.75＋51.25×＋×61.2

356分析與解：先把題中的小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再觀測(cè)題目的特點(diǎn)，41

143寫成（40+）后可以與應(yīng)用乘法分派律334直接就算出了結(jié)果，后兩個(gè)算式同樣可以應(yīng)用這個(gè)方法，從而使計(jì)算簡(jiǎn)便。

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458116計(jì)算：（1）21.25×＋31.2×＋46.125×（2）85×0.375＋71×＋56.25×0.8

569367一、分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)求和

細(xì)心觀測(cè)、擅長(zhǎng)總結(jié)的同學(xué)，在學(xué)習(xí)中可能發(fā)現(xiàn)了這樣一個(gè)好玩兒的現(xiàn)象：假使分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母是相鄰兩個(gè)自然數(shù)的乘積，那么這個(gè)分?jǐn)?shù)可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式。寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母分別是相鄰的兩個(gè)自然數(shù)。（這種方法稱為“裂項(xiàng)法〞）

如：

111111111111＝—；＝—；＝—；＝—；……1?2122?3233?4344?545我們可以利用分?jǐn)?shù)的這一性質(zhì)，使看似繁雜的題目簡(jiǎn)單化。

例1．計(jì)算：

11111+++…++1?22?33?448?4949?50分析與解：這道題假使依照常規(guī)方法先通分再求和，計(jì)算起來很繁雜，甚至難以做到。但是假使巧妙地對(duì)算式變形，就可以使繁雜的計(jì)算簡(jiǎn)便。

計(jì)算：（1）

（2）

11111+++…++1?22?33?418?1919?2023111+++…++

11?1212?1313?142023?20232023?2023

例2．計(jì)算：

1111+++?+612202450分析與解：上面這道題中的每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，但分母并不是兩個(gè)相鄰自然數(shù)的乘積，該怎么辦呢？

細(xì)心觀測(cè)這些分?jǐn)?shù)的分母就會(huì)發(fā)現(xiàn)：6＝2×3,12＝3×4,20＝4×5，?，2450＝49×50。這樣，上面算式中

分?jǐn)?shù)的分母也可以寫成相鄰兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式。

1111111111計(jì)算：（3）++++…+（4）+++…++

26122023421321569030

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例3.計(jì)算：

4444+++…+1?55?99?132023?2023分析與解：這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都可以寫成不相鄰的兩個(gè)自然數(shù)乘積的形式，分子是這兩個(gè)自然數(shù)的差。這樣每一個(gè)分?jǐn)?shù)也都可以寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)差的形式，寫成的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子是自然數(shù)1，分母分別是原分?jǐn)?shù)中分母上的兩個(gè)自然數(shù)。如：

411411＝—；＝—等等。

591?5155?9計(jì)算：（5）

（6）

例4.計(jì)算：

1111+++…+1?55?99?132023?20233333+++…+2?55?88?1132?355555+++…+

97?1022?77?1212?17分析與解：是不是覺得此題和例3有些相像，但又不完全一樣？例3中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是4（兩個(gè)自然數(shù)的差），而這道題中每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子都是1，可以直接將每一個(gè)分?jǐn)?shù)寫成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減的形式嗎？該怎么計(jì)算呢？

這就啟發(fā)我們思考，能否將每一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子也變成兩個(gè)自然數(shù)的差呢？利用分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是完全可以的。所以給原題乘4，為了使原題的值不變，然后再除以4.

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計(jì)算：

11111111（7）+++…+（8）+++…+

97?10240?452?77?1212?175?1010?1515?20

1111例5.計(jì)算：+++…+

1?21?2?31?2?3?41?2?3?4???50分析與解：先算出每一個(gè)分?jǐn)?shù)中的分母，再細(xì)心觀測(cè)每一個(gè)分?jǐn)?shù)，找出規(guī)律然后計(jì)算。

計(jì)算：（9）

1111+++…+1?21?2?31?2?3?41?2?3?4???20

（10）

1111+++…+1?21?2?31?2?3?41?2?3?4???100

課后作業(yè)

1、計(jì)算75×

4723317117157×21×21×76156174217205