內(nèi)切球和外接球例題

高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為______________..例2一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為，則該球的體積為______________..2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為..例4、（2006年全國(guó)卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（）.C.A.B.C.D.3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5.一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為３，則這個(gè)球的體積為.解設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為，高為，則有∴正六棱柱的底面圓的半徑，球心到底面的距離.∴外接球的半徑..二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體例5（2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是_______________.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.設(shè)其外接球的半徑為，則有.∴.故其外接球的表面積.小結(jié)一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！纠}】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為的長(zhǎng)即：所以球的表面積為例6.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A.B.C.D.解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑.在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，四面體滿足條件，即，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1，體對(duì)角線為，從而外接球的直徑也為，所以此球的表面積便可求得，故選A.例7．在等腰梯形中，，，為的中點(diǎn)，將與分布沿、向上折起，使重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為（）.A.B.C.D.解析：因?yàn)?，，所以，即三棱錐為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故選C.例8.已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，，，，則球的體積等于.解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于，，聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造長(zhǎng)方體，又因?yàn)?，則此長(zhǎng)方體為正方體，所以長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出.故球的體積等于.2、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，，，若，則球的體積是.解析：首先可聯(lián)想到例8，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是為球的直徑，O為球心，為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出即可，在中，求出，所以，故B、C兩點(diǎn)間的球面距離是.三.多面體幾何性質(zhì)法例10.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是A.B.C.D.解設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，外接球的半徑為，則有，解得.∴.∴這個(gè)球的表面積是.選C.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來(lái)求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例11.正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為.解設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球的球心為，如圖1所示.∴由球的截面的性質(zhì)，可得.又，∴球心必在所在的直線上.∴的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在中，由，得.∴.∴是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故.五.確定球心位置法例11.在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為A.B.C.D.解設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知.∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，∴外接球的半徑.故.選C.【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且