必修二立體幾何典型例題

必修二立體幾何典型例題【知識(shí)要點(diǎn)】1.空間直線和平面的位置關(guān)系：空間兩條直線：有公共點(diǎn)：相交，記作：a^b=A,其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交.無(wú)公共點(diǎn)：平行或異面.平行，記作：a〃b.異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直.空間直線與平面：有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交.直線在平面內(nèi)，記作：aua.直線與平面相交，記作：ana=A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交.無(wú)公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作：a〃a.空間兩個(gè)平面：有公共點(diǎn)：相交，記作：anp=1，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交.無(wú)公共點(diǎn)：平行，記作：a〃p.2.空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個(gè)公理與等角定理：公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi).公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行.如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行.如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行.垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直.(3)我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：直線V宜線■_直線〃平面* ■平面〃平面直線±直線 ＞直線1平面 平面1平面【例題分析】例2在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證:MN〃平面PAD.

條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明.證明：方法一，取PD中點(diǎn)&連接AE，NE.???底面ABCD是平行四邊形，M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)，:.MAIICD,MA=-CD.2,：E是PD的中點(diǎn)，.NEICD，NE=1CD.2:.MAINE，且MA=NE，:.AENM是平行四邊形，:.MN//AE.又AEu平面PAD，MN*平面PAD，.MN〃平面PAD.方法二取CD中點(diǎn)尸，連接MF，NF.VMFIAD，NFIPD，???平面MNF〃平面PAD，.MN〃平面PAD.【評(píng)述】關(guān)于直線和平面平行的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：alc，blc，ala，augalgaXa，bXaaOg=byAa=a，yAg=bnalbnalbnalbnalb(2)證明線面平行:aAa=0albalgbua，a*aaugnalanalanala(3)證明面面平行:aAg=0alg，blgaXa，aXgaly，glya，bua，aAb=Analgnalgnalgnalg例3在直三棱柱ABC~A1BlCl中，AA1=AC，AB±AC，求證：A1CXBC1.【分析】要證明“線線垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過(guò)BC1的平面即可.證明：連接AC1.VABC-A1B1C1是直三棱柱，AAA1X平面ABC,AABXAA1.又AB±AC,:.AB±平面A1ACC1,AA1CXAB.?又AA1=AC,?.?側(cè)面A1ACC1是正方形，AA1CXAC1.②由①，②得A1C±平面ABC1，?.?A1CLBC].【評(píng)述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開(kāi)的.如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABLAC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.例4在三棱錐P-ABC中，平面PABL平面ABC，ABLBC，APLPB，求證：平面PACL平面PBC.【分析】要證明“面面垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又可以通過(guò)“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化.證明：.??平面PABL平面人8。，平面P4BH平面ABC=AB，且AB±BC，ABC±平面PAB，AAPXBC.又APXPB，AAP±平面PBC，又AP平面PAC，?.?平面P4CL平面PBC.【評(píng)述】關(guān)于直線和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：a^c，b〃c，aXa word格式-可編輯-感謝下載支持buana±^na±bE,(1)證明線面垂直:E,atm,atna〃b,btaa〃g,at&atg,ang=lm,nua,mAn=Aaug,atlnatanatanatanata(1)證明面面垂直：atg,auana偵例5如圖，在斜三棱柱ABC~AlB1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC,ZA1AB=60°,F分別是AB1，BC的中點(diǎn).(I)求證：直線EF〃平面A]ACC]；(II)在線段AB上確定一點(diǎn)G,使平面EFGt平面ABC,并給出證明.證明：(I)連接A1C,A1E...?側(cè)面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點(diǎn)，:.E也是A1B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，..?EF〃A1C.VA1Cu平面A1ACC1，EF⑦平面A1ACC1，..?直線EF〃平面A^ACC1.(2)解：當(dāng)BG=1時(shí)，平面EFG±平面ABC,證明如下：GA3連接EG,FG...?側(cè)面A1ABB1是菱形，且ZA^AB=60°,.AA1AB是等邊三角形.VE是A1B的中點(diǎn)，綁=-,.EGtAB.GA3V.平面A1ABB1t平面ABC,且平面A^ABB1^平面ABC=AB,:.EG±平面ABC.又EGu平面EFG，：.平面EFGt平面ABC.例6如圖，正三棱柱ABC-A]B]C]中，E是AC的中點(diǎn).word格式-可編輯-感謝下載支持(I)求證：平面BEC1L平面ACCAi；(II)求證：ABJ/平面BEC1.【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考.證明：(I)：ABC—A1BC1是正三棱柱，?..AA1±平面ABC,「.BE上AA1.?「△ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，.??BELAC，.??BEL平面ACC1A1，又BEu平面BEC1，?.?平面BEC1上平面ACC1A1.(II)證明：連接B1C，設(shè)BC1HB1C=D.「BCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)， ?DE/AB.又DEu平面BEC1，AB1二平面BEC1，???AB]〃平面BEC1.例7在四棱錐P—ABCD中，平面PADL平面ABCD，AB/DC，^PAD是等邊三角形，已知BD=2AD=8，AB=2DC=4J5.(I)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD±平面PAD；(II)求四棱錐P—ABCD的體積.【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知，MB，MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線BD是否垂直平面PAD.證明：(I)在AABD中，由于AD=4，BD=8，AB=4汀5，所以AD2+BD2=AB2.故AD±BD.又平面FAD±平面人8。。，平面P4DH平面ABCD=AD，BDu平面ABCD，所以BDL平面PAD，又BDu平面MBD，故平面MBD±平面PAD.(II)解：過(guò)P作POLAD交AD于O,由于平面PADL平面ABCD，所以POL平面ABCD.因此PO為四棱錐P—ABCD的高，J-3又^PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形.因此PO=丁x4=2y3.在底面四邊形ABCD中，AB/DC，AB=2DC，TOC\o"1-5"\h\z一，e、— 口3”，土. t —、，4x88<5.、，3”， “所以四邊形ABCD是梯形，在Rt^ADB中，斜邊AB邊上的高為——=—f—，即為梯形ABCD的4、；5 52\：5+4、：585 1,所以四邊形ABCD的面積為S= =24.故V =：x24x2、：3=16*3.2 5 P-ABCD3練習(xí)練習(xí)一、選擇題:1.2.是兩條不同直線，a,p,y1.2.是兩條不同直線，a,p,y是三個(gè)不同平面，n〃a，則m〃np±y，則a〃pn和平面a,p，且mXn3.4.下列命題中正確的是()nXa，貝m〃nm〃P，則a〃P則()已知m，n(A)若m〃a(C)若a±y，已知直線m(A)n_Lp(C)n±a設(shè)a，b是兩條直線，a、p是兩個(gè)平面，則aLb的一個(gè)充分條件是()(A)aLa，b〃p，aLp (B)aLa，bLp(C)aua，bLp，a〃p (D)aua，b〃p設(shè)直線m與平面a相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是((B)若mXa(D)若m〃am±a，a±p，(B)n〃p，或nup(D)n〃a，或nuaa〃&a±p)在平面a內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面a垂直與直線m垂直的直線不可能與平面a平行與直線m平行的平面不可能與平面a垂直二、填空題:在三棱錐P-ABC中，PA=PB=、拓，平面PABL平面ABC，PALPB，ABLBC，ZBAC=30°，則PC=.在直四棱柱ABCD-AlB1ClD1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件時(shí)，有A1CLB1D1.(只要求寫(xiě)出一種條件即可)設(shè)a，p是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面a，p之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①mLn②aLp③nLp④mLa以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出正確的一個(gè)命.已知平面aL平面p，anp=1，點(diǎn)AGa，AW1，直線AB〃/，直線ACLl，直線m〃a，m〃p，給出下列四種位置：①AB〃m；②ACLm；③AB〃p；?ACLp，上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是 .三、解答題：如圖，三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn).(I)求MN的長(zhǎng)；(II)求證：PALBC.10.如圖，在四面體ABCD中，CB=CD，ADLBD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn).求證:

(I)直線工尸〃平面ACD；(II)平面EFCL平面BCD.,BC11.如圖，平面ABEF上平面ABCD,四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=90,BC//AD,BC=1AD,BE//AF,BE=-AF,G,H分別為FA,FD的中點(diǎn).2 2(I)證明：四邊形BCHG是平行四邊形;(I)C,D,F,E四點(diǎn)是否共面?為什么?(III)設(shè)AB=BE，證明：平面ADEL平面CDE.專題七立體幾何參考答案

練習(xí)一、 選擇題：1.B 2.D3.C 4.B二、 填空題：5.?打06.ACLBD(或能得出此結(jié)論的其他條件)7.②、③、④n①；或①、③、④n②8.④三、 解答題：9.(I)解：連接MB,MC...?三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，……云MB=MC=―^-，且底面^ABC也是邊長(zhǎng)為1的等邊二角形..:N為BC的中點(diǎn)，：.MNLBC.在RtAMNB中，MN=VMB2-BN2=丁-(II)證明：?.$是PA的中點(diǎn)，:.PALMB，同理PALMC.VMBnMC=M,AP4±平面MBC,又BCu平面MBC,AP4±BC.B10.證明：（1）\"、F分別是AB.BD的中點(diǎn)，:.EF是^ABD的中位線，「?EF〃AD.又EFU平面ACD,ADu平面ACD,「?直線EF〃平面ACD.(II)：EF〃AD,AD上BD,：.EF上BD..:CB=CD,F是BD的中點(diǎn)，：.CF《BD.VCFnEF=F,：BD±平面CEF.?..BDu平面BCD,.：平面EFCt平面BCD.B11.(I)由題意知，F(xiàn)G=GA,FH=HD,：?GH〃AD,GH=虧AD,又BC〃AD,BC=-AD，：.GH〃BC,GH=BC,2：.四邊形BCHG是平行四邊形.（II） C,D,F,E四點(diǎn)共面.理由如下：由BE〃AF,BF=1AF,G是FA的中點(diǎn)，2得BE#