高中數(shù)學(xué)新人教版選修2-2課時作業(yè)：第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用1.5.3

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。1.5.3定積分的概念明目標(biāo)、知重點1．了解定積分的概念，會用定義求定積分．2．理解定積分的幾何意義．3．掌握定積分的基本性質(zhì)．定積分概念一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b]上連續(xù)，用分點a＝x0<x1<x2<…<xi－1<xi<…<xn＝b將區(qū)間a，b]等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi－1，xi]上任取一點ξi(i＝1,2，…，n)，作和式eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(ξi)Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\f(b－a,n)f(ξi)，當(dāng)n→∞時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b]上的定積分，記作?eq\o\al(b,a)f(x)dx，這里，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式．幾何意義如果在區(qū)間a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積.基本性質(zhì)?eq\o\al(b,a)kf(x)dx＝k?eq\o\al(b,a)f(x)dx(k為常數(shù))；?eq\o\al(b,a)f1(x)±f2(x)]dx＝?eq\o\al(b,a)f1(x)dx±?eq\o\al(b,a)f2(x)dx；?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝?eq\o\al(c,a)f(x)dx＋?eq\o\al(b,c)f(x)dx(其中a<c<b).探究點一定積分的概念思考1分析求曲邊梯形的面積和變速直線運動的路程，找一下它們的共同點．答兩個問題均可以通過“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個特定形式和的極限．思考2怎樣正確認(rèn)識定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx?答(1)定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx是一個數(shù)值(極限值)．它的值僅取決于被積函數(shù)與積分上、下限，另外?eq\o\al(b,a)f(x)dx與積分區(qū)間a，b]息息相關(guān)，不同的積分區(qū)間，所得值也不同．(2)定積分就是和的極限eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·Δx，而?eq\o\al(b,a)f(x)dx只是這種極限的一種記號，讀作“函數(shù)f(x)從a到b的定積分”．(3)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b]上連續(xù)這一條件是不能忽視的，它保證了和的極限(定積分)的存在(實際上，函數(shù)連續(xù)是定積分存在的充分條件，而不是必要條件)．例1利用定積分的定義，計算?eq\o\al(1,0)x3dx的值．解令f(x)＝x3.(1)分割在區(qū)間0,1]上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間0,1]等分成n個小區(qū)間eq\f(i－1,n)，eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和取ξi＝eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，則?eq\o\al(1,0)x3dx≈Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(eq\f(i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(i,n))3·eq\f(1,n)＝eq\f(1,n4)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i3＝eq\f(1,n4)·eq\f(1,4)n2(n＋1)2＝eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2.(3)取極限?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(1,4)(1＋eq\f(1,n))2＝eq\f(1,4).反思與感悟(1)利用定積分定義求定積分的數(shù)值仍然是“分割、近似代替、求和、取極值”這一過程，需要注意的是在本題中將近似代替、求和一起作為步驟(2)，從而省略了解題步驟．(2)從過程來看，當(dāng)f(x)≥0時，定積分就是區(qū)間對應(yīng)曲邊梯形的面積．跟蹤訓(xùn)練1用定義計算?eq\o\al(2,1)(1＋x)dx.解(1)分割：將區(qū)間1,2]等分成n個小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和：在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))上取點ξi＝1＋eq\f(i－1,n)(i＝1,2，…，n)，于是f(ξi)＝1＋1＋eq\f(i－1,n)＝2＋eq\f(i－1,n)，從而得eq\i\su(i＝1,n,)f(ξi)Δx＝eq\i\su(i＝1,n,)(2＋eq\f(i－1,n))·eq\f(1,n)＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,n)＋\f(i－1,n2)))＝eq\f(2,n)·n＋eq\f(1,n2)0＋1＋2＋…＋(n－1)]＝2＋eq\f(1,n2)·eq\f(nn－1,2)＝2＋eq\f(n－1,2n).(3)取極限：S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(n－1,2n)))＝2＋eq\f(1,2)＝eq\f(5,2).因此?eq\o\al(2,1)(1＋x)dx＝eq\f(5,2).探究點二定積分的幾何意義思考1從幾何上看，如果在區(qū)間a，b]上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)≥0，那么?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示什么？答當(dāng)函數(shù)f(x)≥0時，定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx在幾何上表示由直線x＝a，x＝b(a<b)，y＝0及曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積．思考2當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b]上連續(xù)且恒有f(x)≤0時，?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示的含義是什么？若f(x)有正有負(fù)呢？答如果在區(qū)間a，b]上，函數(shù)f(x)≤0時，那么曲邊梯形位于x軸的下方(如圖①)．由于eq\f(b－a,n)>0，f(ξi)≤0，故f(ξi)eq\f(b－a,n)≤0.從而定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx≤0，這時它等于如圖①所示曲邊梯形面積的相反值，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S.當(dāng)f(x)在區(qū)間a，b]上有正有負(fù)時，定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx表示介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象及直線x＝a，x＝b(a≠b)之間各部分面積的代數(shù)和(在x軸上方的取正，在x軸下方的取負(fù))．(如圖②)，即?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝－S1＋S2－S3.例2利用幾何意義計算下列定積分：(1)?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx；(2)?eq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx.解(1)在平面上y＝eq\r(9－x2)表示的幾何圖形為以原點為圓心以3為半徑的上半圓，其面積為S＝eq\f(1,2)·π·32.由定積分的幾何意義知?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(9,2)π.(2)由直線x＝－1，x＝3，y＝0，以及y＝3x＋1所圍成的圖形，如圖所示：?eq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx表示由直線x＝－1，x＝3，y＝0以及y＝3x＋1所圍成的圖形在x軸上方的面積減去在x軸下方的面積，∴?eq\o\al(3,－1)(3x＋1)dx＝eq\f(1,2)×(3＋eq\f(1,3))×(3×3＋1)－eq\f(1,2)(－eq\f(1,3)＋1)×2＝eq\f(50,3)－eq\f(2,3)＝16.反思與感悟利用幾何意義求定積分，關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定被積函數(shù)的圖象，以及積分區(qū)間，正確利用相關(guān)的幾何知識求面積．不規(guī)則的圖象常用分割法求面積，注意分割點的準(zhǔn)確確定．跟蹤訓(xùn)練2根據(jù)定積分的幾何意義求下列定積分的值：(1)?eq\o\al(1,－1)xdx；(2)?eq\o\al(2π,0)cosxdx；(3)?eq\o\al(1,－1)|x|dx.解(1)如圖(1)，?eq\o\al(1,－1)xdx＝－A1＋A1＝0.(2)如圖(2)，?eq\o\al(2π,0)cosxdx＝A1－A2＋A3＝0.(3)如圖(3)，∵A1＝A2，∴?eq\o\al(1,－1)|x|dx＝2A1＝2×eq\f(1,2)＝1.(A1，A2，A3分別表示圖中相應(yīng)各處面積)探究點三定積分的性質(zhì)思考1定積分的性質(zhì)可作哪些推廣？答定積分的性質(zhì)的推廣①?eq\o\al(b,a)f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx＝?eq\o\al(b,a)f1(x)dx±?eq\o\al(b,a)f2(x)dx±…±?eq\o\al(b,a)fn(x)dx；②?eq\o\al(b,a)f(x)dx＝?c1af(x)dx＋?c2c1f(x)dx＋…＋?bcnf(x)dx(其中n∈N*)．思考2如果一個函數(shù)具有奇偶性，它的定積分有什么性質(zhì)？答奇、偶函數(shù)在區(qū)間－a，a]上的定積分①若奇函數(shù)y＝f(x)的圖象在－a，a]上連續(xù)不斷，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0.②若偶函數(shù)y＝g(x)的圖象在－a，a]上連續(xù)不斷，則?eq\o\al(a,－a)g(x)dx＝2?eq\o\al(a,0)g(x)dx.例3計算?eq\o\al(3,－3)(eq\r(9－x2)－x3)dx的值．解如圖，由定積分的幾何意義得?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx＝eq\f(π×32,2)＝eq\f(9π,2)，?eq\o\al(3,－3)x3dx＝0，由定積分性質(zhì)得?eq\o\al(3,－3)(eq\r(9－x2)－x3)dx＝?eq\o\al(3,－3)eq\r(9－x2)dx－?eq\o\al(3,－3)x3dx＝eq\f(9π,2).反思與感悟根據(jù)定積分的性質(zhì)計算定積分，可以先借助于定積分的定義或幾何意義求出相關(guān)函數(shù)的定積分，再利用函數(shù)的性質(zhì)、定積分的性質(zhì)結(jié)合圖形進行計算．跟蹤訓(xùn)練3已知?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\f(1,4)，?eq\o\al(2,1)x3dx＝eq\f(15,4)，?eq\o\al(2,1)x2dx＝eq\f(7,3)，?eq\o\al(4,2)x2dx＝eq\f(56,3)，求：(1)?eq\o\al(2,0)3x3dx；(2)?eq\o\al(4,1)6x2dx；(3)?eq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx.解(1)?eq\o\al(2,0)3x3dx＝3?eq\o\al(2,0)x3dx＝3(?eq\o\al(1,0)x3dx＋?eq\o\al(2,1)x3dx)＝3×(eq\f(1,4)＋eq\f(15,4))＝12；(2)?eq\o\al(4,1)6x2dx＝6?eq\o\al(4,1)x2dx＝6(?eq\o\al(2,1)x2dx＋?eq\o\al(4,2)x2dx)＝6×(eq\f(7,3)＋eq\f(56,3))＝126；(3)?eq\o\al(2,1)(3x2－2x3)dx＝?eq\o\al(2,1)3x2dx－?eq\o\al(2,1)2x3dx＝3?eq\o\al(2,1)x2dx－2?eq\o\al(2,1)x3dx＝3×eq\f(7,3)－2×eq\f(15,4)＝7－eq\f(15,2)＝－eq\f(1,2).1．下列結(jié)論中成立的個數(shù)是()①?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n)；②?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i－13,n3)·eq\f(1,n)；③?eq\o\al(1,0)x3dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(i3,n3)·eq\f(1,n).A．0B．1C．2D．3答案C解析②③成立．2．定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx的大小()A．與f(x)和積分區(qū)間a，b]有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)B．與f(x)有關(guān)，與區(qū)間a，b]以及ξi的取法無關(guān)C．與f(x)以及ξi的取法有關(guān)，與區(qū)間a，b]無關(guān)D．與f(x)、積分區(qū)間a，b]和ξi的取法都有關(guān)答案A3．根據(jù)定積分的幾何意義，用不等號連接下列式子：①?eq\o\al(1,0)xdx________?eq\o\al(1,0)x2dx；②?eq\o\al(2,0)eq\r(4－x2)dx________?eq\o\al(2,0)2dx.答案①>②<4．若?eq\o\al(T,0)x2dx＝9，則常數(shù)T的值為________．答案3解析令f(x)＝x2.(1)分割將區(qū)間0，T]n等分，則Δx＝eq\f(T,n).(2)近似代替、求和取ξi＝eq\f(Ti,n)(i＝1,2，…，n)，Sn＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(Ti,n))2·eq\f(T,n)＝eq\f(T3,n3)eq\i\su(i＝1,n,i)2＝eq\f(T3,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(T3,n3)·eq\f(nn＋12n＋1,6)＝eq\f(T3,6)(1＋eq\f(1,n))(2＋eq\f(1,n))．(3)取極限S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(T3,6)×2＝eq\f(T3,3)＝9,∴T3＝27，∴T＝3.呈重點、現(xiàn)規(guī)律]1．定積分?eq\o\al(b,a)f(x)dx是一個和式eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)f(ξi)的極限，是一個常數(shù)．2．可以利用“分割、近似代替、求和、取極限”求定積分；對于一些特殊函數(shù)，也可以利用幾何意義求定積分．3．定積分的幾何性質(zhì)可以幫助簡化定積分運算.一、基礎(chǔ)過關(guān)1．下列命題不正確的是()A．若f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝0B．若f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，則?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝2?eq\o\al(a,0)f(x)dxC．若f(x)在a，b]上連續(xù)且恒正，則?eq\o\al(b,a)f(x)dx>0D．若f(x)在a，b]上連續(xù)且?eq\o\al(b,a)f(x)dx>0，則f(x)在a，b]上恒正答案D解析對于A，f(－x)＝－f(x)，?eq\o\al(a,－a)f(x)dx＝?eq\o\al(0,－a)f(x)dx＋?eq\o\al(a,0)f(x)dx＝－?eq\o\al(a,0)f(x)dx＋?eq\o\al(a,0)f(x)dx＝0，同理B正確；由定積分的幾何意義知，當(dāng)f(x)>0時，?eq\o\al(b,a)f(x)dx>0即C正確；但?eq\o\al(b,a)f(x)dx>0，不一定有f(x)恒正，故選D.2．已知定積分?eq\o\al(6,0)f(x)dx＝8，且f(x)為偶函數(shù)，則?eq\o\al(6,－6)f(x)dx等于()．A．0B．16C．12D．8答案B解析偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，故?eq\o\al(6,－6)f(x)dx＝2?eq\o\al(6,0)f(x)dx＝16，故選B.3．已知?eq\o\al(t,0)xdx＝2，則?eq\o\al(0,－t)xdx等于()A．0B．2C．－1D．－2答案D解析∵f(x)＝x在－t，t]上是奇函數(shù)，∴?eq\o\al(t,－t)xdx＝0.而?eq\o\al(t,－t)xdx＝?eq\o\al(0,－t)xdx＋?eq\o\al(t,0)xdx，又?eq\o\al(t,0)xdx＝2，∴?eq\o\al(0,－t)xdx＝－2.故選D.4．由曲線y＝x2－4，直線x＝0，x＝4和x軸圍成的封閉圖形的面積(如圖)是()A．?eq\o\al(4,0)(x2－4)dxB.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(?\o\al(4,0)x2－4dx))C．?eq\o\al(4,0)|x2－4|dxD．?eq\o\al(2,0)(x2－4)dx＋?eq\o\al(4,2)(x2－4)dx答案C5．設(shè)a＝?eq\o\al(1,0)xeq\f(1,3)dx，b＝?eq\o\al(1,0)x2dx，c＝?eq\o\al(1,0)x3dx，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．c>a>b B．a(chǎn)>b>cC．a(chǎn)＝b>c D．a(chǎn)>c>b答案B解析根據(jù)定積分的幾何意義，易知?eq\o\al(1,0)x3dx<?eq\o\al(1,0)x2dx<?eq\o\al(1,0)xeq\f(1,3)dx，a>b>c，故選B.6．若?eq\o\al(a,－a)|56x|dx≤2016，則正數(shù)a的最大值為()A．6B．56C．36D．2016答案A解析由?eq\o\al(a,－a)|56x|dx＝56?eq\o\al(a,－a)|x|dx≤2016，得?eq\o\al(a,－a)|x|dx≤36，∴?eq\o\al(a,－a)|x|dx＝2?eq\o\al(a,0)xdx＝a2≤36，即0<a≤6.故正數(shù)a的最大值為6.7.eq\o(lim,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,1＋\f(1,n)21＋\f(2,n)2…1＋\f(n,n)2)等于()A．?eq\o\al(2,1)ln2xdx B．2?eq\o\al(2,1)lnxdxC．2?eq\o\al(2,1)ln(1＋x)dx D．?eq\o\al(2,1)ln2(1＋x)dx答案B解析eq\o(lim,\s\do4(n→∞))lneq\r(n,1＋\f(1,n)21＋\f(2,n)2…1＋\f(n,n)2)＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(2,n)lneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)1＋\f(2,n)…1＋\f(n,n)))＝2eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ln1＋\f(i,n),n)＝2?eq\o\al(2,1)lnxdx(這里f(x)＝lnx，區(qū)間1,2]或者2eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ln1＋\f(i,n),n)＝2?eq\o\al(1,0)ln(1＋x)dx，區(qū)間0,1])．二、能力提升8．由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0所圍成圖形的面積寫成定積分的形式是S＝________.答案－?eq\o\al(0,－π)sinxdx解析由定積分的意義知，由y＝sinx，x＝0，x＝－π，y＝0圍成圖形的面積為S＝－?eq\o\al(0,－π)sinxdx.9．計算定積分?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－4x2)dx＝________.答案π解析由于?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－4x2)dx＝2?eq\o\al(1,－1)eq\r(1－x2)dx表示單位圓的面積π，所以?eq\o\al(1,－1)eq\r(4－4x2)dx＝π.10．設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，若?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝1，?eq\o\al(2,0)f(x)dx＝－1，則?eq\o\al(2,1)f(x)dx＝________.答案－2解析因為?eq\o\al(2,0)f(x)dx＝?eq\o\al(1,0)f(x)dx＋?eq\o\al(2,1)f(x)dx，所以?eq\o\al(2,1)f(x)dx＝?eq\o\al(2,0)f(x)dx－?eq\o\al(1,0)f(x)dx＝－2.11．利用定積分的定義計算?eq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx的值，并從幾何意義上解釋這個值表示什么．解令f(x)＝－x2＋2x.(1)分割在區(qū)間1,2]上等間隔地插入n－1個分點，把區(qū)間1,2]等分為n個小區(qū)間1＋eq\f(i－1,n)，1＋eq\f(i,n)](i＝1,2，…，n)，每個小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(i,n)－eq\f(i－1,n)＝eq\f(1,n).(2)近似代替、求和取ξi＝1＋eq\f(i,n)(i＝1,2，…，n)，則Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(1＋eq\f(i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))－(1＋eq\f(i,n))2＋2(1＋eq\f(i,n))]·eq\f(1,n)＝－eq\f(1,n3)(n＋1)2＋(n＋2)2＋(n＋3)2＋…＋(2n)2]＋eq\f(2,n2)(n＋1)＋(n＋2)＋(n＋3)＋…＋2n]＝－eq\f(1,n3)eq\f(2n2n＋14n＋1,6)－eq\f(nn＋12n＋1,6)]＋eq\f(2,n2)·eq\f(nn＋1＋2n,2)＝－eq\f(1,3)(2＋eq\f(1,n))(4＋eq\f(1,n))＋eq\f(1,6)(1＋eq\f(1,n))(2＋eq\f(1,n))＋3＋eq\f(1,n).(3)取極限?eq\o\al(2,1)(－x2＋2x)dx＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))Sn＝eq\o(lim,\s\do4