立體幾何講義

ddd一、柱錐臺(tái)球的結(jié)構(gòu)特征二、空間幾何體直觀圖三、空間幾何體三視圖四、培養(yǎng)空間想象能力的訓(xùn)練五、夾角距離的求解(理科)柱錐臺(tái)球的結(jié)構(gòu)特征幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小和位置關(guān)系的學(xué)科，直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度d量計(jì)算是認(rèn)識(shí)和探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法。在學(xué)習(xí)中聯(lián)系實(shí)際從圖形入手，加強(qiáng)由模型到圖像，再由圖像到模型的基本訓(xùn)練，有序的建立圖形、文字、符號(hào)這三種語言的聯(lián)系，能由一種語言轉(zhuǎn)釋成另外兩種語言，逐步達(dá)到融會(huì)貫通的程度。對(duì)幾何體、概念、公式及時(shí)加以總結(jié)歸納，找到它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)它們的差異，深化對(duì)概念的認(rèn)識(shí)和理解。一、柱錐臺(tái)球的結(jié)構(gòu)特征幾何體空間幾多面體有一些空間幾何體抽象出來的空間圖形由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體構(gòu)圖只考慮物體的形狀、大小和位置關(guān)系體積表面積公式旋轉(zhuǎn)體一平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體。有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每邊都互相平行，由這些面表面積公式體積公式棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形表面積公式體積公式棱臺(tái)用平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分表面積公式體積公式圓柱以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓錐以直角三角形的一條直軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體圓臺(tái)用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分表面積公式體積公式表面積公式體積公式表面積公式體積公式d球以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體表面積公式體積公式1)將直角三角形繞它的一邊旋轉(zhuǎn)一周,形成的幾何體一定是()A．圓錐B．圓柱C．圓臺(tái)D．上均不正確2)用一個(gè)平面去截一個(gè)幾何體，得到的截面是四邊形，這個(gè)幾何體可能是()D3)下左一圖是一個(gè)物體的三視圖,根據(jù)圖中尺寸(單位：cm),計(jì)算它的體積為cm3.1多少．2)邊長為5cm的正方形EFGH是圓柱的軸截面,則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離是_____________________3)正四面體的棱長為a，則相對(duì)棱所成角為距離為；相鄰兩個(gè)面所成角的余弦值為；側(cè)棱與底面所成角的余弦值為；它的表面積為；高為；體積為；外接球半徑為；內(nèi)切球半徑為。4)半徑為4的半圓紙片卷成圓錐放在桌子上，一陣風(fēng)吹倒它，它的最高處距桌面為()2例2.證明等邊圓柱(軸截面為正方形)的內(nèi)切球的體積是圓柱體積的且球的表面積等于圓柱的側(cè)面積。3練習(xí)。已知圓臺(tái)上下底面的半徑分別為2、5，且側(cè)面面積等于兩底面面積之和，求該圓臺(tái)的母線長。例3.如圖(上右一)一倒置的等邊圓錐SO(軸截面為正三角形)AB為底面直徑，裝滿水后，放一半徑1水是原來的幾分之幾？例4.有一棱長為a的正方體框架，其內(nèi)放置一氣球，是其充氣且盡可能地膨脹(仍保持為球的形狀)，則氣球表面積的最大值為()aCaDa練習(xí).1)已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形,俯視圖是直徑為2的圓,則此幾何體的外接球的表面積為()4816323333()(A)2(A)2(B)3(C)(D)122空間幾何體直觀圖觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫出的圖形.把空間圖形畫在平面內(nèi)，畫得既富有立體感，又能表達(dá)出圖形d各主要部分的位置關(guān)系和度量關(guān)系的圖形；()(()(2)判斷：①水平放置的正方形的直觀圖可能是等腰梯形②兩條相交的線段的直觀圖可能是平行線段③兩條互相垂直的直線的直觀圖仍然垂直④平行四邊形的直觀圖仍為平行四邊形⑤長度相等的兩線段直觀圖仍然相等(3)三角形ABC是邊長為1正三角形，求其直觀圖三角形A'B'C'的面積(4)如圖，正方形O'A'B'C'的邊長為1，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，求原圖形的周長和面積11111111111線，由圖形可知在ABC中，下列四個(gè)結(jié)論中正確的是()空間幾何體三視圖主視圖反映了物體的上、下和左、右位置關(guān)系；俯視圖反映了物體的前、后和左、右位置關(guān)系；側(cè)視圖反映了物體的上、下和前、后位置關(guān)系。三個(gè)視圖之間的投影關(guān)系為：主、俯視圖長對(duì)正；主、左視圖高平齊；俯、左視圖寬相等(1)下列幾何體中，主視圖、左視圖、俯視圖相同的幾何體是()A．球和圓柱B．球C．正方體和圓柱D．球和正方體(3)已知一個(gè)幾何體的主視圖及左視圖均是邊長為2的正三角形,俯視圖是直徑為2的圓,則此幾何體的外接球的表面積為()4816323333(4)用單位立方塊搭一個(gè)幾何體，使它的主視圖和俯視圖如下左圖所示，則它的體積的最小值與最大值分別為()BBd(5)一個(gè)物體由幾塊相同的正方體疊成，它的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖從左到右分別如上右圖所示，請(qǐng)回(1)該物體共有幾層？(2)最高部分位于哪個(gè)位置？(在三視圖中把相應(yīng)正方體涂黑以標(biāo)記)(3)一共需要多少個(gè)小正方體？題：1.一空間幾何體的三視圖如下右圖所示,則該幾何體的體積為().3C232+3D.4+2332、上中圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是1)一個(gè)幾何體的三視圖如下左圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的體積和表面積分別為：2)一個(gè)幾何體的三視圖如上中圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，則該幾何體的側(cè)視圖的面積為：3)一個(gè)幾何體的三視圖如上右二圖所示，則該幾何體的體積為()4)一個(gè)幾何體的三視圖如上右一圖所示，(其中俯視圖為正三角形)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求該幾何體的正視圖和俯培養(yǎng)空間想象能力的訓(xùn)練d01)任何幾何體的三視圖都與該幾何體的擺放位置有關(guān)02)一個(gè)圓錐與一個(gè)上底面圓半徑和圓錐底面圓半徑相等的圓臺(tái)一定組成一個(gè)圓錐.03)任何一個(gè)棱臺(tái)都可以補(bǔ)一個(gè)棱錐使它們組成一個(gè)新的棱錐.04)圓錐的側(cè)面展開圖為扇形,這個(gè)扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑.05)三角形和平行四邊形的直觀圖還是三角形和平行四邊形.07)有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是三角形的幾何體為棱錐.08)以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為圓錐.空間不共線的四點(diǎn),可以確定平面的個(gè)數(shù)為10)異面直線是分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的直線.a則在平面內(nèi)不存在直線與a垂直.16)與同一平面平行的兩直線的位置關(guān)系可能為17)過平面外一點(diǎn)可以作這個(gè)平面的平行線條,平行面?zhèn)€過直線外一點(diǎn)可以作這條直線的平行線條,平行面?zhèn)€過平面外一直線可以作與這個(gè)平面平行的平面?zhèn)€過平面外一直線可以作與這個(gè)平面垂直的平面?zhèn)€ab為異面直線,則過直線a與b平行的平面有個(gè).20)若平面外一條直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等,則直線與平面平行若一個(gè)平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等,則兩平面平行.21)一個(gè)面內(nèi)有無數(shù)條直線與另一個(gè)面平行,則面面平行.一條直線與一個(gè)面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則線面垂直.22)平行于同一直線的兩直線平行.垂直于同一直線的兩直線平行.平行于同一直線的兩平面平行.垂直于同一平面的兩直線平行.平行于同一平面的兩直線平行.垂直于同一直線的兩平面平行.平行于同一平面的兩平面平行.垂直于同一平面的兩平面平行.23)空間不重合的三平面可以把空間分成部分,正方體六個(gè)面所在平面把空間分成部分.ab,b,c是異面直線,則a,c的位置關(guān)系是()A.相交,平行或異面B.相交或平行C.異面D.平行或異面25)已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么c與b()A.一定是異面直線B.一定是相交直線C.不可能是平行直線D.不可能是相交直線cABCD有個(gè).dmnA.若m⊥,m⊥n,則n∥B.若m∥,n∥,則可能有m」nm33)已知m,n為兩條不同的直線,,為兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是()其中正確命題的序號(hào)是()A．①③B．②④C．①④D．②③l命題正確的是()C．若l」,//,則l」D．若l//,」,則l」37)已知m,n為兩條不同的直線,,為兩個(gè)不同的平面,下列命題中,錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為()A．139)已知直線a,b和平面,下述推理中正確的有.其中正確的命題是A..①③B.②④C.③④D.①41)如下左圖是正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，命題中，正確命題的序號(hào)是()A．①②③B．②④C．③④D．②③④練習(xí)：下左二圖是一個(gè)正方體的展開圖，在原正方體中，有下列命題：d例題一。位置關(guān)系的證明例1、如果一條直線與兩個(gè)相交平面平行，那么這條直線和它們的交線平行。變式：增加什么條件，使得為菱形、矩形、正方形。ABDEBCEF.BCEF.AMBNM,N，求證:=.MCND111112)一個(gè)多面體的直觀圖(主視圖、左視圖、俯視圖)如圖所示，M、N分別為A1B1、B1C1的中點(diǎn).(1)111111111111(1)求證：EF∥平面AADD；(2)求證：EF⊥平面ACD；(3)求三棱錐B1111d例題二。兩異面直線所成的角的求解求線段MN的長。例題三。直線與平面所成的角的求解例題四。二面角的求解1)求證：EF∥平面PCD;2)求二面角ABPD的余弦值。立體幾何------夾角距離的求解(理科)(1)求二面角O1－BC－D的大??；(2)求點(diǎn)E到平面O1BC的距離.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(如圖)D1A1EDAO1B1OBC1Cd∴OA=23，OB=2，11121n>=n1.n>=n1.n21=，121(2)設(shè)點(diǎn)E到平面O1BC的距離為d，3PEDCABd2則P(0,0,a),A(a,0,0),B(0，222222C(-a,0,0)，D(0，-a222222222∴E(-a,0，)，EB=(a,22222444242PEFDCOAB(2222|2點(diǎn)A到平面EBD的距離為d=nPB=2a=1a.|n|22212nn1223=232.(1)求二面角B—AC—P的大小；(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.解(1)建立如圖的空間直角坐標(biāo)系O—xyz，7.3zADOBxyCd7.3zADOBxyC7=7=77設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d，則d=|m.PA|=23=221.|m|777.(1)求證：AO」平面BCD；(2)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；(3)求點(diǎn)E到平面ACD的距離．d==22BA.CD42∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為．4，13EC.n321又EC=(一,,0),∴點(diǎn)E到平面ACD的距離h===．22n77(Ⅰ)證明取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD．PABADBABCPEBABCPPd3在△BCE中，三BCE=90，BC=2，BE=AB=6，2E3(Ⅲ)解由(Ⅰ)知AB」平面PCD，HDBABC3在Rt△PCD中，CD=AB=2，PD=PB=6，22PCCD23：PC=PD2CD2=2．CH==．PD32331111AAAE、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點(diǎn)。111A(2)求二面角B-FC-C的余弦值。1D1DEFC1B1CB解法一：(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，1111111//所以CD=A1F1，A1F1CD為平行四邊形，所以CF1//A1D，A..E1ADEF1PFC1B1COBABBCCDFABBF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點(diǎn)O,則dO1OPOF12P22,BP22=27,所以二面角B-FC-C7177.AA連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,31DEMx(zF3C1CB1yB以F1y=0111117為.為71n.n1=2=7,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值|n||n|2人77111d33333242333n0分m?n333∴平面AMN與平面ABCD所成銳二面角的余弦值為…12分3所成角的大小為()C1111A1長是2，側(cè)棱長是3，D是B1CDAB317AM317AM711(2)求二面角A_BD_A的大??；1解法一：(1)設(shè)AB與AB相交于點(diǎn)P，連接PD，則P為AB中11D為AC中點(diǎn)，：PD//BC.111(2)正三棱住ABC_ABC，：AA」底面ABC。1111AMCDPB1B1：三ADA就是二面角A_BD_A的平面角。11AAAA=3，AD=AC=1：tan三ADA=1=3121AD冗冗：三ADA=,即二面角A_BD_A的大小是131