2022屆山東省淄博市高三上學期期末數(shù)學試題解析

2022屆山東省淄博市高三上學期期末數(shù)學試題

一、單選題

1．已知集合Ax,yyx2，Bx,yyx2，則AB（）

A．1,4B．0,C．1,2D．1,1,2,4

答案：D

yx2

解方程組，可得集合AB.

yx2

yx2x1x2

解：解方程組可得或，故AB1,1,2,4.

yx2y1y4

故選：D.

1z

2．已知復數(shù)z是純虛數(shù)，是實數(shù)，則z（）

1i

A．－iB．iC．－2iD．2i

答案：B

1z

由題意設zbi(bR)，代入中化簡，使其虛部為零，可求出b的值，從而可求出

1i

復數(shù)z，進而可求得其共軛復數(shù)

解：由題意設zbi(bR)，

1z1bi(1bi)(1i)(1b)(1b)i

則，

1i1i(1i)(1i)2

1z

因為是實數(shù)，所以1b0，得b1，

1i

所以zi，

所以zi，

故選：B

3．己知等比數(shù)列a的前n項和為S，若S7，S63，則公比q

nn36

（）

1

A．－2B．2C．D．1

22

答案：B

利用等比數(shù)列{a}的前n項和公式列出方程組，能求出首項．

n

解：由題得q1，

等比數(shù)列{a}的前n項和為S，S7，S63，

nn36

a(1q3)

S17

31q

，解得a1，q2．

1

a(1q6)

S163

61q

故選：B

4．已知向量a、b滿足ab2，且ab在a上的投影的數(shù)量為23，則a,b

（）

ππ2π5π

A．B．C．D．

6336

答案：D

根據(jù)已知條件求出ab的值，利用平面向量的數(shù)量積可求得結果.

aba

解：設ab與a的夾角為，則abcos23，

a

ab3

所以，2，可得ab23，因此，cosa,b，

aab423ab2

5

因為0a,b，因此，a,b.

6

故選：D.

cos10

5．2cos10（）

2sin10

3

A．B．2C．3D．2

2

答案：A

利用二倍角的正弦公式以及兩角差的正弦公式化簡可得結果.

解：

cos10cos104sin10cos10cos102sin20cos102sin3010

2cos10

2sin102sin102sin102sin10

cos10cos103sin103

.

2sin102

故選：A.

6．《史記》卷六十五《孫子吳起列傳第五》中有這樣一道題：齊王與田忌賽馬，田忌的

上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬；田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于

齊王的中等馬；田忌的下等馬劣于齊王的下等馬．現(xiàn)兩人進行賽馬比賽，比賽規(guī)則為：

每匹馬只能用一次，每場比賽雙方各出一匹馬，共比賽三場．每場比賽中勝者得1分，

否則得0分．若每場比賽之前彼此不知道對方所用之馬，則比賽結束時，齊王得2分的

概率為（）

1125

A．B．C．D．

6336

答案：C

設田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別記為A、B、C，設齊王的上等馬、中等馬、下

等馬分別記為a、b、c，列舉出所有的基本事件，并確定所求事件所包含的基本事件，

利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

解：由題意可知，齊王在三場比賽中贏兩場，

設田忌的上等馬、中等馬、下等馬分別記為A、B、C，

設齊王的上等馬、中等馬、下等馬分別記為a、b、c，

所有的基本事件有：Aa,Bb,Cc、Aa,Bc,Cb、Ab,Ba,Cc、Ab,Bc,Ca、

Ac,Ba,Cb、Ac,Bb,Ca，共6種，

其中“比賽結束時，齊王得2分”所包含的基本事件有：Aa,Bc,Cb、Ab,Ba,Cc、

Ac,Ba,Cb、Ac,Bb,Ca，共4種，

42

故所求概率為.

63

故選：C.

x2y2

7．已知橢圓C:1ab0的右焦點為F，上頂點為B，直線BF與C相交于另

a2b2

一點A，點A在x軸上的射影為A，O為坐標原點，若BO2AA，則C的離心率為

11

（）

23

A．3B．1C．D．

3222

答案：A

由BO2AA，可得BF2FA，由此可求出點A的坐標，再把點A的坐標代入橢圓方

1

程中化簡可求出離心率

解：由題意得F(c,0),B(0,b)，設A(x,y)

因為BO2AA，所以BF2FA，

1

3

xc

23b

所以c,b2xc,y，得，即Ac,，

b22

y

2

x2y2

因為點A在橢圓C:1ab0上，

a2b2

9b2

c2c21

所以44，化簡得，

1a23

a2b2

c3

所以離心率e，

a3

故選：A

3x

8．已知等差數(shù)列a中，a，設函數(shù)fx4cos22sinxcos2x2，記

n582

yfa，則數(shù)列y的前9項和為（）

nnn

A．0B．10C．16D．18

答案：D

3

分析可知函數(shù)fx的圖象關于點,2對稱，利用等差中項的性質(zhì)結合正弦型函數(shù)的

8

對稱性質(zhì)可求得結果.

x

解：fx4cos22sinxcos2x22cosxsinxcos2x2sin2xcos2x2

2

2sin2x2，

4

k3

由2xkkZ，可得xkZ，當k1時，x，

4288

3

故函數(shù)fx的圖象關于點,2對稱，

8

由等差中項的性質(zhì)可得aaaaaaaa2a，

192837465

所以，數(shù)列y的前9項和為fafafa44fa18.

n1295

故選：D.

二、多選題

9．甲袋中裝有4個白球，2個紅球和2個黑球，乙袋中裝有3個白球，3個紅球和2個

黑球．先從甲袋中隨機取出一球放入乙袋，再從乙袋中隨機取出一球．用A，A，A分

123

別表示甲袋取出的球是白球、紅球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，則

（）

1

A．A，A，A兩兩互斥B．PBA

12323

1

C．A與B是相互獨立事件D．PB

33

答案：AB

對于A，由互斥事件的定義判斷，對于B，由條件概率的公式求解即可，對于C，由獨

立事件的定義判斷，對于D，由P(B)P(AB)P(AB)P(AB)求解

123

解：對于A，由題意可知A，A，A不可能同時發(fā)生，所以A，A，A兩兩互斥，所

123123

以A正確，

21131

對于B，由題意可得P(A),P(AB)，所以

28424912

1

P(AB)121

PBA2，所以B正確，

2P(A)13

24

21131

對于C，因為P(A)，P(AB)，

38434912

4413137

P(B)P(AB)P(AB)P(AB)，所以P(AB)P(A)P(B)，

1238949491833

所以A與B不是相互獨立事件，所以C錯誤，

3

對于D，由C選項可知D是錯誤的，

故選：AB

10．已知函數(shù)fxsinxcosx1，則（）

3

A．fx為周期函數(shù)B．fx在π,π上單調(diào)遞增

4

C．fx的值域為0,1D．yfx的圖像關于直線x3π對稱

答案：AD

33

易求得fx2fx，即可判斷A；由xπ,π，得2x2,，

42

1

fxsin2x1，結合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；分x2k,2k,kZ和

2

x2k,2k2,kZ兩種情況討論，求出函數(shù)的值域，即可判斷C；判斷

fx3,fx3是否相等即可判斷D.

解：對于A，因為fx2sinx2cosx21sinxcosx1fx，

所以2是函數(shù)fx的一個周期，故A正確；

1

當x2k,2k,kZ時，fxsinxcosx1sin2x1，

2

13

此時2x4k,4k2,kZ，則sin2x1,1，所以fx,，

22

1

當x2k,2k2,kZ時，fxsinxcosx1sin2x1，

2

13

此時2x4k2,4k4,kZ，則sin2x1,1，所以fx,，

22

13

所以函數(shù)fx的值域為,，故C錯誤；

22

31

對于B，當xπ,π時，fxsinxcosx1sin2x1，

42

33

則2x2,，所以函數(shù)fx在π,π上單調(diào)遞減，故B錯誤.

24

對于D，因為fx3sinx3cosx31sinxcosx1，

fx3sinx3cosx31sinxcosx1，

所以fx3fx3，

所以yfx的圖像關于直線x3π對稱，故D正確.

故選：AD.

11．已知棱長為2的正方體ABCDABCD中，過BD的平面α交棱AA于點E，交棱CC

1111111

于點F，則（）

A．BFEDB．存在E，F(xiàn)，使得EF平面DBBD

111

C．四邊形BFDE面積的最大值為26D．平面α分正方體所得兩部分的體積相等

1

答案：ABCD

對于選項A，通過面面平行的性質(zhì)可得BFED；對于選項B通過向量法表示線面垂

1

直，解出方程即可判斷；對于選項C，通過作EGBD交BD于G，然后求出點G的

11

坐標，最后表示出四邊形BFDE的面積，求得四邊形BFDE面積的最大值為26；對

11

于選項D，由于平面分正方體所得兩部分是全等的，故體積相等.

解：如圖所示：

建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，則有：

A0,0,0，B2,0,0，C2,2,0，D0,2,0，A0,0,2，B2,0,2，C2,2,2，

111

D0,2,2

1

不妨設E0,0,a，F(xiàn)2,2,b，則BF0,2,b，ED0,2,2a

1

由直線BD、BE、BF均在平面內(nèi)，平面BCCB//平面ADDA，則平面與平面

11111

BCCB、平面ADDA分別交于BF、ED，根據(jù)平面平行的性質(zhì)可知，則有：BF//ED

111111

同理：BE//FD，故四邊形EBFD為平行四邊形，則選項A正確；

11

由BFED，可得：b2a

1

又EF2,2,22a，BD2,2,0，BB0,0,2

1

EFBD0

要使得EF平面DBBD，則有：

11EFBB0

1

解得：a1

故選項B正確；

設四邊形BFDE面積為S，BD23

11

設EGBD交BD于G，設Gx,y,z，則有：

11111

EGBD0

1

且BGBD

1

412121

解得：Ga,a,a

333333

248

則有：EGa2a

333

故SBDEG22a22a422a123

1

當a1時，S取得最小值為26，故答案C正確；

對于選項D，由于平面是平分正方體，則體積是相等的，故選項D正確.

故選：ABCD

1x1,x0

12．已知函數(shù)fx，則（）

fx2,x0

A．f4f20210

B．flog6flog10flog12

356

11

C．若函數(shù)gxfxkx1恰有3個零點，則k,

24

311

D．當x2k,2kkN時，fx

222

答案：BCD

直接計算f4、f2021的值，可判斷A選項；利用函數(shù)fx在1,0上的單調(diào)性可

1

判斷B選項；數(shù)形結合求出k的取值范圍，可判斷C選項；求出不等式fx在x0

2

時的解，數(shù)形結合可判斷D選項的正誤.

解：對于A選項，f4132，f2021f11，故f4f20211，

A錯；

對于B選項，當x1時，fx1x1x2，此時函數(shù)fx單調(diào)遞增，

當1x0時，fx1x1x，此時函數(shù)fx單調(diào)遞減，

因為1log6log92，1log10log252，1log12log362，

335566

且log6log32log21，log10log52log21，

333555

log12log62log21，

666

ln2ln2ln2

因為ln6ln5ln3ln20，所以，0，

ln3ln5ln6

即log2log2log2，所以，log62log102log122，

356356

且log621,0，log1021,0，log1221,0，

356

所以，flog62flog102flog122，

356

即flog6flog10flog12，B對；

356

對于C選項，作出函數(shù)fx與ykx1的圖象如下圖所示：

由圖可知，當k0時，直線ykx1與函數(shù)fx的圖象至多有兩個交點，不合乎題意，

當k0時，直線ykx1與函數(shù)fx的圖象有無數(shù)個交點，不合乎題意，

由題意可知，直線ykx1與函數(shù)fx的圖象有3個交點，

2k1011

則，解得k，C對；

4k1024

1131

對于D選項，當x0時，由fx1x1可得x1，解得x，

2222

311

當x0時，fxfx2，結合圖象可知當x2k,2kkN時，fx，

222

D對.

故選：BCD.

三、填空題

1n

13．在x的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x3項的系

x

數(shù)為______．

答案：15

首先根據(jù)題意，可得n6，進而可得其二項式展開式的通項，令x的指數(shù)為3，可得r

的值，最后將r的值代入通項可得其展開式中的x3項，即可得答案．

1r3r

r6

解：由題知n6，則TCrx6rCr1x2，

r16x6

3r

令63，得r2，

2

所以展開式中x3的系數(shù)為C2(1)215.

6

故答案為：15.

14．已知拋物線C:y28x，圓C:x2y24x30，點M1,1，若A，B分別是C，

121

C上的動點，則AMAB的最小值為______．

2

答案：2

由拋物線C:y28x得焦點F2，0，準線為x2，AMABAMAF1，轉(zhuǎn)化

1

為求AMAF取得最小值，過點M作準線x2的垂線與拋物線C:y28x相交，當

1

點A為此交點時，AMAF取得最小值，由此可求得答案.

解：解：由拋物線C:y28x得焦點F2，0，準線為x2，

1

由圓C:x2y24x30，得x22y21，所以圓C是以F2，0為圓心，以r1

22

為半徑的圓，

所以AMABAMAF1，所以當AMAF取得最小值時，AMAB取得最

小值，

又根據(jù)拋物線的定義得AF等于點A到準線x2的距離，

所以過點M作準線x2的垂線，垂足為N，且與拋物線C:y28x相交，當點A為此

1

交點時，AMAF取得最小值，最小值為123，所以此時

AMABAMAF1312，

所以AMAB的最小值為2.

故答案為：2.

15．已知函數(shù)fxxex1，gxx1lnx，若fxgxmm1，則

12

xxx

112的最小值為______．

lnm

答案：e

x

利用函數(shù)同構及函數(shù)單調(diào)性得到xlnx，問題轉(zhuǎn)化為求hx（x1）的最小值，

12lnx

利用導函數(shù)，研究其單調(diào)性，求出最小值.

解：gxx1lnxelnx1lnxflnx，則fxflnxmm1，因為

12

fxxex111，故x>0，又當x0時，fxx1ex10恒成立，即

111

xxxmx

fxxex1單調(diào)遞增，所以xlnx，則112，令hx（x1），

12lnmlnmlnx

lnx1

hx，當x1,e時，hx0，當xe,+時，hx0，所以hx在xe

lnx2

exxx

處取得最小值，hee，112的最小值為e.

lnelnm

故答案為：e

16．在三棱錐PABC中，PA平面ABC，ACCB，PAACBC4．以A為球心，

表面積為36的球面與側(cè)面PBC的交線長為______．

答案：

利用線面垂直的性質(zhì)定理及判定定理證得AH平面PBC，進而知球面與側(cè)面PBC的交

線為以H為圓心，半徑為1的半圓弧，利用弧長公式求解.

解：設以A為球心的球的半徑為R，則4R236，解得R3

如圖，取PC中點H，由PAAC，AHPC

又PA平面ABC，BC平面ABC，PABC

又ACCB，ACPAA，所以BC平面PAC，

又AH平面PAC，BCAH，又BCPCC，AH平面PBC，

又PAACBC4，AH22，PB43

2

又r32221，

EHPH

作HEPB，則PEHPCB，，

CBPB

PHCB22426

EH1

PB433

所以球面與側(cè)面PBC的交線為以H為圓心，半徑為1的半圓弧，故所求長為1

故答案為：

四、解答題

17．在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，B60，a2b2c2bc，延長

3

BC至D，使BD7，△ACD的面積為3．

2

(1)求AB的長；

(2)求△ACD外接圓的面積．

答案：(1)AB1或6

43

(2)

3

（1）利用余弦定理可求得A60，從而可得ABC為等邊三角形，再利用三角形的面

積公式即可得出答案；

（2）利用余弦定理求出AD，再利用正弦定理求得△ACD外接圓的半徑，即可得解.

(1)

解：因為a2b2c2bcb2c22bccosA，

1

所以cosA，

2

又0A180，所以A60，

又因B60，所以ABC為等邊三角形，故ABBCAC，

由BD7，可得CD7BC7AB，

133

故SACCDsinACDAB7AB3，

ADC242

解得AB1或6；

(2)

解：由（1）得：

當AB1時，CD6，

則AD2AC2CD22ACCDsinACD

1

13621643，

2

所以AD43，

設△ACD外接圓的半徑為R，

AD24343

由正弦定理可得2R，所以R，

sinACD33

43

所以△ACD外接圓的面積為R2，

3

當AB6時，CD1，

則AD2AC2CD22ACCDsinACD

1

36126143，

2

所以AD43，

43

同理△ACD外接圓的面積為，

3

43

綜上所述，△ACD外接圓的面積為.

3

123n

18．已知數(shù)列a滿足2n12．

naaaaaaaa

213243n1n

(1)設baa，求b的通項公式；

nn1nn

(2)若a2，求a的通項公式．

1n

n

答案：(1)b；

n2n

n1

(2)a4.

n2n1

123n

（1）分析可得2n12，由前n項和與通項的關系可求得數(shù)列b的

bbbbn

123n

通項公式；

n

（2）由已知可得aa，利用累加法與錯位相減法可求得數(shù)列a的通項公式.

n1n2nn

(1)

123n

解：由已知可得2n12.

bbbb

123n

11

當n1時，則有2，可得b，

b12

1

123n123n1

當n2時，由2n12可得2n2，

bbbbbbbb

123n123n1

nn

上述兩個等式作差可得2n12n2n，所以，b，

bn2n

n

1nn

b滿足b，故b.

12n2nn2n

(2)

n

解：由（1）可得aa，

n1n2n

123n112n1n

設S，則S，

n222232n2n22232n2n1

11

1

11111n22nn

上述兩個等式作差可得S

n23nn11n1

22222212

2

n2

1，

2n1

n2

所以，S2，

n2n

12n

由已知可得aa，aa，，aa，

2123222n1n2n

n2n2

累加得aaS2，所以，a4，

n11n2nn12n

n1

因此，a4,n2，

n2n1

因為a2符合上式，

1

n1

所以a4.

n2n1

19．如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD，AD∥BC，ADDC，

4

BC2AD2CDAP4，E為PC的中點，點F在PD上且PF3FD．

3

(1)求證：BD∥平面AEF；

(2)求二面角EAFD的余弦值．

答案：(1)證明見詳解

2

(2)

3

（1）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，然后根據(jù)題意寫出相關點的坐標，再寫出相關

的向量，然后根據(jù)向量的共面證明線面平行；

（2）運用向量法求解二面角，先求出兩個平面的一個法向量，然后根據(jù)空間向量的數(shù)

量積求得二面角EAFD的余弦值.

(1)

根據(jù)題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則有：

313

D0,0,0，A0,2,0，C2,0,0，B2,4,0，P0,2,3，E1,1,，F(xiàn)0,,

224

333

可得：DB2,4,0，AE1,1,，AF0,,，DA0,2,0

224

則有：DB2AE4AF

又BD不在平面AEF上

故有：BD∥平面AEF

(2)

根據(jù)（1）可設mx,y,z為平面AEF的一個法向量，nx,y,z為平面AFD的一

111222

個法向量，則有：

mAE0

，

mAF0

3

mAExyz0

1121

即

33

mAFyz0

2141

不妨取z2，此時，可解得：x2，y1

111

則有：m2,1,2

nDA0

同理，

nAF0

nDA2y0

2

即33

nAFyz0

2242

則有：yz0

22

不妨設x1

2

則有：n1,0,0

設二面角EAFD為，法向量m2,1,2的方向是朝向二面角EAFD外側(cè)，

法向量n1,0,0的方向是朝向二面角內(nèi)側(cè)，故二面角EAFD就是向量m2,1,2

與向量n1,0,0的夾角

則有：

mn22

cos

3

mn9

2

故二面角EAFD的余弦值為：

3

20．學習強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活

動規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失

敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，

次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的

概率為1；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別

2

1

為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩

3

局），各局比賽互不影響．

(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數(shù)學期望；

(2)設李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分

的概率為fp．求p為何值時，fp取得最大值．

答案：(1)分布列見解析，EX7.5（分）

1

(2)p

7

（1）X可取5，6，7，8，9，10，求出對應隨機變量的概率，從而可求出分布列，再

根據(jù)期望公式求出數(shù)學期望即可；

（2）先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率

為fp，再根據(jù)導出求出函數(shù)fp的單調(diào)區(qū)間，即可得出答案.

(1)

解：X可取5，6，7，8，9，10，

1511145

PX5C0?，PX6C1，

523252232

1213513125

PX7C2?，PX8C3?，

5221652216

1415151

PX9C4?，PX10C5?，

522325232

分布列如下：

X5678910

155551

P

323216163232

155551

所以EX56789107.5（分）；

323216163232

(2)

解：設一天得分不低于3分為事件A，

122p1

則PA11p111p，

333

則恰有3天每天得分不低于3分的概率

2p132p1240

fpC312p131p2，0p1

533243

4040

則fp32p121p222p131p

243243

40

2p121p17p，

243

11

當0p時，fp0，當p1時，fp0，

77

11

所以函數(shù)fp在0,上遞增，在,1上遞減，

77

1

所以當p時，fp取得最大值.

7

x2y2

21．已知雙曲線C:1a0,b0的左焦點為F，右頂點為A，漸近線方程為

a2b2

y3x，F(xiàn)到漸近線的距離為3．

(1)求C的方程；

(2)若直線l過F，且與C交于P，Q兩點（異于C的兩個頂點），直線xt與直線AP，

AQ的交點分別為M，N．是否存在實數(shù)t，使得FMFNFMFN？若存在，