數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念性質(zhì)

數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)概念性質(zhì)第一頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三無窮級(jí)數(shù)表達(dá)函數(shù)解微分方程數(shù)值計(jì)算第一節(jié)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念中學(xué):無窮等比級(jí)數(shù)就是無窮級(jí)數(shù)的一種定義將其各項(xiàng)依次累加所得的式子稱為數(shù)項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)設(shè)有數(shù)列項(xiàng)通項(xiàng)第二頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三問題:如何理解無窮個(gè)數(shù)相加?變化趨勢1.部分和:2.部分和數(shù)列:3.收斂:稱級(jí)數(shù)收斂稱為級(jí)數(shù)余項(xiàng)極限不存在,稱級(jí)數(shù)發(fā)散例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:(1).1+2+3+…+n+…級(jí)數(shù)發(fā)散第三頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三(2).級(jí)數(shù)收斂=1(3).q=1時(shí)q=-1時(shí)極限不存在,級(jí)數(shù)發(fā)散級(jí)數(shù)發(fā)散第四頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三級(jí)數(shù)發(fā)散總之:級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散(4).級(jí)數(shù)發(fā)散第五頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三二.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若級(jí)數(shù)收斂于和S,k為常數(shù),則證推論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后,斂散性不變性質(zhì)2.兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加或逐項(xiàng)相減第六頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)3.改變有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性證不妨設(shè)去掉前k項(xiàng),得級(jí)數(shù)常數(shù)原級(jí)數(shù)部分和時(shí),同時(shí)斂散因此,不影響級(jí)數(shù)的斂散性.例:因?yàn)楹投际諗考?jí)數(shù)收斂第七頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)4.收斂級(jí)數(shù)各項(xiàng)加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)仍收斂且和不變證:設(shè)收斂級(jí)數(shù)新級(jí)數(shù)注意:(1).加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)發(fā)散,則原級(jí)數(shù)發(fā)散.(2).加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)收斂,原級(jí)數(shù)不一定收斂.例如:(1－1)+(1－1)+(1－1)+......收斂而1－1+1－1+1－1+......發(fā)散.第八頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三性質(zhì)5.(級(jí)數(shù)收斂必要條件)若級(jí)數(shù)收斂,則證:注意:(1).若,則級(jí)數(shù)發(fā)散(2).時(shí),級(jí)數(shù)不一定收斂判斷級(jí)數(shù)發(fā)散的第一步驟第九頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三但可以證明級(jí)數(shù)發(fā)散假若級(jí)數(shù)收斂,則但是,矛盾例如:調(diào)和級(jí)數(shù)第十頁，共十二頁，編輯于2023年，星期三(2)不存在級(jí)數(shù)發(fā)散例.判斷級(jí)數(shù)斂散性:(