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福建省泉州市梅峰中學(xué)高三數(shù)學(xué)理摸底試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有是一個(gè)符合題目要求的1.數(shù)列1,-3,5,-7,9,…的一個(gè)通項(xiàng)公式為 (
)A.
B.
C.
D.參考答案:D2.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是
(
)A.
B.
C.
D.參考答案:A3.如果等差數(shù)列中,,那么(
)A.14
B.21
C.28
D.35參考答案:C4.已知f(x)=|xex|,又g(x)=f2(x)﹣tf(x)(t∈R),若滿足g(x)=﹣1的x有四個(gè),則t的取值范圍是()A. B. C. D.參考答案:B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性;根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.【分析】令y=xex,則y'=(1+x)ex,求出極值點(diǎn),判斷函數(shù)的單調(diào)性,作出y=xex圖象,利用圖象變換得f(x)=|xex|圖象,令f(x)=m,則關(guān)于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0兩根分別在,滿足g(x)=﹣1的x有4個(gè),列出不等式求解即可.【解答】解:令y=xex,則y'=(1+x)ex,由y'=0,得x=﹣1,當(dāng)x∈(﹣∞,﹣1)時(shí),y'<0,函數(shù)y單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(﹣1,+∞)時(shí),y'>0,函數(shù)y單調(diào)遞增.作出y=xex圖象,利用圖象變換得f(x)=|xex|圖象(如圖10),令f(x)=m,則關(guān)于m方程h(m)=m2﹣tm+1=0兩根分別在時(shí)(如圖11),滿足g(x)=﹣1的x有4個(gè),由,解得.
故選:B.【點(diǎn)評】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值,函數(shù)的圖象的變換,函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù),考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.5.已知集合A={x|=1},B={0},則A∪B的子集的個(gè)數(shù)為
(
)A.3
B.4
C.7
D.8參考答案:D6.在四邊形ABCD中,=(1,2),=(-4,-1),=(-5,-3),則四邊形ABCD是()A.長方形
B.梯形
C.平行四邊形
D.以上都不對參考答案:B7.函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi),則實(shí)數(shù)的取值范圍是A. B. C. D.參考答案:C8.直線與雙曲線的一條漸近線垂直,則實(shí)數(shù)k=
A.
B.
C.
D.參考答案:D9.以下有關(guān)命題的說法錯(cuò)誤的是(
)A.命題“若,則”的逆否命題為“若,則”B.“”是“”成立的必要不充分條件C.對于命題,使得,則,均有D.若為真命題,則與至少有一個(gè)為真命題參考答案:D10.已知z滿足(i為虛數(shù)單位),則|z|=()A. B. C.2 D.1參考答案:A【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模.【分析】求出復(fù)數(shù)z,再求出復(fù)數(shù)的模即可.【解答】解:∵,∴z===+i,故|z|==,故選:A.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè),若是的充分不必要條件,則實(shí)數(shù)的取值范圍為
參考答案:12.若,則二項(xiàng)式的展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)是
參考答案:24013.給出下列不等式
①;
②;
③;
④其中一定成立的是
參考答案:③正確略14.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為,,在雙曲線上,且,則點(diǎn)到軸的距離等于
.參考答案:315.運(yùn)行如圖2所示的程序框圖,輸出的結(jié)果
.參考答案:62試題分析:根據(jù)程序,的值依次為,,,,,,此時(shí)有,因此輸出.考點(diǎn):程序框圖.16.函數(shù)f(x)=,若方程f(x)=kx﹣恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是.參考答案:(,)【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷.【分析】設(shè)g(x)=kx﹣,則g(x)過點(diǎn)(0,﹣),作出兩個(gè)函數(shù)的圖象,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可.【解答】解:設(shè)g(x)=kx﹣,則g(x)過點(diǎn)(0,﹣),過點(diǎn)(1,0)和(0,﹣)的直線的斜率k=,此時(shí)函數(shù)f(x)與g(x)只有3個(gè)交點(diǎn),過點(diǎn)(0,﹣)的直線與f(x)相切時(shí),函數(shù)f(x)與g(x)只有3個(gè)交點(diǎn),設(shè)切點(diǎn)為(a,lna),則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=,即切線斜率k=,則切線方程為y﹣lna=(x﹣a)=x﹣1,即y=x+lna﹣1,∵y=kx+,∴l(xiāng)na﹣1=﹣,得lna=,a=,此時(shí)k==,故要使程f(x)=kx﹣恰有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則<k<,故答案為:(,)17.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)(橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù))坐標(biāo)是
.參考答案:答案:
三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.微信是現(xiàn)代生活進(jìn)行信息交流的重要工具,隨機(jī)對使用微信的60人進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),得到如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表,每天使用微信時(shí)間在兩小時(shí)以上的人被定義為“微信達(dá)人”,不超過2兩小時(shí)的人被定義為“非微信達(dá)人”,己知“非微信達(dá)人”與“微信達(dá)人”人數(shù)比恰為3:2.(1)確定x,y,p,q的值,并補(bǔ)全須率分布直方圖;(2)為進(jìn)一步了解使用微信對自己的日不工作和生活是否有影響,從“微信達(dá)人”和“非微信達(dá)人”60人中用分層抽樣的方法確定10人,若需從這10人中隨積選取3人進(jìn)行問卷調(diào)查,設(shè)選取的3人中“微信達(dá)人”的人數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.使用微信時(shí)間(單位:小時(shí))頻數(shù)頻率(0,0.5]30.05(0.5,1]xp(1,1.5]90.15(1.5,2]150.25(2,2.5]180.30(2.5,3]yq合計(jì)601.00參考答案:【考點(diǎn)】CH:離散型隨機(jī)變量的期望與方差;B8:頻率分布直方圖;CG:離散型隨機(jī)變量及其分布列.【分析】(1)根據(jù)分布直方圖、頻率分布表的性質(zhì),列出方程組,能確定x,y,p,q的值,并補(bǔ)全須率分布直方圖.(2)用分層抽樣的方法,從中選取10人,則其中“網(wǎng)購達(dá)人”有4人,“非網(wǎng)購達(dá)人”有6人,ξ的可能取值為0,1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望.【解答】解:(1)根據(jù)題意,有,解得x=9,y=6,∴p=0.15,q=0.10,補(bǔ)全頻率分布圖有右圖所示.(2)用分層抽樣的方法,從中選取10人,則其中“網(wǎng)購達(dá)人”有10×=4人,“非網(wǎng)購達(dá)人”有10×=6人,∴ξ的可能取值為0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,∴ξ的分布列為:ξ0123PEξ==.19.(本小題滿分13分)已知函數(shù)(e為自然對數(shù)的底數(shù)),a>0.(Ⅰ)若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),證明:;(Ⅱ)若≥0對任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值集合.參考答案:【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù);導(dǎo)數(shù)與函數(shù)值.B11,B12【答案解析】(I)略(II)的取值集合為解析:解:(Ⅰ)證明:由,得.…………1分由>0,即>0,解得x>lna,同理由<0解得x<lna,∴在(-∞,lna)上是減函數(shù),在(lna,+∞)上是增函數(shù),于是在取得最小值.又∵函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn),則,…4分即.…………5分化簡得:,∴.…………………6分(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,在取得最小值,由題意得≥0,即≥0,……8分令,則,由可得0<a<1,由可得a>1.∴在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減,即,∴當(dāng)0<a<1或a>1時(shí),h(a)<0,∴要使得≥0對任意x∈R恒成立,∴的取值集合為……………13分【思路點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可判定函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行證明,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)確定a的取值.20.
某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個(gè)等級(jí),等級(jí)系數(shù)依次為1,2,…,8,其中為標(biāo)準(zhǔn)A,為標(biāo)準(zhǔn)B,已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為6元/件;乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品,產(chǎn)品的零售價(jià)為4元/件,假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下所示:56780.40.1
且的數(shù)字期望,求,的值;(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù),從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件,相應(yīng)的等級(jí)系數(shù)組成一個(gè)樣本,數(shù)據(jù)如下:3
5
3
3
8
5
5
6
3
46
3
4
7
5
3
4
8
5
38
3
4
3
4
4
7
5
6
7
用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,求等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望.
(3)在(1)、(2)的條件下,若以“性價(jià)比”為判斷標(biāo)準(zhǔn),則哪個(gè)工廠的產(chǎn)品更具可購買性?說明理由.注:①產(chǎn)品的“性價(jià)比”=產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價(jià);②“性價(jià)比”大的產(chǎn)品更具可購買性.參考答案:(1);(2);(3)詳見解析.
(2)由已知得,樣本的頻率分布表如下:用這個(gè)樣本的頻率分布估計(jì)總體分布,將頻率視為概率,可得等級(jí)系數(shù)的概率分布列如下:∴,即乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于;(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性,理由如下:∵甲廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6,價(jià)格為6元/件,∴其性價(jià)比為,∵乙廠產(chǎn)品的等級(jí)系數(shù)的期望等于4.8,價(jià)格為4元/件,∴其性價(jià)比為,據(jù)此,乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.考點(diǎn):離散型隨機(jī)變量的概率分布及其期望.21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若,,求成立的正整數(shù)的最小值.參考答案:(1)當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,.則,所以,所以是以為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.故.
4分(2),則①②①-②得:.所以.由得.由于時(shí),;時(shí),.故使成立的正整數(shù)的最小值為. 12分22.(本小題滿分18分)(理)已知函數(shù)。(1)求函數(shù)的定義域和值域;(2)設(shè)(為實(shí)數(shù)),求在時(shí)的最大值;(3)對(2)中,若對所有的實(shí)數(shù)及恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案:解:由1+x≥0且1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定義域?yàn)?/p>
…………2分又由≥0得值域?yàn)?/p>
…………4分(2)因?yàn)榱睿瑒t,∴()+t=
…………6分由題意知
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