【選擇性必修】第6章計(jì)數(shù)原理

第6章計(jì)數(shù)原理【章頭語(yǔ)】汽車號(hào)牌的序號(hào)一般是從26個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè),并按適當(dāng)順序排列而成.隨著人們生活水平的提高,家庭汽車擁有量迅速增長(zhǎng),汽車號(hào)牌序號(hào)需要擴(kuò)容.那么,交通管理部門應(yīng)如何確定序號(hào)的組成方法,才能滿足民眾的需求呢?這就需要“數(shù)(shǔ)出”某種汽車號(hào)牌序號(hào)的組成方案下所有可能的序號(hào)數(shù),這就是計(jì)數(shù).日常生活、生產(chǎn)中類似的問題大量存在.例如,幼兒會(huì)通過一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)的方法,計(jì)算自己擁有玩具的數(shù)量;學(xué)校要舉行班際籃球比賽,在確定賽制后,體育組的老師需要知道共需要舉行多少場(chǎng)比賽；用紅、黃、綠三面旗幟組成航海信號(hào)，顏色的不同排列表示不同的信號(hào),需要知道共可以組成多少種不同的信號(hào)??如果問題中數(shù)量很少,一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)也不失為一種計(jì)數(shù)的好方法.但如果問題中數(shù)量很多,我們還一個(gè)一個(gè)地去數(shù)嗎?在小學(xué)我們學(xué)了加法和乘法,這是將若干個(gè)“小”的數(shù)結(jié)合成“較大”的數(shù)最基本的方法.這兩種方法經(jīng)過推廣就成了本章將要學(xué)習(xí)的分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.這兩個(gè)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法,利用兩個(gè)計(jì)算原理還可以得到兩類特殊計(jì)數(shù)問題的計(jì)數(shù)公式一排列數(shù)公式和組合數(shù)公式,應(yīng)用公式就可以方便地解決一些計(jì)數(shù)問題.作為計(jì)數(shù)原理與計(jì)數(shù)公式的一個(gè)應(yīng)用,本章我們還將學(xué)習(xí)在數(shù)學(xué)上有廣泛應(yīng)用的二項(xiàng)式定理.1.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)問題是我們從小就經(jīng)常遇到的,通過列舉一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)是計(jì)數(shù)的基本方法.但當(dāng)問題中的數(shù)量很大時(shí),列舉的方法效率不高.能否設(shè)計(jì)巧妙的“數(shù)法”,以提高效率呢?下面先分析一個(gè)簡(jiǎn)單的問題,并嘗試從中得出巧妙的計(jì)數(shù)方法.【思考】用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的一個(gè)座位編號(hào),總共能編出多少種不同的號(hào)碼?因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè),阿拉伯?dāng)?shù)字共有10個(gè),所以總共可以編出26+10=36種不同的號(hào)碼.【探究】你能說(shuō)一說(shuō)這個(gè)問題的特征嗎?首先,這里要完成的事情是“給一個(gè)座位編號(hào)”;其次是“或”字的出現(xiàn)：一個(gè)座位編號(hào)用一個(gè)英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字表示.因?yàn)橛⑽淖帜概c阿拉伯?dāng)?shù)字互不相同,所以用英文字母編出的號(hào)碼與用阿拉伯?dāng)?shù)字編出的號(hào)碼也互不相同.這兩類號(hào)碼數(shù)相加就得到號(hào)碼的總數(shù).上述計(jì)數(shù)過程的基本環(huán)節(jié)是:(1)確定分類標(biāo)準(zhǔn),根據(jù)問題條件分為字母號(hào)碼和數(shù)字號(hào)碼兩類;(2)分別計(jì)算各類號(hào)碼的個(gè)數(shù);(3)各類號(hào)碼的個(gè)數(shù)相加,得出所有號(hào)碼的個(gè)數(shù).一般地,有如下分類加法計(jì)數(shù)原理:完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N種不同的方法.例1在填寫高考志愿表時(shí),一名高中畢業(yè)生了解到,A,B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),如表6.1-1。表6.1-1A大學(xué)B大學(xué)生物學(xué)數(shù)學(xué)化學(xué)會(huì)計(jì)學(xué)醫(yī)學(xué)信息技術(shù)學(xué)物理學(xué)法學(xué)工程學(xué)如果這名同學(xué)只能選一個(gè)專業(yè),那么他共有多少種選擇?分析：要完成的事情是“選一個(gè)專業(yè)”.因?yàn)檫@名同學(xué)在A,B兩所大學(xué)中只能選擇一所,而且只能選擇一個(gè)專業(yè),又因?yàn)檫@兩所大學(xué)沒有共同的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),所以符合分類加法計(jì)數(shù)原理的條件.解：這名同學(xué)可以選擇A,B兩所大學(xué)中的一所.在A大學(xué)中有5種專業(yè)選擇方法,在B大學(xué)中有4種專業(yè)選擇方法.因?yàn)闆]有一個(gè)強(qiáng)項(xiàng)專業(yè)是兩所大學(xué)共有的,所以根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為N【探究】如果完成一件事有三類不同方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,在第3類方案中有如果完成一件事情有n類不同方案,在每一米中都有若千種不同的方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?【思考】用前6個(gè)大寫英文字母和1～9這9個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字,以A1,這里要完成的事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，但與前一問題的要求不同.在前一問題中,用26個(gè)英文字母中的任意一個(gè)或10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中的任意一個(gè)，都可以給出一個(gè)座位號(hào)碼.但在這個(gè)問題中,號(hào)碼必須由一個(gè)英文字母和一個(gè)作為下標(biāo)的阿拉伯?dāng)?shù)字組成,即得到一個(gè)號(hào)碼要經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母,后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這樣兩個(gè)步驟.用圖6.1-1所示的方法可以列出所有可能的號(hào)碼.圖6.1-1也可以這樣思考:由于前6個(gè)英文字母中的任意一個(gè)都能與9個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè)組成一個(gè)號(hào)碼,而且它們互不相同,因此共有6×9=54種不同的號(hào)碼.【探究】你能說(shuō)一說(shuō)這個(gè)問題的特征嗎?上述問題要完成的一件事情仍然是“給一個(gè)座位編號(hào)”，其中最重要的特征是“和”字的出現(xiàn):一個(gè)座位編號(hào)由一個(gè)英文字母和一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字構(gòu)成.空因此得到一個(gè)座位號(hào)要空經(jīng)過先確定一個(gè)英文字母,空后確定一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字這兩個(gè)步驟,每一個(gè)英文字母與不同的數(shù)字組成的號(hào)碼是互不相同的.一般地,有如下分步乘法計(jì)數(shù)原理:完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N例2某班有男生30名、女生24名,從中任選男生和女生各1名代表班級(jí)參加比賽，共有多少種不同的選法?分析:要完成的一件事是“選男生和女生各1名”,可以分兩個(gè)步驟：第1步,選男生;第2步,選女生.解:第1步,從30名男生中選出1人,有30種不同選法;第2步,從24名女生中選出1人,有24種不同選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有不同選法的種數(shù)為N【探究】如果完成一件事需要三個(gè)步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第3步有如果完成一件事情需要n個(gè)步驟,做每一步都有若千種不同的方法,那么應(yīng)當(dāng)如何計(jì)數(shù)呢?例3書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書,第2層放有3本不同的文藝書,第3層放有2本不同的體育書.（1）從書架上任取1本書,有多少種不同取法?（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書，有多少種不同取法?分析：（1）要完成的一件事是“從書架上取1本書”,可以分從第1層、第2層和第3層中取三類方案;(2)要完成的一件事是“從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書”，可以分三個(gè)步驟完成.解：（1）從書架上任取1本書,有三類方案：第1類方案是從第1層取1本計(jì)算機(jī)書,有4種方法;第2類方案是從第2層取1本文藝書,有3種方法;第3類方案是從第3層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同取法的種數(shù)為N（2）從書架的第1層、第2層、第3層各取1本書,,可以分三個(gè)步驟完成：第1步,從第1層取1本計(jì)算機(jī)書,有4種方法;第2步,從第2層取1本文藝書,有3種方法;第3步,從第3層取1本體育書,有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同取法的種數(shù)為N例4要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅,分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，共有多少種不同的掛法?分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅,并分別掛在左、右兩邊墻上”,可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上,可以分兩個(gè)步驟完成:第1步,從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上,有3種選法;第2步,從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上,有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同掛法的種數(shù)為N這6種掛法如圖6.1-2所示.圖6.1-2分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題.區(qū)別在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分類”問題,其中各種方法相互獨(dú)立,用其中任何一種方法都可以做完這件事;分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)的是“分步”問題,各個(gè)步驟中的方法互相依存,只有每一個(gè)步驟都完成才算做完這件事.【練習(xí)】1填空題（1）一項(xiàng)工作可以用2種方法完成,有5人只會(huì)用第1種方法完成,另有4人只會(huì)用第2種方法完成,從中選出1人來(lái)完成這項(xiàng)工作,不同選法的種數(shù)是(2)從A村去B村的道路有3條,從B村去C村的道路有2條,從A村經(jīng)B村去C村,不同路線的條數(shù)是2在例1中,如果數(shù)學(xué)也是A大學(xué)的強(qiáng)項(xiàng)專業(yè),那么A大學(xué)共有6個(gè)專業(yè)可以選擇,B大學(xué)共有4個(gè)專業(yè)可以選擇,應(yīng)用分類加法計(jì)數(shù)原理,得到這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇種數(shù)為6+4=10.這種算法有什么問題?3書架上層放有6本不同的數(shù)學(xué)書,下層放有5本不同的語(yǔ)文書.（1）從書架上任取1本書,有多少種不同的取法?（2）從書架上任取數(shù)學(xué)書和語(yǔ)文書各1本,有多少種不同的取法?4現(xiàn)有高一年級(jí)的學(xué)生3名,高二年級(jí)的學(xué)生5名,高三年級(jí)的學(xué)生4名.（1）從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中任選1人參加接待外賓的活動(dòng),有多少種不同的選法?（2）從三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中各選1人參加接待外賓的活動(dòng),有多少種不同的選法?例5給程序模塊命名,需要用3個(gè)字符,其中首字符要求用字母A～G或U～分析：要完成的一件事是“給一個(gè)程序模塊命名”,可以分三個(gè)步驟完成：第1步,選首字符;第2步,選中間字符;第3步,選最后一個(gè)字符.而首字符又可以分為兩類.解:由分類加法計(jì)數(shù)原理,首字符不同選法的種數(shù)為7+6=13.后兩個(gè)字符從1～由分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同名稱的個(gè)數(shù)是你還能給出不同的解法嗎?13×9×9=1053,即最多可以給1053個(gè)程序模塊命名.例6電子元件很容易實(shí)現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài),而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計(jì)算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法,即二進(jìn)制.為了使計(jì)算機(jī)能夠識(shí)別字符,需要對(duì)字符進(jìn)行編碼,每個(gè)字符可以用1個(gè)或多個(gè)字節(jié)來(lái)表示,其中字節(jié)是計(jì)算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲(chǔ)的最小計(jì)量單位,每個(gè)字節(jié)由8個(gè)二進(jìn)制位構(gòu)成.（1）1個(gè)字節(jié)（8位）最多可以表示多少個(gè)不同的字符?（2）計(jì)算機(jī)漢字國(guó)標(biāo)碼包含了6763個(gè)漢字,一個(gè)漢字為一個(gè)字符,要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼,每個(gè)漢字至少要用多少個(gè)字節(jié)表示?分析:（1）要完成的一件事是“確定1個(gè)字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”.由于每個(gè)字節(jié)有8個(gè)二進(jìn)制位,每一位上的值都有0,1兩種選擇,而且不同的順序代表不同的字符,因此可以用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解;（2）只要計(jì)算出多少個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個(gè)即可.解:（1）用圖6.1-3表示1個(gè)字節(jié).圖6.1-31個(gè)字節(jié)共有8位,每位上有2種選擇.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,1個(gè)字節(jié)最多可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是2×2×2×2×2×2×2×2=（2）由（1）知,1個(gè)字節(jié)所能表示的不同字符不夠6763個(gè)，我們考慮2個(gè)字節(jié)能夠表示多少個(gè)字符.前1個(gè)字節(jié)有256種不同的表示方法,后1個(gè)字節(jié)也有256種表示方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,2個(gè)字節(jié)可以表示不同字符的個(gè)數(shù)是256×256=65536.這已經(jīng)大于漢字國(guó)標(biāo)碼包含的漢字個(gè)數(shù)6763.因此要對(duì)這些漢字進(jìn)行編碼,每個(gè)漢字至少要用2個(gè)字節(jié)表示.例7計(jì)算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試.程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開始到結(jié)束的路線),以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù).一般地,一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成.圖6.1-4是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊,它有多少條執(zhí)行路徑?另外,為了減少測(cè)試時(shí)間,程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法,以減少測(cè)試次數(shù)嗎?圖6.1-4分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點(diǎn);第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來(lái)完成;第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來(lái)完成.因此,分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理.解:由分類加法計(jì)數(shù)原理,子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91;子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.又由分步乘法計(jì)數(shù)原理,整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371.在實(shí)際測(cè)試中,程序員總是把每一個(gè)子模塊看成一個(gè)黑箱,即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來(lái)測(cè)試整個(gè)模塊.這樣,他可以先分別單獨(dú)測(cè)試5個(gè)模塊,以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常.總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172.再測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常,只需要測(cè)試程序第1步中的各個(gè)子模塊和第2步中的各個(gè)子模塊之間的信息交流是否正常,需要的測(cè)試次數(shù)為3×2=6.如果每個(gè)子模塊都工作正常,并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常,那么整個(gè)程序模塊就工作正常.這樣測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178.你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎?顯然,178與7371的差距是非常大的.例8通常,我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成:第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào),第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào),如圖6.1-5所示.冀A'JR005發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)圖6.1-5序號(hào)對(duì)于省和自治區(qū),發(fā)牌機(jī)關(guān)通常是指其地級(jí)市的公共交通管理部門,并用英文字母依次編碼.例如河北省石家莊市、唐山市的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)分別為A,B.直轄市的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)可備案后依次自行使用.其中,序號(hào)的編碼規(guī)則為:(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O,I之外的24個(gè)英文字母組成;(2)最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼,那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌?分析:由號(hào)牌編號(hào)的組成可知,序號(hào)的個(gè)數(shù)決定了這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù).按序號(hào)編碼規(guī)則可知,每個(gè)序號(hào)中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的,并且可將序號(hào)分為三類:沒有字母,有1個(gè)字母,有2個(gè)字母.以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn),可將有1個(gè)字母的序號(hào)分為五個(gè)子類,將有2個(gè)字母的序號(hào)分為十個(gè)子類.解:由號(hào)牌編號(hào)的組成可知,這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號(hào)牌數(shù)就是序號(hào)的個(gè)數(shù).根據(jù)序號(hào)編碼規(guī)則,5位序號(hào)可以分為三類:沒有字母,有1個(gè)字母,有2個(gè)字母.(1)當(dāng)沒有字母時(shí),序號(hào)的每一位都是數(shù)字.確定一個(gè)序號(hào)可以分5個(gè)步驟,每一步都可以從10個(gè)數(shù)字中選1個(gè),各有10種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,這類號(hào)牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000.(2)當(dāng)有1個(gè)字母時(shí),這個(gè)字母可以分別在序號(hào)的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位,這類序號(hào)可以分為五個(gè)子類.當(dāng)?shù)?位是字母時(shí),分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1步,從24個(gè)字母中選1個(gè)放在第1位,有24種選法;第2～24×10×10×10×10=240000.同樣,其余四個(gè)子類號(hào)牌也各有240000張.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,這類號(hào)牌張數(shù)一共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.(3)當(dāng)有2個(gè)字母時(shí),根據(jù)這2個(gè)字母在序號(hào)中的位置,可以將這類序號(hào)分為十個(gè)子類:第1位和第2位,第1位和第3位,第1位和第4位,第1位和第5位,第2位和第3位,第2位和第4位,第2位和第5位,第3位和第4位,第3位和第5位,第4位和第5位.當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時(shí),分5個(gè)步驟確定一個(gè)序號(hào)中的字母和數(shù)字:第1,2步都是從24個(gè)字母中選1個(gè)分別放在第1位、第2位,各有24種選法;第3～24×24×10×10×10=576000.同樣,其余九個(gè)子類號(hào)牌也各有576000張.于是,這類號(hào)牌張數(shù)一共為576000×10=5760000.綜合(1)(2)(3),根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號(hào)牌張數(shù)為100000+1200000+5760000=7060000.【思考】你能歸納一下用分類加法計(jì)數(shù)原理、分類乘法計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題的方法嗎？用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決計(jì)數(shù)問題時(shí),最重要的是在開始計(jì)算之前要仔細(xì)分析兩點(diǎn):(1)要完成的“一件事”是什么；(2)需要分類還是需要分步.分類要做到“不重不漏”.分類后再分別對(duì)每一類進(jìn)行計(jì)數(shù),最后用分類加法計(jì)數(shù)原理求和,得到總數(shù).分步要做到“步驟完整”,即完成了所有步驟,恰好完成任務(wù).分步后再計(jì)算每一步的方法數(shù),最后根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,把完成每一步的方法數(shù)相乘,得到總數(shù).【思考】乘法運(yùn)算是特定條件下加法運(yùn)算的簡(jiǎn)化,分步乘法計(jì)數(shù)原理和分類加法計(jì)數(shù)原理也有這種類似的關(guān)系嗎?【練習(xí)】1.乘積a12在所有的兩位數(shù)中,個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?3某商場(chǎng)有6個(gè)門,如果某人從其中的任意一個(gè)門進(jìn)人商場(chǎng),并且要求從其他的門出去,那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?4任意畫一條直線,在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).(1)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段,可得到多少條線段?(2)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量,可得到多少個(gè)向量?習(xí)題6.1【復(fù)習(xí)鞏固】1一個(gè)商店銷售某種型號(hào)的電視機(jī),其中本地的產(chǎn)品有4種,外地的產(chǎn)品有7種.要買1臺(tái)這種型號(hào)的電視機(jī)，有多少種不同的選法?2如圖,從甲地到乙地有2條路,從乙地到丁地有3條路;從甲地到丙地有4條路,從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線?(第2題)(第3題)3如圖,要讓電路從A處到B處接通,可有多少條不同的路徑?4用1,5,9,13中的任意一個(gè)數(shù)作分子,4,8,12,16中任意一個(gè)數(shù)作分母,可構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)?可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)?5一個(gè)口袋內(nèi)裝有5個(gè)小球,另一個(gè)口袋內(nèi)裝有6個(gè)小球,所有這些小球的顏色互不相同.從兩個(gè)袋子中分別取1個(gè)球,共有多少種不同的取法?6(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在A={0,1,2,3,4,5}(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),斜率在集合B={1,3,5,7}內(nèi)取值,y軸上的截距在集合C【綜合應(yīng)用】7一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有0～9共10個(gè)數(shù)字.現(xiàn)最后一個(gè)撥號(hào)盤出現(xiàn)了故障,只能在8（1）4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì),每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì),不同報(bào)法的種數(shù)是34還是4(2)3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽,不同選法的種數(shù)是35還是59(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué),每人一件,有多少種不同的送法?(2)有5個(gè)編了號(hào)的抽屜,要放進(jìn)3本不同的書,不同的放法有多少種?(一個(gè)抽屜可放多本書.)10口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球,每個(gè)球編有不同的號(hào)碼,現(xiàn)從中取出2個(gè)球.(1)正好是白球、紅球各一個(gè)的取法有多少種?(2)正好是兩個(gè)白球的取法有多少種?(3)至少有一個(gè)白球的取法有多少種?(4)兩球的顏色相同的取法有多少種?【擴(kuò)展探索】11在國(guó)慶長(zhǎng)假期間,要從7人中選若干人在7天假期值班(每天只需1人值班),不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天,有多少種可能的安排方法?122160有多少個(gè)不同的正因數(shù)?【探究與發(fā)現(xiàn)】子集的個(gè)數(shù)有多少問題n元集合A=為了解決這個(gè)問題,一個(gè)可行的思路是先研究一下某些具體集合,如S=由于S中的元素只有3個(gè),因此可以用列舉法列出它的所有子集:?,a1可見,一個(gè)含有3個(gè)元素的集合共有8個(gè)子集.如果一個(gè)集合所含元素較少,可以用列舉法確定其子集的個(gè)數(shù).但如果集合中的元素較多,用這種方法確定子集個(gè)數(shù)就不太方便了.另外,從上述描述中較難發(fā)現(xiàn)集合S中所含元素的個(gè)數(shù)3與其子集個(gè)數(shù)8之間的關(guān)系.雖然列舉法較“笨”,但它是計(jì)數(shù)的基本方法.請(qǐng)你列舉一下4元集合a1,a2,顯然,元素ai(i=1,2,3)與各子集的關(guān)系只有兩種:ai屬于子集或ai不屬于子集.這樣,我們可以考慮用考察S中的每一個(gè)元素屬不屬于某個(gè)子集的方法來(lái)得到一個(gè)子集.因?yàn)榈?步,考察元素a1是否在S1中,有2種可能第2步,考察元素a2是否在S1中,有2種可能第3步,考察元素a3是否在S1中,有2種可能只要完成上述三個(gè)步驟,那么集合S12×2×2=從上述過程,可以看到集合S中所含元素的由此,你是否對(duì)把空集及原集合自身作為子集的規(guī)定有進(jìn)一步的理解?個(gè)數(shù)3與其子集個(gè)數(shù)8之間的關(guān)系:3是23中的指數(shù),而8是2一般地,我們有:n元集合A=a1證明:要得到集合A的一個(gè)子集S1,可以分n第1步,考察元素a1是否在S1中,有2種可能第2步,考察元素a2是否在S1中,有2種可能第k步,考察元素ak是否在S1中,有2種可能第n步,考察元素an是否在S1中,有2種可能只要完成上述n個(gè)步?,那么集合S1中元素就完全確定了.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,對(duì)于由n2×2×你還能用另外的方法證明上述結(jié)論嗎?1.2排列與組合在上節(jié)例8的解答中我們看到,用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí),因做了一些重復(fù)性工作而顯得煩瑣.能否對(duì)這類計(jì)數(shù)問題給出一種簡(jiǎn)捷的方法呢?為此,先來(lái)分析兩個(gè)具體的問題.1.2.1排列問題1從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名參加一項(xiàng)活動(dòng),其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng),另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng),有幾種不同的選法?此時(shí),要完成的一件事是“選出2名同學(xué)參加活動(dòng),1名同學(xué)參加上午的活動(dòng),另1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)”,可以分兩個(gè)步驟:第1步,確定參加上午活動(dòng)的同學(xué),從3人中任選1人,有3種選法;第2步,確定參加下午活動(dòng)的同學(xué),當(dāng)參加上午活動(dòng)的同學(xué)確定后,參加下午活動(dòng)的同學(xué)只能從剩下的2人中去選,有2種選法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為3×2=6.這6種不同的選法如圖6.2-1所示.如果把上面問題中被取出的對(duì)象叫做元素,那么問題可敘述為:從3個(gè)不同的元素a,所有不同的排列是ab圖6.2-1不同的排列方法種數(shù)為3×2=6.問題1中的“順序”是什么?問題2從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù),共可得到多少個(gè)不同的三位數(shù)?顯然,從4個(gè)數(shù)字中,每次取出3個(gè),按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列,就得到一個(gè)三位數(shù).因此有多少種不同的排列方法就有多少個(gè)不同的三位數(shù).可以分三個(gè)步驟來(lái)解決這個(gè)問題:第1步,確定百位上的數(shù)字,從1,2,3,4這4個(gè)數(shù)字中任取1個(gè),有4種方法;第2步,確定十位上的數(shù)字,當(dāng)百位上的數(shù)字確定后,十位上的數(shù)字只能從余下的3個(gè)數(shù)字中去取，有3種方法;第3步,確定個(gè)位上的數(shù)字,當(dāng)百位、十位上的數(shù)字確定后,個(gè)位的數(shù)字只能從余下的2個(gè)數(shù)字中去取,有2種方法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,從1,2,3,4這4個(gè)不同的數(shù)字中,每次取出3個(gè)數(shù)字,按“百位、十位、個(gè)位”的順序排成一列,不同的排法種數(shù)為4×3×2=24.因而共可得到24個(gè)不同的三位數(shù),如圖6.2-2所示.圖6.2-2由此可寫出所有的三位數(shù):123,124,132,134,142,143,同樣,問題2可以歸結(jié)為:從4個(gè)不同的元素a,所有不同的排列是abc問題2中的“順序”是什么?不同的排列方法種數(shù)為4×3×2=24.【思考】上述問題1，2的共同特點(diǎn)是什么?你能將它們推廣到一般情形嗎?問題1和問題2都是研究從一些不同元素中取出部分元素,并按照一定的順序排成一列的方法數(shù).一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m?n)根據(jù)排列的定義,兩個(gè)排列相同的充要條件是:兩個(gè)排列的元素完全相同,且元素的排列順序也相同.例如，在問題1中，“甲乙”與“甲丙”的元素不完全相同,它們是不同的排列;“甲乙”與“乙甲”雖然元素完全相同,但元素的排列順序不同,它們也是不同的排列.又如,在問題2中,123與134的元素不完全相同,它們是不同的排列;123與132雖然元素完全相同,但元素的排列順序不同,它們也是不同的排列.例1某省中學(xué)生足球賽預(yù)選賽每組有6支隊(duì)，每支隊(duì)都要與同組的其他各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽1場(chǎng),那么每組共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽?分析：每組任意2支隊(duì)之間進(jìn)行的1場(chǎng)比賽,可以看作是從該組6支隊(duì)中選取2支,按“主隊(duì)、客隊(duì)”的順序排成的一個(gè)排列.解:可以先從這6支隊(duì)中選1支為主隊(duì),然后從剩下的5支隊(duì)中選1支為客隊(duì).按分步乘法計(jì)數(shù)原理,每組進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為6×5=30.例2(1)一張餐桌上有5盤不同的菜,甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中各取1盤菜,共有多少種不同的取法?（2）學(xué)校食堂的一個(gè)窅口共賣5種菜,甲、乙、丙3名同學(xué)每人從中選一種,共有多少種不同的選法?分析:3名同學(xué)每人從5盤不同的采中取1盤菜,可看作是從這5盤菜中任取3盤,放在3個(gè)位置（給3名同學(xué))的一個(gè)排列;而3名同學(xué)每人從食堂窗口的5種菜中選1種,每人都有5種選法,不能看成一個(gè)排列.解：（1）可以先從這5盤菜中取1盤給同學(xué)甲,然后從剩下的4盤菜中取1盤給同學(xué)乙,最后從剩下的3舟菜中取1盤給同學(xué)丙.按分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的取法種數(shù)為5×4×3=60.(2)可以先讓同學(xué)甲從5種菜中選1種,有5種選法;再讓同學(xué)乙從5種菜中選1種,也有5種選法;最后讓同學(xué)丙從5種菜中選1種,同樣有5種選法.按分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的選法種數(shù)為5×5×5=125【練習(xí)】1寫出:(1)用0～(2)從a,3(1)5名運(yùn)動(dòng)員中有3名參加乒乓球團(tuán)體比賽,如果前三場(chǎng)單打比賽每名運(yùn)動(dòng)員各出場(chǎng)1次,那么前三場(chǎng)單打比賽的順序有幾種?(2)乒乓球比賽規(guī)定,團(tuán)體比賽采取5場(chǎng)單打3勝制,每支球隊(duì)由3名運(yùn)動(dòng)員參賽,前三場(chǎng)各出場(chǎng)1次,其中第1,2個(gè)出場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)員分別還將參加第4,5場(chǎng)比賽.寫出甲、乙、丙3人參加比賽可能的全部順序.排列數(shù)前面給出了排列的定義,下面探究計(jì)算排列個(gè)數(shù)的公式.我們把從n個(gè)不同元素中取出m(m?n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù),叫做從n例如,前面問題1是求從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù),表示為A3A問題2是求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù),表示為A4A【探究】從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)An可以先從特殊情況開始探究,例如求排列數(shù)An假定有排好順序的兩個(gè)空位,如圖6.2-3所示,從n個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素去填空,一個(gè)空位填上一個(gè)元素,每一種填法就得到一個(gè)排列；反之，任何一種排列總可以由這種填法得到.因此,所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)An現(xiàn)在來(lái)計(jì)算有多少種填法.完成“填空”這件事可以分圖6.2-3為兩個(gè)步驟完成:第1步,填第1個(gè)位置的元素,可以從這n個(gè)不同元素中任選1個(gè),有n種選法;第2步,填第2個(gè)位置的元素,可以從剩下的(n?1)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,2個(gè)空位的填法種數(shù)為A同理,求排列數(shù)AnA一般地,求排列數(shù)Anm可以按依次填假定有排好順序的m個(gè)空位,如圖6.2-4所示,從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素去填空,一個(gè)空位填上一個(gè)元素,每一種填法就對(duì)應(yīng)一個(gè)排列.因此,所有不同填法的種數(shù)就是排列數(shù)An圖6.2-4填空可以分為m個(gè)步驟完成:第1步,從n個(gè)不同元素中任選1個(gè)填在第1位,有n種選法;第2步,從剩下的(n?1)第3步,從剩下的(n?2)第m步,從剩下的[n?(m?根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,m個(gè)空位的填法種數(shù)為n這樣,我們就得到公式A你能說(shuō)一下排列數(shù)公式的特點(diǎn)嗎?這里,m,n∈根據(jù)排列數(shù)公式,我們就能方便地計(jì)算出從n個(gè)不同元素中取出m(A特別地,我們把n個(gè)不同的元素全部取出的一個(gè)排列,叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列.這時(shí),排列數(shù)公式中m=A也就是說(shuō),將n個(gè)不同的元素全部取出的排列數(shù),等于正整數(shù)1到n的連乘積.正整數(shù)1到n的連乘積,叫做n的階乘,用n!表示.于是,n個(gè)元素的全排列數(shù)公式可以寫成A另外,我們規(guī)定,0!=1.例3計(jì)算:(1)A7(2)A7(3)A7(4)A6解:根據(jù)排列數(shù)公式,可得(1)A7(2)A7(3)A7(4)A6【思考】由例3可以看到,A73=事實(shí)上,A因此,排列數(shù)公式還可以寫成A例4用0～分析:在0～解法1:如圖6.2-5所示,由于三位數(shù)的百位上的數(shù)字不能是0,所以可以分兩步完成:第1步,確定百位上的數(shù)字,可以從1～9這9個(gè)數(shù)字中取出1個(gè),有A9圖6.2-5A解法2：如圖6.2-6所示,符合條件的三位數(shù)可以分成三類：第1類,每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù),可以從1～9這9個(gè)數(shù)字中取出3個(gè),有A93種取法;第2類,個(gè)位上的數(shù)字是0的三位數(shù),可以從剩下的9個(gè)數(shù)字中取出2個(gè)放在百位和十位,有圖6.2-6根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,所求三位數(shù)的個(gè)數(shù)為A解法3：從0～9這10個(gè)數(shù)字中選取3個(gè)的排列數(shù)為A10A對(duì)于例4這類計(jì)數(shù)問題,從不同的角度就有不同的解題方法.解法1根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求,按分步乘法計(jì)數(shù)原理完成從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事;解法2是以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn),按分類加法計(jì)數(shù)原理完成這件事;解法3是一種間接法,先求出從10個(gè)數(shù)中取出3個(gè)數(shù)的排列數(shù),然后減去其中百位是0的排列數(shù)(不是三位數(shù)的個(gè)數(shù)),就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù).從上述問題的解答過程可以看到,引人排列的概念,歸納出排列數(shù)公式,我們就能便捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m(【練習(xí)】1先計(jì)算,然后用計(jì)算工具檢驗(yàn)：(1)A12(2)A8(3)A15(4)A122求證:(1)An(2)A83一個(gè)火車站有8股岔道,如果每股道只能停放1列火車,現(xiàn)要停放4列不同的火車,共有多少種不同的停放方法?1.2.2組合【探究】從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng),有多少種不同的選法?這一問題與6.2.1節(jié)的問題1有什么聯(lián)系與區(qū)別?在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2種不同順序的選法,我們可以將它看成是先選出甲、乙2名同學(xué),然后再分配上午和下午而得到的.同樣,先選出甲、丙或乙、丙,再分配上午和下午也都各有2種方法.而從甲、乙、丙3名同學(xué)中選2名去參加一項(xiàng)活動(dòng),就只需考慮將選出的2名同學(xué)作為一組,不需要考慮他們的順序.于是,在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中,將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況:甲乙,甲丙,乙丙.將具體背景舍去,上述問題可以概括為:從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素作為一組,一共有多少個(gè)不同的組?這就是我們要研究的問題.一般地,從n個(gè)不同元素中取出m(m?n)【思考】你能說(shuō)一說(shuō)排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)別嗎?從排列與組合的定義可以知道,兩者都是從n個(gè)不同元素中取出m(m問題中,“甲乙”與“乙甲”的元素完全相同,但元素的排列順序不同,因此它們是相同的組合,但不是相同的排列.由此,以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類,就可以建立起排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,如圖6.2-7所示.圖6.2-7由此,6.2.1節(jié)問題1的6個(gè)排列可以分成每組有2個(gè)不同排列的3個(gè)組,也就是上面【探究】問題的3個(gè)組合.【思考】校門ロ停放著9輛共享自行車,其中黃色、紅色和綠色的各有3輛.下面的問題是排列問題，還是組合問題?(1)從中選3輛,有多少種不同的方法?(2)從中選3輛給3位同學(xué),有多少種不同的方法?例5平面內(nèi)有A,（1）以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條?(2)以其中2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條?分析：（1）確定一條有向線段,不僅要確定兩個(gè)端點(diǎn),還要考慮它們的順序,是排列問題;（2）確定一條線段,只需確定兩個(gè)端點(diǎn),而不需考慮它們的順序,是組合問題.解：（1）一條有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)要分起點(diǎn)和終點(diǎn),以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù),就是從4個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù),即有向線段條數(shù)為A這12條有向線段分別為AB,（2）由于不考慮兩個(gè)端點(diǎn)的順序,因此將（1）中端點(diǎn)相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是以平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，共有如下6條：AB【思考】利用排列和組合之間的關(guān)系,以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5(1)中排列和(2)中組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎?進(jìn)一步地,能否從這種對(duì)應(yīng)關(guān)系出發(fā),由排列數(shù)求出組合的個(gè)數(shù)?【練習(xí)】1甲、乙、丙、丁4支足球隊(duì)舉行單循環(huán)賽.（1）列出所有各場(chǎng)比賽的雙方;（2）列出所有冠、亞軍的可能情況.2已知平面內(nèi)A,B,(1)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相加,可以得到多少個(gè)不相等的和?(2)從這4個(gè)數(shù)中任取2個(gè)相減,可以得到多少個(gè)不相等的差?組合數(shù)類比排列數(shù),我們引進(jìn)組合數(shù)概念:從n個(gè)不同元素中取出m(m?n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù),叫做從n例如,從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)表示為C32,從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)表示為【探究】前面已經(jīng)提到,組合和排列有關(guān)系,我們能否利用這種關(guān)系,由排列數(shù)Anm來(lái)求組合數(shù)前面,我們利用“元素相同、順序不同的兩個(gè)組合相同”“元素相同、順序不同的兩個(gè)排列不同”，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)，建立了排列和組合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,并求得了從3個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)C運(yùn)用同樣的方法,我們來(lái)求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)C43.設(shè)這4個(gè)元素為a,b,圖6.2-8觀察圖6.2-8,也可以這樣理解求“從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)A43”:第1步,從4個(gè)元素中取出3個(gè)元素作為一組,共有第2步,將取出的3個(gè)元素作全排列,共有A3A即C同樣地,求“從n個(gè)元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)An第1步,從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素作為一組,共有Cn第2步,將取出的m個(gè)元素作全排列,共有Am根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,有A因此,C這里n,m∈因?yàn)锳所以,上面的組合數(shù)公式還可以寫成C另外,我們規(guī)定Cn例6計(jì)算:(1)C103;(2)C107;(3)解：根據(jù)組合數(shù)公式,可得(1)C10(2)C10(3)C10(4)C10【思考】觀察例6的(1)與(2),(3)與(4)的結(jié)果,你有什么發(fā)現(xiàn)?(1)與(2)分別用了不同形式的組合數(shù)公式,你對(duì)公式的選擇有仕么想法?例7在100件產(chǎn)品中,有98件合格品,2件次品.從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件.(1)有多少種不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種?分析:（1）從100件產(chǎn)品中任意抽出3件,不需考慮順序,因此這是一個(gè)組合問題;(2)可以先從2件次品中抽出1件,再?gòu)?8件合格品中抇出2件,因此可以看作是一個(gè)分步完成的組合問題;（3）從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品的情況,因此可以看作是一個(gè)分類完成的組合問題.數(shù)為C（2）從2件次品中抽出1件的抽法有C21種,從98件合格品中抽出2件的抽法有C從2件次品中抽出1件的抽法數(shù)可以是A2（3）方法1從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品,包括有1件次品和有2件次品兩種情況,因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù)為C方法2抽出的3件中至少有1件是次品的抽法種數(shù),就是從100件產(chǎn)品中抽出3件的抽法種數(shù)減去3件都是合格品的抽法種數(shù),即C當(dāng)n和m取較小數(shù)值時(shí),可以通過手算得出Anm和Cnm.當(dāng)n和m取較大數(shù)值時(shí),可以使用信息技術(shù)工具,以使計(jì)算更快捷和準(zhǔn)確.許多信息技術(shù)工具都有計(jì)算排列數(shù)Anm和組合數(shù)【練習(xí)】1先計(jì)算,然后用計(jì)算工具檢驗(yàn):(1)C6(2)C9(3)C7(4)3C2求證:Cn3有政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物這6門學(xué)科的學(xué)業(yè)水平考試成績(jī),現(xiàn)要從中選3門考試成績(jī).（1）共有多少種不同的選法?（2）如果物理和化學(xué)恰有1門被選,那么共有多少種不同的選法?(3)如果物理和化學(xué)至少有1門被選,那么共有多少種不同的選法?習(xí)題6.2【復(fù)習(xí)鞏固】1先計(jì)算,然后用計(jì)算工具檢驗(yàn):(1)5A(2)A42先計(jì)算,然后用計(jì)算工具檢驗(yàn):(1)C15(2)C200(3)C6(4)Cn3壹圓、伍圓、拾圓、貳拾圓的人民幣各1張,一共可以組成多少種幣值?4填空題(1)有3張參觀券,要在5人中確定3人去參觀,不同方法的種數(shù)是(2)要從5件不同的禮物中選出3件分別送3位同學(xué),不同方法的種數(shù)是(3)5名工人各自在3天中選擇1天休息,不同方法的種數(shù)是(4)集合A有m個(gè)元素,集合B有n個(gè)元素,從兩個(gè)集合中各取1個(gè)元素,不同方法的種數(shù)是5一名同學(xué)有4本不同的數(shù)學(xué)書,5本不同的物理書,3本不同的化學(xué)書,現(xiàn)要將這些書放在一個(gè)單層的書架上.(1)如果要選其中的6本書放在書架上,那么有多少種不同的放法?（2）如果要將全部的書放在書架上,且不使同類的書分開,那么有多少種不同的放法?6（1）空間中有8個(gè)點(diǎn),其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面,過每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面,可以作多少個(gè)平面?（2）空間中有10個(gè)點(diǎn),其中任何4個(gè)點(diǎn)不共面,過每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體,可以作多少個(gè)四面體?7在一次考試的選做題部分,要求在第1題的4個(gè)小題中選做3個(gè)小題,在第2題的3個(gè)小題中選做2個(gè)小題,在第3題的2個(gè)小題中選做1個(gè)小題,有多少種不同的選法?【綜合應(yīng)用】求證:(1)An(2)(n9學(xué)校要安排一場(chǎng)文藝晩會(huì)的11個(gè)節(jié)目的演出順序.除第1個(gè)節(jié)目和最后1個(gè)節(jié)目已確定外,4個(gè)音樂節(jié)目要求排在第2,5,7,10的位置,3個(gè)舞蹈節(jié)目要求排在第3,6,9的位置,2個(gè)，曲藝節(jié)目要求排在第4,8的位置,有多少種不同的排法?10.班上每個(gè)小組有12名同學(xué),現(xiàn)要從每個(gè)小組選4名同學(xué)代表本組與其他小組進(jìn)行辯論賽.(1)每個(gè)小組有多少種選法?(2)如果還要從選出的同學(xué)中指定1名作替補(bǔ),那么每個(gè)小組有多少種選法?(3)如果還要將選出的同學(xué)分別指定為第一、二、三、四辯手,那么每個(gè)小組有多少種選法?11一個(gè)有n×n個(gè)數(shù)的數(shù)值方陣,最上面一行中有n個(gè)互不相同的數(shù).能否由這n個(gè)數(shù)以不同的順序形成其余的每一行,并使任意兩行的順序都不相同?如果一個(gè)數(shù)陣有m行,而且每行有n個(gè)互不相同的數(shù),為使每一行都不重復(fù),12(1)從0,2,4,6中任取3個(gè)數(shù)字,從1,3,5中任取2個(gè)數(shù)字,一共可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)?(2)由數(shù)字0,1,2,3,4,5，6可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字，并且比5000000大的正整數(shù)?13從5名男生和4名女生中選出4人去參加一項(xiàng)創(chuàng)新大賽.（1）如果4人中男生女生各選2人，那么有多少種選法?（2）如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi),那么有多少種選法?（3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi),那么有多少種選法?（4）如果4人中必須既有男生又有女生,那么有多少種選法?14一個(gè)宿舍的6名同學(xué)被邀請(qǐng)參加一個(gè)晩會(huì).(1)如果必須有人去,去幾個(gè)人自行決定,有多少種不同的去法?(2)如果其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去,要么都不去,有多少種去法?15從含有3件次品的100件產(chǎn)品中,任意抽取5件進(jìn)行檢驗(yàn).(1)抽出的產(chǎn)品都是合格品的抽法有多少種?(2)抽出的產(chǎn)品中恰好有2件是次品的抽法有多少種?(3)抽出的產(chǎn)品中至少有2件是次品的抽法有多少種?(4)抽出的產(chǎn)品中至多有2件是次品的抽法有多少種?【擴(kuò)展探索】16根據(jù)某個(gè)福利彩票方案,每注彩票號(hào)碼都是從1～(1)多少注不同號(hào)碼的彩票可有一個(gè)一等獎(jiǎng)?(2)如果要將一等獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)提高到13000000以上且不超過117如圖,現(xiàn)要用5種不同的顏色對(duì)某市的4個(gè)區(qū)縣地圖進(jìn)行著色,要求有公共邊的兩個(gè)地區(qū)不能用同一種顏色,共有幾種不同的著色方法?18移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)給人們的溝通交流帶來(lái)了方便.某種移動(dòng)社交軟件平臺(tái),既可供用戶彼此添加“好友”單獨(dú)交流,又可供多個(gè)用戶建立一個(gè)(第17題)“群”(“群里”的人彼此不一定是“好友”關(guān)系）共同交流.如果某人在平臺(tái)上發(fā)了信息,他～的“好友”都可以看到,但“群”里的非“好友”不能看到.現(xiàn)有一個(gè)10人的“群”,其中～1人在平臺(tái)上發(fā)了一條信息,“群”里有3人說(shuō)看到了,那么這個(gè)“群”里與發(fā)信息這人是“好友”關(guān)系的情況可能有多少種?19甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進(jìn)行勞動(dòng)技術(shù)比賽,決出第1名到第5名的名次.甲和乙去詢問成績(jī),回答者對(duì)甲說(shuō):“很遺憾,你和乙都沒有得到冠軍.”對(duì)乙說(shuō)：“你當(dāng)然不會(huì)是最差的.”從這兩個(gè)回答分析,5人的名次排列可能有多少種不同情況?探究與發(fā)現(xiàn)組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)在例6中,我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)C103與C10C通過計(jì)算不難發(fā)現(xiàn),各組的兩個(gè)組合數(shù)都相等.觀察同組的兩個(gè)組合數(shù),還可以發(fā)現(xiàn),它們的上標(biāo)之和等于下標(biāo),即5+7=12,4+11=15,3+15=18.如何解釋上述結(jié)果呢?等式的兩邊是對(duì)同一問題的兩個(gè)等價(jià)解釋,這啟發(fā)我們,如果把C125解釋為“從12名學(xué)生中選出5人參加某項(xiàng)活動(dòng)的選法種數(shù)”,那么C127可以解釋為“從12名學(xué)生中留下7人不參加活動(dòng)的選法種數(shù)”.由于留下7人后其余5人就是參加活動(dòng)的,所以不參加活動(dòng)的人員選法種數(shù)C一般地,從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素后,必然剩下(n?m)個(gè)元素,因此從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合,與剩下的(n?m)個(gè)元素的組合一一對(duì)應(yīng).這樣,從C由于Cn0=1在推導(dǎo)性質(zhì)1時(shí),我們運(yùn)用了說(shuō)明組合等式的一個(gè)常用而重要的方法,即把等號(hào)兩邊的不同表達(dá)式解釋為對(duì)同一個(gè)組合問題的兩個(gè)不同的計(jì)數(shù)方案.你能根據(jù)上述思想方法,利用分類加法計(jì)數(shù)原理,說(shuō)明下面的組合數(shù)性質(zhì)嗎?軋質(zhì)2C1.3二項(xiàng)式定理上一節(jié)學(xué)習(xí)了排列數(shù)公式和組合數(shù)公式,本節(jié)我們用它們解決一個(gè)在數(shù)學(xué)上有著廣泛應(yīng)用的(a1.3.1二項(xiàng)式定理【探究】我們知道,(（1）觀察以上展開式,分析其運(yùn)算過程,你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?(2)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,你能寫出(a（3）進(jìn)一步地,你能寫出(a我們先來(lái)分析(a(可以看到,(a+b)2是2個(gè)(a+b)相乘,只要從一個(gè)(a+b)中選一項(xiàng)(選a或b下面我們?cè)賮?lái)分析一下形如a2當(dāng)k=0時(shí),a2?kbk=a2,這是由2個(gè)(a+b)中都不選b當(dāng)k=1時(shí),a2?kbk=ab,這是由1個(gè)(a+b)中選a,另1個(gè)(a+b)中選當(dāng)k=2時(shí),a2?kbk=b2,這是由2個(gè)(a+b)由上述分析可以得到(【思考】仿照上述過程,你能利用計(jì)數(shù)原理,寫出(a從上述對(duì)具體問題的分析得到啟發(fā),對(duì)于任意正整數(shù)n,我們有如下猜想:(下面我們對(duì)上述猜想的正確性予以說(shuō)明.由于(a+b)n是n個(gè)(a+b)相乘,每個(gè)(a+b)在相乘時(shí)有兩種選擇,選a或b對(duì)于每個(gè)k(k=0,1,2,?,n),對(duì)應(yīng)的項(xiàng)an?kbk是由(n?k)個(gè)(a+b)中選a,另外k個(gè)(a+b)中選公式(1)叫做二項(xiàng)式定理(binomialtheorem),右邊的多項(xiàng)式叫做(a+b)n的二項(xiàng)展開式,其中各項(xiàng)的系數(shù)CnkT在二項(xiàng)式定理中,若設(shè)a=1,(1+例1求x+解：根據(jù)二項(xiàng)式定理,x=例2(1)求(1+2x(2)求2x?1解:(1)(1+2xT(1+2x)7=因此,展開式第4項(xiàng)的系數(shù)是280.(2)2xC根據(jù)題意,得3因此,x2(【練習(xí)】1寫出(p2求(2a3寫出3x?14(x(A)C(B)?(C)C(D)?5在(x?1)(1.3.2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(aC有很多有趣的性質(zhì),而且我們可以從不同角度進(jìn)行研究.【探究】用計(jì)算工具計(jì)算(a表6.3-1n(a12n(a3456通過計(jì)算、填表，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?從表6.3-1可以發(fā)現(xiàn),每一行中的系數(shù)具有對(duì)稱性.除此以外還有什么規(guī)律呢?為了便于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,上表還可以寫成如圖6.3-1所示的形式.圖6.3-1觀察圖6.3-1,你還能發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律?對(duì)于(aC我們還可以從函數(shù)的角度分析它們.CCnr可看成以r為自變量的函數(shù){0,1,2,對(duì)于確定的n,我們還可以畫出它的圖象.例如,當(dāng)n=6時(shí),函數(shù)f圖6.3-2是7個(gè)離散點(diǎn),如圖6.3-2所示.【探究】（1）觀察圖6.3-2,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?(2)請(qǐng)你分別畫出n=7,8,9時(shí)函數(shù)f分析圖6.3-1和圖6.3-2,可以得到二項(xiàng)式系數(shù)的以下性質(zhì).對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.事實(shí)上,這一性質(zhì)可直接由Cn直線r=n2(1)你能用組合的意義解釋一下這個(gè)“組合等式”嗎?增減性與最大值因?yàn)镃即C所以,當(dāng)n?k+1k>1,即k<n+12時(shí),Cnk隨k的增加而增大;由對(duì)稱性知,當(dāng)k>n+12各二項(xiàng)式系數(shù)的和已知(1+令x=12這就是說(shuō),(a+b例3求證:在(a分析：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為C由于(中的a,b可以取任意實(shí)數(shù),因此我們可以通過對(duì)(2)實(shí)際上,a,b既可以取任意實(shí)數(shù),也可以取任意多項(xiàng)式,還可以是別的.我們可以根據(jù)具體問題的需要靈活選取證明：在展開式(中,令a=1,(1即C因此,C即在(a【練習(xí)】1填空題(1)C(2)C2證明:Cn0+3寫出n從1到10的二項(xiàng)式系數(shù)表.4若一個(gè)集合含有n個(gè)元素,則這個(gè)集合共有多少個(gè)子集?習(xí)題6.3【復(fù)習(xí)鞏固】1選擇題(1)在(1?x)(A)74(B)121(C)?(D)?(2)(x+1)n的展開式中(A)7(B)6(C)5(D)42(x+y3用二項(xiàng)式定理展開:(1)(a(2)x24化簡(jiǎn):(1)(1+x(2)2x5(1)求(1?(2)求2a(3)求x3(4)求(x6求下列各式的二項(xiàng)展開式中指定各項(xiàng)的系數(shù):(1)1?12(2)2x【綜合應(yīng)用】7證明：(1)x?1x(2)(1+x)28已知(1+x9用二項(xiàng)式定理證明:(1)(n+1)(2)9910【擴(kuò)展探索】10求證:2n11下圖反映了二項(xiàng)式定理產(chǎn)生、完備和推廣所走過的漫長(zhǎng)歷程:(第11題)(1)在上述發(fā)展過程中,無(wú)論是推廣還是證明,都是從特殊到一般,如今,數(shù)學(xué)研究的一個(gè)發(fā)展趨勢(shì)就是盡可能地一般化.請(qǐng)你試一試,從(a+b)n(2)請(qǐng)你查閱相關(guān)資料,細(xì)化上述歷程中的某段過程,例如從3次到n次,從二項(xiàng)到m項(xiàng)等,說(shuō)一說(shuō)數(shù)學(xué)家是如何發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的.小結(jié)一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)二、回顧與思考本章我們首先學(xué)習(xí)了分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理;然后,從一般到特殊,學(xué)習(xí)了兩類特殊的計(jì)數(shù)問題一一排列與組合,并用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出排列數(shù)公式與組合數(shù)公式;最后,作為一個(gè)應(yīng)用,根據(jù)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出了二項(xiàng)式定理,并研究了二項(xiàng)式系數(shù)的一些性質(zhì).當(dāng)我們面對(duì)一個(gè)復(fù)雜問題時(shí),通過分類或分步,將它分解成為一些簡(jiǎn)單的問題.先解決簡(jiǎn)單問題,然后再將它們整合起來(lái)得到整個(gè)問題的解答,達(dá)到以簡(jiǎn)馭繁的效果,這是一種重要而基本的思想方法.兩個(gè)計(jì)數(shù)原理就是這種思想的體現(xiàn).分類加法計(jì)數(shù)原理對(duì)應(yīng)著“分類”活動(dòng),而且每一類方法都能完成相應(yīng)的事情;分步乘法計(jì)數(shù)原理對(duì)應(yīng)著“分步”活動(dòng),而且只有完成每一個(gè)步驟才能完成相應(yīng)的事情.如果從集合的角度來(lái)考慮,那么分類加法計(jì)數(shù)原理表明了這樣一個(gè)事實(shí):將集合U分成一些兩兩不交的子集S1,S2,?,n排列、組合是兩類特殊的計(jì)數(shù)問題.排列的特殊性在于排列中元素的“互異性”和“有序性”,組合的特殊性在于它只有元素的“互異性”而不需要考慮順序.我們看到,排列與組合之間有緊密的聯(lián)系,從n個(gè)不同元素中取出m(二項(xiàng)式定理是計(jì)數(shù)原理在多項(xiàng)式展開中的應(yīng)用.把(a+b)n的展開相乘看成是作n次選取,每次有2種選擇一a或b,因此,展開式中的每一項(xiàng)都是an?kbk(k=0,1,?在本章中,無(wú)論是概念的得出還是數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo),都是從特殊到一般,從具體到抽象,通過歸納而得出的規(guī)律,這是代數(shù)中研究問題的基本方法,也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的思維方法.請(qǐng)你結(jié)合下面的問題,復(fù)習(xí)一下全章的內(nèi)容吧！1在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,舉例是理解一般原理的好方法.例如,進(jìn)入-個(gè)院子要通過一道墻,這道墻左邊有m個(gè)門,右邊有n個(gè)門,那么進(jìn)入院子的方法數(shù)為m+n(m,n分別表示走左、右邊進(jìn)入院子的方法數(shù))；進(jìn)入一個(gè)院子要通過兩道墻,第一道墻有m個(gè)門,第二道墻有2加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)間的聯(lián)系,是深入理解知識(shí)的重要方法.例如,把本章的知識(shí)與集合的有關(guān)內(nèi)容聯(lián)系起來(lái),可以簡(jiǎn)潔地表述有關(guān)原理.你能舉例說(shuō)明嗎?3舉例說(shuō)明排列和組合的特殊性.4運(yùn)用計(jì)數(shù)原理和組合知識(shí)推導(dǎo)二項(xiàng)式定理,是一個(gè)有奇趣、有意味的過程.請(qǐng)回味這個(gè)過程,并和同學(xué)談?wù)勀愕膶W(xué)習(xí)體會(huì).5請(qǐng)你回顧本章學(xué)習(xí)過程,結(jié)合具體知識(shí),如計(jì)數(shù)原理、排列數(shù)公式、組合數(shù)公式或二項(xiàng)式定理,談?wù)勥@些知識(shí)的獲得是如何從特殊到一般,或從具體到抽象的?復(fù)習(xí)參考題6【復(fù)習(xí)鞏固】1填空題(1)乘積a1(2)學(xué)生可從本年級(jí)開設(shè)的7門選修課中任意選擇3門,并從6種課外活動(dòng)小組中選擇2種,不同的選法種數(shù)是（3）安排6名歌手演出順序時(shí),要求某歌手不是第一個(gè)出場(chǎng),也不是最后一個(gè)出場(chǎng),不同排法的種數(shù)是(4)5個(gè)人分4張無(wú)座足球票,每人至多分1張,而且票必須分完,那么不同分法的種數(shù)是(5)5名同學(xué)去聽同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識(shí)講座,每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個(gè)講座,不同選擇的種數(shù)是(6)正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是(7)(1+x(1)這個(gè)集合的含有3個(gè)元素的子集有多少個(gè)?(2)這個(gè)集合的子集共有多少個(gè)?2填空題（1）已知Cn+1（2）某班一天上午有4節(jié)課,下午有2節(jié)課,現(xiàn)要安排該班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6堂課的課程表,要求數(shù)學(xué)課排在上午,體育課排在下午,不同排法種數(shù)是（3）某人設(shè)計(jì)的電腦開機(jī)密碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成,且