曲線曲面造型技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用

曲線曲面造型技術(shù)的發(fā)展與應(yīng)用

3d-man技術(shù)起源于航空業(yè)。由于飛機形狀復(fù)雜，有許多自由曲線，因此3d-man技術(shù)最初與自由曲線建模技術(shù)密切相關(guān)。許多年來,人們不斷探索方便、靈活、實用的曲線曲面造型構(gòu)造方法。從提出樣條函數(shù)至今50年間,曲線曲面造型經(jīng)歷了參數(shù)樣條方法、Coons曲面、Bezier曲線曲面和B樣條,形成了以有理B樣條曲面(RationalB-splinesurface)參數(shù)化特征設(shè)計和隱式代數(shù)曲面(Implicitalgebraicsurface)表示這兩類方法為主體,以插值(interpolation)、擬合(fitting)、逼近(approximation)這3種手段為骨架的幾何理論體系。隨著生產(chǎn)的發(fā)展,B樣條顯示出明顯的不足,同時由于NURBS方法具有可以精確地表示二次規(guī)則曲線曲面,通過權(quán)因子易于控制和實現(xiàn),并可以在四維空間的直接推廣等的突出優(yōu)點,國際標準化組織(ISO)于1991年頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的STEP國際標準,將NURBS方法作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的唯一數(shù)學(xué)描述方法,從而使NURBS方法成為曲面造型技術(shù)發(fā)展趨勢中最重要的基礎(chǔ)。1曲線曲線設(shè)計技術(shù)的研究現(xiàn)狀從研究的領(lǐng)域來看,曲面造型技術(shù)已從傳統(tǒng)的研究曲面表示、曲面求交和曲面拼接,擴充到曲面變形、曲面重建、曲面簡化、曲面轉(zhuǎn)換和曲面等距性。1.1改變曲面的設(shè)計方法傳統(tǒng)的NURBS曲面模型僅允許調(diào)整控制頂點或權(quán)因子來局部改變曲面形狀,最多利用層次細化模型在曲面特定點進行直接操作;一些簡單的基于參數(shù)曲線的曲面設(shè)計方法,如掃掠法(Sweeping)、蒙皮法(Skinning)、旋轉(zhuǎn)法和拉伸法也僅允許調(diào)整生成曲線來改變曲面形狀。計算機動畫業(yè)和實體造型業(yè)迫切需要發(fā)展與曲面表示方式無關(guān)的變形方法或形狀調(diào)配方法,于是產(chǎn)生了自由變形(FFD)、基于彈性變形或熱彈性力學(xué)等物理模型的變形法、基于求解約束的變形法、基于幾何約束的變形法等曲面變形技術(shù),以及基于多面體對應(yīng)關(guān)系或基于圖像形態(tài)學(xué)中Minkowski和操作的曲面形狀調(diào)配技術(shù)。1.2曲面重建算法在精致的轎車車身設(shè)計或人臉類雕塑曲面的動畫制作中,常先用油泥制模,再作三維型值點采樣。在醫(yī)學(xué)圖像可視化中,也常用CT切片來得到人體臟器表面的三維數(shù)據(jù)點。從曲面上的部分采樣信息來恢復(fù)原始曲面的兒何模型,稱為曲面重建。采樣工具為激光測距掃描器、醫(yī)學(xué)成像儀、接觸探測數(shù)字轉(zhuǎn)換器、雷達或地震勘探儀器等。根據(jù)重建的形式,其可以分為函數(shù)型曲面重建和離散型曲面重建。前者代表工作有Eck于1996年建立的任意拓撲B樣條曲面重建法和Sapidis于1995年創(chuàng)造的離散點集擬和法。后者的常用方法是建立離散點集的平面片逼近模型,如Hoppe于1992年和1994年先后創(chuàng)建的分片線性或分片光滑的曲面模型。對于離散型重建,要求輸出曲面具有正確的拓撲結(jié)構(gòu),并且隨著采樣密度的增加而收斂到原始曲面。當重建曲面為閉曲面時,Willer等人發(fā)展出一種基于可變形模型的曲面重建算法,稱為外殼(Crust)算法。這種算法的優(yōu)點在于輸出的離散曲面在細節(jié)區(qū)域具有密集點,而在無特征的區(qū)域具有稀疏點。最近幾年,曲面重建的研究形成了熱潮。1.3基于三角網(wǎng)絡(luò)的模型分析與曲面重建一樣,這一研究領(lǐng)域目前也是國際熱點之一,其基本思想在于從三維重建后的離散曲面或造型軟件的輸出結(jié)果(主要是三角網(wǎng)絡(luò))中去除冗余信息而又保證模型的準確度,以利于圖形顯示的實時性、數(shù)據(jù)存儲的經(jīng)濟性和數(shù)據(jù)傳輸?shù)目焖傩浴τ诙喾直媛是婺Ｐ投?這一技術(shù)還有利于建立曲面的層次逼近模型,進行曲面的分層顯示、傳輸和編輯。具體的曲面簡化方法有網(wǎng)格頂點剔除法、網(wǎng)格邊界刪除法、網(wǎng)格優(yōu)化法、最大平面逼近多邊形法以及參數(shù)化重新采樣法。1.4基于雙程序的變式曲面轉(zhuǎn)換同一張曲面可以表示為不同的數(shù)學(xué)形式,這一思想不僅具有理論意義,而且具有工業(yè)應(yīng)用的現(xiàn)實意義。例如,NURBS這種參數(shù)有理多項式曲面雖然包括了參數(shù)多項式曲面的一切優(yōu)點,但也存在著微分運算繁瑣費時、積分運算無法控制誤差的局限性。而在曲面拼接及物性計算中,這兩種運算是不可避免的。這就提出了將一張NURBS曲面轉(zhuǎn)化成近似的多項式曲面的問題。同樣的要求更體現(xiàn)在NURBS曲面設(shè)計系統(tǒng)與多項式曲面系統(tǒng)之間的數(shù)據(jù)傳遞和無紙化生產(chǎn)工藝中。再如,在兩張參數(shù)曲面的求交運算中,如果把其中一張曲面的NURBS形式轉(zhuǎn)化為隱式,就容易得到方程的數(shù)值解。近幾年來,國際圖形界對曲面轉(zhuǎn)換的研究主要集中在以下幾點:NURBS曲面用多項式曲面來逼近的算法及收斂性;Bezier曲線曲面的隱式化及其反問題;CONSURF飛機設(shè)計系統(tǒng)的Ball曲線向高維推廣的各種形式比較及相互轉(zhuǎn)化;有理Bezier曲線曲面的降價逼近算法及誤差估計;NURBS曲面在二角域上的互相快速轉(zhuǎn)換。1.5曲線等距曲線的出現(xiàn)其在計算機圖形及加工中有著廣泛的應(yīng)用,因而成為這幾年的熱門話題之一。例如,數(shù)控機床的刀具路徑設(shè)計就要研究曲線的等距性。但從數(shù)學(xué)表達式中很容易看出,一般而言,一條平面曲線的等距曲線不再是有理曲線,這就超越了通用NURBS系統(tǒng)的使用范圍,造成了軟件設(shè)計的復(fù)雜性和數(shù)值計算的不穩(wěn)定性。為解決這一問題,十幾年來國際圖形界提出了用簡單曲線來逼近等距曲線的種種算法,這又帶來了收斂性考核、計算不穩(wěn)定、誤差難控制等問題。那么,是否存在具有精確有理等距曲線的某種參數(shù)曲線呢?1990年美國學(xué)者Farouki首次找到某一類特殊的平面參數(shù)多項式曲線具有這種性質(zhì),稱之為PH曲線。而到1993年,浙江大學(xué)的呂偉利用復(fù)分析法、重新參數(shù)化和代數(shù)幾何技術(shù),完整地給出了OR多項式和有理參數(shù)曲線的一般形式,徹底解決了平面曲線的等距線的有理化問題。在曲線等距性問題上,呂偉于1996年證明了常用二次曲面的有理等距線均可用有理參數(shù)樣條精確表示的結(jié)論;同年他與奧地利學(xué)者Pottmann等揭示出有理直紋面的等距面可以有理參數(shù)化,同時證明了脊線為有理樣條曲線的管道曲面可以精確表示為有理樣條曲面。曲線曲面的等距性還與機械學(xué)中的形位公差理論及幾何設(shè)計中的區(qū)間曲線曲面有著密切的關(guān)系。從表示方法來看,以網(wǎng)格細分(Subdivision)為特征的離散造型與傳統(tǒng)的連續(xù)造型相比,大有后來居上的創(chuàng)新之勢。例如用NURBS的修剪來對付,但是他們至少會遇到以下困難:修剪是昂貴的,而且有數(shù)值誤差;要在曲面的接縫處保持光滑,即使是近似的光滑也很困難,因為模型是活動的。而細分曲面有潛力克服以上兩個困難,其無須修剪,活動模型的平滑度被自動地保證。如果多面體的一個面有n條邊,細分一次后,這個面就會變成n個四邊形。隨著細分的不斷進行,控制網(wǎng)格就被逐漸磨光,其極限狀態(tài)就是一張自由曲面。其是無縫的,因而是平滑的,即使模型是活動的。這種方法顯著地壓縮了設(shè)計和建立一個原始模型的時間,更重要的是允許原始模型局部地精致化。這就是其優(yōu)于連續(xù)曲面造型方法之處。2曲線曲線設(shè)計技術(shù)的發(fā)展趨勢隨著工業(yè)生產(chǎn)的發(fā)展和需求,其他學(xué)科的技術(shù)方法被引進到計算機圖形學(xué)中來,形成一種融合的趨勢。2.1基于能量優(yōu)化的雙曲面圖1987年,加拿大學(xué)者Terzopoulos等將基于物理能量模型的可變形曲線曲面造型技術(shù)引入計算機圖形學(xué)中,用Lagrange方程建立物理能量模型,并用差分方法求解偏微分方程得到能量曲面,為能量優(yōu)化造型奠定了基礎(chǔ)。1991年,MIT的Gossard教授和Celniker博士進一步發(fā)展了能量優(yōu)化思想,將其引入到自由曲線曲面的交互設(shè)計中,提出用基于特征線的方法來提高曲面設(shè)計的靈活性。Welch和Witkin進一步研究了能量優(yōu)化中的型值點、參數(shù)曲線、法矢等約束的作用,介紹了Null-SpaceProjection約束處理方法。Moretonn利用能量優(yōu)化方法,以曲線曲面的曲率變化為目標函數(shù),求解用Bezier方法描述的三邊、四邊網(wǎng)格蒙面曲面。Hagen和Leon等人在能量模型選擇、能量曲線曲面等方面都作出了比較突出的貢獻?；驹砭褪窃诜蠋缀渭胺菐缀渭s束條件的情況下尋找具有最少物理變形能量的曲線曲面。這些方法具有如下特點:(1)曲面形狀的改變服從物理準則,通過計算仿真可以動態(tài)地顯示模型在某個外力作用下的變形;(2)在給定的約束條件下,這種動態(tài)模型的平衡狀態(tài)具有勢能最小的特點,可以建立滿足局部或整體設(shè)計要求的勢能函數(shù)和規(guī)定與形態(tài)狀態(tài)設(shè)計有關(guān)的幾何約束;(3)能量模型建立在傳統(tǒng)的標準純幾何模型的基礎(chǔ)上。這意味著盡管交互或自動的形狀設(shè)計可以在基于能量模型的物理層進行,但在幾何層上仍然可以調(diào)用現(xiàn)在的幾何操作。基于能量模型的變形曲線、曲面造型研究已經(jīng)取得了巨大的成就,但還有許多問題需要解決,其中包括:計算效率問題,采用有限元方法限制了交互速度的提高;交互控制問題,如何交互地選擇物理參數(shù)仍有待研究;能量泛函的選擇,如何在提高計算效率和保證曲面質(zhì)量之間的平衡。2.2pde-n-ms條件模型基于偏微分方程的曲面造型方法的思想起源于將過渡面的構(gòu)造問題看作一偏微分方程的邊值問題,而后發(fā)現(xiàn)使用該方法可以方便地構(gòu)造實際問題中的曲面形體。船體、飛機、螺旋漿葉片等外形都可由PDE方法構(gòu)造。PDE曲面的形狀由邊界條件和所選擇的偏微分方程確定。該方法具有以下特點:(1)構(gòu)造過渡面簡單易行,只需給出過渡線并計算過渡線處的跨界導(dǎo)矢。(2)所得曲面自然光順。曲面是曲面參數(shù)的超越函數(shù),而不是簡單的多項式。(3)確定一張曲面只需少量的參數(shù),并且對設(shè)計者的數(shù)學(xué)背景要求較少,用戶只需給出邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即可產(chǎn)生一張光順的曲面。因此用戶的輸入工作量較小。(4)可通過修改邊界曲線和跨界導(dǎo)矢即方程中的一個物理參數(shù)來調(diào)整曲面形狀。(5)便于功能曲面的設(shè)計。功能曲面設(shè)計最終歸結(jié)為一些泛函的極值問題,這些泛函的自變量是形狀參數(shù),形狀參數(shù)的多少直接關(guān)系到求泛函極值問題計算量的大小。PDE曲面形狀完全由邊界條件確定,所需形狀參量較少,可以減低計算耗費。PDE方法是一種新型的曲面造型技術(shù),該方法僅是一種曲面設(shè)計技術(shù),而不是曲面的表達方式。2.3外來文化的應(yīng)用在CAD領(lǐng)域,許多曲線曲面的設(shè)計涉及到運動物體的外型設(shè)計,如汽車、飛機、船舶等。這些物體在空氣、水流等流體中相對運動。由于流體對運動物體產(chǎn)生阻力,運動物體的外型設(shè)計將變得十分重要。運動物體外型的光滑與否將直接影響其運動性能。人們常常希望所設(shè)計的運動物體的外型具有“流線型”,因為具有“流線型”外型的運動物體不僅外觀漂亮宜人,而且能極大地減少前進過程中流體對物體的阻力。因此,一種以流體力學(xué)為背景的流曲線曲面的造型方法被提出。由流體力學(xué)理論可知,流曲線曲面設(shè)計的外型具有良好的物理性能,同時外型也十分美觀。該方法的思想以流體力學(xué)中的平面定常理想不可壓縮無旋動為力學(xué)背景,將流體力學(xué)中流函數(shù)的概念引入到CAD中,從而建立流曲線曲面的數(shù)學(xué)模型。該方法的研究剛剛起步,造型方法的理論和流函數(shù)的建立尚不完善,故目前也處于探索階段,其基本理論、數(shù)學(xué)模型和一些相關(guān)算法有待進一步研究。2.4計算機圖形學(xué)中的多分辨小波分析是Fourier分析的突破性進展,其既是強有力的分析技術(shù),又是一種快速的計算工具,兼具重要的理論意義和使用價值。小波是刻畫數(shù)據(jù)內(nèi)部相關(guān)性結(jié)構(gòu)的有力工具,在數(shù)據(jù)壓縮和逼近方面具有強大威力。近年來,小波分析在計算機圖形學(xué)中獲得了日益廣泛的應(yīng)用,涉及的領(lǐng)域包括輻射度計算、曲線曲面編輯、體繪制、圖像編輯、體變形和累進傳輸?shù)?。Frinkelistein和Salesin研究了閉區(qū)間上小波的多分辨分析理論。他們利用閉區(qū)間上的B樣條小波,研究了B樣條曲線和張量積B樣條曲面的多分辨率表示及其在多分辨編輯中的應(yīng)用。Lounbery將多分辨分析及小波理論推廣到任意拓撲類型的曲面,拓展了小波技術(shù)的應(yīng)用對象,Eck等給出了將MRA用于任意網(wǎng)格的LOD(level-of-detaiil)逼近方法,使得任一多面體和網(wǎng)格曲面均可用多分辨率表示。Certain等擴展了MRA,可以對帶顏色的網(wǎng)格進行多分辨分析。Gotler和Cohen研究了小波在變分幾何造型中的應(yīng)用。3ug的曲面造型美、法等國的CAD技術(shù)一直以來走在世界的前沿,他們擁有許多世界聞名的CAD/CAM系統(tǒng),這些系統(tǒng)具備十分強大的功能。美國SDRC公司的I-DEASMasterSeries軟件采用VGX(超變量化)技術(shù),用戶可以直觀、實時地進行三維產(chǎn)品的設(shè)計和修改。VGX有如下好處:不必像參數(shù)化造型系統(tǒng)那樣要求模型“全約束”,在全約束及非全約束的情況下均可順利地完成造型;模型修改不必拘泥于造型歷史樹,修改可基于造型樹,亦可超越造型歷史樹;可直接編輯任意3D實體特征,無須回到生成此特征的2D線框初始狀態(tài);可就地以拖動方式隨意修改3D實體模型,而無須僅以“尺寸驅(qū)動”一種方式來修改模型;模型修改許可形狀及拓撲關(guān)系發(fā)生變化,而并非像參數(shù)技術(shù)那樣僅僅是尺寸的數(shù)據(jù)發(fā)生變化;所有操作均為“一拖一放”方式,操作簡單。美國UnigraphicsSolutions公司的UG源于航空業(yè)、汽車業(yè),以Parasolid幾何造型核心為基礎(chǔ),采用基于約束的特征建模和傳統(tǒng)幾何建模為一體的復(fù)合建摸技術(shù)。其曲面功能包含于FreeformModeling模塊之中,采用了NURBS、B樣條、Bezier數(shù)學(xué)基礎(chǔ),同時保留解析幾何實體模型方法,造型能力較強。其曲面建模完全集成在實體建模之中,并可獨立生成自由形狀形體,以備實體設(shè)計時使用。而許多曲面建模操作可直接產(chǎn)生或修改實體模型,曲面殼體、實體與定義他們的幾何體完全相關(guān)。UG軟件實現(xiàn)了面與體的完美集成,可將無厚度曲面殼縫合到實體上,總體上,UG的實體化曲面處理能力是其主要特征和優(yōu)勢。美國PTC公司的Pro/Engineer以其參數(shù)化、基于特征、全相關(guān)等概念聞名于CAD界,其曲面造型集中在Pro/SURFACE模塊。其曲面生成、編輯能力覆蓋了曲面造型中的主要問題,主要用于構(gòu)造表面模型,實體模型,并且可以在實體上生成任意凹下或凸起物等。尤其是可以將特殊的曲面造型實例作為一種特征加入特征庫中。Pro/Engineer自帶的特征庫就含有如下特征