行列式及其應用論文

PAGEI目錄1.引言 22.行列式的概念 22.1排列與逆序 22.2n階行列式的定義 22.3行列式的基本性質 32.4行列式按行（列）展開定理 42.5重要公式與結論 52.6范德蒙德行列式的性質 63.行列式的若干應用 63.1行列式在線性方程組中的一個應用（克拉默法則的應用） 63.2行列式在初等代數(shù)中的幾個應用 73.2.1用行列式分解因式 83.2.2用行列式證明不等式和恒等式 83.3.行列式在解析幾何中的幾個應用 83.3.1用行列式表示公式（泰勒公式的行列式表示法） 83.3.2用行列式表示三角形面積 83.3.3用行列式表示直線方程 94.范德蒙德行列式的若干應用 104.1范德蒙德行列式在行列式計算中的應用 104.2范德蒙德行列式在微積分中的應用 104.3范德蒙德行列式在向量空間理論中的應用 124.4范德蒙德行列式在線性變換理論中的應用. 12結論 13致謝 14PAGE1行列式及其應用任蘭蘭,數(shù)學計算機科學學院摘要:行列式是線性代數(shù)一個重要的基本工具.本文首先對行列式的相關概念做了介紹,包括行列式的定義,性質,常見公式及結論等,然后通過例題詳細介紹了行列式在線性方程組,初等代數(shù)以及解析幾何中的應用,以及范德蒙行列式在微積分以及向量空間等方面的應用等.文章最后對行列式及其應用做了總結.關鍵詞:行列式;范德蒙德行列式;克拉默法則TheDeterminantsandTheirApplicationsAbstract:Thedeterminantisoneoftheelementarytoolsinlinearalgebra.Wefirstintroducethecorrespondingconceptionsofthedeterminants,suchasthedefinition,theproperties,theordinaryformulasandconclusions,thenwediscussindetailtheapplicationsofthedeterminantsinlinearequations,elementaryalgebra,andanalyticgeometryandsoon,wealsodiscusstheapplicationsoftheVandermondedeterminantincalculusandvectorspace.Finallywesummarizetheadvantagesofthedeterminants.Keywords:Determinant;Vandermondedeterminant;Cramerrule（6）將行列式的某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)k后加到另一行（列）對應的元素上,行列式的值不變.（7）分塊行列式的值等于其主對角線上兩個子行列式的值的乘積.例2.3.1（1）設是矩陣,為矩陣,且，,求?（2）設是矩陣,,把按列分塊為,其中是的第列,求.（3）設是方程的三個根,求行列式?解（1）.（2）,對于,第一列和最后一列對應元素成比例,故其值為零,而.（3）由根與系數(shù)的關系知,于是.2.4行列式按行（列）展開定理定義4在階行列式中,把元所在的第行和第列劃去后,留下來的階行列式叫做元的余子式,記作.,叫做元的代數(shù)余子式.引理1一個階行列式，如果其中第行所有元素除元外都為零，那么這行列式等于與它的代數(shù)余子式的乘積，即定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和;推論3行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即或例2.4.1設,求,其中為元素,的代數(shù)余子式.解.例2.4.2設階行列式,求中所有元素的代數(shù)余子式之和.解中所有元素的代數(shù)余子式,即中的所有元素.而中的所有元素的代數(shù)余子式之和,即的所有元素之和為2.5重要公式與結論（1）設為階方陣,則(或)表示對應的行列式,記為（“”,”’”均表示轉置）（2）設方陣可逆,則（3）設為的伴隨矩陣,為的代數(shù)余子式.,則.（4）,(為階方陣).（5）,其中為階方陣,為階方陣.（6）范德蒙德（Vandermonde）行列式2.6范德蒙德行列式的性質利用行列式的性質容易推得：（1）若將范德蒙德行列式逆時針旋轉,可得：（2）若將范德蒙德行列式順時針旋轉,可得：（3）若將范德蒙德行列式旋轉,可得：3.行列式的若干應用3.1行列式在線性方程組中的一個應用線形方程組克拉默法則：如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零。即那么，方程有唯一解：利用行列式求解元線性方程組得,其中例3.1.1設曲線通過四點,求系數(shù).解把四個點的坐標代入曲線方程,得線性方程組其系數(shù)行列式是一個范德蒙德行列式,,而因此按克拉默法則,得唯一解.即曲線方程為.3.2行列式在初等代數(shù)中的幾個應用3.2.1用行列式分解因式例3.2.1.1分解因式.解原式.3.2.2用行列式證明不等式和恒等式例3.2.2.1已知,求證.證明令,則.例3.2.2.2已知求證.證明令,則.3.3.行列式在解析幾何中的幾個應用3.3.1用行列式表示公式設函數(shù)在的某一領域內有定義,在處有階導數(shù),則有3.3.2用行列式表示三角形面積例3.3.2.1已知平面中不共線的三點，由這三點構成的三角形面積為.證明如下圖所示令,則因此有可以看出的大小與無關.現(xiàn)在取即.則有即,得證.3.3.3用行列式表示直線方程例3.3.3.1直線方程通過兩點和的直線的方程為.證明由兩點式,我們得直線的方程為.將上式展開并化簡,得,此式可進一步變形為此式為行列式按第三行展開所得結果.原式得證.4.范德蒙德行列式的若干應用4.1范德蒙德行列式在行列式計算中的應用例4.1.1求解把上式等號右邊的行列式的最后一行依次與前面的行交換,共交換3次,得此為4階范德蒙德行列式,得.4.2范德蒙德行列式在微積分中的應用例4.2.1確定常數(shù)使.當時為最高階的無窮小,并給出其等價表達式.解對的各項利用泰勒公式,有當時,若最高階無窮小在6階以上,則有方程組其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式,由于.故以為未知數(shù)的方程組只有零解.;從而.這顯然不合題意.故以下考慮當時,最高階無窮小為6階的情形.令,這等價于此時為未知數(shù)的線性方程組,其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式方程組有唯一一組依賴于的解：,從而在的領域內的最高階無窮小,有下述形式的表達式：例4.2.2設至少有階導數(shù),對某個實數(shù)有證明.其中表示證明由已知條件,要證明,只要將寫成與的線性組合即可.利用泰勒公式其中.這是關于的線性方程組.其系數(shù)行列式為后一行列式為范德蒙德行列式,其值為,故,于是可從方程組(1)把寫成與的線性組合.我們只要證明即可.事實上,設，于是在此式中,分別令和令.則得4.3范德蒙德行列式在向量空間理論中的應用例4.3.1設是數(shù)域上的維向量空間,任給正整數(shù).則在中存?zhèn)€向量,其中任取個向量都線性無關.證明因為,所以只須在中考慮即可.取令.則是范德蒙德行列式,且.所以線性無關.4.4范德蒙德行列式在線性變換理論中的應用例4.4.1設數(shù)域上的維向量的線性變換有個互異的特征值,則（1）與可交換的的線性變換都是的線性組合,這里為恒等變換.（2）線性無關的重要條件為,這里.證明（1）設是與可交換的線性變換,且則是的不變子空間,令且.則由以下方程組（*）因為方程組（*）的系數(shù)行列式是范德蒙德行列式,且所以方程組（*）有唯一解,故是的線性組合.（2）充分性:因為，所以并且,所以是可逆矩陣.又因為是的一組基，線性無關.必要性:設是分別屬于的特征向量,則構成的一個基,因而有.若.則是的屬于的特征向量,故結論成立.若存在使，不防設全不為零.而.因而有.則利用范德蒙德行列式可知有一個階子式不為零,所以.從而.又因為線性無關,所以線性無關,矛盾.從而這里.結論在我們計算行列式時，可以根據(jù)行列式的性質進行化簡繁雜的行列式，熟悉掌握某些特殊行列式的運用,比如范德蒙德行列式，若注意到行列式的行（列）含有從高到低或從低到高的冪次,可以考慮使用范德蒙德行列式.在解決線性方程組時,我們可以考慮克拉默法則的應用,在某些證明題中我們也可以利用行列式進行證明,只要我們熟練掌握行列式在數(shù)學中的應用方法,可以幫助我們解決好多繁雜的問題,由于行列式本身運算的簡便性及可移植性,使得行列式的應用成為未來的研究領域.參考文獻:[1]同濟大學數(shù)學系著.工程數(shù)學線性代數(shù)[M].高等教育出版社,2003.[2]同濟大學數(shù)學系著.線性代數(shù)附冊學習輔導與習題全解[M].高等教育出版社,2003.[3]華東師范大學數(shù)學系著.數(shù)學分析[M].高等教育出版社,2001.[4]鄒應.數(shù)學分析習題及其解答[M].武漢大學出版社,2001.[5]裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].高等教育出版社,1993.[6]吳良森,毛羽輝,宋國棟,魏木生.數(shù)學分析習題精解[M].科學出版社,2002.[7]毛綱源.線性代數(shù)解題方法和技巧[M].湖南大學出版社,1987.[8]楊儒生,朱平天.線性代數(shù)習題集[M].江蘇教育出版社,1996.[9]王貴保.泰勒公式的行列式表示與應用[J].張家口師專學報,2003,19(3):150-153.致謝衷心感謝我的指導老師程智