北師大數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第10章第3課時變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練1．(2013·高考湖北卷)四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x,y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o（y，\s\up10（^）)＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up10（^))＝－3.476x＋5.648;③y與x正相關(guān)且eq\o(y，\s\up10（^))＝5.437x＋8。493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y，\s\up10（^)）＝－4。326x－4。578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是（)A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：根據(jù)正負(fù)相關(guān)性的定義作出判斷．由正負(fù)相關(guān)性的定義知①④一定不正確．答案：D2．已知回歸直線斜率的估計值為1。23，樣本點的中心為點（4，5),則回歸直線的方程為（)A．y＝1.23x＋4 B．y＝1。23x＋5C．y＝1。23x＋0.08 D．y＝0。08x＋1.23解析：回歸直線必過點(4,5）,故其方程為y－5＝1.23（x－4），即y＝1。23x＋0。08。答案:C3．大學(xué)生和研究生畢業(yè)的一個隨機(jī)樣本給出了關(guān)于所獲取學(xué)位類別與學(xué)生性別的分類數(shù)據(jù)如表所示：學(xué)士碩士總計男16227189女1438151總計30535n＝340根據(jù)以上數(shù)據(jù),則可以判定（）A．獲取學(xué)位類別與性別有關(guān)B．獲取學(xué)位類別與性別無關(guān)C．性別決定獲取學(xué)位的類別D．以上都是錯誤的解析：2＝eq\f(340×162×8－27×1432，189×151×305×35）≈7。343＞6.635。故有99%的把握認(rèn)為獲取學(xué)位類別與性別有關(guān)．答案：A4．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，由測得的一組數(shù)據(jù)已求得回歸直線的斜率為6.5，且恒過（2,3）點,則這條回歸直線的方程為________．解析：由題意知eq\x\to(x)＝2，eq\x\to（y)＝3，b＝6.5,所以a＝eq\x\to(y)－eq\x\to（x)＝3－6。5×2＝－10,即回歸直線的方程為y＝－10＋2x。答案：y＝－10＋2x5．研究某新藥的療效，給50個患者服用此藥,跟蹤調(diào)查后得如下表的數(shù)據(jù)．設(shè)H0：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān):則2＝________，從而得出結(jié)論________。無效有效總計男性患者153550女性患者54651總計2081101解析：由公式得2≈6。485，因為3。841＜6.485＜6.635，所以說我們有95％的把握認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)．答案：6。485有95％的把握認(rèn)為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)6．下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸)與相應(yīng)生產(chǎn)能耗y（噸)的幾組對照數(shù)據(jù)：x3456y2.5t44.5根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求出y關(guān)于x的線性回歸方程eq\o（y，\s\up10(∧）)＝0。7x＋0。35,則表中t的值為________．解析：∵eq\x\to(x）＝eq\f(3＋4＋5＋6,4）＝4。5,eq\x\to（y)＝eq\f（2。5＋t＋4＋4.5,4）＝eq\f(t＋11，4），又點（eq\x\to（x)，eq\x\to（y)）在eq\o（y，\s\up10（∧））＝0。7x＋0。35上，∴eq\f（t＋11，4)＝0.7×4。5＋0。35，解得t＝3.答案：37．（2014·南昌模擬)以下是某地搜集到的新房屋的銷售價格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù).房屋面積x/m211511080135105銷售價格y/萬元24。821.618。429.222（1)求線性回歸方程；（2)據(jù)(1）的結(jié)果估計當(dāng)房屋面積為150m2解：（1）eq\x\to(x)＝eq\f（1,5）×（115＋110＋80＋135＋105)＝109,eq\x\to（y）＝eq\f（1,5）×(24。8＋21。6＋18。4＋29。2＋22）＝23.2.設(shè)所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up10(^))＝eq\o（b，\s\up10(^）)x＋eq\o（a，\s\up10（^))，則eq\o(b，\s\up10(^）)＝eq\f（\i\su（i＝1,5，)xi－\x\to(x)yi－\x\to（y），\i\su(i＝1,5,）xi－\x\to（x)2)＝eq\f（308,1570)≈0。1962，∴eq\o（a，\s\up10(^)）＝eq\o(y,\s\up10(－）)－eq\o（b，\s\up10（^）)eq\o(x,\s\up10(－））＝23.2－109×eq\f（308，1570)≈1.8166?！嗨蠡貧w直線方程為eq\o(y，\s\up10(^)）＝0。1962x＋1。8166.(2)由第(1）問可知,當(dāng)x＝150m2時，銷售價格的估計值為eq\o（y，\s\up10(^)）＝0.1962×150＋1。8166＝31。2466(萬元）．8．煉鋼是一個氧化降碳的過程,鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短,必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關(guān)系，已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量x與冶煉時間y（從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一列數(shù)據(jù),如下表所示：x(0。01%)104180190177147134150191204121y(分鐘）100200210185155135170205235125（1)畫出散點圖；(2）計算相關(guān)系數(shù),并利用其檢驗兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系；（3)如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程；（4）預(yù)測當(dāng)鋼水含碳量為160個0。01％時,應(yīng)冶煉多少分鐘?解：(1)畫出的散點圖如圖所示．（2)由已知條件制成下表:i12345xi104180190177147yi100200210185155xiyi1040036000399003274522785i678910xi134150191204121yi135170205235125xiyi1809025500391554794015125∴eq\x\to（x）＝159。8，eq\x\to（y)＝172，eq\i\su(i＝1,10，x)eq\o\al（2，i)＝265448，eq\i\su(i＝1，10,y）eq\o\al(2，i)＝312350，eq\i\su(i＝1,10，x)iyi＝287640.將上述數(shù)據(jù)代入r＝eq\f(\i\su(i＝1,10，x)iyi－10\x\to(x)\x\to（y），\r（\i\su(i＝1,10,x）\o\al（2，i)－10\x\to（x）2\i\su(i＝1,10,y）\o\al（2，i）－10\x\to（y)2）)得r≈0.990602,顯然y與x之間存在顯著的相關(guān)關(guān)系．(3）由(2）中數(shù)據(jù)可得b＝eq\f（\i\su(i＝1,10，x）iyi－10\x\to(x）\x\to(y),\i\su（i＝1,10,x）\o\al(2,i）－10\x\to(x）2）≈1.267,a＝eq\x\to(y）－beq\x\to（x）≈－30.47.所求回歸直線方程為y＝1.267x－30。47,(4）當(dāng)x＝160時，y＝1.267×160－30。47≈172(分鐘)．即大約冶煉172分鐘．【B級】能力提升1．（2013·高考福建卷)已知x與y之間的幾組數(shù)據(jù)如下表：x123456y021334假設(shè)根據(jù)上表數(shù)據(jù)所得線性回歸直線方程為eq\o（y,\s\up10(^））＝eq\o(b,\s\up10（^）)x＋eq\o(a,\s\up10（^）)。若某同學(xué)根據(jù)上表中的前兩組數(shù)據(jù)(1，0）和(2，2）求得的直線方程為y＝b′x＋a′,則以下結(jié)論正確的是（）A。eq\o(b，\s\up10(^））＞b′,eq\o(a，\s\up10(^)）＞a′ B．eq\o（b,\s\up10（^))＞b′,eq\o（a,\s\up10(^））＜a′C。eq\o(b，\s\up10(^)）＜b′，eq\o(a,\s\up10(^)）＞a′ D．eq\o(b,\s\up10(^））＜b′，eq\o（a，\s\up10(^))＜a′解析：根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出直線方程y＝b′x＋a′和回歸直線方程的系數(shù)，并比較大小．由（1，0），(2,2)，求b′，a′.b′＝eq\f（2－0,2－1）＝2,a′＝0－2×1＝－2。求eq\o(b，\s\up10（^）)，eq\o(a,\s\up10(^）)時，eq\i\su(i＝1,6，x)iyi＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，eq\x\to(x)＝3.5,eq\x\to（y）＝eq\f（13,6），eq\i\su（i＝1,6，x)eq\o\al(2,i)＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴eq\o（b，\s\up10（^）)＝eq\f（58－6×3。5×\f(13，6）,91－6×3。52)＝eq\f（5,7),eq\o(a,\s\up10(^)）＝eq\f（13，6）－eq\f(5,7）×3.5＝eq\f(13，6)－eq\f(5,2)＝－eq\f（1,3）,∴eq\o(b，\s\up10（^））＜b′,eq\o（a,\s\up10(^))＞a′。答案:C2．已知x與y之間的一組數(shù)據(jù)：x0123y1357則y與x的線性回歸方程eq\o(y，\s\up10（∧）)＝bx＋a必過(）A．點（2,2） B．點（1。5，0)C．點(1，2) D．點（1.5,4)解析：解法一：回歸方程y＝bx＋a必過（eq\x\to（x），eq\x\to(y)），檢驗即可．eq\x\to(x）＝eq\f（0＋1＋2＋3,4)＝1.5,eq\x\to（y）＝eq\f(1＋3＋5＋7,4)＝4解法二:回歸方程即為y＝2x＋1,代入這些點即可．答案：D3．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用x(萬元）4235銷售額y（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程eq\o(y,\s\up10（∧))＝eq\o(b,\s\up10(∧))x＋eq\o（a，\s\up10(∧))中的eq\o(b，\s\up10（∧）)為9。4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(）A．63.6萬元 B．65。5萬元C．67。7萬元 D．72.0萬元解析：eq\x\to(x)＝eq\f（4＋2＋3＋5，4)＝3。5,eq\x\to(y）＝eq\f（49＋26＋39＋54，4)＝42，∴eq\o（a,\s\up10(∧））＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up10(∧)）eq\x\to(x）＝42－9。4×3。5＝9.1,∴回歸方程為eq\o（y，\s\up10（∧））＝9。4x＋9.1，∴當(dāng)x＝6時，eq\o（y，\s\up10（∧）)＝9。4×6＋9.1＝65。5，故選B。答案：B4．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x（單位：萬元）與年平均支出Y(單位：萬元)的統(tǒng)計資料如下表所示：年份20052006200720082009收入x11。512.11313.315支出Y6.88.89。81012根據(jù)統(tǒng)計資料,居民家庭年平均收入的中位數(shù)是________，家庭年平均收入與年平均支出有________線性相關(guān)關(guān)系．解析：居民家庭的年平均收入按從小到大排列依次為：11.5、12。1、13、13。3、15，由中位數(shù)定義知年平均收入的中位數(shù)是13.畫出散點圖(圖略),由圖可知家庭年平均收入與年平均支出具有正線性相關(guān)關(guān)系．答案：13正5．某數(shù)學(xué)老師身高176cm，他爺爺、父親和兒子的身高分別是173cm、170cm和182cm。因兒子的身高與父親的身高有關(guān)，該老師用線性回歸分析的方法預(yù)測他孫子的身高為________cm。解析：由題設(shè)知：設(shè)解釋變量為x，預(yù)報變量為y，它們對應(yīng)的取值如下表所示x173170176y170176182于是有eq\x\to（x)＝173，eq\x\to（y)＝176，eq\o(b,\s\up10（∧））＝eq\f(0×－6＋－3×0＋3×6，02＋－32＋32）＝1，eq\o(a，\s\up10(∧））＝176－173×1＝3,得回歸方程為eq\o(y,\s\up10（∧))＝x＋3，所以當(dāng)x＝182時,eq\o(y，\s\up10(∧）)＝185。答案：1856．(2014·襄州模擬)給出下列四個命題:①?x∈R，cosx＝sineq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f(π,3)))＋sineq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（x＋\f（π，6)））一定不成立;②今年初某醫(yī)療研究所為了檢驗“達(dá)菲(藥物）”對甲型H1N1流感病毒是否有抑制作用，把墨西哥的患者數(shù)據(jù)庫中的500名使用達(dá)菲的人與另外500名未用達(dá)菲的人一段時間內(nèi)患甲型H1N1流感的療效記錄作比較，提出假設(shè)H0：“達(dá)菲不能起到抑制甲型H1N1流感病毒的作用"，利用2×2列聯(lián)表計算得K2≈3.918，經(jīng)查對臨界值表知P(K2≥3。841）≈0.05,說明達(dá)菲抑制甲型H1N1流感病毒的有效率為95%；③|a·b｜＝｜a｜|b|是|λa＋μb｜＝｜λ||a|＋｜μ||b｜成立的充要條件;④如圖的莖葉圖是某班在一次測驗時的成績,可斷定：女生成績比較集中，整體水平稍高于男生．其中真命題的序號是________．（填上所有真命題的序號)解析：對于①，等式展開后可化簡為asinx＋bcosx＝0的形式，可知一定有解；對于②，正確解釋是：有95%的把握認(rèn)為“達(dá)菲對甲型H1N1流感病毒有抑制作用"；對于③，由向量模的性質(zhì)知不正確．答案：④7．（創(chuàng)新題)（2013·高考重慶卷）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi（單位：千元）與月儲蓄yi（單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\o(,\s\up10（10）,\s\do4（i＝1))xi＝80,eq\o（，\s\up10（10)，\s\do4（i＝1））yi＝20，eq\o(，\s\up10（10),\s\do4（i＝1）)xiyi＝184，eq\o（,\s\up10（10），\s\do4(i＝1)）xeq\o\al（2，i)＝720。（1)求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；（2)判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；(3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元,預(yù)測該家庭的月儲蓄．附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b＝eq\f（\o(，\s\up10(n），\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up10(－））\o（y,\s\up10(－）），\o(，\s\up10（n)，\s\do4(i＝1）)x\o\al（2，i)－n\o(x,\s\up10(－))2）,a＝eq\o(y，\s