第三章組合邏輯電路的分析和設(shè)計

第三章組合邏輯電路的分析和設(shè)計3.1邏輯代數(shù)3.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法3.3組合邏輯電路的分析3.4組合邏輯電路的設(shè)計3.4組合邏輯電路中的競爭冒險現(xiàn)象引言一、組合邏輯電路的特點組合邏輯電路(無記憶能力)數(shù)字電路時序邏輯電路(有記憶能力)1、邏輯功能上的特點在組合邏輯電路中，任意時刻的輸出僅僅取決于該時刻的輸入，與電路原來的狀態(tài)無關(guān)。用框圖表示如圖。無論任何時刻，只要Ａ、Ｂ、CI的值確定，Ｓ、CO的值也就確定，與電路過去的工作狀態(tài)無關(guān)。例：如圖，3.1邏輯代數(shù)一、邏輯代數(shù)的根本定律根本定律A·=0A+=1=AA·A=AA+A=A

A·=0A·1=AA+1=1A+=1A·0=0A+0=A非與或交換律A+B=B+AA·B=B·A結(jié)合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·B·C分配律A·(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)反演律吸收律A+AB=AA+B=A+BA·(A+B)=A(A+B)·(A+C)=A+BC二、邏輯代數(shù)常用恒等式證明方法:檢驗等式兩邊函數(shù)的真值表是否相同三、邏輯代數(shù)的根本公式驗證§4.邏輯的運(yùn)算規(guī)那么一、代入規(guī)那么—等式兩邊的某變量用一個函數(shù)代替，等式仍然成立（A+C）（A+C）例：證明多變量的摩根律〔反演律〕二變量的摩根律：令B=CD注意：1)變換過程必須遵循先“與〞后“或〞的順序二、反演規(guī)那么原變量●1將函數(shù)中反變量＋0例2)在幾個變量上的非號必須保持不變例：Y=(A+BC)(C+D)三、對偶規(guī)那么—指當(dāng)某個邏輯恒等式成立時，那么其對偶式也成立注意：變換過程必須遵循先“與〞后“或〞的順序其中變量不變，則得到該函數(shù)的對偶式將函數(shù)中●1＋0應(yīng)用：當(dāng)要證明某兩個邏輯式相等時，可以證明他們的對偶式相 等，某些情況證明對偶式更加容易。例如：證明A+BC=(A+B)(A+C)兩邊邏輯式的對偶式分別為A(B+C)、AB+AC，顯然A(B+C)=AB+AC〔分配律〕，所以由對偶原理A+BC=(A+B)(A+C)§5.邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法一、最簡邏輯函數(shù)二次取反摩根律摩根律摩根律反演定律反演定律分配律二次取反同一個邏輯式可以寫成不同的形式，其形式越簡單，就越明顯地表達(dá)邏輯關(guān)系，實現(xiàn)起來也就越簡單，所以經(jīng)常需要對邏輯式作化簡。ⅱ)與或式可容易地轉(zhuǎn)換成其它形式，而與或式可從真值表直接得到∴最簡邏輯函數(shù)即指最簡與或式標(biāo)準(zhǔn):ⅰ)任何邏輯函數(shù)都有多種邏輯表達(dá)式，因而可用多種邏輯電路實現(xiàn)ⅰ)所含乘積項最?、?每個乘積項所含因子數(shù)亦最少例：將邏輯式變換成與非-與非形式首先化成與-或式：根據(jù)利用反演律：二、邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法1.并項法—利用兩項并一項且消去一變量例：2.吸收法—利用A+AB=A消去多余項例：3.消項法—利用消去多余因子4.消因子法—利用消去多余因子5.配項法—利用先擴(kuò)展再化簡6.綜合運(yùn)用最簡與-或式最簡與非-與非式最簡或-與非表達(dá)式邏輯函數(shù)的最簡形式最簡與－或非表達(dá)式最簡或－與表達(dá)式最簡或－或非表達(dá)式最簡或非－或表達(dá)式最簡與非－與表達(dá)式★代數(shù)化簡法的缺點:很難判斷是否得到最簡§6.邏輯代數(shù)的卡諾圖化簡法(圖形化簡法)一、邏輯變量的最小項及其性質(zhì)1.最小項定義:如：A、B、C是三個邏輯變量，有以下八個乘積項稱為此三個變量的最小項n個變量的邏輯函數(shù)中，假設(shè)m為包含全部n個變量的乘積項〔每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次〕那么稱m為該組變量的最小項。2.特點(1)每個最小項均含有三個因子〔n個變量那么含n個因子〕(2)每個變量均為原變量或反變量的形式在乘積項中出現(xiàn)一次(3)n個變量有2n個最小項3.最小項的編號(P96表3.2.2)常用mi表示，下標(biāo)i即為編號。把變量中原變量為1、反變量為0組合時對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)即為i值。m0m100000101最小項二進(jìn)制數(shù)十進(jìn)制數(shù)編號m2m3m4m5m6m7010011100101110111234567以三變量為例4.最小項性質(zhì)(P96表3.2.1)(1)對于變量的任意一組取值組合，只有一個最小項的值為1(2)對于變量的任意一組取值組合，相鄰兩個最小項的積為0(3)對于變量的任意一組取值組合，所有最小項之和(或)為1001ABC000m0m1m2m3m4m5m6m7100000000100000011010011100101110111000000000000100000010000001000000100000010000001111111三變量的最小項

最大項定義:n個變量有2n個最大項，記作

in個變量的邏輯函數(shù)中，假設(shè)M為包括全部n個變量的和項,〔每個變量必須而且只能以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次〕，那么稱M為該組變量的最大項。同一組變量取值任意兩個不同最大項的和為1。即Mi+Mj=1(i≠j)全部最大項之積為0，即任意一組變量取值，只有一個最大項的值為0，其它最大項的值均為1最大項的性質(zhì)：最大項補(bǔ)充最小項與最大項的關(guān)系相同編號的最小項和最大項存在互補(bǔ)關(guān)系即:

mi

=Mi

Mi

=mi假設(shè)干個最小項之和表示的表達(dá)式F，其反函數(shù)可用等同個與這些最小項相對應(yīng)的最大項之積表示。

例：m1m3m5m7=

=最小項之和形式標(biāo)準(zhǔn)的與或式二、邏輯函數(shù)最小項表達(dá)式⒈)用摩根定律去掉非號(多個變量上)直至只在一個變量上有非號為止⒉)用分配律去除括號，直至得到一個與或表達(dá)式⒊)配項得到最小項表達(dá)式由一般邏輯式→最小項表達(dá)式方法F(A、B、C、D)習(xí)題例：求函數(shù)F(A、B、C)的最小項表達(dá)式解：F(A、B、C)利用反演律利用互補(bǔ)律，補(bǔ)上所缺變量C結(jié)論：任一個邏輯函數(shù)都可化成為唯一的最小項表達(dá)式三、邏輯函數(shù)的卡諾圖1.定義:將邏輯變量的所有最小項分別用一個小方塊來表示，并按照邏輯上相鄰的小方塊在幾何位置上也相鄰的規(guī)那么排列成的一個方格圖形。2.變量卡諾圖1)二變量的卡諾圖L(A,B)AB01B1000011110邏輯上相鄰：兩個最小項只有一個變量不同。例圖中的一小格對應(yīng)真值表中的一行，即對應(yīng)一個最小項AB00011011m0m1m2m3AABBABBAABABAB1010m0m1m2m3mi2)三變量的卡諾圖L(A,B,C)3)四變量的卡諾圖L(A,B,C,D)0001111000011110m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11ABCDABC0100011110m0m1m2m3m4m5m6m7AB組合中左數(shù)位代表A變量，右數(shù)位代表B變量。沿橫向從一個方格進(jìn)行到下一個方格時，兩個數(shù)位只變化一個。K圖的特點

k圖為方形圖。n個變量的函數(shù)--k圖有2n個小方格，分別對應(yīng)2n個最小項；

k圖中行、列兩組變量取值按循環(huán)碼規(guī)律排列，使變量各最小項之間具有邏輯相鄰性。上下左右?guī)缀蜗噜彽姆礁駜?nèi)，只有一個因子不同有三種幾何相鄰：鄰接、相對〔行列兩端〕和對稱方格均屬相鄰。卡諾圖具有循環(huán)鄰接性3.邏輯函數(shù)卡諾圖的畫法(1)邏輯表達(dá)式ⅰ)邏輯表達(dá)式化成最小項表達(dá)式

或者只需求出與或式ⅱ)畫變量卡諾圖ⅲ)在最小項對應(yīng)的小方塊中填“1〞其余填入“0〞說明：ⅰ)可直接按與或式填卡諾圖舉例ⅱ)有時可按函數(shù)的反函數(shù)填卡諾圖,只需將L中的乘積項對應(yīng)的小方塊中填入“0”,其余填“1”即可(2)真值表ⅰ)畫變量卡諾圖ⅱ)將真值表中函數(shù)值為1的對應(yīng)的變量取值組合的小方塊中填入“1〞,其余填“0〞即可舉例0100011110001110CDAB例如：1111111000000000由函數(shù)的邏輯表達(dá)式畫卡諾圖例：將F(A、B、C、D)的卡諾圖畫出解：0100011110001110CDABAB111111BCD11ACDABC11AC1111m14,m15兩次填10000圖中給出輸入變量A、B、C的真值表，填寫函數(shù)的卡諾圖舉例例:真值表如圖ABCL00000011010101111000101011011110A01BC01001110000011110011010101111101四、邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.化簡的依據(jù):2)相鄰四個最小項求和時,四項并一項并消去兩個變量1)相鄰兩個最小項求和時,兩項并一項并消去一個變量3)相鄰八個最小項求和時,八項并一項并消去三個變量0123AB0001CD01001110456711101211141589101146911008210082412146如:如:如:幾何相鄰的2i(i=1、2、3…n)個小格可合并在一起構(gòu)成正方形或矩形圈，消去i個變量，而用含(n–i)個變量的乘積項標(biāo)注該圈。2.化簡的方法和步驟1)將行、列中相鄰的只為1的小方塊畫成假設(shè)干個包圍圈原那么ⅰ)每個包圍圈中必須含有2n個小方塊(n=1,2,…)ⅱ)小方塊可重復(fù)被包圍，但每個包圍圈中必須含有其他包圍圈沒有的新小方塊ⅲ)不能漏掉任何值為1的小方塊ⅳ)包圍圈所含的小方塊數(shù)目要盡可能多ⅳ)包圍圈數(shù)目要盡可能少，畫包圍圈的順序由大→小2)將每個包圍圈中的乘積項合并成一項→留下相同因子，消去不同因子3)對各個包圍圈合并成的乘積項求邏輯和1101000AB0001CD010011101100111010011001例1舉例ABCD畫圈的步驟返回原始表達(dá)式表示在卡諾圖上識別8方格的包圍圈識別4方格的包圍圈識別2方格的包圍圈沒有相鄰項的單獨畫圈最簡與或表達(dá)式寫出圈內(nèi)的邏輯表達(dá)式01324576891011121314150100011110001110CDABABCD(0001，0101)

A0100011110001110CDAB0132457689101112131415BCDA0100011110001110CDAB0132457689101112131415BCD(0100,0101,0111,0110)

例2A01BC0100111010110110結(jié)論：邏輯函數(shù)最簡與或式不是唯一的例3AB0001CD01001110111011110111011111111∵∴結(jié)論：含0較少時，用求反較簡單ABCD無關(guān)項：使函數(shù)值不定，或根本不會出現(xiàn)的變量組合3.具有無關(guān)項的邏輯函數(shù)的化簡3)化簡方法：視化簡需要可作0或1處理。2)填函數(shù)的卡諾圖時，只在無關(guān)項對應(yīng)的格內(nèi)填任意符號“Φ〞、“d〞或“×〞無關(guān)項的定義——兩種無關(guān)項：約束項、任意項約束項：恒等于0的最小項。表示實際中根本不會出現(xiàn)的變量組合任意項：某些變量數(shù)值為0或1時，對實際問題的結(jié)果沒有影響，此時函數(shù)整體的取值沒有意義，變量取這些值時為1的最小項。無關(guān)項寫入或不寫入邏輯函數(shù)表達(dá)式無關(guān)緊要，對函數(shù)表達(dá)的邏輯功能沒有影響，所以可以視需要決定是否將其參加表達(dá)式中。例1：已知函數(shù)：

求其最簡與或式0100011110001110CDAB解：

填函數(shù)的卡諾圖1111111

00000

化簡不考慮約束條件時：考慮約束條件時：0100011110001110CDAB1111111

00000具有無關(guān)項邏輯函數(shù)的化簡例題例2：NABCDL000000100011200100300111401000501011601100701111810000910011設(shè)計一位十進(jìn)制數(shù)的判奇電路，當(dāng)為奇數(shù)時輸出為1，否那么為0。解：列真值表無關(guān)項：1010～1111L=∑m(1,3,5,7,9)+∑d(10～15)L=D結(jié)論：充分利用無關(guān)項，可將函數(shù)化為最簡。AB0001CD01001110111001010101xxxx01xx111§7.邏輯函數(shù)各種方法間的相互轉(zhuǎn)換一、邏輯圖求邏輯表達(dá)式用根本邏輯符號和連線構(gòu)成的圖形描述邏輯函數(shù)的方法：邏輯表達(dá)式真值表卡諾圖邏輯圖ABL&&&&&BBAAAB方法：逐級寫出邏輯表達(dá)式然后求和化簡例:函數(shù)的邏輯圖如下所示，試求它的邏輯函數(shù)式。ABY11111解：二、邏輯表達(dá)式求邏輯圖方法：先化簡→轉(zhuǎn)化為需要的形式→畫邏輯圖對其二次求非ACL&&&&&DB解：例:已知邏輯函數(shù)對應(yīng)的邏輯圖。畫出&ABCY111&11ABCY00000010010001111000101111011110三、從真值表到邏輯函數(shù)式例:一奇偶判別函數(shù)的真值表圖，試寫出它的邏輯函數(shù)。四、從邏輯式列出真值表解：ABCY00000011010101101001101111011111例:邏輯函數(shù)求它對應(yīng)的真值表。例：將F(A、B、C、D)化為最簡與非—與非式解：0100011110001110CDAB111111111111ACADBCBDABC化簡得：最簡與非—與非式為：化簡并轉(zhuǎn)換二、邏輯表達(dá)式求邏輯圖非門表示求最簡與或式，并用與例)()()(CDBBCAABCDL+++=方法：先化簡→轉(zhuǎn)化為需要的形式→畫邏輯圖對其二次求非ACL&&&&&DB3.3組合邏輯電路的分析一、分析目的分析目的是：根據(jù)已有的邏輯電路找出它的輸入和輸出的邏輯關(guān)系及電路的邏輯功能。二、分析步驟組合邏輯電路函數(shù)表達(dá)式代數(shù)法卡諾圖法最簡表達(dá)式真值表邏輯功能

分析步驟如下：〔1〕從輸入向輸出逐級推導(dǎo)，得到最終的輸出表達(dá)式。〔在這個過程中，有時可以設(shè)幾個中間變量〕〔2〕表達(dá)式化簡?！?〕由邏輯表達(dá)式列出真值表?！?〕由真值表〔簡單邏輯可直接由表達(dá)式〕概括出邏輯功能?！策@一步較難〕

具體如下：例：１、試分析如圖電路的邏輯功能解：1>、寫出函數(shù)表達(dá)式≥11&11&&ABCY2、列出真值表ABCY000000110101011110011011110111103、邏輯功能分析從真值表中可見，ABC相同時Y為0，其余Y為1，故它是一種輸入不一致鑒別器。因輸入不一致時，輸出是高電平，所以也可叫高電平告警器。例：２、試分析如圖電路的邏輯功能解：1>、寫出函數(shù)表達(dá)式2>、用代數(shù)法化簡3>、邏輯功能分析從化簡結(jié)果可見，這個電路僅是簡單的BC輸入的“與門〞?！?&1&ABCY&3.4組合邏輯電路的設(shè)計一、設(shè)計要求設(shè)計要求是：根據(jù)實際問題，求出實現(xiàn)這一邏輯功能的最簡邏輯電路。二、最簡的含義：１、電路所用的器件數(shù)最少；２、器件的種類最少；３、器件之間的連線最少。三、設(shè)計的具體步驟邏輯問題函數(shù)表達(dá)式選定器件類型邏輯真值表邏輯電路圖將函數(shù)式化簡將函數(shù)式變換邏輯電路圖工藝設(shè)計用門電路時用MSI或PLD時分析要求例：１、某實驗室有紅、黃兩個故障指示燈，用以表示三臺設(shè)備的工作情況。當(dāng)只有一臺設(shè)備有故障時，黃燈亮；當(dāng)有兩臺設(shè)備同時有故障時，紅燈亮；當(dāng)三臺設(shè)備同時有故障時，紅燈和黃燈都亮。試設(shè)計控制燈亮的邏輯電路。2>、列出真值表輸入輸出ABCXY0000000110010100110110010101011100111111解：1>、分析要求設(shè)A、B、C表示輸入信號，1表示有故障，0表示無故障；X表示黃燈，Y表示紅燈，1表示燈亮，0表示燈不亮。那么A、B、C有一個1時，X為1；A、B、C有二個1時，Y為1；A、B、C全為1時，X、Y全為1。例：3>、由真值表寫出邏輯表達(dá)式4>、選小規(guī)模集成電路(門電路)5>、用卡諾圖化簡6>、根據(jù)化簡后的邏輯表達(dá)式畫邏輯圖X式已是最簡輸入輸出ABCXY0000000110010100110110010101011100111111010110100001111001BCA111001000001111001BCAY=AB+AC+BC≥11&ABC&&11&&&&≥1XY例：2、設(shè)計一個多數(shù)表決電路，電路有三個輸入端，一個輸出端，它的功能是輸出電平與輸入信號的多數(shù)電平一致。2>、列出真值表ABCZ00000010010001111000101111011111解：1>、分析要求設(shè)輸入為A、B、C，輸出為Z；高電平為