2022-2023學(xué)年福建省泉州十六中高三年級第二學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題

2022-2023學(xué)年福建省泉州十六中高三年級第二學(xué)期模擬考試數(shù)學(xué)試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（）A．6海里 B．6海里 C．8海里 D．8海里2．設(shè)函數(shù)（，為自然對數(shù)的底數(shù)）,定義在上的函數(shù)滿足，且當時，．若存在，且為函數(shù)的一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知雙曲線：的焦點為，，且上點滿足，，，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．54．已知等差數(shù)列的前13項和為52，則（）A．256 B．-256 C．32 D．-325．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點的中心（，）C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg6．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．7．函數(shù)的圖象如圖所示，為了得到的圖象，可將的圖象（）A．向右平移個單位 B．向右平移個單位C．向左平移個單位 D．向左平移個單位8．復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則的值是()A． B． C． D．9．已知集合，則的值域為（）A． B． C． D．10．中，角的對邊分別為，若，，，則的面積為（）A． B． C． D．11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B．4C． D．512．中國古代用算籌來進行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個多位數(shù)時，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為___________.14．雙曲線的左右頂點為，以為直徑作圓，為雙曲線右支上不同于頂點的任一點，連接交圓于點，設(shè)直線的斜率分別為，若，則_____.15．《九章算術(shù)》是中國古代的數(shù)學(xué)名著，其中《方田》一章給出了弧田面積的計算公式．如圖所示，弧田是由圓弧AB和其所對弦AB圍成的圖形，若弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，則弧田的弦AB長是__________，弧田的面積是__________．16．如圖是一個算法流程圖，若輸出的實數(shù)的值為，則輸入的實數(shù)的值為______________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)為實數(shù))的圖像在點處的切線方程為.（1）求實數(shù)的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)，證明時，.18．（12分）已知數(shù)列滿足，等差數(shù)列滿足，（1）分別求出，的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為證明：．19．（12分）健身館某項目收費標準為每次60元，現(xiàn)推出會員優(yōu)惠活動：具體收費標準如下：現(xiàn)隨機抽取了100為會員統(tǒng)計它們的消費次數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：假設(shè)該項目的成本為每次30元，根據(jù)給出的數(shù)據(jù)回答下列問題：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率（2）某會員消費4次，求這4次消費獲得的平均利潤；（3）假設(shè)每個會員每星期最多消費4次，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件的概率，從會員中隨機抽取兩位，記從這兩位會員的消費獲得的平均利潤之差的絕對值為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望20．（12分）已知數(shù)列，滿足.（1）求數(shù)列，的通項公式；（2）分別求數(shù)列，的前項和，.21．（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學(xué)”的口號，鼓勵學(xué)生線上學(xué)習(xí).某校數(shù)學(xué)教師為了調(diào)查高三學(xué)生數(shù)學(xué)成績與線上學(xué)習(xí)時間之間的相關(guān)關(guān)系，對高三年級隨機選取45名學(xué)生進行跟蹤問卷，其中每周線上學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數(shù)學(xué)平均成績不足120分的占，統(tǒng)計成績后得到如下列聯(lián)表：分數(shù)不少于120分分數(shù)不足120分合計線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時419線上學(xué)習(xí)時間不足5小時合計45（1）請完成上面列聯(lián)表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生線上學(xué)習(xí)時間有關(guān)”；（2）①按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數(shù)不少于120分和分數(shù)不足120分的兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生，設(shè)抽到不足120分且每周線上學(xué)習(xí)時間不足5小時的人數(shù)是，求的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；②若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數(shù)學(xué)成績不少于120分的學(xué)生中隨機抽取20人，求這些人中每周線上學(xué)習(xí)時間不少于5小時的人數(shù)的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）22．（10分）傳染病的流行必須具備的三個基本環(huán)節(jié)是：傳染源、傳播途徑和人群易感性.三個環(huán)節(jié)必須同時存在，方能構(gòu)成傳染病流行.呼吸道飛沫和密切接觸傳播是新冠狀病毒的主要傳播途徑，為了有效防控新冠狀病毒的流行，人們出行都應(yīng)該佩戴口罩.某地區(qū)已經(jīng)出現(xiàn)了新冠狀病毒的感染病人，為了掌握該地區(qū)居民的防控意識和防控情況，用分層抽樣的方法從全體居民中抽出一個容量為100的樣本，統(tǒng)計樣本中每個人出行是否會佩戴口罩的情況，得到下面列聯(lián)表：戴口罩不戴口罩青年人5010中老年人2020（1）能否有的把握認為是否會佩戴口罩出行的行為與年齡有關(guān)？（2）用樣本估計總體，若從該地區(qū)出行不戴口罩的居民中隨機抽取5人，求恰好有2人是青年人的概率.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

先根據(jù)給的條件求出三角形ABC的三個內(nèi)角，再結(jié)合AB可求，應(yīng)用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.在△ABC中，由正弦定理得，即，∴.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應(yīng)用，關(guān)鍵是將給的角度、線段長度轉(zhuǎn)化為三角形的邊角關(guān)系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.2、D【解析】

先構(gòu)造函數(shù)，由題意判斷出函數(shù)的奇偶性，再對函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，進而可求出結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，因為，所以，所以為奇函數(shù)，當時，，所以在上單調(diào)遞減，所以在R上單調(diào)遞減.因為存在，所以，所以，化簡得，所以，即令，因為為函數(shù)的一個零點，所以在時有一個零點因為當時，，所以函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，，又因為，所以要使在時有一個零點，只需使，解得，所以a的取值范圍為，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)與方程的綜合問題，難度較大.3、D【解析】

根據(jù)雙曲線定義可以直接求出，利用勾股定理可以求出，最后求出離心率.【詳解】依題意得，，，因此該雙曲線的離心率.【點睛】本題考查了雙曲線定義及雙曲線的離心率，考查了運算能力.4、A【解析】

利用等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)可以求得結(jié)果.【詳解】由，，得.選A.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的求和公式及等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的等和性應(yīng)用能快速求得結(jié)果.5、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71，則=0.85＞0，y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；回歸直線過樣本點的中心（），B正確；該大學(xué)某女生身高增加1cm，預(yù)測其體重約增加0.85kg，C正確；該大學(xué)某女生身高為170cm，預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg，D錯誤．故選D．6、A【解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習(xí)，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．7、C【解析】

根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象得到，結(jié)合圖像變換知識得到答案.【詳解】由圖象知：，∴.又時函數(shù)值最大，所以.又，∴，從而，，只需將的圖象向左平移個單位即可得到的圖象，故選C.【點睛】已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點法”中相對應(yīng)的特殊點求，一般用最高點或最低點求．8、C【解析】

直接利用復(fù)數(shù)的除法的運算法則化簡求解即可．【詳解】由得：本題正確選項：【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法的運算法則的應(yīng)用，考查計算能力．9、A【解析】

先求出集合，化簡=，令，得由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得值域.【詳解】由，得，，令，，，所以得，在上遞增，在上遞減，，所以，即的值域為故選A【點睛】本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題10、A【解析】

先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計算．【詳解】由題意，．由得，．故選：A．【點睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式與誘導(dǎo)公式，解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解．11、B【解析】

還原幾何體的直觀圖，可將此三棱錐放入長方體中,利用體積分割求解即可.【詳解】如圖，三棱錐的直觀圖為，體積.故選:B.【點睛】本題主要考查了錐體的體積的求解,利用的體積分割的方法,考查了空間想象力及計算能力,屬于中檔題.12、B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個位，百位，萬位用縱式表示；十位，千位，十萬位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，利用點斜式求切線方程.【詳解】因為，所以，又故切線方程為，整理為，故答案為：【點睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程，屬于容易題.14、【解析】

根據(jù)雙曲線上的點的坐標關(guān)系得，交圓于點，所以，建立等式，兩式作商即可得解.【詳解】設(shè)，交圓于點，所以易知:即.故答案為：【點睛】此題考查根據(jù)雙曲線上的點的坐標關(guān)系求解斜率關(guān)系，涉及雙曲線中的部分定值結(jié)論，若能熟記常見二級結(jié)論，此題可以簡化計算.15、612π﹣9【解析】

過作，交于，先求得圓心角的弧度數(shù)，然后解解三角形求得的長.利用扇形面積減去三角形的面積，求得弧田的面積.【詳解】∵如圖，弧田的弧AB長為4π，弧所在的圓的半徑為6，過作，交于，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，垂直平分.∴α＝∠AOB＝＝，可得∠AOD＝，OA＝6，∴AB＝2AD＝2OAsin＝2×＝6，∴弧田的面積S＝S扇形OAB﹣S△OAB＝4π×6﹣＝12π﹣9．故答案為：6，12π﹣9．【點睛】本小題主要考查弓形弦長和弓形面積的計算，考查中國古代數(shù)學(xué)文化，屬于中檔題.16、【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進行計算即可.【詳解】解：程序的功能是計算，若輸出的實數(shù)的值為，則當時，由得，當時，由，此時無解.故答案為：.【點睛】本題主要考查程序框圖的識別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)詳見解析.【解析】

試題分析：（1）由題得，根據(jù)曲線在點處的切線方程，列出方程組，求得的值，得到的解析式，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由（1）得根據(jù)由，整理得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值，即可作出證明.試題解析：（1）由題得，函數(shù)的定義域為，，因為曲線在點處的切線方程為，所以解得.令，得，當時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；當時，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由（1）得，.由，得，即.要證，需證，即證，設(shè)，則要證，等價于證：.令，則，∴在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，,即，故.18、(1)（2）證明見解析【解析】

（1）因為，所以，所以，即，又因為，所以數(shù)列為等差數(shù)列，且公差為1，首項為1，則，即.設(shè)的公差為，則，所以（），則（），所以，因此，綜上，．（2）設(shè)數(shù)列的前n項和為，則兩式相減得，所以，設(shè)則，所以.19、（1）（2）22.5（3）見解析，【解析】

（1）根據(jù)頻數(shù)計算頻率，得出概率；（2）根據(jù)優(yōu)惠標準計算平均利潤；（3）求出各種情況對應(yīng)的的值和概率，得出分布列，從而計算出數(shù)學(xué)期望．【詳解】解：（1）估計1位會員至少消費兩次的概率；（2）第1次消費利潤；第2次消費利潤；第3次消費利潤；第4次消費利潤；這4次消費獲得的平均利潤：（3）1次消費利潤是27，概率是；2次消費利潤是，概率是；3次消費利潤是，概率是；4次消費利潤是，概率是；由題意：故分布列為：0期望為:【點睛】本題考查概率、平均利潤、離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，考查古典概型、相互獨立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．20、（1）（2）；【解析】

（1），，可得為公比為2的等比數(shù)列，可得為公差為1的等差數(shù)列，再算出，的通項公式，解方程組即可；（2）利用分組求和法解決.【詳解】（1）依題意有又.可得數(shù)列為公比為2的等比數(shù)列，為公差為1的等差數(shù)列，由，得解得故數(shù)列，的通項公式分別為.（2），.【點睛】本題考查利用遞推公式求數(shù)列的通項公式以及分組求和法求數(shù)列的前n項和，考查學(xué)生的計算能力，是一道中檔題.21、（1）填表見解析；