2020年溫州市溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2020年溫州市溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷一.選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)1.(5分)則代數(shù)式x(x+1)(x+2)(x+3)的值為(),A.0B.1CA.3則23.(5分)已知A,B是兩個(gè)銳角，且滿足：t,(則2實(shí)數(shù)t所有可能值的和為()A.B.a?=-la?+3|,……,an+1=-lan+nl(n為正整數(shù))依此類推，則a2019的值為()A.-1007B.-1008C.-10095.(5分)方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是()A.1B.2C.36.(5分)如圖，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過O點(diǎn)的射線OM、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F,且∠EOF=90°,BO、EF個(gè)數(shù)有()個(gè).A.47.(5分)已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=1,則a?+ab+b?的最小值為()8.(5分)已知2x2-x-1=0的兩根為x1、x?,則xi+xz為()A.1B.-1二.填空題(共8小題，滿分40分，每小題5分)9.(5分)化簡：11.(5分)如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC延長線上，且BD=CE,連接DE交BC于點(diǎn)F,作DH⊥BC于點(diǎn)H,連接CD.若,S△BCD=18,則DE的長為12.13.(5分)一個(gè)自然數(shù)減去45后是一個(gè)完全平方數(shù)，這個(gè)自然數(shù)加上44,仍是一個(gè)完全平14.(5分)有4張看上去無差別的卡片，正面分別寫著1,2,4,5,洗勻隨機(jī)抽取2張，16.(5分)設(shè)四位數(shù)abca滿足q3+b3+c3+d+1=10c+d,三.解答題(共4小題，滿分70分)17.(15分)如圖，△ABC中，∠BAC=60°,AB=2AC.P是直線AC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求直線AC的解析式；20.(20分)若從1,2,3,…,n中任取5個(gè)兩兩互素的不同的整數(shù)ai,a?,a3,at,as,其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求n的最大值.2020年溫州市溫州中學(xué)自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷一.選擇題(共8小題，滿分40分，每小題5分)1.(5分)i則代數(shù)式x(x+1)(x+2)(x+3)的值為()A.0B.1C∴原式=(x2+3x)(x2+3x+2)A.3B.4設(shè)x+y=2t,它的整數(shù)解3.(5分)已知A,B是兩個(gè)銳角，且滿足sit,,則實(shí)數(shù)t所有可能值的和為()A.B.【解答】解：根據(jù)已知，得t,即∴t所有可能值的和為1.4.(5分)已知整數(shù)ai、a2、a3、a4、……滿足下列條件：ai=0,az=-lai+1|,a3=-|a?+2|,a4=-|a3+3|,……,an+1=-lan+nl(n為正整數(shù))依此類推，則a2019的值為()A.-1007B.-1008C.-10095.(5分)方程組的正整數(shù)解的組數(shù)是()【解答】解：方法一：方程∵23只能分解為23×1將z=1代入原方程轉(zhuǎn)化∴這個(gè)方程組的正整數(shù)解是(2,21,1)、(20,3,1).6.(5分)如圖，已知在正方形ABCD中，點(diǎn)O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，過O點(diǎn)的射線OM、ON分別交AB、BC于點(diǎn)E、F,且∠EOF=90°,BO、EF交于點(diǎn)P,下列結(jié)論：積等于四邊形OEBF面積的4倍；④BE+BF=OA;⑤AE2+BE2=2OP·OB.其中正確的個(gè)數(shù)有()個(gè).圖形中全等的三角形有四對(duì)：△ABC≌△ADC,△AOB≌△COB,△AOE≌△BOF,△∵點(diǎn)O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴△EOF是等腰直角三角形；∴四邊形OEBF的面積=△ABO的面正方形ABCD的面積；7.(5分)已知實(shí)數(shù)a,b滿足a2+b2=1,則a?+ab+b?的最小值為()業(yè)故當(dāng)業(yè)故當(dāng)8.(5分)已知2x2-x-1=0二.填空題(共8小題，滿分40分，每小題5分)9.(5分)化簡：y2+(z+x)y+zx=y2+zy+zy+zx=y(y+z)+z(x+y)=(x+z2-(x-y)z-xy=2-xz+yz-xy=z(z-x)+y(z-x)=(=(-x2y-x2z-y2z-z2y)+(y2z-y2x-Z2x+x2z)+(z2x+z2=(-x2y+x2y)+(-x2z+x2z)+(-y2z+y2z)+(-z2y+z2y)+(-y2x+y2x)i故答案為12.11.(5分)如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC延長線上，且BD=18,則DE的長為6√5,【解答】解：如圖，作EJ⊥BC交BC的延長線于J.∴BC=HJ=2FH,DF=EF,則CB=4m,故答案我為6v5.12.(5分)已知a2+b2+c2=(a+b+c)2,且abc≠0,J故答案為：013.(5分)一個(gè)自然數(shù)減去45后是一個(gè)完全平方數(shù)，這個(gè)自然數(shù)加上44,仍是一個(gè)完全平方數(shù)，則這個(gè)自然數(shù)是1981【解答】解：設(shè)該數(shù)為x,故這兩個(gè)完全平方數(shù)的差值為2k+1=x+44-(x-45),即k=44,故x-45是44的平方，x+44是45的平方，故該數(shù)為1981.故答案為：1981.14.(5分)有4張看上去無差別的卡片，正面分別寫著1,2,4,5,洗勻隨機(jī)抽取2張，抽出的卡片上的數(shù)字恰好是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的概率是【解答】解：根據(jù)題意畫樹狀圖如下：所有等可能的情況有12種，其中恰好是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的情況有4種，A,C兩點(diǎn)，那么k=-4.【解答】解：設(shè)A(xi,yi),C(xz,∵雙曲過∵雙曲))的圖形在第二象限，故的圖形在第二象限，故k<016.(5分)設(shè)四位數(shù)abcd滿足a3+b3+c3+d2+1=10c+d,則這樣的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為5∴a,b,c,d均為小于5的自然數(shù)，∴如果c=1,d=0,則a=2,b=0,此時(shí)這個(gè)四位數(shù)為2010,如果c=1,d=1,則a=2,b=0,此時(shí)這個(gè)四位數(shù)為2011,如果c=1,d=2,則a=1,b=1,此時(shí)這個(gè)四位數(shù)為1112,如果c=2,找不到符合要求的數(shù)，如果c=3,d=0,則a=1,b=1,此時(shí)這個(gè)四位數(shù)為1130,故此四位數(shù)可能為：2010或2011或1112或1130或1131.三.解答題(共4小題，滿分70分)17.(15分)如圖，△ABC中，∠BAC=60°,AB=2AC.點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且PA=√3,過A點(diǎn)作AM//PQ,延長BQ交AM于點(diǎn)M,∴AB2=AM2+(QM+BQ)2=PQ2+(AP+BQ)2=28+8v3,P是直線AC上方的拋物線上的動(dòng)點(diǎn).(1)求直線AC的解析式；(2)當(dāng)P是拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求△APC面積；(3)在P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，求△APC面積的最大值.則點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為：(-3,0)、(1,0)、(0,3),將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：設(shè)點(diǎn)P(x,-x2-2x+3),則H(x,x+3),面積∴PA:PO=PD:PA,即PA2=P即PD·OD=BD·CD,20.(20分)若從1,2,3,…,n中任取其中總有一個(gè)整數(shù)是素?cái)?shù)，求n的最大值.【解答】解：若n≥49,取整數(shù)1,22,32,52,72,這五個(gè)整數(shù)是五個(gè)兩兩